Énoncés des exercices

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Énoncés des exercices"

Transcription

1 Énoncés Énoncés des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E, commutant avec tous les endomorphismes de E. Montrer que f est de la forme λid, avec λ IK. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels, et g une application linéaire de F dans G. On définit ϕ de L(E, F ) vers L(E, G) en posant ϕ(f) = g f. Montrer que ϕ est une application linéaire. On suppose que g est injective. Que peut-on dire de ϕ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur IK, f L(E, G) et g L(F, G). Montrer que Im f Im g h L(E, F ), tel que f = g h. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur IK, f L(E, G) et g L(E, F ). Montrer que Ker g Ker f h L(F, G), tel que f = h g. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels. Soit f dans L(E, F ) et g dans L(F, G). On dit que f, g forment une suite exacte si Im f = Ker g. On se donne les espaces vectoriels E k et F k, avec k {1,..., 5}. On se donne les applications linéaires f k : E k E k+1, g k : E k E k+1, h k : E k F k. On suppose que les suites f k, f k+1 et g k, g k+1 sont exactes. On suppose qu on a les égalités h k+1 f k = g k h k. La situation est résumée dans le schéma ci-dessous : f 1 f 2 f 3 f 4 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 g 1 g 2 g 3 g 4 1. Montrer que si h 2, h 4 sont injectives et h 1 est surjective alors h 3 est injective. 2. Montrer que si h 2, h 4 sont surjectives et h 5 est injective, alors h 3 est surjective. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application linéaire de E dans F. Montrer que si u est injective alors pour tous sous-espaces vectoriels F et G en somme directe, f(f ) et f(g) sont en somme directe. Est-ce que la réciproque est vraie? Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Indications, résultats Indications ou résultats Indication pour l exercice 1 [ Retour à l énoncé ] Se donner f dans L(E) tel que f g = g f, pour tout g de L(E). Considérer u 0 dans E, et un supplémentaire H de IKu dans E. Utiliser la projection vectorielle p de E sur la droite IKu, parallèlement à H. En déduire qu il existe λ u dans IK tel que f(u) = λ u u. Pour tous u, v, montrer que λ u = λ v, selon que u et v sont libres ou liés. Indication pour l exercice 2 [ Retour à l énoncé ] Il est facile de vérifier que ϕ est une application linéaire de L(E, F ) dans L(F, G). L injectivité de g implique celle de ϕ. Indication pour l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] Si Im f Im g, se donner u quelconque dans E. Si F = Ker g F, montrer qu il existe un unique w dans F tel que g(w) = f(u). Poser alors w = h(u), et vérifier que h est linéaire. Indication pour l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] Si Ker g Ker f, se donner v dans Im g. Montrer que f(u) ne dépend pas du vecteur u tel que g(u) = v. Poser h(v) = f(u), et vérifier que l application h est linéaire de Im g dans G. Compléter enfin la définition de h pour en faire une application linéaire de F dans G. Indication pour l exercice 5 [ Retour à l énoncé ] 1. Se donner u 3 dans E 3 tel que h 3 (u 3 ) = 0. Montrer que f 3 (u 3 ) = 0. En déduire qu il existe u 2 dans E 2 tel que u 3 = f 2 (u 2 ). Montrer qu il existe u 1 dans E 1 tel que u 2 = f 1 (u 1 ). En déduire u 3 = Se donner v 3 dans F 3. Montrer qu il existe u 4 dans E 4 tel que g 3 (v 3 ) = h 4 (u 4 ). Prouver que f 4 (u 4 ) = 0, et qu il existe u 3 dans E 3 tel que f 3 (u 3) = u 4. En déduire que v 3 h 3 (u 3) est dans Im g 2, puis dans Im (h 3 f 2 ). Indication pour l exercice 6 [ Retour à l énoncé ] Pour la réciproque, écarter rapidement le cas particulier f = 0. Se donner u 0 tel que f(u) = 0 et v tel que f(v) 0. Noter que w = v + u et v sont libres, et considérer les droites vectorielles IKv et IKw. Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 des exercices Corrigé de l exercice 1 [ Retour à l énoncé ] Il est clair que f = λid commute avec tous les endomorphismes de E. Réciproquement, soit f dans L(E) tel que f g = g f, pour tout g de L(E). Soit u un vecteur non nul de E. Soit H un supplémentaire de IKu dans E. Soit p la projection vectorielle de E sur la droite IKu, parallèlement à H. On a p f = f p. En particulier (p f)(u) = (f p)(u) = f(p(u)) = f(u). Le vecteur f(u) est invariant par p. Cela signifie que f(u) est proportionnel à u. Ainsi, pour tout u 0, il existe λ u dans IK tel que f(u) = λ u u. Il s agit de montrer que les coefficients λ u sont identiques. Soient u, v non nuls dans E. Il existe λ u et λ v tels que f(u) = λ u u et f(v) = λ v v. Premier cas : u et v sont liés. Il existe donc α dans IK tel que v = αu. On en déduit λ v v = f(v) = αf(u) = α(λ u )u = λ u (αu) = λ u v. Donc λ u = λ v. Deuxième cas : u et v sont libres. Notons w = u + v et λ w tel que f(w) = λ w w. On a donc λ w (u + v) = λ w w = f(w) = f(u + v) = f(u) + f(v) = λ u u + λ v v. Il en découle l égalité (λ u λ w )u + (λ v λ w )v = 0. Or u, v sont libres. On en déduit λ u λ w = λ v λ w = 0 donc λ u = λ v. Finalement il existe un coefficient λ tel que pour tout u 0 on ait f(u) = λu. L égalité f(u) = λu est évidemment vraie pour u = 0. On a donc prouvé l existence de λ dans IK tel que f = λid. Corrigé de l exercice 2 [ Retour à l énoncé ] On sait que si f est dans L(E, F ), alors ϕ(f) = g f est dans L(F, G). Ainsi ϕ est bien une application de L(E, F ) dans L(F, G). Soient f 1, f 2 dans L(E, F ), et α 1, α 2 dans IK. Pour tout vecteur u de E, on a : ϕ(α 1 f 1 + α 2 f 2 )(u) = (g (α 1 f 1 + α 2 f 2 ))(u) = g(α 1 f 1 (u) + α 2 f 2 (u)) = α 1 g(f 1 (u)) + α 1 g(f 2 (u)) = α 1 (g f 1 )(u) + α 2 (g f 2 )(u) = (α 1 (g f 1 ) + α 2 (g f 2 ))(u) = (α 1 ϕ(f 1 ) + α 2 ϕ(f 2 ))(u) Autrement dit ϕ(α 1 f 1 + α 2 f 2 ) = α 1 ϕ(f 1 ) + α 2 ϕ(f 2 ) : ϕ est linéaire. Soit f dans L(E, F ). Alors f Ker ϕ g f = 0 Im f Ker g. Si on suppose que g est injective, alors Ker g = { 0 }, et on voit que f Ker ϕ f = 0. L injectivité de g implique donc celle de ϕ. Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 Corrigé de l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] On suppose qu il existe h dans L(E, F ), tel que f = g h. Soit v dans Im f. Il existe u dans E tel que v = f(u). On en déduit : v = (g h)(u) = g(w) avec w = h(u). Ainsi v appartient à Im g. On a prouvé l inclusion Im f Im g. Réciproquement, on suppose Im f Im g. Soit u un élément quelconque de E. On a f(u) Im f donc f(u) Im g. Ainsi il existe v dans F tel que f(u) = g(v). En fait on a alors f(u) = g(v + h) pour tout vecteur h de Ker g. Soit F un supplémentaire de Ker g dans F. Le vecteur v se décompose de façon unique v = w + h, avec w F et h Ker g. Avec ces notations, on a f(u) = g(w). Le vecteur w est le seul à vérifier w F et g(w) = f(u). En effet, si on a g(w) = g(w ) = f(u), avec (w, w ) F F, on en déduit : g(w w ) = 0 donc w w F Ker g = { 0 } donc w = w Le vecteur w dépendant de façon unique de u, on peut poser w = h(u). Avec ces notations, l égalité g(w) = f(u) devient g(h(u)) = f(u). On a ainsi défini une application h de E dans F telle que f = g h. Il reste à prouver que h est linéaire. Pour cela, on se donne u et u dans E, ainsi que α, β dans IK. D après ce qui précède, h(u) est l unique vecteur w de F tel que f(u) = g(w). De même, h(u ) est l unique vecteur w de F tel que f(u ) = g(w ). On a f(αu + βu ) = αf(u) + βf(u ) = αg(w) + βg(w ) = g(αw + βw ). Or le vecteur w = αw + βw est élément de F. Puisqu il vérifie g(w ) = f(αu + βu ), on a w = h(αu + βu ). On a ainsi prouvé h(αu + βu ) = w = αw + βw = αh(u) + βh(u ). On a donc trouvé h dans L(E, F ) tel que f = g h, ce qui achève la réciproque. Conclusion : on a prouvé l équivalence : Im f Im g h L(E, F ), f = g h Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 Corrigé de l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] Supposons qu il existe h dans L(F, G), tel que f = h g. Soit u un élément de Ker g. On a f(u) = (h g)(u) = h(g(u)) = h( 0 ) = 0. On en déduit que u appartient à Ker f. Cala prouve l inclusion Ker g Ker f. Réciproquement, on suppose que Ker g Ker f. On doit trouver h dans L(F, G) tel que f = h g. Il faut donc commencer par définir h sur Im g. Soit v un élément de Im g. Il existe u dans E tel que v = g(u). Si u est un autre vecteur de E tel que v = g(u ), alors g(u) = g(u ) u u Ker g. Puisque Ker g Ker f, il en découle u u Ker f c est-à-dire f(u) = f(u ). Ainsi w = f(u) ne dépend pas du vecteur u tel que g(u) = v : il ne dépend que de v. Pour tout v de Im g, on peut donc poser h(v) = f(u) (u quelconque E tel que f(u) = v.) On a ainsi défini une application h de Im g dans G. Montrons que l application h est linéaire. Pour cela on se donne v, v dans Im g et α, β dans IK. Soient u, u dans E tels que g(u) = v et g(u ) = v. { h(v) = f(u) Par définition de h, on a h(v ) = f(u ) On constate que g(αu + βu ) = αg(u) + βg(u ) = αv + βv. Par définition de h, on a : h(αv + βv ) = f(αu + βu ) = αf(u) + βf(u ) = αh(v) + βh(v ) On a ainsi prouvé que h est une application linéaire de Im g dans G. Soit F un supplémentaire de Im g dans F : E = F Im g. On complète maintenant la définition de h en posant h(v) = 0 pour tout vecteur v de F. Ainsi pour tout vecteur v = v + v de F, avec v dans F et v dans Im g, on pose : h(v) = h(v ) = f(u ) pour tout u de E tel que g(u ) = v L application h ainsi définie est linéaire de F dans G, et : u E, h(g(u)) = f(u). On a donc trouvé h dans L(F, G) telle que h g = f. Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

