39 COMPÉTITION JUNIOR DE MATHÉMATIQUE Le 29 avril 2015

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1 L ASSOCIATION MATHÉMATIQUE DE CALGARY th 39 COMPÉTITION JUNIOR DE MATHÉMATIQUE Le 29 avril 2015 NOM: S.V.P. Imprimer SEXE: ÉCOLE: NIVEAU: (9,8,7,... ) Vous avez 90 minutes pour l examen. On y trouvera deux parties: la PARTIE A pour les réponses courtes; et la PARTIE B pour les réponses complètes. Cet examen comporte 9 pages, celle-ci incluse. Chaque réponse correcte de la PARTIE A vous donnera 5 points, mais vous devez inscrire la réponse dans l espace fourni. Aucune note partielle. Chacun des problèmes de la PARTIE B a une valeur de 9 points. Tous les détails doivent être inclus, et des points seront attribués pour la clarté de la solution. PARTIE A a une valeur totale possible de 45 points. PARTIE B a une valeur totale possible de 54 points. Il vous est permis d utiliser des feuilles de brouillon, mais les instruments géométriques ne sont pas nécessaires. Les tables mathématiques ou toute autre référence sont tout à fait interdites. Par contre, les calculatrices de poche non programmables et sans options graphiques sont permises. Prenez note que les diagrammes ne sont pas dessinés à l échelle; ils ne sont inclus que pour vous aider visuellement. Lorsque l enseignant vous fait signe de commencer, il est recommandé de lire tous les problèmes et de sélectionner ceux que vous semblent les plus abordables. Répondez bien sûr au plus de problèmes possibles, bien que vous n aurez peut-être pas le temps requis pour les compléter tous. A L USAGE DES CORRECTEURS SEULEMENT PARTIE A 5 B1 B2 B3 B4 B5 B6 TOTAL (max: 99) ASSUREZ VOUS QUE VOTRE NOM ET CELUI DE VOTRE ÉCOLE APPARAISSENT EN HAUT DE CETTE PAGE. CET EXAMEN COMPORTE 9 PAGES, Y COMPRIS CELLE-CI. S.V.P. retourner l examen complet à l enseignant en charge à la fin de la période de 90 minutes.

2 PART A: QUESTIONS COURTES (Assurez-vous d écrire les réponses dans les boîtes correspondantes.) A1 À une station d autobus, un autobus part à 08h00 et un nouvel autobus part par la suite toutes les 7 minutes. À quelle heure part le premier autobus après 09h00? A1 A2 Si l on mélange un litre de limonade qui contient 4% de citron avec deux litres de limonade qui contient 10% de citron, quel est le pourcentage de citron dans les trois litres du mélange résultant? A2 A3 La semaine dernière à la piscine, chaque jour il y avait dix personnes de moins que deux fois le nombre de personnes le jour précédent. Il y avait 130 personnes à la piscine le vendredi. Combien de personnes étaient à la piscine le mardi précédent? A3 A4 Étant donné le cercle ci-dessous ayant pour centre O, trouver l angle x en degrés. A4 x O 70 A5 Les boites de chocolats Firmamenthes contiennent 17 chocolats avec des centres durs et 5 avec des centres mous. Les boites Coeursucrées contiennent 7 chocolats avec des centres durs et 11 avec des centres mous. Si j achète une boite Firmamenthe, combien de boites Coeursucrées dois-je acheter pour que le nombre total de chocolats avec centres durs soit égal au nombre total de chocolats avec centres mous? A5 2 / 9

3 A6 Sagal et Xi quittent la maison en même temps pour aller marcher dans le parc qui est à 6km. Sagal marche à 1km/h pour 2 km, puis à 2 km/h pour 4 km. Xi marche à 1 km/h pour 4 km, puis à 2 km/h pour 2 km. Sagal arrive au parc à midi. À quelle heure Xi arrive-t il? A6 A7 Dans la figure suivante, le carré a un coin dans le centre du cercle et deux côtés sont tangents au cercle. Combien de fois plus grande est la superficie du cercle par rapport à la superficie du carré? A7 A8 Ci-dessous, les nombres {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} doivent être placés dans les neufs petits carrés de sorte que chaque nombre est utilisé une et une seule fois. Si la somme de chaque ligne et la somme de chaque colonne est au plus 15, quel doit être la valeur de x? A8 8 x 7 A9 Combien de triangles (avec superficie positive) peut-on trouver dont les trois sommets sont sur la grille 2 3 ci-bas? A9 3 / 9

