Aide mémoire pour la géométrie plane. 1. Notations
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- Sylvie Beaudet
- il y a 4 ans
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1 Aide mémoire pour la géométrie plane 1. Notations Soit A et B deux points distincts. On note : (AB) la droite qui passe par ces deux points ; [AB] le segment d extrémités A et B ; AB la distance entre A et B (longueur du segment [AB]) ; [AB) la demi-droite d extrémité A et contenant B. Les symboles (appartient), et ne sont pas des abréviations mais des symboles de relations entre deux symboles mathématiques (point et droite, droite et droite) tout comme = ou <. peut définir l angle α m. L angle n α se définit alors comme n m fois le précédent angle et enfin, par extension (passage à la limite), on peut se représenter ce que signifie l angle xα avec x R. Le degré est une unité d angle qui correspond à l angle plat divisé par 180 (où l angle plein divisé par 360). 2. Secteur angulaire Angle Def. 1. Secteur angulaire Soit trois points distincts A, O, et B non alignés. Les deux demi-droites [OA) et [OB) délimitent deux régions qu on appelle secteur angulaire rentrant et secteur angulaire saillant (voir figure). Si les trois points A, O, et B sont alignés dans cet ordre les deux régions deviennent deux demi-plans qu on peut aussi appeler secteurs plats. Si les deux demi-droites sont confondues on parle de secteur plein (qui correspond à 360 ) et de secteur vide (0 ). Def. 2. Angle On dit que deux secteurs angulaires ont le même angle s ils sont superposables après déplacement (translation suivie de rotation). On définit ainsi une nouvelle grandeur : l angle. Rem. Il est pratique de se servir d un cercle de centre O, d un point fixe I sur ce cercle et d un point mobile M sur le cercle pour représenter les angles. On peut obtenir tous les angles possibles lorsque le point M se déplace sur le cercle. De plus, chacun des deux secteurs définis par les demi-droites [OI) et [OM), contient un arc de cercle (arc intercepté) et lorsque M se déplace, il y a proportionnalité entre les angles de ces secteurs et les longueurs des arcs interceptés. C est sur ce principe que l on construit les graduations des rapporteurs. Normalement on ne devrait pas parler d angle supérieur à 360 mais pourtant on dit bien par exemple que la somme des angles d un pentagone non croisé est de 540. Le cercle permet de comprendre ce que cela signifie : un tour et demi. Def. 4. Notation - angle aigu - angle obtus - angles supplémentaires - angles complémentaires Pour deux demi-droites [OA) et [OB) on notera ÂOB l angle représenté, suivant le cas de figure, par le secteur vide, saillant ou les secteurs plats (0 ÂOB 180 ) : on peut se passer de l angle rentrant pour décrire la figure formée par deux demidroites. Deux secteurs et un seul angle Def. 3. Somme - produit par un nombre - mesure en degré Si 0 ÂOB < 90 on dit que l angle est aigu. Si ÂOB = 90 (demi angle plat), on dit que l angle est droit. Si 90 < ÂOB < 180 on dit que l angle est obtus. α α+β β En représentant deux angles α et β par des secteurs angulaires de même origine, on peut définir la somme de deux angles α + β (voir figure) ou la différence du plus grand par le plus petit. On peut ainsi par itération définir l angle nα, avec n entier (à condition de ne pas dépasser l angle plein). En découpant le secteur d angle α en m secteurs superposables (m N) on Deux angles sont supplémentaires si leur somme est l angle plat. Deux angles sont dit complémentaires si leur somme est l angle droit. 3. Droites parallèles Def. Deux droites d et d sont dites parallèles si : 1) ou bien elles n ont pas de point d intersection (elles ne se rencontrent jamais) ; 1
2 2) ou bien elles sont confondues. On note d d. Ne jamais écrire : est à. Rem. Autrement dit, deux droites sont parallèles si elles ont la même direction (cf. les vecteurs). Prop. Si (on sait que) deux droites sont parallèles à une même troisième, alors (on peut conclure qu )elles sont parallèles entre elles. 4. Angles opposés par le sommet - Angles correspondants - Angles alternes-internes Def. Cette droite est appelée médiatrice du segment. Prop. 2 La médiatrice du segment [AB] sépare le plan en deux demi-plans : le demi-plan contenant A est l ensemble des points situés plus près de A que de B ; le demi-plan contenant B est l ensemble des points situés plus près de B que de A. Prop. 3. Dans un triangle Les médiatrices de chacun des côtés se rencontrent en un point qui est situé à égale distance des sommets. C est le centre du seul cercle passant par les trois sommets et qu on appelle le cercle circonscrit au triangle. Prop. 1. Dans une figure du type de celle ci-dessus formée deux droites sécantes, on peut affirmer que les deux angles (des secteurs) dits opposés par le sommet sont égaux. 