Aide mémoire pour la géométrie plane. 1. Notations

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Aide mémoire pour la géométrie plane. 1. Notations"

Transcription

1 Aide mémoire pour la géométrie plane 1. Notations Soit A et B deux points distincts. On note : (AB) la droite qui passe par ces deux points ; [AB] le segment d extrémités A et B ; AB la distance entre A et B (longueur du segment [AB]) ; [AB) la demi-droite d extrémité A et contenant B. Les symboles (appartient), et ne sont pas des abréviations mais des symboles de relations entre deux symboles mathématiques (point et droite, droite et droite) tout comme = ou <. peut définir l angle α m. L angle n α se définit alors comme n m fois le précédent angle et enfin, par extension (passage à la limite), on peut se représenter ce que signifie l angle xα avec x R. Le degré est une unité d angle qui correspond à l angle plat divisé par 180 (où l angle plein divisé par 360). 2. Secteur angulaire Angle Def. 1. Secteur angulaire Soit trois points distincts A, O, et B non alignés. Les deux demi-droites [OA) et [OB) délimitent deux régions qu on appelle secteur angulaire rentrant et secteur angulaire saillant (voir figure). Si les trois points A, O, et B sont alignés dans cet ordre les deux régions deviennent deux demi-plans qu on peut aussi appeler secteurs plats. Si les deux demi-droites sont confondues on parle de secteur plein (qui correspond à 360 ) et de secteur vide (0 ). Def. 2. Angle On dit que deux secteurs angulaires ont le même angle s ils sont superposables après déplacement (translation suivie de rotation). On définit ainsi une nouvelle grandeur : l angle. Rem. Il est pratique de se servir d un cercle de centre O, d un point fixe I sur ce cercle et d un point mobile M sur le cercle pour représenter les angles. On peut obtenir tous les angles possibles lorsque le point M se déplace sur le cercle. De plus, chacun des deux secteurs définis par les demi-droites [OI) et [OM), contient un arc de cercle (arc intercepté) et lorsque M se déplace, il y a proportionnalité entre les angles de ces secteurs et les longueurs des arcs interceptés. C est sur ce principe que l on construit les graduations des rapporteurs. Normalement on ne devrait pas parler d angle supérieur à 360 mais pourtant on dit bien par exemple que la somme des angles d un pentagone non croisé est de 540. Le cercle permet de comprendre ce que cela signifie : un tour et demi. Def. 4. Notation - angle aigu - angle obtus - angles supplémentaires - angles complémentaires Pour deux demi-droites [OA) et [OB) on notera ÂOB l angle représenté, suivant le cas de figure, par le secteur vide, saillant ou les secteurs plats (0 ÂOB 180 ) : on peut se passer de l angle rentrant pour décrire la figure formée par deux demidroites. Deux secteurs et un seul angle Def. 3. Somme - produit par un nombre - mesure en degré Si 0 ÂOB < 90 on dit que l angle est aigu. Si ÂOB = 90 (demi angle plat), on dit que l angle est droit. Si 90 < ÂOB < 180 on dit que l angle est obtus. α α+β β En représentant deux angles α et β par des secteurs angulaires de même origine, on peut définir la somme de deux angles α + β (voir figure) ou la différence du plus grand par le plus petit. On peut ainsi par itération définir l angle nα, avec n entier (à condition de ne pas dépasser l angle plein). En découpant le secteur d angle α en m secteurs superposables (m N) on Deux angles sont supplémentaires si leur somme est l angle plat. Deux angles sont dit complémentaires si leur somme est l angle droit. 3. Droites parallèles Def. Deux droites d et d sont dites parallèles si : 1) ou bien elles n ont pas de point d intersection (elles ne se rencontrent jamais) ; 1