4 PART B: RÉPONSES COMPLÈTES B1 Une grille égyptienne est un carré de nombres, où le chiffre 1 est le seul nombre dans l anneau extérieur, où le chiffre 2 est le seul nombre dans l anneau intérieur suivant, où le chiffre 3 est le seul nombre dans l anneau intérieur suivant, et ainsi de suite. Voici ci-bas les grilles égyptiènnes de taille 1, 2, 3, 4, 5, 6, respectivement. Quelle est la somme des entrées d une grille égyptiènne de taille 9? La réponse doit être un nombre entier / 9

5 B2 Archibald court autour d une piste circulaire de 300 mètres à une vitesse de 7 km/h, tandis que Beauregard court à 8 km/h. Supposons qu ils commencent en même temps et au même endroit, mais courent dans des directions opposées. (a) Combien de temps en minutes faut-il avant qu ils se rencontrent pour la première fois? (b) S ils continuent à courir, se rencontreront-ils à l endroit d où ils sont parti, et si oui, après combien de minutes? 5 / 9

6 B3 Il ya 2015 boules dans 1000 boites. (a) Chaque boite contient 1, 2, ou 3 boules. (b) Le nombre de boites contenant exactement une boule est supérieur à 308. (c) Le nombre total de boules dans les boites contenant plus d une balle est supérieure à Combien de boites contiennent exactement 1, 2, et 3 boules, respectivement? 6 / 9

7 B4 Un nombre prépair est un entier qui utilise chaque chiffre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} au plus une fois, commence et se termine par un seul chiffre qui est premier ou pair, et chaque paire de chiffres consécutifs forme un nombre à deux chiffres qui est premier ou pair. Par exemple, 8347 est prépair puisque son premier chiffre est pair, son dernier chiffre est premier, et toutes les paires de chiffres consécutifs (83, 34, 47) sont soit pairs ou premiers. D autre part, 8743 n est pas prépair puisque 87 n est ni pair ni premier. Le nombre 8343 n est également pas prépair car il a un chiffre répété. (a) Trouver un nombre prépair à quatre chiffres supérieure à Le plus grand votre nombre prépair à quatre chiffres, le plus de points vous pouvez gagner. (b) Trouver un nombre prépair qui est aussi grand que possible. Plus votre nombre est grand, plus de points vous pouvez gagner. 7 / 9

8 B5 Un carré de longueur d arête 2 est découpé en cinq morceaux: un carré de longueur d arête x, et quatre morceaux congruents, A, B, C, et D qui sont assemblés pour former un octogone régulier, c est-à-dire que tous ses huit arêtes sont de même longueur. (a) Quel esr x? (b) Quel morceau a la plus grand superficie? Le carré de longueur d arête x ou le morceau étiqueté par A? 8 / 9

9 B6 Ellie est sur son côté d un terrain de tennis (son côté est un rectangle ABCD de 4 mètres par 6 mètres), pratiquant son service du point milieu X de la droite de base AD. Quand il y a trois balles sur son côté, elle marche en lignes droites pour B 6 C les ramasser, de X à la première balle, puis à la deuxième balle, 4 A X D puis à la troisième balle et de retour à X. Par exemple, s il y avait deux balles à B et une à C, elle pourrait voyager XBBCX pour une distance totale de = 16 mètres, ou elle pourrait aller XBCBX sur une distance de = 22 mètres. (a) Supposons que les trois balles sont aux points A, B et C. Quelle est la plus courte distance qu Ellie pourrait marcher pour ramasser les trois balles? Quel est la plus longue distance qu Ellie pourrait marcher pour ramasser les trois balles? (b) Trouver des endroits pour placer trois balles sur le terrain afin que la proportion: distance la plus longue qu Ellie pourrait marcher distance la plus courte qu Ellie pourrait marcher soit au moins 1, 5. Plus la proportion que vous trouvez est grande, plus grande sera votre marque. (Pour un crédit supplémentaire, démontrer que votre proportion est la plus grand possible.) 9 / 9