Corrigé CNC MP 2003, Math 1

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1 Corrigé CNC MP 3, Mah Parie I. a La foncion e es coninue sur ], α] prolongeable par coninuié en, elle es donc inégrable sur ],α] b La foncion e e es coninue sur [,+ [ e. + donc elle es inégrable sur [, + [.. ],+ [, ϕ e d. a Faies bien aenion ici, les inégaliés demandées son srices. Soi >. ϕ > car la foncion e es coninue posiive non nulle sur [,+ [. e Ensuie ], + [, < e donc : ϕ < e d avec e d e donc ϕ < e. e b On peu écrire ϕ d e d. e La foncion d es de classe C sur ],+ [ d après le héorème fondamenal du calcul inégral. Donc ϕ es de classe C sur ],+ [ e pour ou ],+ [, c pour un >, ϕ+ln ϕ+ ϕ+ La foncion e e d. Alors +ϕ+ln ϕ ϕ e. ϕ e d+ln ϕ d+ d e d es in sur ],], donc + e d. e d d La foncion ρ : ϕ+ln es de classe C sur ],+ [, donc d après le hm fondamenal du calcul inégral on a pour ou > ρ ρ+ ρ d. Ce qui donne e e e ϕ + ln ϕ + d C + d + d e C+ d. Ensuie, en uilisan le DSE de la foncion eponenielle on a pou e + n n. n! ce qui au passage perme de jusifier que la foncion e es prolongeable en une foncion de classe C sur R. n E par primiivisaion de la somme d une série enière : e + n d n. n.n! Ainsi pour ou >, ϕ+ln C+ 3. ],+ [, ψ ϕ. n + n n n. n.n! a ψ es une foncion paire, il suffi de jusifier son inégrabilié sur ],+ [. Sur ],+ [, ψ es coninue par coninuié de ϕ e d après la quesion.a, ψ < e ce qui jusifie l inégrabilié de ψ sur [,+ [. D après la quesion.c ψ ln donc ψ, ce qui prouve que ψ es inégrable sur ],] Alors ψ es inégrable sur ],+ [. b Signalons un déail qui pose problème : l écriure ψe i d serai incorrece puisque la foncion ψe i n es pas CPM sur R ψe i +, Une convenion dans de pareil cas es de poser ψ ψe i d. ψe i d+ ϕ es inégrable sur ],+ [ donc ψ es inégrable sur les inervalles ],[ e

2 ],+ [. e on a pour ou, ψ ψe i d+ ψ e i d+ ψe i +e i d ψ cosd ψe i d ψe i d ϕ cosd c La foncion Ψ :, ϕcos es coninue sur D R ],+ [, e adme pour ou k N une dérivée parielle k Ψ :, k k ϕcos +k π coninue sur D. De plus pou ou, D : Ψ, ϕ e ϕ es inégrable sur ],+ [. k Ψ, k k ϕ. La foncion k ϕ es coninue sur ],+ [. Elle es prolongeable par coninuié en car k ϕ k ln e donc k ϕ. Sur [,+ [ on a la majoraion k ϕ k e e donc k ϕ ce qui achève la + jusificaion de l inégrabilié de la foncion k ϕ sur ],+ [. Alors ψ es bien définie de classe C sur R e pour ous k N e R + ψ k k ϕcos +k π d d La foncion ϕ cos éan inégrable sur ], + [, une inégraion par parie en uilisan la suie ehausive [ n,n] n> donne : ψ /n ϕ cosd [ ϕ sin /n e ] n /n sind /n ϕ sind e sind Car d un coé la foncion ϕ sin end vers en e en + e de l aure la foncion e sin es inégrable sur ], + [.les deu poins à la charge du leceur. Ensuie ψ ϕd e d, soi ψ. [ϕ] n /n ϕ d /n puisque ϕ end vers quand end vers e vers + 4. ],+ [, Φ e sind ψ a Première façon : On uilise la foncion ψ e d /n L epression Φ ψ eplique que Φ es de classe C sur ],+ [ e que pour ou ],+ [ Φ ψ+ ψ ψ Une inégraion par parie à faire correcemen donne : + ϕ sind e cosd E donc : Φ e cosd Deuième façon : On uilise la formule de Leibniz. ϕ sind ϕ + ϕ cosd ψ La foncion k :, e sin e coninue sur ],+ [ ],+ [ e sa dérivée parielle k :, e cos es coninue sur. Via l inégalié sinu u si u, on a pour ou,, k, e. Soi donc a >., ],a] ],+ [, k, ae, ], + [ ], + [, k, e les foncions e e ae éan coninues inégrables sur ],+ [. Alors Φ es de classe C sur ],+ [ e ],+ [, Φ e cosd. Mainenan la foncion e e i es inégrable sur ],+ [ puisque e e i e. donc [e e cosd Re e e i +i d Re Re +i + +i ] +

3 Parie II Alors : ],+ [, Φ + b Pour ou >, Φ + e la relaion Φ ψ implique qu en fai Φ es coninue en puisque ψ es coninue sur R, e que Φ. Alors Φ arcan. Anisi arcan >, ψ. Ensuie l écriure ψ ϕcosd valable pour ou non nul implique que ψ es paire sur R. Donc R, ψ arcan. a f une foncion CPM inégrable sur R. Soi R, l inégalié R, fe i f monre que lafoncion fe i es inégrable sur R. Donc fes bien définie sur R. Ensuie pour ou R, f f d. Donc f es bornée sur R. b Si f es coninue, la foncion, fe i es coninue sur R R e, R R, fe i f, f éan coninue inégrable sur R. Alors f es coninue sur R.. a La linéarié de F découle de la linéarié de l inégrale. b Les foncions f a e âf son bien définie puisque les foncions f a e fa son CPM inégrables sur R. Soi R. f a f ae i d ranslaion e si a e ǫ signa af ǫ a fae i d ua a fue ia+u du e ia f. +ǫ ǫ fue iu/a du a f a c Considérons la foncion g : fe ia. Soi R, ĝ fe ia d f a. fue iu/a du d Ayan fe i d f e i d, f fe i +f e i d. e donc : f f cosd si f es paire. f i + f sind si f es impaire. e Si f es une foncion réelle paire, f es paire e à valeurs réelles. Si f es réelle impaire, f es impaire e à valeurs imaginaires pures. 3. f es une foncion de classe C sur R, e f e f son inégrables sur R. a f es inégrable sur [,+ [ donc la foncion finie en +, comme ie finie en +. Soi l cee ie. f d adme une ie f d f f ceci revien à ce que f admee une Supposons que l, alors il eise A > el que : [A,+ [, f l. La foncion consane l n es pas inégrable sur [A,+ [ donc f ne serai pas inégrable sur [A, + [. conradicion. Alors l f. On obien f en appliquan ce dernier résula à la + foncion f. b Une inégraion par parie à eécuer correcemen avec des bornes finies donne pour ou R : f f e i d + fe i fe i +i fe i d. fe i f donc d après la quesion précédene ± fe i. Alors f i f. c D après II-.a, f es bornée sur R. La relaion f f implique alors que i f. ± d On suppose que la foncion g : f es inégrable sur R. Uiliser le héorème de dérivaion d une inégrale dépendan d un paramère formule de Leibniz pour jusifier que dans ce cas f es de classe C sur R e que pour ou R. f i fe i d iĝ N.B : Ici on a juse besoin que f soi coninue inégrable sur R e que la foncion f soi inégrable sur R. Nul besoin que f soi de classe C e encore 3

4 Parie III moins que f soi inégrable comme peu le suggérer l enchaînemen des quesions de l énoncé. Par eension si f es coninue sur R CPM suffi e pour ou k N, la foncion k f es inégrable sur R, alors la ransformée de Fourier f de f es de classe C sur R e : On considère la foncion h : e. k N, f k A. k fe i d. h es coninue inégrable sur R e la foncion h es inégrable sur R puisque ± 3 h. D après la quesion II-3.c ĥ es de classe C sur R e pour ou R ĥ i Une inégraion par parie donne alors ĥ i [e e i ] + + i e e i d e e i d ĥ ĥ es donc une soluion de l équaion différenielle y + y e e i d. Les soluions de l équaion sur R son les foncions de la forme λe /4 où λ R. Il eise donc λ R el que pour ou R, ĥ /4 λe. Comme ĥ e d π alors λ π. Ainsi R, ĥ e i d πe /4 3. Soien ε > e la foncion εh : e ε. D après II-.b, R, ε h π /4ε ĥ ε ε ε e f une foncion coninue, bornée e inégrable sur R elle que f soi inégrable sur R. n une suie de réels sricemen posiifs qui converge vers. B.. a v une foncion coninue inégrable sur R. Si on pose v n y vye εny, les foncions v n son coninues sur R, la suie de foncions v n n CVS vers v sur R puisque n converge vers e v es coninue sur R.. De plus y R, v n y vy e v es inégrable sur R. Le héorème de la convergence dominée s applique ici, il donne : vye εny dy vydy. b Soi R, le même héorème se base ici sur la dominaion : w+ ye y Me y où M sup wu. Il donne : u R w+ ye y dy we y dy w π. e iy εny dy π εn h e /4 donc π + f e iy εny dy d fe /4 d En posan s, soi +s on obien : π f e iy εny dy d. 3. u réel donné. a Soien ε > e p,q N. π f+s e s ds f+s e s ds Sachan que la foncion y, fe iy εy iy es coninue sur [ p,p] [,q], le héorème de Fubini donne : p p fe iy d dy f e iy εy dy d. p pe iy εy q b Posons pour ou q N, F q y e iy εy fe iy d. Du au fai que fe iy d fy, la suie de foncion Fq q CVS sur R vers la foncion F : y e iy εy fy, foncion qui es coninue puisque f es coninue sur R. De plus pour ou y R, F q y e εy f d Ie εy où I f d. 4

5 la foncion y Ie εy éan coninue inégrable sur R. Le héoreme de la convergence dominée donne alors Fydy, soi : e iy εy fe dy iy c De façon similaire on démonre que : p f p e iy εy dy p d F q ydy e iy εy fe dy iy f e iy εy dy d d La foncion A : y e iy εy fe iy d es inégrable sur R puisque Résumons, Si f es coninue inégrable sur R e sa ransformée de Fourier es aussi inégrable sur R, alors on a la relaion die formule d inversion de la ransformée de Fourier : R, f π fe i d Ay Ie εy où I f d. Donc p p p Aydy Aydy. En faisan endre p vers l infini dans la relaion du III-B-3.a e via le résula démonré dans la quesion III-B-3.c on obien : e iy εy fe dy iy f e iy εy dy d Mainenan en considéran la foncion B : f e iy εy dy, e vu que f es inégrable sur R : + f e iy εy dy d f e iy εy dy d La relaion précédene, via la quesion III-B-3.b donne alors : f e iy εy dy d e iy εy fe dy iy e iy εy fydy 4. Soi R. D après III-B- e III-B-3.c, en remplaçan ε par on obien : e iy εny fydy + π f+s e s ds D après III-B-.b E d après III-B-.a f+s e s ds π f e iy εny fydy e iy fydy Alors : e iy fydy π f. Fin. 5

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