2 2) ou bien elles sont confondues. On note d d. Ne jamais écrire : est à. Rem. Autrement dit, deux droites sont parallèles si elles ont la même direction (cf. les vecteurs). Prop. Si (on sait que) deux droites sont parallèles à une même troisième, alors (on peut conclure qu )elles sont parallèles entre elles. 4. Angles opposés par le sommet - Angles correspondants - Angles alternes-internes Def. Cette droite est appelée médiatrice du segment. Prop. 2 La médiatrice du segment [AB] sépare le plan en deux demi-plans : le demi-plan contenant A est l ensemble des points situés plus près de A que de B ; le demi-plan contenant B est l ensemble des points situés plus près de B que de A. Prop. 3. Dans un triangle Les médiatrices de chacun des côtés se rencontrent en un point qui est situé à égale distance des sommets. C est le centre du seul cercle passant par les trois sommets et qu on appelle le cercle circonscrit au triangle. Prop. 1. Dans une figure du type de celle ci-dessus formée deux droites sécantes, on peut affirmer que les deux angles (des secteurs) dits opposés par le sommet sont égaux. 7. Cercle Def. 1 Le cercle de centre O et de rayon r est l ensemble des points situés à la distance r du point O. Prop. Une droite et un cercle peuvent ou bien ne pas se rencontrer, ou bien se rencontrer en deux points, ou bien en un seul point. Dans ce dernier cas de figure, la droite est perpendiculaire à un rayon du cercle et on dit qu elle est tangente au cercle. Prop. 2. Dans une figure du type de celle ci-dessus formée d une droite coupant deux droites parallèles on peut affirmer que les deux angles (des secteurs) dits correspondants sont égaux. Cette propriété combinée avec la propriété précédente donne que les deux angles (des secteurs) dits alternes-internes sont égaux. 5. Droites perpendiculaires Prop. 1 Si (on sait que) deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors (on peut conclure qu )elles sont parallèles entre elles. Prop. 2 Si (on sait que) deux droites sont parallèles, alors (on peut conclure que) toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. 6. Médiatrice d un segment Def. 2 Si un cercle passe par les sommets d un polygone, on dit que le cercle est circonscrit au polygone, et que le polygone est inscrit dans le cercle. 8. Angle inscrit - Angle au centre Def. 3 (Angle inscrit) L angle d un secteur angulaire dont le sommet est sur le cercle est dont les côtés coupent le cercle est appelé (par abus de langage) angle inscrit dans ce cercle. Def. 4 (Angle au centre) L angle d un secteur angulaire dont le sommet est le centre d un cercle est appelé (par abus de langage) angle au centre de ce cercle. Prop. 1 L ensemble des points situés à égale distance des extrémités d un segment est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu. Def. 5 (Arc intercepté) Soit C un cercle de centre O. Deux points A et B distincts sur C et non diamétralement opposés définissent un petit arc et un grand arc : portions de cercle délimités par ces deux points. Suivant que l on considère le secteur angulaire saillant ou rentrant défini par les demi-droites [OA) et [OB), on intercepte le petit ou le grand arc. On dira par abus de langage que les angles 2

3 interceptent les arcs (dans le cas d un angle plat on intercepte les demi-cercles). De même si M est un point de C distinct de A et de B, l angle inscrit (toujours saillant) M AB intercepte le petit ou le grand arc délimité par A et B (suivant la position de M). On a alors la proposition suivante : Rem. 2 L ensemble des point situés à 2 cm d un droite d est constituée de deux droites parallèles à d. L ensemble des points situés à moins de 2 cm de d est constitué par la bande comprise entre ces deux droites. 10. Hauteur dans un triangle Def. La hauteur issue de A dans le triangle ABC est la droite d passant par A et perpendiculaire à (BC). Rem. Soit H la projection orthogonale de A sur [BC]. On utilise aussi le mot hauteur pour désigner le segment [AH] ou la longueur (AH). Prop. 1. (Théorème de l angle inscrit) Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc. Rem. 1 Dans le cas d un demi-cercle, l angle inscrit est alors un angle droit et on retrouve la proposition 4 de la section 16.. Prop. 2. (Corollaire de la précédente) interceptent le même arc sont égaux. Deux angles qui Prop. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre. Prop. 3. (Réciproque) Si A et B sont deux points donnés et α un angle donné, alors l ensemble des points M tel que ÂM B = α est la réunion de deux arcs de cercles d extrémités A et B privés des points A et B. L ensemble des points M tel que ÂMB = 90 est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. 11. Médianes dans un triangle Def. La médiane issue de A dans le triangle ABC est la droite qui passe par A et par le milieu I de [BC]. (La médiane désigne aussi parfois le segment [AI].) Rem. La médiane partage le triangle en deux triangles d aires égales. (De plus, on peut poser en équilibre un triangle en carton sur une règle placée le long de la médiane. Pour le voir, imaginer que le triangle est formée d un grand nombre de fines bandelettes parallèles à un des côté : chacune tenant en équilibre sur la médiane qui passe par le milieu de chacune de ces bandelettes.) 9. Distance d un point à une droite Prop. Soit d une droite et A un point non situé sur d. Soit H le point de d tel que (AH) d. Le segment [AH] est alors le chemin le plus court pour aller du point à la droite. Autrement dit, parmi les points de d, le point H est celui qui est le plus proche de A. Prop. 1 Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle. (On peut poser en équilibre un triangle en carton à plat sur son doigt si et seulement si le doigt est placé sur le centre de gravité.) Def. La longueur AH est appelée distance du point A à la droite d. On dit que H et la projection orthogonale de A sur la droite d. ( La distance d un point à une droite est donc la longueur du plus court chemin pour aller du point à la droite.) Rem. 1 La phrase placer un point P à 2 cm de la droite d signifie qu il faut placer P tel que la distance (du plus court chemin) de P à d soit 2 cm : il faut tracer un perpendiculaire à d placer P sur cette perpendiculaire à 2 cm du point d intersection Prop. 2 Le centre de gravité est situé au deux-tiers de la médiane en partant du sommet. 12. Bissectrice d un angle Def. Soit ABC trois points non-alignés. La droite qui passe par A et qui partage le secteur angulaire saillant (mais aussi le rentrant) en deux secteurs de même angle est appelée (par abus de langage) la bissectrice de l angle BAC 3

