CHAPITRE 1 L ÉLECTROSTATIQUE

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1 L électostatique Chapite 1 CHAPITE 1 L ÉLECTOSTATIQUE 1.1 Intoduction La chage est une popiété de la matièe qui lui fait poduie et subi des effets électiques et magnétiques. On distingue : - l'électostatique qui est l'étude des effets électiques céés pa des chages au epos; - l'électomagnétisme qui est l'étude des phénomènes électiques et magnétiques (les phénomènes magnétiques impliquent généalement des chages électiques en mouvement). 1. La chage électique On distingue deux types de chages électiques: les chages positives et les chages négatives. L'expéience monte claiement que : - les chages de même signe se epoussent ; - les chages de signes contaies s'attient. La matièe est constituée d'atomes (de ayon m), chaque atome étant fomé d'un noyau compact (de ayon m) contenant des potons de chage positive et des neutons électiquement neutes dont le ôle est essentiel à la stabilité des noyaux. Autou du noyau, des électons de chages négatives constituent des nuages de fomes diveses. Un atome neute possède un même nombe d'électons et de potons. Pa conséquent, la matièe est électiquement neute. On peut chage un cops ente autes pa fottement. La popotion des atomes de la suface d un cops qui pedent ou gagnent un électon est de l'ode de 1 su L'unité de la chage électique est le coulomb (C) La chage électique n'existe qu'en quantités discètes : elle est quantifiée. Dans le cade de ce cous, la gandeu de la chage élémentaie est celle de l'électon : e 1,6 x C 1-1

2 Chapite 1 L électostatique Die que la chage est quantifiée équivaut à affime que toute chage électique Q s'expime comme un multiple entie de e : Q n e où n est un entie L un des pincipes fondamentaux qui concene la chage électique est celui de la consevation de la chage qui s'applique aux systèmes isolés : La chage totale d'un système isolé este constante 1.3 Conducteus et isolants Un conducteu est un matéiau compotant une cetaine concentation d'électons libes susceptibles de se déplace facilement sous l effet d un champ électique (pou cée un couant, pa exemple). Les métaux et les solutions ioniques sont des milieux conducteus. Un gaz ionisé peut également ête considéé comme un milieu conducteu. Dans un isolant, il y a tès peu d'électons libes. Ils sont fotement liés à des sites moléculaies donnés (contaiement à un bon conducteu) et il faut leu donne beaucoup d énegie pou les libée et génée un couant électique. Le caoutchouc, les plastiques, le vee, la soie et le bois sont des isolants. emaque : La quantité d'électons libes est pécisément ce qui distingue les conducteus des isolants Un semi-conducteu se compote comme un isolant losqu'il est tès pu, mais on peut modifie son pouvoi conducteu en le dopant, c'est-à-die en y ajoutant des impuetés dans des popotions bien déteminées. Le gemanium, le coabone et le silicium sont des semiconducteus. 1.4 Loi de Coulomb La loi de Coulomb expime la foce ente chages ponctuelles ou que l'on peut considée comme telles. Il a fait la démonstation expéimentale que cette foce est invesement popotionnelle au caé de la distance ente elles. Sa connaissance de la loi d'attaction gavitationnelle ente deux masses l'a amené à déduie que cette foce était popotionnelle au poduit des chages en pésence. De toute façon, il n'était pas possible de mesue pécisément une chage électique à cette époque. 1-

3 L électostatique Chapite 1 Dans la figue, on a illusté le cas de chages ponctuelles, la chage souce + Q et la chage témoin + q. Tel qu'illusté, les foces su les chages sont épulsives dans ce cas. F Q + q + Q u Fq F q F Q k qq u k qq u et F Q F Dans l'expession des foces, la valeu de la constante k est k ( N m / C ) Elle s'expime souvent sous la fome q k 1 4πε0 où ε o 885, 10 1 est la constante de pemittivité du vide. F HG C N m I KJ La compaaison ente les foces électique et gavitationnelle ente un électon et un poton dans le cas de l'atome d'hydogène évèle que la foce électique est tès nettement dominante. C'est cette foce qui explique la stabilité des atomes, du moins en ce qui concene la liaison ente les électons et le noyau. Dans les applications concenant les faisceaux de paticules chagées (électon, poton, paticule alpha), la foce électique sea également dominante, de sote qu'on poua néglige la foce gavitationnelle D'aute pat, si on calcule la foce électique ente deux potons situés de pat et d'aute du diamète d'un noyau d'atome de fe, on touve envion 10 N, ce qui est considéable étant donné la masse des potons (1.67 x 10-7 kg). Le noyau devait donc éclate sous l'effet des 1-3

4 Chapite 1 L électostatique foces électiques de épulsion ente les potons. Pou explique la stabilité des noyaux, on est natuellement amené à postule l'existence des foces nucléaies (c'est l'une des conséquences diectes de l'intepétation de la loi de Coulomb dans le contexte des noyaux des atomes). L'ode de gandeu de cette foce est d'envion 100 fois celle de Coulomb, ce qui explique la stabilité des noyaux des atomes. Les neutons jouent un ôle impotant dans cette foce. 1.5 Le pincipe de supeposition On utilise le pincipe de supeposition pou calcule la foce ésultante su une chage témoin q due à un ensemble de chages souces Q, Q,..., Q,..., Q. 1 i n La foce su q due à Q i est donnée pa : F k qq i qq, i i u i O, le pincipe de supeposition s'applique aux foces, en paticulie pou le calcul de la foce ésultante, d'où : n n F F k qq i q q, Q u i i 1 i 1 i i Dans la plupat des execices du live de éféence, il faut se donne un système d'axes de éféence pou expime les composantes de chacune des foces et ensuite obteni l'expession vectoielle de la foce ésultante su une chage donnée. Lie les exemples 1.1, 1., et 1.3 du live de éféence. 1.6 Execices à faie dans le chapite 1 du live de éféence (Nouvelle ou ancienne édition) Execices # 3, 5,10,11,1,16 Poblèmes : 3, 6 et

5 L électostatique Chapite Execices ésolus Execices 1-1 Les sphèes de la figue de gauche de la figue qui suit sont faites de matièe isolante, identiques, de chages égales Q et de masses égales m. Du fait de leus chages, celles-ci se epoussent de sote que les fils de longueu L qui les etiennent font un angle θ avec la veticale. On demande l expession de la chage Q des sphèes en fonction des autes paamètes (θ, m, L), sachant qu elles sont en équilibe tel qu illusté dans la figue de gauche. Q L θ θ L Q T Y θ F elect Q X m m L sin( θ ) mg Solution La somme des foces su chacune des sphèes est nulle. Celles-ci sont epésentées dans la figue de doite. Les conditions d équilibe expimées dans le système d axes illustés donnent les elations suivantes : ST en X : F - Tsin( θ) 0 elect en Y : Tcos( θ) mg 0 T sin( θ) T cos( θ) S T F mg elect De ces elations, on tie donc tan( θ ) F elect mg 1-5