7. Cercle Def. 1 Le cercle de centre O et de rayon r est l ensemble des points situés à la distance r du point O. Prop. Une droite et un cercle peuvent ou bien ne pas se rencontrer, ou bien se rencontrer en deux points, ou bien en un seul point. Dans ce dernier cas de figure, la droite est perpendiculaire à un rayon du cercle et on dit qu elle est tangente au cercle. Prop. 2. Dans une figure du type de celle ci-dessus formée d une droite coupant deux droites parallèles on peut affirmer que les deux angles (des secteurs) dits correspondants sont égaux. Cette propriété combinée avec la propriété précédente donne que les deux angles (des secteurs) dits alternes-internes sont égaux. 5. Droites perpendiculaires Prop. 1 Si (on sait que) deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors (on peut conclure qu )elles sont parallèles entre elles. Prop. 2 Si (on sait que) deux droites sont parallèles, alors (on peut conclure que) toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. 6. Médiatrice d un segment Def. 2 Si un cercle passe par les sommets d un polygone, on dit que le cercle est circonscrit au polygone, et que le polygone est inscrit dans le cercle. 8. Angle inscrit - Angle au centre Def. 3 (Angle inscrit) L angle d un secteur angulaire dont le sommet est sur le cercle est dont les côtés coupent le cercle est appelé (par abus de langage) angle inscrit dans ce cercle. Def. 4 (Angle au centre) L angle d un secteur angulaire dont le sommet est le centre d un cercle est appelé (par abus de langage) angle au centre de ce cercle. Prop. 1 L ensemble des points situés à égale distance des extrémités d un segment est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu. Def. 5 (Arc intercepté) Soit C un cercle de centre O. Deux points A et B distincts sur C et non diamétralement opposés définissent un petit arc et un grand arc : portions de cercle délimités par ces deux points. Suivant que l on considère le secteur angulaire saillant ou rentrant défini par les demi-droites [OA) et [OB), on intercepte le petit ou le grand arc. On dira par abus de langage que les angles 2
3 interceptent les arcs (dans le cas d un angle plat on intercepte les demi-cercles). De même si M est un point de C distinct de A et de B, l angle inscrit (toujours saillant) M AB intercepte le petit ou le grand arc délimité par A et B (suivant la position de M). On a alors la proposition suivante : Rem. 2 L ensemble des point situés à 2 cm d un droite d est constituée de deux droites parallèles à d. L ensemble des points situés à moins de 2 cm de d est constitué par la bande comprise entre ces deux droites. 10. Hauteur dans un triangle Def. La hauteur issue de A dans le triangle ABC est la droite d passant par A et perpendiculaire à (BC). Rem. Soit H la projection orthogonale de A sur [BC]. On utilise aussi le mot hauteur pour désigner le segment [AH] ou la longueur (AH). Prop. 1. (Théorème de l angle inscrit) Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc. Rem. 1 Dans le cas d un demi-cercle, l angle inscrit est alors un angle droit et on retrouve la proposition 4 de la section 16.. Prop. 2. (Corollaire de la précédente) interceptent le même arc sont égaux. Deux angles qui Prop. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre. Prop. 3. (Réciproque) Si A et B sont deux points donnés et α un angle donné, alors l ensemble des points M tel que ÂM B = α est la réunion de deux arcs de cercles d extrémités A et B privés des points A et B. L ensemble des points M tel que ÂMB = 90 est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. 11. Médianes dans un triangle Def. La médiane issue de A dans le triangle ABC est la droite qui passe par A et par le milieu I de [BC]. (La médiane désigne aussi parfois le segment [AI].) Rem. La médiane partage le triangle en deux triangles d aires égales. (De plus, on peut poser en équilibre un triangle en carton sur une règle placée le long de la médiane. Pour le voir, imaginer que le triangle est formée d un grand nombre de fines bandelettes parallèles à un des côté : chacune tenant en équilibre sur la médiane qui passe par le milieu de chacune de ces bandelettes.) 9. Distance d un point à une droite Prop. Soit d une droite et A un point non situé sur d. Soit H le point de d tel que (AH) d. Le segment [AH] est alors le chemin le plus court pour aller du point à la droite. Autrement dit, parmi les points de d, le point H est celui qui est le plus proche de A. Prop. 1 Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle. (On peut poser en équilibre un triangle en carton à plat sur son doigt si et seulement si le doigt est placé sur le centre de gravité.) Def. La longueur AH est appelée distance du point A à la droite d. On dit que H et la projection orthogonale de A sur la droite d. ( La distance d un point à une droite est donc la longueur du plus court chemin pour aller du point à la droite.) Rem. 1 La phrase placer un point P à 2 cm de la droite d signifie qu il faut placer P tel que la distance (du plus court chemin) de P à d soit 2 cm : il faut tracer un perpendiculaire à d placer P sur cette perpendiculaire à 2 cm du point d intersection Prop. 2 Le centre de gravité est situé au deux-tiers de la médiane en partant du sommet. 12. Bissectrice d un angle Def. Soit ABC trois points non-alignés. La droite qui passe par A et qui partage le secteur angulaire saillant (mais aussi le rentrant) en deux secteurs de même angle est appelée (par abus de langage) la bissectrice de l angle BAC 3