4 Prop. 1 Les points de la bissectrice de BAC sont à égale distance de (AB) et de (AC). Prop. 1 (Théorème de Pythagore) Si (on sait que) ABC est rectangle en A, alors (on peut conclure que) BC 2 = AB 2 + AC 2. Rem. Ce théorème permet de calculer un côté du triangle rectangle connaissant les deux autres ou de s assurer qu un triangle n est pas rectangle. Prop. 2 Dans un triangle ABC, les trois bissectrices sont concourantes en un point qui est à égale distance des trois droites (AB), (BC) et (AC). Ce point est le centre d un cercle qui admet ces trois droites pour tangentes. C est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Prop. 2 (Théorème réciproque) Si (on sait que) ABC est tel que BC 2 = AB 2 +AC 2 alors (on peut conclure que) ABC est un triangle rectangle en A. Ainsi, la relation de Pythagore caractérise les triangles rectangles Prop. 3 Si (on sait qu ) un triangle rectangle est inscrit dans un cercle alors (on peut conclure que) le diamètre du cercle est égal à l hypoténuse du triangle. Prop. 3 bis (équivalente) Si (on sait qu ) un triangle est rectangle, alors (on peut conclure que) la médiane issue du sommet de l angle droit est égale à la moitié de l hypoténuse. 13. Côtés et angles d un triangle Prop. 1 Dans un triangle ABC on a AC < AB + BC. Prop. 2 La somme des angles d un triangle est égale à l angle plat : 180. Prop. 4 (réciproque des précédentes) Si (on sait que) trois points sur un cercle sont tels que deux d entre eux sont diamétralement opposés, alors (on peut conclure que) ces trois points forment un triangle rectangle. Prop. 4 bis (équivalente à prop4) Si (on sait que) dans un triangle ABC, la médiane issue de A est égale à la moitié de BC, alors (on peut conclure que) ABC est rectangle en A. 14. Triangle isocèle Def. Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Si AB = AC on dit que ABC est isocèle en A ou isocèle de sommet principal A. Prop. 1 Un triangle est isocèle si et seulement si il possède deux angles égaux Prop. 2 Un triangle isocèle possède un axe de symétrie : la médiatrice de la base principale qui est aussi la hauteur, la médiane et la bissectrice issue du sommet principal. 15. Triangle équilatéral Def. C est un triangle qui possède trois côtés égaux (triplement isocèle). Rem. Pour construire un angle 60 et de 30, construire un triangle équilatéral ainsi qu une de ses médianes. 16. Triangle rectangle Def. C est un triangle qui possède un angle droit. Si ABC est rectangle en A alors les côtés [AB] et [AC] sont appelés côtés de l angle droit et le côté [BC] est appelé hypoténuse. L hypoténuse est le côté le plus long (voir distance d un point à une droite). 17. Droite des milieux Prop. 1 Si (on sait qu ) une droite passe par les milieux des côtés d un triangle alors (on peut conclure qu )elle est parallèle au troisième côté. Prop. 2 Si (on sait qu )une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un autre côté, alors (on peut conclure qu )elle coupe le troisième côté en son milieu. Prop. 3 Le segment qui joint les milieux des deux côtés d un triangle a pour longueur la moitié du troisième côté. 18. Polygones Le polygone ABCDE... est un figure géométrique obtenue en joignant par des segments des points A, B, C, D etc.. dans cet ordre, chacun au suivant le dernier point étant relié au premier. Un polygone à trois côtés est appelé triangle. Pour quatre côtés on dit quadrilatère, cinq côtés : pentagone, six côtés : hexagone, sept côtés : heptagone, huit côtés : octogone. Les deux côtés d un polygone sont dits adjacents s ils ont 4