6 Chapite 1 L électostatique D'autes pat, la loi de Coulomb pemet d expime la foce électique ente les sphèes : F elect b kq afg Lsin θ Des denièes égalités, on obtient le ésultat cheché : Felect tan( θ) mg kq Felect Lsin θ b a fg b kq a fg Lsin θ mg tan( θ) Q ± L sin ( θ) mgtan( θ) k 4 Poblème 1.6 Deux petites sphèes métalliques identiques et distantes de 3 cm s attient l une l aute avec une foce de 150 N. On les elie povisoiement pa un petit fil conducteu. a) Si elles se epoussent maintenant avec une foce de 10 N, déteminez la chage initiale su chacune des sphèes. b) Déteminez la chage initiale su chaque sphèe si la foce épulsive est de 150 N apès les avoi mis en contact. On suppose que la chage est unifomément épatie su les petites sphèes. a) Avant de mette les sphèes en contact, la foce est attactive de sote que le poduit des chages est négatif. Alos, la loi de Coulomb pemet de poduie l égalité suivante : où d 0,03 m. kq Q d (1) 1-6

7 L électostatique Chapite 1 Apès le contact, la chage su chacune des sphèes est égale du fait que les sphèes sont identiques. La chage su chacune est donnée pa : Q ' ' 1 Q Q + Q 1 () Sachant que la foce est alos attactive et valant 10 N, l application de la loi de Coulomb donne l égalité où d 0,03 m. F k Q + H Q d 1 I K 10 (3) Les équations (1) et (3) peuvent ête ésolues pou détemine la valeu de la chage initiale su chacune des sphèes (Q1 et Q). Il suffit d isole Q dans (1) et substitue dans (3) pou touve une équation quadatique en Q 1. Pa suite, on touve : S T Q ± 3µ C avec Q m 5µ C 1 Q ± 5µ C avec Q m 3µ C 1 ou b) Avant de mette les sphèes en contact, la foce est épulsive de sote que le poduit des chages est positif. Alos, la loi de Coulomb pemet de poduie l égalité suivante : kq Q d (4) où d 0,03 m. Comme dans le cas pécédent, apès le contact, les chages su chacune des sphèes sont égales : Q ' ' 1 Q Q + Q 1 (5) 1-7

8 Chapite 1 L électostatique Cependant, la foce este épulsive et a pou valeu 10 N. On a donc k F HG Q + Q d 1 I K J 10 ( 6) Les équations (4) et (6) pemettent de détemine la valeu des chages initiales. On touve S T Q ± 160, µ C avec Q ± 935, µ C 1 Q ± 935, µ C avec Q ± 160, µ C 1 ou 1-8

9 Le champ électique Chapite.1 Intoduction CHAPITE LE CHAMP ÉLECTIQUE La loi de Coulomb pemet de calcule la foce ésultante d'un ensemble de chages ponctuelles souces su une chage témoin donnée. Cependant, la notion de foce implique dans ce cas l intéaction de deux chages électiques. Elle n appote pas une éponse satisfaisante à ce qui caactéise une chage électique ou un cops potant une chage. Le concept de champ électique est intoduit, ente autes, pou appote une éponse à cette question. Cette éponse se ésume comme suit : - Une chage électique ou un cops potant une chage électique poduit dans son voisinage ce que nous désigneons pa champ électique. De plus, il existe un appot étoit ente la géométie de la distibution des chages et la géométie du champ. - La foce électique su une chage témoin placée dans un champ électique se déduit facilement si l'expession du champ électique est connue. Il est possible, dans cetains cas, de calcule la foce su un cops chagé placé dans un champ électique. - Pou cetaines applications, la deuxième loi de Newton pemet alos de déduie la tajectoie de la paticule chagée dans un champ électique. Cette appoche implique qu'il faut défini la notion de champ électique et développe les outils pou le calcule et le visualise. C'est l'un des pincipaux objectifs des chapites, 3 et 4. Il convient finalement de signale que nous allons esteinde le calcul du champ électique aux distibutions de chages que nous désigneons pa configuations couantes, ce qui éfèe à la "géométie" des distibutions de chages utilisées dans la conception de cetains appaeils et plus généalement dans les applications techniques. -1

10 Chapite Le champ électique. Définition du champ électique La figue qui suit illuste le point de vue énoncé dans l'intoduction : la chage souce distibuée + Q poduit un champ électique au point P de son voisinage. Si on place une chage témoin +q en ce point, une foce électique s'execea su celle-ci. +Q P E( P) +Q P Fq qe( P) Le champ électique poduit pa la chage Q au point P est défini pa : b g EP F q bg P q De sa définition, on déduit que le champ électique est la foce pa unité de chage et s'expime en newton pa coulomb (N/C) dans le système MKS. Cette définition s'applique en tous points de l'espace dans le voisinage de la chage souce Q. La chage q est considéée comme chage témoin et on la suppose positive pou établi la diection du champ électique. On fait également l hypothèse qu'elle est assez petite pou ne pas petube la distibution de la chage Q et, pa conséquent, le champ poduit pa celle-ci. Dans ce qui suit, on laisse tombe l'indice "q " dans l'expession de la foce. Les emaques qui suivent sont impotantes. 1. Comme la chage témoin q est positive, la diection du champ coïncide avec celle de la foce su celle-ci.. Le champ électique est un champ vectoiel. À chaque point de l'espace dans un champ électique, on associe donc un vecteu dont la gandeu et la diection caactéise le champ électique. 3. On peut visualise les lignes du champ électique du moins dans le cas des distibutions de chages simples. Le champ électique est tangent à chaque point d'une ligne de champ de même que la foce électique su une chage ponctuelle placée en un point de celles-ci. -

11 Le champ électique Chapite 4. Si l'expession du champ est connue, on peut détemine celle de la foce su une chage témoin : F qe 5. Dans plusieus applications, la seule foce su une paticule de masse m et de chage q à pende en considéation est la foce électique, ca habituellement, elle est nettement dominante. Dans ces conditions, la deuxième loi de Newton s'écit : ma qe Si on développe cette équation vectoielle suivant ses composantes dans un système d'axe XYZ en tenant compte des conditions initiales, cela nous amène à ésoude le système d'équations difféentielles suivant : m d x dt qe m d y qe dt m d z qe dt x y z a a a x, y, z x, y, z x, y, z f f f xaf 0 x0 avec y 0 y et af zaf 0 z 0 0 S T vxaf 0 v vyaf 0 v vza0f v x0 y0 z0 dont la solution est l'équation de la tajectoie de la chage ponctuelle q. Sous fome vectoielle, l'équation de la tajectoie s'écit : a f a f a f a f t xti+ yti+ ztk où x(t), y(t) et z(t) sont les solutions du système ci-haut. Dans le cas d'un champ électique unifome, l'accéléation d'une paticule chagée est constante. Cela nous amène à l'étude du mouvement unifomément accéléé dans le plan si on choisit convenablement note système d'axes (dans ces conditions, le mouvement se fait dans un plan). -3

