Sous-groupes normaux. Table des matières. 1 Relations R H et H R 2. 2 Théorème de Lagrange 3. 3 Sous-groupes normaux 5

Transcription

1 Sous-groupes normaux Table des matières 1 Relations R H et H R 2 2 Théorème de Lagrange 3 3 Sous-groupes normaux 5 1

2 La normalité est l'une des notions les plus importantes en Théorie des groupes. 1 Relations R H et H R Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Proposition La relation H R (respectivement R H ) dénie sur G G par g H Rg' g 1 g H (respectivement gr H g' gg 1 H) est une relation d'équivalence. Démonstration On démontre cette proposition pour la relation H R (la démonstration est similaire pour le cas R H ). HR est réexive : pour tout élément g de G, g 1 g = 1 H. HR est symétrique : si g et g' appartiennent à G et g Rg' alors g 1 g H donc, comme H est un sous-groupe de G, (g 1 g ) 1 = g 1 g H c'est à dire g' H Rg. HR est transitive : si g, g' et g" sont des éléments de G tels que g H Rg' et g' H Rg" alors g 1 g H et g 1 g H donc, comme H est un sous-groupe de G, (g 1 g )(g 1 g ) = g 1 g H c'est à dire g H Rg". Proposition La relation H R est compatible à gauche avec la loi de G c'est à dire, si g et g' sont des éléments de G tels que g H Rg' alors, pour tout élément g" de G, g"g H Rg"g'. La relation R H est compatible à droite avec la loi de G c'est à dire, si g et g' sont des éléments de G tels que gr H g' alors, pour tout élément g" de G, gg"r H g'g". Démonstration On démontre la proposition pour la relation H R (le cas R H se montrant de manière similaire). Soient g et g' deeux éléments de G tels que g H Rg'. On a alors g 1 g H. Mais, pour tout élément g" de G, g 1 g = g 1 g 1 g g, donc g 1 g 1 g g = (g g) 1 (g g ) H c'est à dire g"g H Rg"g' de G. Proposition Soit g appartenant à G. La classe d'équivalence de g pour la relation H R est l'ensemble gh={gh / h H }. La classe d'équivalence de g pour la relation R H est l'ensemble Hg={hg / h H }. En particulier, la classe de 1 pour les relations H R et R H est H. Démonstration La classe de g pour la relation H R est l'ensemble {g' G / g 1 g H } = {g' G / g' gh }=gh. La classe de g pour la relation R H est l'ensemble {g' G / g g 1 H } = {g' G / g' Hg }=Hg. 2

3 Dénition La classe gh est appelée classe à gauche de g modulo H et la classe Hg est appelée classse à droite de g modulo H. On note (G/H) g (respectivement (G/H) d ) l'ensemble quotient de G par la relation HR (respectivement R H ). Remarques 1)Si H=G alors H R et R H sont la relation triviale c'est àdire, pour tout couple (g,g') d'éléments de G, g H Rg' et g'r H g. 2)Si H={1} alors tout élément de G n'est en relation qu'avec lui même pour les relations H R et R H 2 Théorème de Lagrange Soient G un groupe et H un sous-groupe. Dénition On appelle indice de H dans G, et on note [G : H], le nombre de classes d'équivalences pour la relation H R. Remarques 1)[G : G]=1. 2)Si G est ni, [G : {1}] = G. Proposition (Formule des indices)soit K un sous-groupe de H. [G : K] est ni si et seulement si [G : H] et [H : K] sont nis. Dans ce cas, [G : K] = [G : H][H : K]. Démonstration Supposons [G : K] ni. Comme H est inclus dans G, [H : K] [G : K] et [H : K] est ni. Si g et g' appartiennent à G et sont dans la même classe d'équivalence pour la relation KR, alors g et g' sont dans la même classe d'équivalence pour la relation H R puisque H contient K. D'où la correspondance ϕ : gk gh est une application des classes de la relation K R vers les classes de la relation H R. Cette application est surjective (puisque chaque gh admet la classe gk comme antécédent) donc [G : H] [G : K] et [G : H] est ni. Supposons r=[g : H] et s=[h : K] nis. Soient {g 1,...,g r } un système de représentants des classes de la relation H R sur G et {h 1,...,h s } un système de représentants des classes de la relation K R sur H. Montrons que {g i h j 1 i r, 1 j s} est un système de représentants des classes de la relation K R sur G. Puisque les classes d'équivalences g 1 H,...,g r H forment une partition de G, pour tout élément de G, il existe un unique i compris entre 1 et r tel que g g i H. g g i H donc il existe un unique h appartenant à H tel que g=g i h. Mais, les classes d'équivalences h 1 K,...,h s K forment une partition de H, donc il existe un unique j appartenant compris entre 1 et s tel que h h j K. h h j K donc il existe un unique k appartenant à K tel que h=h j k. 3

4 Finalement, il existe un unique i compris entre 1 et r, un unique j compris entre 1 et s et un unique k appartenant à K tel que g=g i h j k. Par conséquent, l'ensemble {g i h j K 1 i r, 1 j s} est une partition de G. D'où, {g i h j 1 i r, 1 j s} est un système de représentants des classes de la relation KR sur G et, par suite, [G : K] = [G : H][H : K] est ni. Proposition (Formule de Lagrange) Si G est ni, G = [G : H] H Démonstration Les [G : H] classes d'équivalences de la relation H R forment une partition de G et sont de cardinal H donc G = [G : H] H. Remarque On peut aussi utiliser la Formule des indices en prenant H={1} et K=H. Le théorème suivant est très utilisé en Théorie des groupes. Théorème (Théorème de Lagrange) Dans un groupe ni, l'ordre de tout sous-groupe divise l'ordre du groupe. Démonstration Découle directement de la Formule de Lagrange. Corollaire Dans un groupe ni, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe. Démonstration L'ordre d'un élément est égal à l'ordre du sous-groupe qu'il engendre donc il divise l'ordre du groupe d'après le Corollaire précédent. Corollaire Soit G un groupe ni d'ordre n. Alors, quel que soit l'élément g de G, g n = 1. Démonstration D'après le Corollaire précédent o(x) divise n donc il existe un entier m tel que n=o(x)m. D'où, g n = g o(x)m = (g o(x) ) m = 1 m = 1. Corollaire Un groupe d'ordre un nombre premier est un groupe cyclique ne possèdant pas de sous-groupes propres. 4

5 Démonstration Soit G =p avec p premier. Soit g un élément du groupe, diérent de 1 (g existe car G >1). D'après le Corollaire 2.0.7, l'ordre de g, o(g), divise G =p. Mais p est premier, donc o(g)=p (o(g) 1 car g 1). D'où, par dénition, < g > =o(g)=p et par conséquent <g>=g. G est donc cyclique. Soit H un sous-groupe de G. D'après le Théorème de lagrange, H divise p. Or p est un nombre premier donc H =1 ou H =p. D'où, H={1} ou H=G. 3 Sous-groupes normaux Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Dénition On dit que H est un sous-groupe normal (ou distingué) de G, et on note H G, si H R=R H. Remarques 1)G et {1} sont des sous-groupes normaux de G. 2)Si G est commutatif alors tout sous-groupe de G est normal dans G. Proposition Si H est d'indice 2 dans G alors H est normal dans G. Démonstration Comme H est d'indice 2 dans G, il y a deux classes à gauche : H et gh avec g n'appartenant pas à H, et deux classes à droite : H et Hg' avec g' n'appartenant pas à H. Il sut donc de montrer que gh=hg' : g' appartient à G mais pas à H donc g' appartient à gh (les classes forment une partition de G). D'où il existe un élément h de H tel que g'=gh. Par conséquent, pour tout h' de H, gh'=ghh 1 h g H. gh est donc inclus dans Hg'. Or ces deux ensembles ont le même cardinal ( H ) donc gh=g'h. Les classes à gauche et à droite sont égales donc H R=R H et par conséquent H est normal dans G. Proposition H est normal dans G si et seulement si pour tout élément g de G et pour tout élément h de H, ghg 1 appartient à H. 5

6 Démonstration ( ) On suppose que H est normal dans G. On a alors H R=R H c'est à dire les classes d'équivalences de H R sont identiques à celles de R H. Par conséquent, pour tout élément g de G, gh=hg d'après la Propsition D'où pour tout élément h de H, gh appartient à Hg c'est à dire ghg 1 appartient à H. ( ) On suppose que pour tout élément g de G et pour tout élément h de H, ghg 1 appartient à H. On a alors ghg 1 inclus dans H c'est à dire gh inclus dans Hg. Mais ghg 1 inclus dans H entraîne aussi que H est inclus dans g 1 Hg pour tout g de G. Mais cette propriété étant vraie pour tout g de G et l'application qui associe à g ( G) son inverse étant bijective, on a la propriété : H inclus dans ghg 1 c'est à dire Hg inclus dans gh. D'où, pour tout élément g de G, gh=hg et les relations H R et R H sont donc identiques. H est par conséquent normal dans G. Remarque Pour montrer qu'un sous-groupe est normal dans un groupe, on utilise la caractérisation donnée par cette Proposition. Proposition On suppose que H est normal dans G. Alors, H est normal dans tout sous-groupe de G contenant H. Démonstration Soit K un sous-groupe de G contenant H. Comme K contient H, H est un sous-groupe de K. Pour tout élément g de G et pour tout élément h de H, ghg 1 appartient à H. Mais K étant inclus dans G, pour tout k appartenant à K, khk 1 est inclus dans H c'est à dire H est normal dans K. Remarque! Si H est un sous-groupe normal de K et K un sous-groupe normal de G alors H n'est pas forcément normal dans G (la normalité n'est pas transitive)! Terminons par une dénition : Dénition Un groupe G est simple si il ne contient pas de sous-groupe normal non trivial. Exemple Tout groupe d'ordre un nombre premier est simple. 6