5 une extrémité en commun. Lorsque dans un polygone, seuls les côtés adjacents ont un point en commun, alors on dit que le polygone est non-croisé (croisé dans le cas contraire). Lorsque pour chacun des côtés d un polygone, le polygone se trouve tout entier dans un des demi-plan limité par la droite support du côté, alors on dit que le polygone est convexe. Un polygone convexe peut être obtenu comme une intersection de demi-plans. Conséquence pratique : un élastique tendu autour d un polygone convexe en carton est partout plaqué sur les côtés ; pour découper un polygone convexe on n a pas à avoir peur de donner de trop grands coups de ciseaux. Lorsque le polygone est inscrit dans un cercle et que chacun des côtés a la même longueur, on dit que le polygone est régulier. Un polygone est régulier si et seulement si tous ses angles au sommet sont égaux et les longueurs de tous ses côtés sont égales. Prop. 3 Les trois propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent les losanges. 1) ABCD a quatre côtés de même longueur. 2) ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. 3) ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu (parallélogramme) et qui sont perpendiculaires. Prop. 4 Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent les carrés. 1) ABCD est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur. 2) Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont égales. 3) ABCD est un losange qui a un angle droit. 4) ABCD est un losange et un rectangle. 21. Triangles en configuration de Thales Exemples : triangle équilatéral, carré, étoile mais pas losange en général (pas les losanges non carrés). 19. Quadrilatères Def. Dans un quadrilatère ABCD, deux côtés qui ne se suivent pas comme [AB] et [CD] sont appelés côtés opposés ; les segments [AC] et [BD] sont appelés diagonales. Un quadrilatère qui a deux côtés (opposés) parallèles est appelé un trapèze. 20. Parallélogrammes Prop. 1 Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes : c est à dire que chaque fois que l on sait que le quadrilatère ABCD possède l une de ces cinq propriétés (grâce à une démonstration ou directement d après les hypothèses d un énoncé) alors on pourra conclure que les quatre autres propriétés sont automatiquement vérifiées. On dit alors que ABCD est un parallélogramme. 1) Les côtés opposés du quadrilatères ABCD sont parallèles deux à deux. 2) Le quadrilatère n est pas croisé et il possède deux côtés parallèles et de longueurs égales (vecteurs égaux). 3) Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatères se coupent en leur milieu. 4) ABCD n est pas croisé et ses côtés sont deux à deux égaux. 5) ABCD a ses angles opposés égaux. (rem. : ceci entraîne que les angles adjacents de ABCD sont supplémentaires) Prop. 2 Les trois propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent les quadrilatères qu on appelle les rectangles. 1) Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu (parallélogramme) et sont de longueurs égales. 2) ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit. 3) ABCD est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Prop. 1 (Théorème de Thalès) triangles tels que : Soit OAB et OMN deux 1) O, A, M d une part et O, B, N, d autre part soient alignés ; 2) les droites (AB) et (MN) soient parallèles. Alors, (on peut conclure que) les longueurs des côtés des deux triangles se correspondent de manière proportionnelle : plus précisément, on obtient que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : OA OB AB OM ON MN Autrement dit, on a les égalités suivantes : OA OM = OB ON = AB MN. Rem. Dans la configuration précédente, du fait du parallélisme, O, A, M d une part et O, B, N d autre part sont alignés dans le même ordre. Il faudra par contre préciser cette condition pour pouvoir appliquer la proposition suivante : Prop. 2 (Réciproque du théorème de Thalès) OAB et OMN deux triangles tels que Soit 1) O, A, M d une part et O, B, N, d autre part soient alignés dans le même ordre ; 2) OA OM = OB ON Alors, (on peut conclure que) les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 5

6 22. symétrie centrale et symétrie axiale Def. 1. Image d un point par la symétrie centrale de centre O L image de O est lui-même. Si M est un point distinct de O, alors l image de M est le point M tel que O soit le milieu de [M, M ]. Def. 1. Image d un point par la symétrie axiale d axe. L image d un point de est lui-même. Si M est un point n appartenant pas à, alors l image de M est le point M tel que soit la médiatrice de [M, M ]. Def. 2. Image d une figure Soit F une figure du plan c est à dire un ensemble (fini ou infini) de points. On appellera image de F par une symétrie axiale ou centrale l ensemble formé par les images des points de F par cette symétrie. Rem. 1 Pour dessiner l image d une forme quelconque par symétrie axiale, on peut plier la feuille le long de l axe, ou utiliser du papier calque ou un miroir (à condition que la figure ne traverse pas l axe). Pour la symétrie centrale, c est plus compliqué (c est pour cela qu elle n est pas au programme de l école primaire) mais on peut cependant grâce à du papier calque faire pivoter la figure de 180 autour du centre. Def. 3. Centre de symétrie d une figure On dit qu une figure F (ensemble de points) admet un centre de symétrie O si par la symétrie de centre O tout point de F se transforme en un point de F. (On dit que F est globalement invariante par la symétrie de centre O.) équilatéral est invariant par une rotation de 60 autour de son centre de gravité. (Propriété analogue pour les autres polygones réguliers ayant un nombre impair de côtés.) Prop. 1. Axe(s) de symétrie des figures usuelles Un triangle isocèle non équilatéral admet un axe de symétrie (médiane issue du sommet principal). Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Un triangle non isocèle n a pas d axe de symétrie. Un rectangle non carré admet deux axes de symétrie et deux seulement qui sont les médiatrices de ses côtés. Un losange non-carré admet deux axes de symétrie et deux seulement qui sont ses diagonales. Un carré a donc quatre axes de symétrie. Un parallélogramme non rectangle et non losange n a pas d axe de symétrie. Toute droite passant par le centre d un cercle est un axe de symétrie du cercle. Un trapèze isocèle (les deux côtés non parallèles sont de même longueur) a un axe de symétrie et un seul qui est la médiatrice de ses côtés parallèles. Prop. 2. Conservation des distances des alignements La symétrie centrale et la symétrie axiale sont des isométries c est à dire qu elle conservent les alignements et les distances. Comme conséquence, l image d un segment est un segment de même longueur, l image d une droite est une droite, l image d un triangle est un triangle superposable (après retournement pour la symétrie axiale), l image d un secteur angulaire est un secteur angulaire de même angle, l image d un cercle est un cercle de même rayon etc. Rem. 2 Pour construire l image d un polygone, on peut ainsi se contenter de placer l image des sommets. Pour construire l image d un cercle, il suffit d avoir l image du centre. Rem. 3 Soit ABC un triangle tel que A, B et C se suivent sur le triangle dans le sens des aiguille d une montre. Soit A, B et C les images de ces points par une symétrie centrale, A, B et C les images de ces points par une symétrie axiale. Alors, A, B,et C se suivent dans le sens des aiguilles d une montre mais A, B et C se suivent dans le sens inverse. Def. 3. Axe de symétrie d une figure On dit qu une figure F admet un axe de symétrie si par la symétrie d axe tout point de F se transforme en un point de F. (On dit que F est globalement invariante par la symétrie de d axe.) Prop. 1. Centre de symétrie des figures usuelles Un parallélogramme admet un centre de symétrie qui est à l intersection des diagonales. Un cercle a un centre de symétrie (son centre!). Un trapèze n a pas de centre de symétrie sauf si c est un parallélogramme. Un polygone régulier ayant un nombre pair de côtés admet un centre de symétrie. (Pas de centre si le nombre de côtés est impair). Un triangle n admet pas de centre de symétrie (sinon il aurait deux côtés parallèles). Cependant, le triangle 6

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

Sommaire de la séquence 10

Sommaire de la séquence 10 Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

La médiatrice d un segment

La médiatrice d un segment EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser

Plus en détail

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879- Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les

Plus en détail

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

MAT2027 Activités sur Geogebra

MAT2027 Activités sur Geogebra MAT2027 Activités sur Geogebra NOTE: Il n est pas interdit d utiliser du papier et un crayon!! En particulier, quand vous demandez des informations sur les différentes mesures dans une construction, il

Plus en détail

point On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».

point On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets». Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. :

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. : Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Les Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.

Les Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition. Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles

Plus en détail

Le seul ami de Batman

Le seul ami de Batman Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective

Plus en détail

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment émntrer qu'un pint est le milieu d'un segment P 1 Si un pint est sur un segment et à égale distance de ses etrémités alrs ce pint est le milieu du segment. P 2 Si un quadrilatère est un alrs ses diagnales

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré?

Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence

Plus en détail

Exercices de géométrie

Exercices de géométrie Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Triangles isométriques Triangles semblables

Triangles isométriques Triangles semblables Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Exercice numéro 1 - L'escalier

Exercice numéro 1 - L'escalier Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?

Plus en détail

UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE

UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE Ce tournoi réunit 3 classes de CM1, CM2 et 6, chaque équipe essaye de réussir le plus grand nombre possible des 82 exercices proposés. Objectifs généraux : Pour les 6, accueillir

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

Construction de la bissectrice d un angle

Construction de la bissectrice d un angle onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite

Plus en détail

Ch.G3 : Distances et tangentes

Ch.G3 : Distances et tangentes 4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas

Plus en détail

Problèmes de dénombrement.

Problèmes de dénombrement. Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés : LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.

«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement. «Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier

Plus en détail

chapitre 4 Nombres de Catalan

chapitre 4 Nombres de Catalan chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE (18 points)

PARTIE NUMERIQUE (18 points) 4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Ecrire Savoir rédiger une réponse claire à une question

Ecrire Savoir rédiger une réponse claire à une question Champ Compétence Ecrire Savoir rédiger une réponse claire à une question Séance 1 : prise de conscience de la notion de réponse claire Etape 1 Proposer un document comportant des réponses "brutes", sans

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. ses côtés opposés. ses côtés opposés de. deux côtés opposés

Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. Si un quadrilatère a. ses côtés opposés. ses côtés opposés de. deux côtés opposés P1 P2 P3 P4 a a a a ses côtés opposés ses côtés opposés de deux côtés opposés ses diagonales qui se parallèles, alors c est même longueur alors parallèles et de même coupent en leur un c est un longueur

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur 29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Constructions au compas seul, complément

Constructions au compas seul, complément Constructions au compas seul, complément Jean-Pierre Escofier et Jean-Michel Le Laouénan Nous ajoutons une ramification au chapitre V du livre Théorie de Galois, Jean-Pierre Escofier, Dunod, 2004 : quelques

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Je découvre le diagramme de Venn

Je découvre le diagramme de Venn Activité 8 Je découvre le diagramme de Venn Au cours de cette activité, l élève découvre le diagramme de Venn et se familiarise avec lui. Pistes d observation L élève : reconnaît les éléments du diagramme

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

PRATIQUE DU COMPAS ou

PRATIQUE DU COMPAS ou PRTQU U OMPS ou Traité élémentaire de tous les traits servant aux rts et Métiers et à la construction des âtiments ZR, éomètre ii Reproduction de l édition de 1833, VNN, imprimerie TMON Père et ils, par

Plus en détail

Chapitre 14. La diagonale du carré

Chapitre 14. La diagonale du carré Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait

Plus en détail

EXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)

EXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES) EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Indications pour une progression au CM1 et au CM2

Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir

Plus en détail

Thème 17: Optimisation

Thème 17: Optimisation OPTIMISATION 45 Thème 17: Optimisation Introduction : Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l aide d une formule contenant une fonction. Il peut s agir

Plus en détail

Proposition de programmes de calculs en mise en train

Proposition de programmes de calculs en mise en train Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Plus en détail

Maîtriser les fonctionnalités d un traitement de texte (Word OpenOffice)

Maîtriser les fonctionnalités d un traitement de texte (Word OpenOffice) Utilisation de l'ordinateur et apport des TIC en enseignement (1NP) Module 03 Maîtriser les fonctionnalités d un traitement de texte. Sens du Module De nombreux documents remis aux enfants sont réalisés

Plus en détail

EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2

EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2 Les enseignants de CM2 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2 Mathématiques Livret enseignant NOMBRES ET CALCUL Circonscription de METZ-SUD Page 1 Séquence 1 : Exercice

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

TBI et mathématique. Pour vous soutenir dans votre enseignement des mathématiques. Les outils du logiciel Notebook. les ressources internet

TBI et mathématique. Pour vous soutenir dans votre enseignement des mathématiques. Les outils du logiciel Notebook. les ressources internet TBI et mathématique Pour vous soutenir dans votre enseignement des mathématiques Dessin tiré du site www.recitus.qc.ca Les outils du logiciel Notebook et les ressources internet Document préparé par France

Plus en détail

UTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME

UTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME I.U.F.M Académie de Montpellier Site de Montpellier BUFFET Charles UTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME Contexte du mémoire Discipline : Mathématiques

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Livret de liaison Seconde - Première S

Livret de liaison Seconde - Première S Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail