Exercice A : Effet Hall

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1 Université Paris-Diderot - Paris 7 Année L2-51 EM 4 Eletromagnétisme Corrigé de l examen (deuxième session) du jeudi 25 juin 2009 Exerie A : Effet Hall x z B 0 v a O b y Figure 1: Corrigé 1) Les harges en mouvement à une vitesse v = v ê z sont soumises à la fore de Laplae F L = q v B, e qui ii donne F L = q v B 0 ê z ê x = q v B 0 ê y. Les harges qui se déplaent dans le sens z > 0 sont don déviées sur la gauhe puisque q < 0. Il y a don apparition d une harge négative sur la fae de gauhe du fil. La neutralité du système implique qu il apparaît simultanément sur la fae de droite une harge positive équivalente. Il y a ainsi apparition d un hamp életrique E parallèle à la diretion ê y dans le sens y < 0 qui va agir sur les harges en mouvement. 2) L intensité de e hamp, et don de la fore assoiée, F E = q E, va roître au fur et à mesure que des harges se déposent sur la fae de gauhe. Il roîtra jusqu à atteindre une valeur d équilibre, le hamp de Hall E H qui s oppose préisément au hamp v B. F E + F L = 0 = E H + v B = 0. Une fois e régime permanent atteint les harges mobiles, répondant au prinipe d inertie, se déplaent effetivement à la vitesse uniforme v = v d ê z. Comme la densité de ourant pour des harges q de densité n harges par unité de volume se déplaçant à la vitesse v s exprime par la relation j = n q v, on peut réexprimer le hamp de Hall sous la forme suivante : E H = 1 n q j B, 1

2 soit Du point de vue dimensionnel E H = R H j B ave R H = 1 n q [R H ] = L 3 I 1 T 1 3) Comme le hamp életrique est uniforme E H = E H ê y, on a, V étant la différene de potentiel entre les deux faes séparées de la distane b, La densité de ourant j = j d ê z a pour norme E H = V b E H = 10 3 V m 1 et B 0 = 10 3 T. La onstante de Hall vaut don On en déduit alors la densité n j d = I s = 106 A m 2. R H = E H j d B 0 = = 10 6 m 3 A 1 s 1. n = 1 q R H = m 3. Le uivre de masse volumique ρ = 9000 kg.m 3 et de masse molaire m A = 63 g, possède N A ρ m A = = atomes par m 3. Comme il y a un életron libre par m 3, on a pour et exellent onduteur une densité d életrons n e = m 3 qui est don de l ordre de fois plus grande que la densité trouvée préédemment. Il onvient de noter que la différene de potentiel mesurée est proportionnelle au hamp de Hall, don à la onstante de Hall toutes hoses étant égales par ailleurs V R H = V 1 n. Une densité 10 4 plus grande signifie une différene de potentiel fois plus petite, i.e. ii inférieure au nanovolt!!! Il est don évident qu un teslamètre, failement utilisable, ne peut être onstitué d un matériau onduteur mais doit plutôt être fait d un matériau faiblement ou semi-onduteur, e qui onduit pour des hamps magnétiques d intensité faible à des différenes de potentiel failement mesurables don de l ordre du mirovolt ou plus grandes. 2

3 Exerie B : Loi de Biot et Savart Une spire ondutrie formant un iruit arré de ôté a est onstituée d un fil infiniment fin et est parourue par un ourant onstant I. 1) Au entre de la spire qui est un plan de symétrie de la soure, le hamp est orthogonal au plan de la spire. Il est d ailleurs orthogonal sur tout le plan de la spire. Tout plan qui ontient l axe Oy est un plan d antisymétrie : en tout point d un tel plan le hamp y est ontenu. Le hamp sera aussi au plan de la spire le long de l axe de symétrie Oy qui est l intersetion de tous les plans d antisymétrie. Très loin on retrouvera le hamp d un dipôle magnétique de moment I a 2 ê y. Au entre, il n y a a priori qu une longueur aratéristique du système et omme on sait que d un point de vue dimensionnel [ B µ 0 ] = I L 1 on établit légitimement I B O = µ 0 a êy. La spire irulaire de rayon a/2 est insrite dans le arré de ôté a. le hamp au entre doit don être plus intense. A l opposé le arré est insrit dans la spire de rayon a/ 2, le hamp de ette spire doit don être plus faible au entre que elui de la spire arrée. z z D(z 1 + a) P dz I O B y H(z M ) C(z 1 ) α 1 α 2 ê z ê θ M ê ρ B(M) x I O HM = ρ PM = ρ 2 + (z z M ) 2 Figure 2: 2) La loi de Biot et Savart pour un iruit filiforme fermé orienté C s érit, ave les notations de la figure 2 µ 0 I dl PM B(M) = 4π C PM. 3 Le hamp réé par la spire arrée sera don la superposition des ontributions dues à haun des 4 segments qui la onstitue. Au entre haun des segments apporte une ontribution identique. Il suffit don de onnaître la ontribution d un segment, e qui est l objet de la question suivante. 3) Pour haque segment, il y a une symétrie de révolution autour de l axe qui porte le segment : le hamp a la même intensité sur un erle de rayon ρ (voir figure 2). Tout plan ontenant l axe Oz est un plan de symétrie, le hamp est don orthoradial. 3

4 La figure 2 montre que PM = PH + HM = (z z M ) ê z + ρ ê ρ et dl = dz êz, si bien que B(M) = µ 0 I 4π z1 +a z 1 ρ dz {ρ 2 + (z z M ) 2 } 3/2 êθ = µ 0 I ρ 4π On peut alors intégrer diretement en utilisant le résultat lassique du (ρ 2 + u 2 ) = 1 u 3/2 ρ 2 ρ2 + u 2, e qui onduit à z1 +a z M z 1 z M µ 0 I { (z 1 + a z M ) B(M) = 4π ρ (ρ 2 + (z 1 + a z M ) (z 1 z M ) } ê 2 (ρ 2 + (z 1 z M ) 2 θ. En réalisant que u sin α = ρ2 + u 2, ave la onvention donnée dans l énoné, on trouve bien µ 0 I B(M) = 4π ρ [sin α 2 + sin α 1 ] ê θ. On aurait obtenu diretement le résultat en réalisant que et don sin α = z1 +a z M z 1 z M u ρ2 + u 2 = d(sin α) = du (ρ 2 + u 2 ) 3/2 = 1 ρ 2 sinα2 ρ 2 du (ρ 2 + u 2 ) 3/2 du êθ. (ρ 2 + u 2 ) 3/2 sin α 1 d(sin α) = 1 ρ 2 [sin α 2 + sin α 1 ]. 4) Si le point M est situé à mi-hauteur du segment CD, on a B(M) = µ 0 I 2π ρ a 4 ρ 2 + a 2 êθ. Ainsi la ontribution de e segment au entre de la spire arrée ρ = a/2 est simplement (ii ê θ ê y ) B(M) = µ 0 I π a 2 êy Chaun des segments apportant une ontribution identique, le hamp magnétqiue au entre est don B T (M) = µ I π a ê y = B a ê y. Le hamp réé par une spire irulaire de rayon R a pour intensité au entre de la spire B C(R) = µ 0 I 2 R On a don µ B 0 I C(a/ 2) < B a < B C(a/2), puisque a 2 < µ I < µ 0 I π a a e qui onfirme bien l analyse qualitative. 4

5 Exerie C : Champ et milieu magnétiques Un fil onduteur infini, retiligne, de rayon R est parouru par ourant ontinu I. On suppose que e ourant est engendré par une densité de ourant volumique uniforme. Le fil est plongé dans un matériau isolant magnétique linéaire, homogène et isotrope (LHI) de suseptibilité magnétique χ. 1) Deux formulations possibles a) Partant de l équation H = j que l on intègre sur une ourbe C fermée orientée on obtient H dl = ( H) ˆn d 2 S = j ˆn d 2 S = I enlaés, C S où S désigne une surfae quelonque s appuyant sur la ourbe orientée C et ˆn est la normale assoiée à ette surfae ompte tenu de l orientation de la ourbe C. Ainsi, la irulation de l exitation magnétique sur une ourbe C fermée orientée est égale à la somme algébrique des ourants libres enlaés par ette ourbe, dite ourbe ou ontour d Ampère. b) Partant de l équation B = µ 0 j que l on intègre sur une ourbe C fermée orientée on obtient B dl = µ0 Ienlaés, C i.e., la irulation du hamp magnétique sur une ourbe C fermée orientée est égale au produit de la perméabilité magnétique du vide par la somme algébrique des ourants enlaés par ette ourbe d Ampère. 2) Tout plan orthogonal à une setion du fil infini est un plan d antisymétrie. Tout plan qui ontient l axe de révolution du fil est un plan de symétrie pour la soure de ourant. Le hamp et l exitation magnétiques sont don orthoradiaux. Le système est invariant par translation le long de l axe de révolution. Il est aussi invariant par rotation autour de e même axe. Les hamps ne dépendent don que de la distane ρ à et axe. S H( r) = H(ρ) êθ B( r) = B(ρ) êθ 3) Les propriétés de symétrie et d invariane imposent ii de prendre omme ontour d Ampère un erle de rayon ρ entré sur l axe de révolution et situé dans un plan orthogonal au fil. Comme la densité volumique du seul ourant libre est uniforme on a j ê z d 2 S = I ave j = j 0 ê z = j 0 = I π R 2 On obtient ainsi H i (r) = I 2π H e (r) = I 2π ρ R 2 pour ρ R 1 ρ pour ρ R Puisque le matériau qui entoure le fil est un matériau LHI, on a tandis qu au sein du fil non magnétique M( r) = χ H( r) = χ H e (r) ê θ, pour ρ R M( r) = 0, pour ρ R 5

6 Comme le hamp magnétique répond à la relation on a H( r) = B( r) µ 0 M( r), B i (r) = µ 0 I ρ 2π R 2 pour ρ R B e (r) = (1 + χ) µ 0 I 1 2π ρ pour ρ R 4) Les densités volumique et surfaique de ourants ampériens sont données par les relations j amp = M pour λamp = M ˆn où est ˆn la normale orientée de l intérieur du milieu magnétique vers l extérieur. Ainsi j amp = M = χ H La relation de Maxwell-Ampère appliquée dans le milieu magnétique donne j amp = 0 puisque il n y a pas de ourants libres dans le milieu. (On peut bien sûr faire un alul expliite). Il y a ependant un ourant ampérien surfaique de densité λamp = χ H e (R) ê θ ( ê ρ ) = χ I 2π R êz. Exerie D : Propagation d une onde életromagnétique Propagation d une onde életromagnétique au travers de l atmosphère. L atmosphère présente des propriétés életromagnétiques assimilables à elles du vide sur une hauteur d environ 60 kilomètres. L ionosphère, qui fait partie de l atmosphère, est un milieu au delà de ette altitude que l on peut assimiler à un gaz ionisé globalement neutre : est un milieu très dilué ontenant des partiules hargées, dont les interations sont négligeables, à raison, par unité de volume, de N e életrons libres de masse m e et de harge q = e, et de N i ions de masse m i et de harge positive q = e où e désigne la harge élémentaire. La neutralité du milieu impose N e = N i = N. La masse des ions est très grande devant elle des életrons m i >>> m e. propagation dans le vide 1.1) Les équations de Maxwell s érivent dans le vide E( r, t) = 0, B( r, t) = 0, B( r, t) E ( r, t) =, E ( r, t) B( r, t) = µ0 ǫ 0, 6

7 Terre z < 0 x z y D = 50 km z > 0 z = 0 Ionosphère Figure 3: Du point de vue dimensionnel, le hamp életrique est le rapport d une fore à une harge [E] = M L T 2 /I T = M L I 1 T 3. De la relation E ( r, t) = B( r, t)/ on tire [B] = T L 1 E] = M I 1 T 2. À partir de la loi de Coulomb, on peut établir les dimensions de ǫ 0 [ǫ 0 ] = [q]2 [F] [L] 2 = I2 T 2 M 1 L 1 T 2 l 2 = M 1 L 3 I 2 T 4. À partir de la relation B( r, t) = µ 0 ǫ 0 E ( r, t)/, on tire [µ 0 ǫ 0 ] = L 1 [B] T [E] 1 = L 2 T 2, d où l on déduit [µ 0 ] = M L I 2 T ) Pour établir l équation de propagation du hamp életrique, on part de la relation E ( r, t) = B( r, t)/ dont on alule le rotationnel e qui onduit à [ E ( r, t)] = B( r, t) E ( r, t) µ 0 ǫ 0 2 E ( r, t) 2 = 0. = µ 0 ǫ 0 2 E ( r, t) 2, Le hamp életrique s érit, en notation omplexe, E ( r, t) = E 0 e i(ωt kz). 7

8 En introduisant ette expression dans l équation de propagation, on obtient la relation de dispersion puisque µ 0 ǫ 0 2 = 1. k 2 = µ 0 ǫ 0 ω 2 = ω2 2, Le milieu ionisé 2.1) L effet de la gravitation étant parfaitement négligeable, le prinipe fondamental de la dy,namique permet d érire : d v e m e dt = e E e qui donne v e = e 1 E m e iω et pour les ions positifs v i = e 1 E m i iω On en déduit don l existene d une densité de ourant j = i N e2 [ m e ] 1 + E. m e ω m i Le rapport m e /m i étant par hypothèse très faible devant l unité on a sensiblement e qui orrespond à une ondutivité j i N e2 E, m e ω γ i N e2 m e ω. 2.2) Les équations de Maxwell exprimées en terme des densités libres ρ libre ( r, t) et j libre ( r, t) s érivent E( r, t) = ρ libre ( r, t) ǫ 0, B( r, t) E ( r, t) =, B( r, t) = 0, B( r, t) = µ0 [ j libre ( r, t) + j D ( r, t)], ave le ourant de déplaement j D ( r, t) défini par j D ( r, t) = 1 E ( r, t). 2 Dans le as qui nous onerne ii la densité de harges libres est nulle mais il y a une densité de ourants libres don E ( r, t) = 0, B( r, t) = 0, B( r, t) E ( r, t) =, E ( r, t) B( r, t) = µ0 j libre ( r, t) + µ 0 ǫ 0, À partir de la relation E ( r, t) = 0, on obtient k E 0iz e i(ωt Kz) = 0, 8

9 e qui établit le aratère transverse du hamp életrique E 0iz = 0. Le hamp magnétique peut être obtenu à partir de la relation E ( r, t) = B( r, t)/ ou, résultat onnu et admis, B ( r, t) = ˆk E ( r, t). On a alors 1 B ( r, t) = êz E 0i e i(ωt Kz), e qui montre bien sûr que le hamp magnétique, orthogonal au hamp életrique, est aussi transverse. 2.3) En prenant le rotationnel de la relation de Maxwell-Faraday, on obtient Ainsi B( r, t) [ E ( r, t)] =, E ( r, t) = µ 0 j libre ( r, t) µ 0 ǫ 0 2 E( r, t) 2. 2 E ( r, t) j libre ( r, t) E ( r, t) µ 0 ǫ 0 = µ 2 0. ave µ 0 ǫ 0 2 = 1. Remplaçant le hamp par son expression omplexe E ( r, t) = E 0i e i(ωt Kz), on obtient K ( ω2 ) = i µ 0 γ ω soit ave K 2 = ω2 i µ 2 0 γ ω = ω2 µ N e m e ωi 2 = µ 0 2 N e2 m e La fréquene aratéristique est alors Numériquement [ = ω2 N e 2 2 ] [ ] 1 µ 2 0 = ω2 1 ω2 i, m e ω 2 2 ω 2 = N e2 ǫ 0 m e. ν i = ω i 2π = e N. 2π ǫ 0 m e ν i = π = π 3 8 MHz. 2.4) À partir de K on définit l indie de réfration du milieu par la relation on a don pour le milieu ionisé K = n ω n 2 = 2 ω 2 K2 = 1 ω2 i ω 2. L indie de réfration est réel si ω > ω i et imaginaire pur si ω < ω i. L onde életromagnétique se propage sans atténuation si ω > ω i et les hamps sont en phase puisque B ( r, t) = ˆk E ( r, t) ave k 9

10 réel. Dans le as où ω < ω i, l onde sera atténuée au fur et à mesure de sa pénétration dans le milieu ; on parlera d onde évanesente. L interfae 3.1) Les relations de passage (ou de ontinuité) à l interfae se lisent pour les omposantes normales et ˆn 12 ( D 1 D 2 ) + σ s = 0 ˆn 12 ( B 1 B 2 ) = 0 ˆn 12 ( E 1 E 2 ) = 0 ˆn 12 ( H 1 H 2 ) + λ s = 0 pour les omposantes tangentielles. Dans es relations, σ s et λ s désignent respetivement les densités de harges et de ourant surfaiques sur l interfae. Dans le as présent, on admet que λ s = 0 et l on sait que les deux milieux ont des perméabilités magnétiques et permittivités életriques assimilables à elles du vide. Les relations de passage donnent don ave ˆn 12 ê z, et ê z ( E 1 E 2 ) + σ s ǫ 0 = 0 ê z ( B 1 B 2 ) = 0 ê z ( E 1 E 2 ) = 0 ê z ( B 1 B 2 ) = ) L onde inidente s érit E 1 ( r, t) = E 01 e i(ωt kz) ê x B 1 ( r, t) = E 01 Puisque la polarisation est onservée, l onde réfléhie s érit e i(ωt kz) ê y. et l onde transmise E r1 ( r, t) = E 0r1 e i(ωt+kz) ê x B r1 ( r, t) = E 0r1 e i(ωt+kz) ê y. E t2 ( r, t) = E 0t2 e i(ωt Kz) ê x B t2 ( r, t) = n E 0t2 e i(ωt Kz) ê y, où nn désigne l indie de réfation du milieu ionosphérique alulé à la question 2.4) En z = 0, les relations de passage se réduisent don à et E 01 + E 0r1 E 0t2 = 0 σ s = 0 E 01 E 0r1 n E 0t2 = 0, la onservation de la omposante magnétique normale étant automatiquement vérifiée. En introduisant alors les oeffiient de réflexion r = E 0r1 /E 01 et de transmission t = E 0t2 /E 01, es relations deviennent 1 + r = t et 1 r = n t, dont la solution est à l évidene r = 1 n 1 + n et t = n. 10

11 Or nous avons déterminé en 2.4) Don si ω > ω i, n(ω) est réel n(ω) = n 2 (ω) = 1 ω2 i ω 2. 1 ω2 1 1 ω2 i i ω ω2, = r = ω2 i ω 2 3.3) Le oeffiient de réflexion en énergie est donné par le rapport des intensités de l onde réfléhie et de l onde inidente ; omme l inidene est normale, est simplement le rapport des modules des valeurs moyennes des veteurs de Poynting orrespondants. On a < Π i >= 1 µ 0 < E i B i >= 1 µ 0 E2 01 < os2 (ωt kz) > ê z = 1 2 µ 0 E2 01 êz = 1 2 ǫ 0 E 2 01 êz, pour l onde inidente et pour l onde réfléhie et le alul trivial onduit à < Π r >= 1 µ 0 E2 0r1 < os2 (ωt + kz) > ê z = 1 2 ǫ 0 r 2 E 2 01 êz. R = < Π r > < Π i > = E 0r1 2 E 01 2 = r 2. A l inverse, si ω < ω i, n(ω) est imaginaire pur n(ω) = i ω 2 i ω 2 1 = r = 1 i 1 + i ω 2 i 1 ω 2 ωi 2 1 ω 2 Le oeffiient de réflexion en amplitude a un module égal à 1 mais il est omplexe e qui implique que l onde réfléhie est déphasée par rapport à l onde inidente d une phase différente de π, e qui traduit l influene du milieu ionisé. Cependant, l interfae peut être, du point de vue énergétique, assimilé à un miroir parfaitement réfléhissant puisque R = 1. Pour ω < ω i, on a vu que R = 1 le oeffiient T est imaginaire pur e qui indique qu il n y a effetivement pas d énergie transmise ar de fato l onde transmise est absorbée dans le milieu ionisé. On a en effet, rappelons-le : K = ω 1 ω i ω 2 = i ω ωi 2 1 ω puisque seule la solution ave le signe a un sens physique. Pour l onde transmise et pour ω > ω i, il est faile de vérifier, puisque (n(ω) = /v) < Π t >= 1 µ 0 v E2 0t2 < os 2 (ωt Kz) > ê z = 1 2 ǫ 0 n(ω) t 2 E 2 01 ê z, que le oeffiient T de transmission en énergie est T = < Π t > < Π i > = n(ω) t 2. 11

12 R + T = 1 Ave les expressions de r et de t pour ω > ω i on a évidemment ave n(ω) réel R + T = 1 puisque R = [ 1 n(ω) ] 2 1 et T = 4 n(ω) 1 + n(ω) [(1 + n(ω)] 2 On a vu préédemment que la fréquene aratéristique du milieu ionisé ν i était de l ordre de 8 MHz. On peut don traer la ourbe représentative de R et de T en fontion du rapport ν/ν i = ω/ω i. Le rapport est égal à 1 tant que ω/ω i < 1. Au-delà il déroît extrêmement rapidement en fontion de ω/ω i. Ainsi pour ω/ω i = 1.05, il vaut R 0.22 et pour ω/ω i = 1.1, il ne vaut plus que R vspae1m R ω/ω i Figure 4: 3.4) Il suffit d utiliser la troisième loi de Desartes-Snell.. Soit θ i l angle d inidene et θ t l angle de réfration dans le milieu ionisé. On a sin θ i = n(ω) sin θ t ave n(ω) réel, inférieur à 1. Il y a don un angle d inidene limite θ L, orrespondant à θ t = π/2, au-delà duquel la réflexion est totale ( ωi ) 2. sin θ L = n(ω) = 1 ω Ave les valeurs numériques données on a 3 sin θ L = 2 = θ L = 60. Au-delà de et angle d inidene l onde inidente sera réfléhie vers le sol. Exerie E : Pression de radiation Première partie 12

13 x x E i E = 0 E i E = 0 B = 0 B = 0 y z y z z < 0 z = 0 z > 0 a) onduteur parfait z = 0 z = a z < 0 z > 0 b) modèle de onduteur réel Figure 5: 1) a) Pour z < 0, l onde inidente s érit en notation omplexe E i ( r, t) = E 0 e i(ωt kz) ê x, L onde réfléhie s érira a priori sous la forme E r ( r, t) = E 0r e i(ωt+kz) et B r ( r, t) = 1 ( ê z E 0r ) e i(ωt+kz) On sait que les omposantes tangentielles du hamp életrique doivent être ontinues alors que la omposante normale de l exitation életrique présente une disontinuité égale a priori à la densité de harges surfaiques sur le dioptre de séparation. L onde inidente arrive sous inidene normale et le hamp életrique est nul dans la région z 0. On a don E 0rx + E 0 = 0 et E 0ry = 0. Comme la région z < 0 est vide de harges, on doit avoir dans ette région E r ( r, t) = 0, soit E r ( r, t) = 0 = ke 0rz e i(ωt+kz) = 0 = E 0rz = 0. Cela nous montre qu il n y a pas de densité de harges surfaiques à la surfae de séparation puisque la relation de passage orrespondante ǫ 0 ê z ( E i (z = 0, t) + E r (z = 0, t)) + σ s = 0 = ǫ 0 E 0rz e iωt + σ s = 0 = σ s = 0. b) Au hamp életrique inident, on assoie le hamp magnétique B i ( r, t) = 1 (ê z E i ( r, t)) = E 0 ei(ωt kz) ê y. Pour le hamp magnétique les omposantes normales sont ontinues alors que les omposantes tangentielles de l exitation magnétique présentent une disontinuité liée à l apparition d une densité de ourant sur la surfae de séparation des deux milieux. Comme E 0ry = 0, B r ( r, t) = E 0rx e i(ωt+kz) ê y = E 0 ei(ωt+kz) ê y. 13

14 La omposante normale du hamp magnétique total dans le milieu z < 0 étant nulle, la relation de passage orrespondante est automatiquement vérifiée. Pour e qui est des omposantes tangentielles, on doit vérifier ê z ( B i (z = 0, t) + B i (z = 0, t)) + µ 0 λ(z = 0, t) = 0, e qui onduit, les omposantes x étant nulles, à λ y (z = 0, t) = 0 et 2 E 0 eiωt + λ x (z = 0, t) = 0 soit λ(z = 0, t) = 2 E 0 eiωt ê x ) On a don E T ( r, t) = E i ( r, t) + E r ( r, t) = E 0 [ e i(ωt kz) e i(ωt+kz)] ê x, e qui donne en notation réelle E T ( r, t) = 2 E 0 sin kz sin ωt ê x et orrespond bien à une onde stationnaire dont l amplitude varie omme 2 E 0 oskz. Le hamp magnétique assoié est donné par la relation B T ( r, t) = B i ( r, t) + B r ( r, t) = E 0 [ e i(ωt kz) + e i(ωt+kz)] ê y, soit, en réel, B T ( r, t) = 2 E 0 oskz osωt ê y d) Le veteur de Poynting, densité de puissane rayonnée, est défini par la relation e qui donne don ii Ainsi la valeur moyenne Π( r, t) = 1 µ 0 E T ( r, t) B T ( r, t) Π( r, t) = E 2 0 µ 0 2 sin 2kz sin 2ωt ê z. < Π( r, t) >= 0 est-elle nulle e qui est la aratéristique d une onde stationnaire. Deuxième partie 2) L équation de Maxwell-Ampère, dans un milieu ni magnétique ni diéletrique, s érit B( r, t) = µ0 [ j( r, t) + j D ( r, t)] ave j D ( r, t) = ǫ 0 E ( r, t) Négligeant le terme de déplaement et expliitant le rotationnel, B int ( r, t) = B y (z, t) ê y n ayant que sa omposante y non nulle, on obtient dans le domaine 0 z a, µ 0 j x ( r, t) = B y(z, t) z µ 0 j y ( r, t) = 0 µ 0 j z ( r, t) = 0 14

15 Ainsi j( r, t) = 1 µ 0 B y (z, t) z ê x. 3) La fore infinitésimale étant donnée par donne d 3 F = ( j B) d 3 τ, d 3 F = 1 { By (z, t) } ê x B y (z, t) ê y dxdydz = 1 B y (z, t) B y(z, t) dxdydz ê z. µ 0 z µ 0 z On intègre alors sur la variable z entre z = 0 et z = a e qui donne Or d 2 F = 1 a dxdy ê z µ 0 0 B y (z, t) B y(z, t) z d 2 F = 1 2 µ 0 dxdy ê z [B 2 y (z, t)]a 0 = 1 2 µ 0 [B 2 y (a, t) B2 y (0, t)] dxdy ê z. [B 2 y(a, t) = 0 dz, et nous avons vu dans la première partie B T ( r, t) = 2 E 0 os kz osωt ê y, soit ii e qui onduit don à B y (0, t) = 2 E 0 os ωt, d 2 F = 2 E2 0 µ 0 2 os2 ωt dxdy ê z = 2 ǫ 0 E 2 0 os2 ωt dxdy ê z. Cette fore est dirigée vers l intérieur du onduteur, elle a pour valeur moyenne < d 2 F >= ǫ 0 E 2 0 dxdy ê z. 4) Comme < d 2 F >= d 2 F ê z, on peut définir une pression par la relation p = d2 F dxdy = ǫ 0 E ) La densité d énergie életromagnétique est définie, dans le vide, par la relation w i ( r, t) = 1 2 ǫ 0 E 2 i ( r, t) µ 0 B 2 i ( r, t) = ǫ 0 E 2 0 os2 ωt kz), dont la valeur moyenne, onstante et uniforme, est simplement < w i ( r, t) >= 1 2 ǫ 0 E

16 Ainsi p = 2 < w i ( r, t) >. On sait par ailleurs que la densité d énergie est étroitement liée à la puissane rayonnée aratérisée par la veteur de Poynting. Le veteur de Poynting pour le hamp életromagnétique inident a pour valeur moyenne < Π i ( r, t) >= 1 µ 0 < E i ( r, t) B i ( r, t) >= E2 0 µ 0 < os2 ωt kz) > ê z = E2 0 2 µ 0 êz = ǫ 0 2 E2 0 êz. Dans un milieu sans soure, on a don < Π i ( r, t) >=< w i ( r, t) > ê z. L inidene étant normale, l intensité I i, est à dire la puissane transportée par l onde inidente par unité de surfae, est don I i =< w i ( r, t) >. et la,pression peut s exprimer par la relation p = 2 I i Le laser mentionné ayant une puissane de 10 mw répartie sur la surfae du faiseau égale à 0.1 mm 2 donne une intensité I I = = W m 2, e qui entraîne une pression de radiation très faible p = Pa. A titre de omparaison la pression atmosphérique normale est de l ordre de 10 5 Pa. Noter que le hamp életrique assoié au faiseau laser inident a une intensité de l ordre de V.m 1, e qui n est pas négligeable. Bien que très faible ette pression pourrait jouer un rôle dans l espae interstellaire : est le prinipe de la voile solaire, immense voile, ultralégère, qui pourrait être propulsée par la pression de radiation due au hamp életrique solaire dont l intensité à la surfae solaire est de l ordre de V.m 1. On sait par ailleurs que ette pression a un rôle essentiel dans l orientation de la queue des omètes quand elles-i se rapprohent du Soleil (qui émet une puissane de l ordre de W). Fin de opie 16

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