12 Chapite Le champ électique.3 Méthodes de calcul du champ électostatique Ces méthodes sont les suivantes : 1. Calcul du champ d'une chage ponctuelle. Calcul du champ d'une chage distibuée (pa intégation) 3. Calcul du champ avec le théoème de Gauss (objet du chapite 3) 4. Calcul du champ électostatique à pati de l'expession du potentiel (chapite 5. Le pincipe de supeposition 6. Le champ électique à l'intéieu et à la suface d'un conducteu (ésultats expéimentaux) Ces méthodes seont utilisées pou calcule le champ électique des configuations couantes (méthodes et 3 sutout), c'est-à-die celles qu'on etouve souvent dans l'envionnement et dans les applications techniques. Le pincipe de supeposition vient compléte le tableau, notamment losque le champ électique dans une potion de l'espace est généé pa plus d'une configuation de chages. Dans ces conditions, il faut "supepose" les champs généés pa chacune des configuations, ce qui, essentiellement, signifie faie l'addition vectoielle des champs généés pa chacune de celles-ci..4 Calcul du champ d'une ou de plusieus chages ponctuelles Pou une chage ponctuelle Q, on utilise la loi de Coulomb qui donne la foce su une chage témoin q placée dans son voisinage, et la définition du champ électique pou détemine le champ électique à une distance de celle-ci : d'où l'on tie : F q q kq u F qe F H G I K J q E kq u E kq -4

13 Le champ électique Chapite Dans le cas de plusieus chages ponctuelles Q 1, Q,..., Q i,...q n, le champ électique ésultant en un point P placé dans le voisinage de celles-ci est obtenu en calculant d'abod l'expession vectoielle du champ de chacune des chages ponctuelles dans un système d'axes appopié : kqi Ei u i où i désigne la distance ente la chage Q i et le point P. i Q 1 u 1 1 u P Q u i i n Q i u n Q n On applique alos le pincipe de supeposition pou obteni le champ ésultant : af af n n kqi EP Ei P u i i 1 i 1 i Cette fomule généale donne l'expession du champ ésultant. Cependant, en teme calculatoie, le calcul du champ s effectue dans un système d axes appopié. Chacun des champs se supeposant, et, pa suite, le champ ésultant doivent ête expimés dans ce système d axes. emaque : Lie l'exemple.3, page 3 du live de éféence (ex.., page 19, ancienne édition) Si l'expession du champ ésultant est obtenue en coodonnées ectangulaies, sa gandeu se calcule comme suit : x y z E( P) E ( P) + E ( P) + E ( P) -5

14 Chapite Le champ électique Application : Champ électique d'un dipôle, su la médiatice (voi la figue qui suit) Y +Q a x X E E a + kaq -Q E E+ + E j 3 c x + a h Execices suggéés su les chages ponctuelles : execices 3, 5, 11, 13 et 17 du chapite du live de éféence.5 Calcul du champ d'une chage distibuée La fomule qui suit pemet d'obteni le champ d'une chage Q distibuée qui ne peut ête considéée comme chage ponctuelle. Cette fomule utilise le ésultat obtenu pou une chage ponctuelle conjointement avec le pincipe de supeposition. Q dq P de P u b g Ω Pa éféence à la figue, la contibution de l'élément de chage dq au champ total en P est donnée pa : kdq dech P u -6

15 Le champ électique Chapite Le champ ésultant en P est alos donné pa : kdq S EP ch z dep chz Ω T où Ω désigne la configuation ou la géométie de la distibution de chage. u Les ésultats pou les configuations couantes, dont le champ se calcule avec cette méthode, sont pésentés ci-dessous. Dans chaque cas, dans les figues, on suppose une chage positive su le cops chagé pou y tace la diection du champ; dans ces conditions, la diection du champ pou une chage est tout simplement la diection invese de celle epésentée. 1. Champ électique dans l'axe d'un anneau mince potant une chage Q. Y Q a Ex b g X kqx Ex b g x + a d i 3 i. Champ électique dans l'axe d'un disque avec densité sufacique σ(c/m ) unifome. Y σdc/ m a x i E X L NM E πkσ 1 d a x + x O 1 i QP i -7

16 Chapite Le champ électique emaque : La chage totale su le disque est donnée pa Q σπa i. Si on donne la chage totale du disque, Q et son ayon a, la densité sufacique est donnée pa σ Q πa. d Il faut considée les cas limites "loin du disque" et "pès du disque". Si x, on etouve, apès l'évaluation de la limite : E E kq x i kq x Ce ésultat coïncide avec celui obtenu pou la chage ponctuelle et il était pévisible. Si x 0, on touve, apès l'évaluation de la limite, l'expession du champ dans le voisinage d'un plan avec une densité sufacique σ (C/m ) unifome : E E σ ε σ ε 0 0 i emaque : Les ésultats des cas limites qui pécèdent doivent ête intepétés pa appot à la figue ci-haut. Dans le cas de l appoximation pès du disque, on emaque que le champ devient unifome et ne dépend pas de la position. L'expession obtenue poua ête utilisée pou le calcul du champ électique dans le voisinage d'un plan chagé de gande dimension, pouvu que ce ne soit pas pès des bods. Dans le cas de plusieus plans chagés, le champ ésultant se calcule avec cette expession et le pincipe de supeposition. -8

17 Le champ électique Chapite 3. Champ dans le voisinage d'un fil de longueu finie L potant une chage Q unifomément épatie su sa longueu (ce qui équivaut à une densité linéaie de b g ). chage λ Q L C/ m λ Q L L E k λ b sin α sin α i + cos α cos 1g b α1gj α α 1 E La convention su les angles α i qui s'applique au ésultat de la figue est pésentée dans la figue qui suit : α 0 α > 0 α < 0 P -9

18 Chapite Le champ électique emaque : Voici des cas paticulies de fils chagés dont le champ électique se déduit de l'expession qui pécède. 3.1) Champ du long fil : Dans ce cas, α E π π et α 1 k λ 3.) Champ d'un "demi fil infini" ( les cas de la figue), d'où α1 0 λ π E α k e i j E j E -π α1 λ E + α 0 k e i j j Dans chacun des cas de la figue, le champ fait un angle de 45 o avec l'hoizontale. 3.3) Champ su la médiatice d'un fil de longueu finie. Q α E L X α x kλ E sin α où λ x Q L emaque : Faie le poblème #7 du chapite. -10

19 Le champ électique Chapite 4. Champ à une distance x de l'extémité et dans l'axe d'un fil de longueu L potant une chage Q E y Q x L kq E i xx b + Lg e j x L E kq xl i kλ et si, e j i x e j 5. Champ au cente d'un secteu d'anneau d'angle θ et de ayon potant une chage Q unifomément épatie. λ C/ m θ θ E E F H G θ I sin KJ kλ En paticulie, si θ k π( cas du demi-cecle) alos E λ -11

20 Chapite Le champ électique.6 Champ électique à l'intéieu et à la suface d'un conducteu Les ésultats qui suivent se véifient pa l'expéience. a) Dans les conditions statiques, le champ électique (macoscopique) est nul à l'intéieu d'un conducteu. Losqu'un conducteu est placé dans un champ électique extéieu, il se poduit une econfiguation des électons libes dont l'effet, combiné avec celui des atomes auxquels ils manquent un (ou des) électon(s), est de génée un champ "intéieu" qui se supepose au champ extéieu pou l'annule. Dans le cas contaie, le champ extéieu continue à opée cette econfiguation jusqu à l état d équilibe, celui-ci se taduisant pa un champ électique nul dans le conducteu. De plus : b) Dans les conditions d'équilibe statique, le champ électique est pependiculaie en tout point de la suface d'un conducteu. c) Dans les conditions d'équilibe statique et dans le cas d'un conducteu homogène, la chage nette que pote celui-ci se épatit su sa suface..7 Le pincipe de supeposition Ce pincipe set à calcule le champ électique ésultant généé pa plusieus chages ponctuelles ou plusieus configuations de chages électiques. On peut le ésume comme suit : soit c1, c,..., cn, nconfiguations de chages qui poduisent en un point P des champs E ( P), E ( P),..., E ( P) espectivement. Le champ ésultant en P est alos donné pa : 1 n n E E1 P + E P En P Ei P i 1 ch ch ch ch -1

21 Le champ électique Chapite Exemple λ (C/m) EP ( ) P 45 o d d Q d/ d La figue illuste une tige de longueu finie située dans le plan de la page potant une densité linéaie de chage connue de λ (C/m) et un anneau situé dans un plan hoizontal potant une chage inconnue Q. Les dimensions sont indiquées dans la figue. a) Déteminez sépaément les expessions vectoielles et la gandeu des champs de la tige et de l anneau au point P. b) Sachant que le champ ésultant EP ( ) en P fait un angle de 45 avec l hoizontale, déteminez l expession de la chage su l anneau en fonction des paamètes λ et d. Solution a) Le champ électique ésultant au point P de la figue est la somme vectoielle de celui de la tige ( E t ( P) )et de l anneau ( E a ( P) ): E( P) E ( P) + E ( P) t a La détemination du champ ésultant exige donc la détemination du champ de chacune des deux configuations en pésence. C est l objectif de cette question. Dans le cas de la tige, il faut se éfée au cas 3.3 de la section qui pécède et l adapte dans le contexte de l exemple : -13

22 Chapite Le champ électique λ( C) su la tige x d o α 45 kλ o Et ( P) sin( 45 ) d E ( P) t k λ i d kλ 1 d F H G I K J F H G I K J Une démache similaie dans le cas de l anneau donne : S T QC ( ) su l'anneau d a x d E a E a ( P) ( P) F HG F F HG HG d 4 d 4 kqd + d kqd + d I KJ I KJ 3 3 I KJ j b) Pou éponde à cette question, il faut pende en considéation que le champ ésultant est donné pa E( P) E ( P) + E ( P) t a et que celui- ci fait un angle de 45 o. Les composantes X et Y du champ ésultant sont donc égales. Considéant les ésultats obtenus en (a), on obtient l égalité qui pemet de détemine l expession de la chage su l anneau. F HG d 4 kqd + d I KJ 3 k d λ 5 o Q λ d ( C) 4 F H G I K J 3-14

23 Le champ électique Chapite Les execices suggéés su le pincipe de supeposition sont les suivants : Les execices 35, 37, 40 et 41, ainsi que les poblème 18 et du chapite..8 Mouvement d'une paticule chagée dans un champ unifome Dans un champ électique unifome, l'accéléation de la paticule est constante. La e loi de Newton donne les ésultats qui suivent : qe ma q E a m constante et a a x y qe m qe m x y De plus, le mouvement de la paticule peut alos ête décit dans un plan. Les équations du mouvement unifomément accéléé dans le plan sont les suivantes: S T En X En Y S a x cte v t v + a t bg b g x 0x x 1 xt x0 + v0xt+ at x bg a y cte v t v + a t b g y 0y y 1 yt y0 + v0y t+ ay t -15

24 Chapite Le champ électique Souvent, dans les applications (execices à la fin du chapite ), l'accéléation est en "Y" seulement ( a x 0 ). En généal, pou ésoude, il faut écie coectement les équations qui pécèdent dans un système d'axes appopiés en y intégant les conditions initiales. Il faut de plus intepéte coectement une (ou des) condition(s) paticulièe(s) à especte et la (les) taduie coectement dans le contexte des équations ci-dessus et du système d'axes choisi. Pou cetains execices, les équations qui suivent qui découlent de celles ci-dessus (le système d équations de la pages pécédente) peuvent ête tès utiles. Elles elient les vitesses finales en x et y aux vitesses initiales en x et y, aux déplacement en x et en y ainsi qu aux accéléations en x et y espectivement : vfx vox + ax ( x xo) v v + a ( y y ) fy oy y o Les execices suggéés su le mouvement d'une paticule chagée dans un champ électique unifome sont les suivants : les execices # 9, 33, 34 ainsi que les poblèmes 16 et 17 du chapite..9 Execices et poblèmes suggéés dans le chapite Execices # 3, 5, 11, 17, 9, 33, 35, 37, 38, 39, 40 et 41 Poblèmes #, 7, 13 et 17-16

25 Le théoème de Gauss Chapite 3 CHAPITE 3 LE THÉOÈME DE GAUSS 3.1 Intoduction Le théoème de Gauss établit une elation ente le flux du champ électique à taves une suface femée et la chage à l'intéieu de cette suface. Cette elation, qui n'est ien d'aute que la pemièe équation de Maxwell, a les popiétés suivantes : - elle eflète les popiétés généales des champs électiques et ne se limite pas aux champs électostatiques (contaiement à la loi de Coulomb); - elle pemet de détemine simplement et de manièe élégante l expession du champ électostatique céé pa les distibutions de chages qui pésentent une symétie appopiée (sphéique, cylindique, plan, etc.). - elle pemet de faie la démonstation que la chage nette d'un conducteu en équilibe électostatique est située à la suface de celui-ci. emaque : Comme on le vea plus loin, le champ électique peut compote une composante qui n'est pas associée à des chages électiques (champ électique induit pa un champ magnétique vaiable, pa exemple). L'inclusion de cette composante n'invalide pas le théoème de Gauss. 3. Flux du champ électique Pemie cas : E unifome et pependiculaie à une suface plane A. C'est le cas illusté dans la figue qui suit. S T E à la suface E A E Φ E A EA E E A 3-1

26 Chapite3 Le théoème de Gauss Deuxième cas : E unifome et non pependiculaie suface plane A ( E pas // à Φ E E A EA cosbθg A ) A A θ θ E θ E Toisième cas : E quelconque ( pas nécessaiement unifome ) et suface S quelconque. S A i Ei A j E j Pou le calcul du flux dans ce cas, il faut découpe la suface (cf. fig) de manièe à pouvoi utilise les ésultats qui pécèdent pou des sufaces planes. L'élément de flux du champ à taves l'élément de suface A i est donné pa : Φ E A i i i d'où l'on tie l'expession appoximative pou le flux : n n Φ Φ Ei A i E i i 1 i 1 3-

27 Le théoème de Gauss Chapite 3 Cette expession est appoximative ca le découpage de la suface n'est pas suffisamment fin pou que le champ soit unifome su chacun des l'élément de suface et de plus, l'élément de suface n'est pas tout à fait plan. Pou obteni l'égalité, il faut pende le passage à la limite n A i 0 n Φ lim E A E da E z i i n i 1 S z Φ E E da S La limite dans l'expession ci-haut coespond à la définition de iemann de l'intégale de suface. Cette méthode de calcul du flux du champ électique à taves une suface s'applique à tous les cas, notamment ceux qui pécèdent (champs unifomes). Faie l'execice 3 du chapite Le théoème de Gauss Le théoème de Gauss elie le champ électique su une suface femée à la chage nette à l'intéieu de cette suface. Plus pécisément, le flux du champ électique Φ E à taves une suface femée S multiplié pa la constante ε 0 est égal à la chage nette q s située à l'intéieu de cette suface. q s ε 0 Φ E ou encoe : z qs ε 0 E da s Le cecle su l'intégale indique que la suface S doit ête femée. On appelle "suface de Gauss" la suface S d'intégation. 3-3

28 Chapite3 Le théoème de Gauss Le théoème de Gauss est utile pou calcule le champ électostatique à condition que la distibution de chages pésente des popiétés de symétie pemettant de choisi des sufaces (d intégation) de Gauss S pou lesquelles l intégale se fait simplement et sutout, qu il soit possible d en tie une expession pou le champ électique dans le voisinage de la distibution de chage. En patique, l'utilisation judicieuse du théoème de Gauss pou le calcul du champ epose su les tois points qui suivent : a) l'utilisation de la symétie de la distibution de chage pou établi la configuation des lignes de champ; b) le choix d'une suface de Gauss pou laquelle E est soit pependiculaie l'élément de suface, c'est-à-die paallèle au vecteu da E da EdA soit paallèle à la suface, c'est-à-die pependiculaie à da E da 0 e j, e j ; c) su la (ou les) patie(s) de suface où E est paallèle à da, l'intensité de E doit ête constante. Alos, su celle(s)-ci : z z E da E da s Dans le cade de ce cous, nous utilisons le théoème de Gauss pou les distibutions de chages à symétie sphéique et cylindique. Dans le cas des distibutions su des sufaces planes, les ésultats du chapite incluant le pincipe de supeposition suffisent. 3.4 Calcul du champ électique avec Gauss 1) Distibutions à symétie sphéique Les distibutions visées sont les suivantes : - chage ponctuelle - chages distibuées su des cops sphéiques - chages distibuées su des sphèes concentiques s - chage distibuée pou laquelle la densité volumique s'expime en coodonnées sphéiques en fonction de la seule vaiable : ρ ρ () 3-4

29 Le théoème de Gauss Chapite 3 Pou ces distibutions, les sufaces de Gauss (S) sont des sufaces sphéiques (de ayon ) centées su les distibutions sphéiques et le flux, étant donné que la symétie donne : S T E E da cte Dans ces conditions, le calcul du flux donne z E da Ec4π Le théoème de Gauss peut donc s'écie simplement : s qs ε 0 E 4π c où q s désigne est la chage nette à l'intéieu de la suface sphéique de ayon. De cette égalité, on peut déduie le champ E() où désigne la vaiable distance ente le point on l'on calcule le champ et le cente de la distibution. h h ) Distibutions à symétie cylindique Dans le cas de ces distibutions, il faut évite les effets de bod qui se manifestent su les bouts et qui viennent bise la symétie. Dans ces conditions, il faut spécifie que le théoème de Gauss pemet de calcule le champ électique dans le voisinage des longs fils où cylindes, loin des bouts, ou dans la patie centale et à poximité dans les cas où ceux-ci sont de longueu finie. Les distibutions considéées sont les suivantes: - chage unifomément épatie su long fil doit (mince) ; - chage unifomément épatie su un long fil cylindique conducteu ou non ; - câble coaxial ; - chage distibuée dans un espace ayant la fome d'un long cylinde dont la densité volumique s'expime en fonction de la seule vaiable distance à l'axe de symétie ( ), en coodonnées cylindiques. ρ ρ() 3-5

30 Chapite3 Le théoème de Gauss Pou ces distibutions, les aguments de symétie qui s'appliquent dans leu voisinage, loin des bouts, nous amènent à choisi des sufaces de Gauss cylindiques de longueu l et de ayon, dont l'axe coïncide avec celui des cops cylindiques chagés. De plus : S T E da E da E da E est constant E da E da 0 su le tou de la suface cylindique su les bouts de la suface cylindique Pa conséquent, pou ce choix de suface, le calcul du flux se fait en ne considéant que le tou de la suface cylindique z E da Ea π lf " tou cyl" Donc, pou ces distibutions, le théoème de Gauss s'écit qs ε 0 E πl où q s est la chage nette à l'intéieu de la suface cylindique de longueu l et de ayon. Comme dans le cas des distibutions à symétie sphéique, on peut obteni l'expession du champ électique dans le voisinage de la distibution de cette égalité. a f 3.5 Le théoème de Gauss et les conducteus Dans le cas d'un conducteu plein chagé, potant un excès de chage Q, le théoème de Gauss pemet de véifie l'hypothèse suivant lequel cet excès de chage se touve su la suface extéieue du conducteu. Il est véifiable expéimentalement que le champ électique est nul à l'intéieu d'un conducteu. Cela implique que toute suface de Gauss (femée) pise à l'intéieu du conducteu ne doit pas conteni de chage, sinon le champ électique ne sauait ête nul dans le conducteu, contedisant ainsi les données expéimentales. La chage nette su la suface extéieue se dispose de sote que le champ électique est pependiculaie à la suface du conducteu 3-6

31 Le théoème de Gauss Chapite 3 Dans le cas d'un cops conducteu avec cavité, potant une chage nette Q, il faut abode le poblème de la même façon : il faut pati du fait que le champ est nul dans la patie conductice de celui-ci : - s'il n'y a pas de chage dans la cavité, la chage Q se etouve su la suface extéieue; - s'il y a une chage q dans la cavité, celle-ci induit une chage -q su la paoi de la cavité de sote que toute suface de Gauss pise dans la patie conductice et englobant la cavité contient une chage nulle (seule possibilité pou explique que le champ est nul dans la patie conductice). Dans ce cas également, on touve la chage nette Q (dans laquelle est pise en considéation la chage q dans la cavité) su la suface extéieue de celui-ci. On peut ésume les ésultats qui pécèdent ainsi : - tout excès de chage su un cops conducteu avec ou sans cavité se dispose de sote que le champ électique est nul dans la patie conductice de celui-ci ; - on etouve dans tous les cas la chage nette su la suface extéieue de celui-ci ; - le champ électique est pependiculaie en tout point de la suface d'un conducteu. 3.6 Calcul de la chage et elations associées Dans le cas de l'application du théoème de Gauss aux distibutions à symétie sphéique et cylindique, le membe de doite égalité obtenue est pafaitement déteminé. Il este à calcule le membe de gauche, c'est-à-die q s, la chage nette à l'intéieu de la suface d'intégation, pou ensuite déduie l'expession du champ. Cela nous oblige à décie les distibutions de chages en teme de densités linéaie, sufacique ou volumique suivant le cas. 3-7

32 Chapite3 Le théoème de Gauss 1. Pou les cops filifomes ou cylindiques, on invoque habituellement la densité linéaie pou décie la chage su ces cops. - Si on donne la chage totale Q et la longueu L : b λ Q L C/ m La chage d'une longueu l est alos donnée pa q g λbg l C - Dans le cas d'un cylinde conducteu de ayon, il est possible qu'on donne la densité sufacique σ puisque la chage se situe à la suface du conducteu. Alos, on monte facilement que la densité linéaie est donnée pa λ σaπ f ac/mf La chage d'une longueu l du cylinde est alos donnée pa q a σ π l f ac f - S'il s'agit d'un cylinde non-conducteu de ayon avec chage unifomément épatie avec densité volumique ρ ( C/m 3 ), alos : λ ρcπ h a f C/m La chage d'une longueu l d'un cylinde de ayon est donnée pa c h q ρ π l 3-8

33 Le théoème de Gauss Chapite 3 ) Pou les cops sphéiques - Dans le cas d'une sphèe conductice de ayon, la chage nette Q se touve à la suface, de sote que la densité sufacique est donnée pa : σ Q 4π C/m c h - dans le cas d'une sphèe non conductice de ayon unifomément chagée ( chage Q ), la densité volumique est donnée pa : ρ F H G Q C/m 3 4π I 3 3 KJ c h Dans ce cas, la chage à l'intéieu d'une suface sphéique de ayon < est donnée pa q ρ F HG Q 4π I KJ avec ρ avec Q Execices suggéés du chapite 3 Les execices 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 0, 1,, 3, 4, 5, 7,30 et 31 et les poblèmes 3, 6 et

34 Chapite3 Le théoème de Gauss 3.6 Execice ésolu Application du théoème de Gauss en symétie sphéique La figue illuste une sphèe métallique de ayon a (m) potant une chage +Q, placée au cente d'une coquille sphéique de ayons intéieu b (m) et extéieu c (m) espectivement, et potant une chage + Q. +Q c b a +Q a) Calcule le champ électique en fonction de, où désigne la distance au cente. b) Calcule les densités sufaciques σ int et σ ext coquille sphéique. su les paois intene et extene de la Solution a) En symétie sphéique, le théoème de Gauss s'expime simplement comme suit : q ε E( 4π ) s Pou < a, le champ électique est nul, pace qu'on est dans un conducteu. o < a E()

35 Le théoème de Gauss Chapite 3 Pou a b: q + Q ε E( 4π ) s Q E () 4πε o o Pou b < < c le champ électique est nul, pace qu'on est dans un conducteu. b < < c E() 0 Pou c : q + Q + Q ε E( 4π ) s 3Q E () 4πε o o b) Pou que le champ soit nul dans la coquille sphéique conductice, il faut que toute suface sphéique femée de ayon b < < c pise dans celle-ci englobe une chage nette nulle. On en déduit que la paoi intene pote une chage -Q de sote que σ Q int 4π ( C/m ) b Comme la chage nette que pote la coquille est +Q, la chage nette que pote la paoi extene de la coquille doit ête de +3Q, de sote que σ ext Q +3 ( C/m ). 4π c 3-11

36 Le potentiel électique Chapite 4 CHAPITE 4 LE POTENTIEL ÉLECTIQUE 4.1 Intoduction Ce chapite pote su la notion de potentiel électique (souvent désigné pa potentiel) associé à une chage souce. Cette notion pemet le calcul de l'énegie potentielle d'une chage témoin plaçée dans le voisinage de la chage souce. Le fait que la foce électostatique soit consevative nous pemet de défini la notion d'énegie potentielle électique et d'applique la loi de la consevation de l'énegie aux poblèmes d'électicité. C'est l'une des pincipales justifications à ce chapite. Avec l'ajout de cette définition, on dispose, en électicité comme en mécanique, de appoches pou l'analyse des systèmes physiques: 1) définition et utilisation de la notion de foce électique dans le cade des lois de Newton; ) définition et utilisation de la notion d'énegie potentielle électique dans le cade du pincipe de la consevation de l'énegie. De plus, la notion de difféence de potentiel est fondamentale à l'analyse des cicuits électiques. Le potentiel d'une chage souce, comme le champ électique qu'elle poduit, est une popiété des points de l'espace dans le voisinage et ne dépend que de cette chage souce. Le champ électique d'une chage souce peut ête décit soit pa une gandeu vectoielle, le champ électique, soit pa une gandeu scalaie, le potentiel. Ces deux notions sont étoitement liées et l'utilisation de l'une ou de l'aute pou ésoude un poblème donné n'est, dans la plupat des cas, qu'une question de commodité. Cependant, la natue scalaie du potentiel en fait une notion souvent plus facile à manipule que le champ électique (de natue vectoielle) pou l'analyse des systèmes physiques. 4. Définition du potentiel La difféence de potentiel ente deux points A et B dans le voisinage d'une chage souce se définit dans le pocessus qui suit : on déplace une chage témoin q de A à B dans le voisinage de celle-ci pa l'entemise d'un agent extéieu en la gadant toujous en équilibe avec le milieu. Cela se taduit pa F i 0 i 4-1

37 Chapite 4 Le potentiel électique Dans ces conditions, la vitesse de la chage témoin est constante, de même que son énegie cinétique. Le tavail W ext effectué pa l'agent extéieu appaaît alos sous fome d'une vaiation de l'énegie potentielle de la chage témoin, puisque son énegie cinétique est constante. Pa conséquent : Wext U On définit la difféence de potentiel électique ente les points A et B pa V V V V V V B B ou De la deuxième elation, on peut elie la difféence d'énegie potentielle à la difféence de potentiel : A A U q V W q ext U q V B V A U B U q A emaque Le tavail W ext peut ête (a) positif, (b) négatif ou (c) nul, ce qui signifie que le potentiel au point B est (a) plus élevé, (b) moins élevé ou (c) égal au potentiel au point A. L'unité de la difféence de potentiel comme celle du potentiel est le volt (V) (1 volt 1 joule / 1 coulomb ) et se déduit de la denièe équation de la emaque 1. Pou défini le potentiel V(P) en un point P dans le voisinage d'une chage souce, il faut choisi (pafois abitaiement) le point A de sote que V A 0 et emplace B pa P pou désigne un point dans le voisinage de celle-ci. Le potentiel de la chage souce est alos donné pa b g V P Wext q 4-

38 Le potentiel électique Chapite 4 Nous obtenons ainsi la fonction "potentiel" associée à une de chage souce comme fonction de la position. Définition : Le potentiel électique en un point P situé dans le voisinage d'une chage souce est donné pa le tavail pou déplace à vitesse constante une chage témoin q d'un point de potentiel nul au point P considéé, divisé pa la chage q. Le potentiel d'une chage électique est un champ scalaie. En chaque point du voisinage de la chage, le potentiel attibue une valeu numéique (un scalaie) s'expimant en Volts. emaque : Le tavail, dans le contexte de la définition qui pécède est égal à l'énegie potentielle donnée à la chage témoin q. En chaque point du voisinage de la chage souce, le potentiel peut s'intepéte comme l'énegie potentielle pa unité de chage en ce point. L'énegie potentielle d'une chage témoin q située en un point P situé dans le voisinage d'une chage souce est donnée pa b g UP b g qvp On compend alos l'impotance du potentiel dans le contexte du pincipe de la consevation de l'énegie. Si l'énegie totale est constante, on a l'égalité : Énegie initiale Énegie finale Dans le contexte des applications de ce chapite, on ne considèe que les énegies cinétique ( K ) et potentielle ( U ) de sote que le pincipe de la consevation de l'énegie découlant de la denièe égalité s'écit : Ui + Ki Uf + Kf S ou 1 1 qv + mv qv + mv T i i f f 4-3

39 Chapite 4 Le potentiel électique Une aute application consiste à considée les cas pou lesquels un tavail extéieu est effectué su une chage électique. Dans ces conditions, la elation ente ce tavail et les vaiations d'énegie qu'il engende est donnée pa : W U + K ( qv qu ) + ( K K ) ext f i f i L'application des elations qui pécèdent epose su la connaissance du potentiel électique associé aux chages souces. Pou calcule le potentiel associé à une chage souce donnée, il faut d'abod elie les notions de champ électique et de potentiel électique associés à celle-ci. 4.3 elation ente le potentiel et le champ électique +Q F ext +q dl qe B A Pou déplace une chage q à vitesse constante d'un point A à un point B dans le voisinage d'une chage souce (voi la figue), il faut exece su celle-ci une foce extéieue qui doit compense exactement la foce électique ésultant de l'action du champ associé à la chage souce. On a donc : v cte F + qe F ext ext qe 0 4-4

40 Le potentiel électique Chapite 4 Le tavail extéieu pou déplace la chage q d'un point A à un point B est donc donné pa : B B W F dl qe dl ext z z A ext A Comme : V B W VA q ext nous touvons l'expession suivante pou la difféence de potentiel : zb VB VA E dl A Cette expession sea tès utile pou le calcul des difféences de potentiel. Elle le sea également pou calcule le potentiel associé à une distibution de chages puisqu'il suffit de choisi le point A de sote que V A 0. Alos : zp Vbg P E dl " A" Cette fomule elie fomellement le potentiel au champ électique associé à une chage souce quelconque, qu'elle soit ponctuelle ou distibuée. Cette fomule est l'une des techniques utilisées pou la détemination du potentiel d'une chage souce. Mais avant d'établi les autes techniques de calcul du potentiel intoduites dans ce cous, il convient d'examine la elation ente le champ électique et le potentiel. 1. Le potentiel d'une chage souce donnée peut ête epésenté gaphiquement pa des sufaces équipotentielles (lieu de tous les points de même potentiel). Les lignes du champ électique de cette même chage souce sont pependiculaie aux sufaces équipotentielles, de sote que la connaissance de l'une des epésentation pemet de déduie l'aute et vice vesa. 4-5

41 Chapite 4 Le potentiel électique. Si on obtient le potentiel pa "intégation" du champ électique : zp Vbg P E dl " A" on obtient le champ électique pa "déivation" du potentiel. En éalité, le champ électostatique est un champ vectoiel qui, comme tous les champs consevatifs, admet une fonction potentielle dont il est le gadient. Le champ électostatique est un champ de gadient: E V En paticulie, dans le cas des distibutions à symétie cylindique et sphéique, le potentiel est une fonction de la seule vaiable "", de sote que : a f dv E d dv E af d u T En patique, connaissant le champ électique, on peut détemine le potentiel et, connaissant le potentiel, on peut détemine le champ électique. 4.4 Méthodes de calcul du potentiel électique Méthode 1 La pemièe méthode consiste à elie le calcul du potentiel au champ électique comme dans la section qui pécède : zp Vbg P E dl Pou applique cette méthode, il faut en pincipe connaîte les techniques d'intégale de ligne. Cependant, son utilisation est gandement simplifiée pa les considéations suivantes. " A" 4-6

42 Le potentiel électique Chapite 4 1. Le champ électostatique est consevatif. Dans ces conditions, l'intégale de ligne z C( A B) E dl est indépendante du choix de la coube eliant les points A et B.. Les sufaces équipotentielles associées à des chages souces à symétie sphéique (chage ponctuelle ou de configuation sphéique) sont des sufaces sphéiques dont le cente coïncide avec celui de la distibution des chages. Dans le cas de celles à symétie cylindique (long fil doit, coaxial, etc), elles sont cylindiques et centées su l'axe de la distibution. Dans le cas des chages souces su de sufaces planes, elles sont des plans paallèles à celui de la distibution. Cela pemet de choisi le pacous d'intégation de manièe à simplifie l'intégale à faie avec cette méthode. 3. Dans le cas des chages souces à symétie sphéique ou cylindiques, les champs électiques ne dépendent que de la vaiable " ". L'intégale de ligne, pou le calcul des difféence de potentiel où pou celui du potentiel, peut se faie avec un choix de pacous tel que la seule contibution au calcul se fait su la patie adiale de celui-ci, dans le passage diect d'une équipotentielle à l'aute (voi la figue qui suit) : V V V b V a E d B z b A a a f z a f où A " A" 0 a f a f af V E d V Les fomules ci-dessus constituent une simplification impotante aux calculs des potentiels ou des difféences de potentiel associés à des chages souces dont la configuation est à symétie sphéique où cylindique. 4-7

43 Chapite 4 Le potentiel électique Les figues qui suivent expliquent sommaiement la natue de la simplification évoquée ci-dessus en illustant la «statégie d intégation». +Q E A a dl b B A a dl b B E Sphéique Cylindique 4. Du fait que le champ électique est nul dans un conducteu (dans les conditions statiques), tous les points à l'intéieu et su la suface d'un conducteu sont au même potentiel. Méthode La méthode pemet de taite le cas des chages ponctuelles. La méthode 1 peut ête utilisée pou le calcul du potentiel d'une seule chage ponctuelle Q. C'est un cas de distibution à symétie sphéique et pou toutes ces distibutions, le choix habituel du point A pou lequel le potentiel s'annule est situé à une distance infinie de la chage ( ). Dans ces conditions: b g V bg E z kq kq d kq ' b g V kq 4-8

44 Le potentiel électique Chapite 4 Dans le cas de n chages ponctuelles Q 1, Q,..., Q n, on applique le pincipe de supeposition. Les potentiels de chacune de celles-ci en un point P s'additionnent pou donne le potentiel en ce point: b g V P V P n i 1 i b g n i 1 kq où i désigne la distance ente la chage Q i et le point P. i i Méthode 3 Cette méthode utilise à la fois le ésultat du potentiel d'une chage ponctuelle et le pincipe de supeposition pou calcule le potentiel d'une distibution de chage continue. dq P T b g dv P b g kdq k V P dq zω Ω On utilise cette méthode pou calcule le potentiel de cetaines configuations couantes de chages souces distibuées. Dans chaque cas, l'espace occupé pa la chage souce doit ête de dimension finie, de sote que V -> 0 à gande distance de celle-ci. Dans le cas contaie, l'intégale est non convegente bv g à l'infini alosque f. L'un des exemples illustant la non convegence dans le calcul du potentiel avec cette méthode est celui du fil de longueu infinie potant une densité linéaie de chage non nulle. Dans ce cas pécis, la divegence s'explique pa le fait que la chage potée pa le fil est infinie. 4-9

45 Chapite 4 Le potentiel électique 4.5 Potentiel de quelques configuations couantes Potentiel d'une chage ponctuelle Q (méthode 1) V b g kq Potentiel d'une sphèe conductice de ayon potant une chage Q (méthode 1) bg b g V V kq si < kq si Potentiel d'une sphèe non-conductice de ayon potant une chage totale Q unifomément distibuée dans l'ensemble de son volume (méthode 1) a f c h a f V V kq 3 si 3 kq si < Potentiel à une distance de l'axe d'un long cylinde conducteu de ayon potant une chage de densité linéaie λ (C/m) (méthode 1). Dans ce cas, il faut fixe abitaiement le point de potentiel nul : on pend V bg 0 0. Alos : V () F 0I kλ ln H K si V () F 0I kλ ln H K si > 4-10

46 Le potentiel électique Chapite 4 Potentiel dans l'axe d'un anneau de ayon potant une chage Q unifomément distibuée (méthode 3) b g V x d kq + x On emaque que losque x >>, loin du cente de l'anneau, le potentiel tend ves i 1 b g V x kq x ce qui coespond, comme il se doit, au potentiel d'une chage ponctuelle. Potentiel dans l'axe d'un disque de ayon a potant une densité sufacique de chages σ (C/m ) (méthode 3). a f L NM c h Vx kπσ a + x x 1 O QP Pou un point éloigné ( x >> a ), on peut monte en utilisant un développement appopié en séie de puissance que cette expession tend ves b g V x kq x ce qui coespond au potentiel d'une chage ponctuelle. 4-11

47 Chapite 4 Le potentiel électique Potentiel à une distance et su la bissectice d'une tige mince de longueu L potant une chage Q unifomément épatie su sa longueu (fig.(a)) et potentiel à une distance su une doite pependiculaie à son extémité (fig.(b)). L L Q kq F L V ln L Q V L 1 4 bg + + HG bg kq L ln F HG (b) (a) L+ L + I KJ I KJ Potentiel à une distance x de l'extémité et su l'axe d'une tige de longueu L potant une chage Q. a f Vx kq L ln F H x+ L x emaque : Cette liste est évidemment incomplète, mais coespond aux cas habituellement considéés dans un pemie cous d'électomagnétisme. I K 4-1

48 Le potentiel électique Chapite 4 emaque : Pa ailleus, le potentiel en un point P dù à plusieus distibutions de chages est donné pa la somme des potentiels associés à chacune des distibutions. 4.6 Énegie potentielle d'une distibution de chages Il faut effectue un cetain tavail pou constitue une chage de géométie donnée. Ce tavail appaaît en énegie potentielle. Dans le cas d'un ensemble de chages ponctuelles, on monte que l'énegie potentielle est donnée pa l'expession suivante : U i< j kq Q i ij j où ij est la distance ente la chage Q i et Q j. Pa exemple, dans le cas d'un aangement de tois chages ponctuelles, l énegie potentielle est donnée pa U kq1q kq1q kq Q 3 3 Le pemie teme coespond au tavail pou amene Q dans le voisinage de Q 1. Les deux autes coespondent au tavail pou amene Q 3 dans le voisinage de Q 1 et Q espectivement. Cet exemple éclaie le sens de i < j dans l'expession généale de U en montant que cela assue de ne pas calcule deux fois le tavail qui consiste à amene une chage donnée dans le voisinage d'une aute (on feait l'eeu d'ajoute le tavail pou amene l'aute dans le voisinage de l'une). emaque : Lie l'exemple 4. page 58 du live de éféence. Dans le cas d'une distibution donnée Ω de chage continue, il faut abode le poblème du calcul de l'énegie potentielle de la distibution de manièe équivalente à l'exemple. Puisque la configuation n est pas constituée a pioi, il faut pocéde pa sommation (intégale) en 4-13