6 Corrigé de l exercice 5 [ Retour à l énoncé ] 1. On suppose donc que h 2, h 4 sont injectives et que h 1 est surjective. Soit u 3 un élément de E 3. On suppose que h 3 (u 3 ) = 0. Il faut prouver que u 3 = 0. On a h 3 (u 3 ) = 0 donc (g 3 h 3 )(u 3 ) = 0 donc (h 4 f 3 )(u 3 ) = 0. L application h 4 étant injective, on en déduit f 3 (u 3 ) = 0. Autrement dit u 3 appartient à Ker f 3 c est-à-dire à Im f 2. Ainsi il existe u 2 dans E 2 tel que u 3 = f 2 (u 2 ). L égalité h 3 (u 3 ) = 0 donne (h 3 f 2 )(u 2 ) = 0 donc g 2 h 2 (u 2 ) = 0. Ainsi h 2 (u 2 ) est dans Ker g 2 = Im g 1. Soit v 1 dans F 1 tel que h 2 (u 2 ) = g 1 (v 1 ). Puisque h 1 est surjective, il existe u 1 dans E 1 tel que v 1 = h 1 (u 1 ). On en déduit h 2 (u 2 ) = (g 1 h 1 )(u 1 ) = (h 2 f 1 )(u 2 ). Il en découle puis u 2 = f 1 (u 1 ) car h 2 est injective. On trouve finalement u 3 = f 2 (u 2 ) = (f 2 f 1 )(u 1 ) = 0 car f 2 f 1 = 0. On a donc prouvé l injectivité de h On suppose donc que h 2, h 4 sont surjectives et que h 5 est injective. Pour montrer que h 3 est surjective on se donne v 3 dans F 3. Il s agit de prouver qu il existe u 3 dans E 3 tel que h 3 (u 3 ) = v 3. Posons v 4 = g 3 (v 3 ). Puisque h 4 est surjective, il existe u 4 dans E 4 tel que v 4 = h 4 (u 4 ). On a g 4 (v 4 ) = (g 4 g 3 )(v 3 ) = 0 car g 4 g 3 = 0. On en déduit (g 4 h 4 )(u 4 ) = 0. Il en découle (h 5 f 4 )(u 4 ) = 0 donc f 4 (u 4 ) = 0 car h 5 est injective. Ainsi u 4 est dans Ker f 4 donc dans Im f 3 : il existe u 3 dans E 3 tel que f 3 (u 3) = u 4. On peut donc écrire g 3 (v 3 ) = v 4 = h 4 (u 4 ) = (h 4 f 3 )(u 3) = (g 3 h 3 )(u 3). Ainsi g 3 (v 3 h 3 (u 3)) = 0. Autrement dit v 3 h 3 (u 3) Ker g 3 = Im g 2. Il existe donc v 2 dans F 2 tel que v 3 h 3 (u 3) = g 2 (v 2 ). Puisque h 2 est surjective, il existe u 2 dans E 2 tel que v 2 = h 2 (u 2 ). On a alors v 3 h 3 (u 3) = (g 2 h 2 )(u 2 ) = (h 3 f 2 )(u 2 ). Il en découle v 3 = h 3 (u 3 + f 2 (u 2 )) : on a trouvé un antécédent de v 3 par h 3. On a donc prouvé la surjectivité de h 3, ce qui achève la démonstration. Page 6 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

7 Corrigé de l exercice 6 [ Retour à l énoncé ] Soit f : E F une application linéaire injective. Soient G, H deux sous-espaces de E. L application f étant injective, on a f(g) f(h) = f(g H). Si F, G sont en somme directe, on a donc f(g) f(h) = f({ 0 }) = { 0 }. Ainsi l application f transforme G, H en deux sous-espaces en somme directe. Remarquons que si f est nulle, elle transforme toute somme directe de E en une somme directe de F, car pour tous sous-espaces G, H de E on a f(g) = f(h) = { 0 }. Dans ce cas, on ne peut donc pas dire que la réciproque est vraie, sauf si E est lui-même réduit à { 0 }, ce qui ne présente pas beaucoup d intérêt. On suppose donc que f n est pas l application nulle, qu elle n est pas injective, et on va montrer qu elle ne transforme pas toujours une somme directe en une somme directe. On se donne un vecteur u non nul dans le noyau de f (possible car f n est pas injective.) Soit v un vecteur qui n est pas dans Ker f (possible car f n est pas identiquement nulle.) On pose w = v + u. Les vecteurs v et w sont libres (sinon il existerait un scalaire α tel que v + u = αv. On en déduirait f(v) = αf(v) donc α = 1 donc u = 0.) Ainsi les droites vectorielles IKv et IKw sont en somme directe. Mais f(w) = f(v + u) = f(v) 0. Ainsi f(ikv) et f(ikw) sont une même droite vectorielle. On a donc un exemple où f ne transforme pas une somme directe en une somme directe. La réciproque demandée par l énoncé est donc vraie, sauf si f 0 et E { 0 }. Page 7 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Produit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4

Produit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4 Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et

Plus en détail

6 Equations du première ordre

6 Equations du première ordre 6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R

Plus en détail

CHAPITRE IV. L axiome du choix

CHAPITRE IV. L axiome du choix CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble.. 1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Construction de l'intégrale de Lebesgue

Construction de l'intégrale de Lebesgue Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

MAT 721: Algèbre non commutative. Chapitre I: Algèbres. 1.1 Définitions et exemples

MAT 721: Algèbre non commutative. Chapitre I: Algèbres. 1.1 Définitions et exemples MAT 721: Algèbre non commutative Chapitre I: Algèbres 1.1 Définitions et exemples Dans notre terminologie, un anneau R admet toujours un élément identité 1 R R-module à droite M est toujours unifère, c

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Contribution à l algorithmique de la vérification

Contribution à l algorithmique de la vérification Contribution à l algorithmique de la vérification (Mémoire d habilitation à diriger des recherches) Jean-Michel COUVREUR Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique CNRS UMR 5800 - Université Bordeaux

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37

La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Objets Combinatoires élementaires

Objets Combinatoires élementaires Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

TIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES

TIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail