Exercices : 19 - Champ électrostatique

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1 1 Execices : 19 - Champ électostatique Sciences Physiques MP Execices : 19 - Champ électostatique A. Calculs de champ et de potentiel 1. Théoème de supeposition Une sphèe de ayon b pote une chage positive Q épatie unifomément su sa suface. 1. Calcule le potentiel céé à l intéieu pa la chage Q. a) V = Q 2 4πε 0 b b) V = 0 c) V = Q 1 4πε 0 b d) V = Q 4πε 0 1 2b Deux sphèes identiques à la pécédente sont disposées symétiquement su l axe Oy pa appot à O aux points A et B distants de 2a (avec a > b). Une toisième chage 2Q considéée comme ponctuelle se touve en O. 2. Calcule le champ électique céé pa les tois chages en un point P de l axe Ox d abscisse x. Réponses : c) et b). a) E = Q x 4πε 0 (2a 2 +x 2 ) 3/2 e x b) E = 2Q x 4πε 0 (a 2 +x 2 ) 1 3/2 x 2] e x c) E = Q x 4πε 0 (a 2 +x 2 ) + 1 3/2 x 2] e x d) E = Q x 4πε 0 (a 2 +x 2 ) 1 3/2 x 2] e x 2. Modélisation du noyau Le noyau de cetains atomes léges peut ête modélisé pa une distibution ( ) sphéique de ayon a dont la chage vaie en fonction de la distance au cente suivant la loi : ρ = ρ où ρ 0 est une constante positive et < a. 1. Calcule la chage du noyau. 2. Calcule le champ électique pou un point M quelconque de l espace situé à une distance du cente O telle > a. 3. Calcule le champ électique pou < a. Y a-t-il continuité en = a? 4. Calcule le potentiel pou > a. 5. Calcule le potentiel pou < a. Y a-t-il continuité en = a? Réponses : Q = 8π 15 ρ 0a 3, E >a = 2 2 ), oui. 6 + a2 4 15ε 0 ρ 0a 3 e 2, E <a = ρ0 ε 0 ( a ) e 2, oui, V >a = 2 a 2 15ε 0 ρ 0a 3, V <a = ρ0 ε 0 ( 4 20a 2 3. Modélisation de la jonction PN d une diode ou d un tansisto Losqu un semi-conducteu pésente, dans une égion tès localisée de l espace, une vaiation tès butale de la concentation en dopant, voie un changement de la natue du dopant, on dit qu on a une jonction. Au voisinage de la jonction, dans une égion dite zone de chage, le cistal acquiet une distibution de chage électique non nulle que l on se popose d étudie. Les popiétés qui en ésultent sont à la base de la caactéistique de diodes, des tansistos et de tous les cicuits intégés ( ampli op en paticulie). ρ ρ 2 L 1 O L 2 z ρ 1 Figue 1 Modélisation volumique de la jonction PN 1. On considèe un plan infini d équation z = 0, potant une densité sufacique de chage σ constante. Ce plan est plongé dans un milieu quasi-isolant dans lequel la pemittivité électique est ǫ ε 0. Détemine le champ électique céé en tout point de l espace en utilisant le théoème de Gauss. On se place dans le gemanium, de pemittivité elative ǫ et on suppose que la densité volumique de chage ρ invaiante en x et en y autou d une jonction située dans le plan z = 0 a l allue de la figue 1 :

2 Sciences Physiques MP Execices : 19 - Champ électostatique 2 2. Sachant que la distibution de chage est globalement neute, établi la elation véifiée pa L 1, L 2, ρ 1 et ρ Détemine le champ électique en tout point M de l espace. On utilisea l équation de Maxwell elative au champ électique en utilisant le fait que le champ électique est nul pou un point M situé à l infini. 4. En déduie le potentiel électostatique V(M). On choisia l oigine des potentiels en z = Repésente V(z). 6. Donne l expession de la difféence de potentiel V 0 ente deux points situés de pat et d aute de la zone de chage. 7. La égion (z > 0) a été dopée avec de l antimoine à aison de N 2 = 1, atomes Sb pa m 3, tandis que la égion (z < 0) a été dopée avec du boe, avec un nombe d atomes N 1 N 2. On admet que dans la zone de chage, chaque atome Sb est ionisé en Sb +. Les électons ainsi libéés tavesent spontanément le plan z = 0 et chaque atome de boe situé dans la zone de chage se tansfome en un anion B. En déduie ρ 1 et ρ 2 en fonction de N 1 et N Le système ainsi constitué est une diode à jonction dont la tension de seuil est voisine de V 0. En déduie une expession appochée de la lageu δ de la zone de chage. 9. Application numéique : calcule δ; on donne : ε 0 = 8, F m 1 ; ǫ = 16; V 0 = 0,3V et e = 1, C. 4. Potentiel de Yukawa Un plasma en équilibe themique à la tempéatue T est fomé d électons de chage e et d ions positifs de chage +e, qui se épatissent dans l espace avec la densité ( paticulaie (nombe de paticules pa unité de volume) donnée pa la loi de Maxwell-Boltzmann, n + = n 0 exp e ( ), k B T V() n = n 0 exp + e ) k B T V(), où V() désigne le potentiel électostatique qui ègne en un point M situé à la distance d une chage positive ponctuelle Q intoduite au point oigine O du plasma. 1. Justifie ces expessions. Le plasma étant globalement neute à gande distance de O, elie n 0 et n Détemine la densité volumique de chages ρ() en fonction de V(). Simplifie cette expession dans le cas où la tempéatue du plasma est assez élevée. 3. Établi une équation locale véifiée pa V(). 4. Résoude cette équation en déteminant V(). On poua pose V() = f() et établi une équation difféentielle du second ode véifiée pa f(). Commente. 5. Champ de gavitation dans une gotte Une planète est assimilée à une boule de cente O, de ayon R, de masse volumique µ supposée unifome. Elle est ceusée d une gotte sphéique, de cente O, de ayon R, vide. 1. Détemine le champ de gavitation en un point de la gotte. 2. Explicite le potentiel de gavitation φ, tel que G = gadφ, à l extéieu de la planète, en un point M caactéisé pa OM = et O M =. ( 3. On considèe maintenant que R et on pose OO = a, θ = OO, ) OM. Explicite φ(, θ), au second ode non nul en a/. Réponses : G = 4πGµ 3 OO, unifome; V = 4πGµ 3 ( 1 R 3 1 R 3 B. Cates de champ ), V = 4πGµ 3 (1 R 3 R 3 (1+ a cosθ)). 6. Champ électique de deux chages ponctuelles Les catesde champ de potentiel founie su les figues2et 3 sont fomées à pati de chagesponctuelles placées dans le vide. 1. Su chacune des deux cates de champ, étudie la stuctue des lignes de champ et détemine le signe des chages ponctuelles utilisées. 2. Détemine le appot des valeus de ces deux chages. 3. Commente la stuctue des équipotentielles.

3 3 Execices : 19 - Champ électostatique Sciences Physiques MP Figue 2 Système de deux chages ponctuelles C. Popiétés de syméties 7. Développement d un potentiel de tois chages Tois chages ponctuelles q sont disposées aux sommets P, Q, N d un tiangle équilatéal de côtés a 3, de cente O (intesection des hauteus), voi la figue 4. Au voisinage de O, en un point M de coodonnées x, y et z le potentiel peut se mette sous la fome : 1. Calcule le potentiel V 0. V(x,y,z) = V 0 +αx+βy +γz +Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy +Fyz +Gzx 2. Déduie du calcul du champ électostatique en O, la valeu des coefficients α, β et γ. 3. Utilise la symétie de la distibution des chages pa appot à cetains plans de la figue pou calcule les coefficients D, F et G. 4. Utilise la symétie d ode 3 de la distibution des chages pou touve la elation ente A et B (une équipotentielle doit se supepose à elle-même los d une otation des axes Ox et Oy de 2π/3 autou de Oz). 5. Déduie de l équation de Laplace la elation ente A, B et C. 6. Calcule le potentiel en un point de l axe Oz tès voisin de O. En déduie le coefficient C. D. Conduction 8. Conduction électique othoadiale Une pièce métallique touée, constituée d un métal homogène de conductivité σ, est assimilée à l espace défini en coodonnées cylindiques h/2 < z < h/2 et R 1 < < R 2. La pièce pote de plus dans le demi plan θ = 0 un tait de scie dont on négligea l épaisseu, voi la figue 5. Les deux bods sont soumis à une difféence de potentiel U = V 1 V 2. La pièce est pacouue pa des couants dont la densité volumique est j, elle constitue un dipôle dont la ésistance est R. On admet une stuctue ciculaie des lignes de couant. 1. Pécise la fome de j et de E. Pécise les conditions aux limites. 2. Monte que 2 V θ 2 = Explicite V(, θ, z).

4 Sciences Physiques MP Execices : 19 - Champ électostatique 4 Figue 3 Système de deux chages ponctuelles y P Oz x N Figue 4 Ensemble de tois chages Q 4. Expime j et E. Calcule la ésistance R. On appelle l expession du laplacien en coodonnées cylindiques : E. Dipôle électostatique V = 1 ( V ) V 2 θ V z 2 9. Dipôle et spie chagée Un dipôle p est placé au cente O d une spie ciculaie de ayon a potant la chage pa unité de longueu λ, unifome. p est aligné su l axe de la spie (cf. figue 6). 1. Calcule le champ électique su l axe du dipôle. 2. En emaquant que le champ électique n est pas unifome, calcule la ésultante des effots execés su le dipôle igide. Réponses : E sp = λa z 2ε 0 e (a 2 +z 2 ) 3/2 z, F = p Ez z e z = pλa 2ε 0 (a2 +z 2 ) 3/2 3z 2 (a 2 +z 2 ) 1/2 (a 2 +z 2 ) ] e 3 z et F = p Ez z z=0 e z = pλ 2ε 0a e 2 z. 10. Doublet de fils infinis Deux fils ectilignes, de tès gande longueu, disposés dans le vide, paallèles, distants de a, d équations catésiennes espectives (x = a ) 2,y = 0 et (x = a ) 2,y = 0 et de chages linéiques unifomes +λ et λ, sont disposés dans une cetaine égion de l espace.

5 5 Execices : 19 - Champ électostatique Sciences Physiques MP y V 1 e θ ) Oz e θ x V 2 Figue 5 Pièce métallique O p z Figue 6 Dipôle et fil ciculaie 1. Détemine le potentiel céé en tout point de l espace pa cette distibution de chage. 2. Détemine la fome des sufaces équipotentielles. 3. Détemine une expession appochée du potentiel puis du champ céés en un point M du plan (Oxy), caactéisé pa les coodonnées polaies (,θ) tel que a. Compae aux ésultats analogues pou un dipôle de moment dipolaie électique qa e x. Commente.