4 Prop. 1 Les points de la bissectrice de BAC sont à égale distance de (AB) et de (AC). Prop. 1 (Théorème de Pythagore) Si (on sait que) ABC est rectangle en A, alors (on peut conclure que) BC 2 = AB 2 + AC 2. Rem. Ce théorème permet de calculer un côté du triangle rectangle connaissant les deux autres ou de s assurer qu un triangle n est pas rectangle. Prop. 2 Dans un triangle ABC, les trois bissectrices sont concourantes en un point qui est à égale distance des trois droites (AB), (BC) et (AC). Ce point est le centre d un cercle qui admet ces trois droites pour tangentes. C est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Prop. 2 (Théorème réciproque) Si (on sait que) ABC est tel que BC 2 = AB 2 +AC 2 alors (on peut conclure que) ABC est un triangle rectangle en A. Ainsi, la relation de Pythagore caractérise les triangles rectangles Prop. 3 Si (on sait qu ) un triangle rectangle est inscrit dans un cercle alors (on peut conclure que) le diamètre du cercle est égal à l hypoténuse du triangle. Prop. 3 bis (équivalente) Si (on sait qu ) un triangle est rectangle, alors (on peut conclure que) la médiane issue du sommet de l angle droit est égale à la moitié de l hypoténuse. 13. Côtés et angles d un triangle Prop. 1 Dans un triangle ABC on a AC < AB + BC. Prop. 2 La somme des angles d un triangle est égale à l angle plat : 180. Prop. 4 (réciproque des précédentes) Si (on sait que) trois points sur un cercle sont tels que deux d entre eux sont diamétralement opposés, alors (on peut conclure que) ces trois points forment un triangle rectangle. Prop. 4 bis (équivalente à prop4) Si (on sait que) dans un triangle ABC, la médiane issue de A est égale à la moitié de BC, alors (on peut conclure que) ABC est rectangle en A. 14. Triangle isocèle Def. Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Si AB = AC on dit que ABC est isocèle en A ou isocèle de sommet principal A. Prop. 1 Un triangle est isocèle si et seulement si il possède deux angles égaux Prop. 2 Un triangle isocèle possède un axe de symétrie : la médiatrice de la base principale qui est aussi la hauteur, la médiane et la bissectrice issue du sommet principal. 15. Triangle équilatéral Def. C est un triangle qui possède trois côtés égaux (triplement isocèle). Rem. Pour construire un angle 60 et de 30, construire un triangle équilatéral ainsi qu une de ses médianes. 16. Triangle rectangle Def. C est un triangle qui possède un angle droit. Si ABC est rectangle en A alors les côtés [AB] et [AC] sont appelés côtés de l angle droit et le côté [BC] est appelé hypoténuse. L hypoténuse est le côté le plus long (voir distance d un point à une droite). 17. Droite des milieux Prop. 1 Si (on sait qu ) une droite passe par les milieux des côtés d un triangle alors (on peut conclure qu )elle est parallèle au troisième côté. Prop. 2 Si (on sait qu )une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un autre côté, alors (on peut conclure qu )elle coupe le troisième côté en son milieu. Prop. 3 Le segment qui joint les milieux des deux côtés d un triangle a pour longueur la moitié du troisième côté. 18. Polygones Le polygone ABCDE... est un figure géométrique obtenue en joignant par des segments des points A, B, C, D etc.. dans cet ordre, chacun au suivant le dernier point étant relié au premier. Un polygone à trois côtés est appelé triangle. Pour quatre côtés on dit quadrilatère, cinq côtés : pentagone, six côtés : hexagone, sept côtés : heptagone, huit côtés : octogone. Les deux côtés d un polygone sont dits adjacents s ils ont 4
5 une extrémité en commun. Lorsque dans un polygone, seuls les côtés adjacents ont un point en commun, alors on dit que le polygone est non-croisé (croisé dans le cas contraire). Lorsque pour chacun des côtés d un polygone, le polygone se trouve tout entier dans un des demi-plan limité par la droite support du côté, alors on dit que le polygone est convexe. Un polygone convexe peut être obtenu comme une intersection de demi-plans. Conséquence pratique : un élastique tendu autour d un polygone convexe en carton est partout plaqué sur les côtés ; pour découper un polygone convexe on n a pas à avoir peur de donner de trop grands coups de ciseaux. Lorsque le polygone est inscrit dans un cercle et que chacun des côtés a la même longueur, on dit que le polygone est régulier. Un polygone est régulier si et seulement si tous ses angles au sommet sont égaux et les longueurs de tous ses côtés sont égales. Prop. 3 Les trois propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent les losanges. 1) ABCD a quatre côtés de même longueur. 2) ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. 3) ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu (parallélogramme) et qui sont perpendiculaires. Prop. 4 Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent les carrés. 1) ABCD est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur. 2) Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont égales. 3) ABCD est un losange qui a un angle droit. 4) ABCD est un losange et un rectangle. 21. Triangles en configuration de Thales Exemples : triangle équilatéral, carré, étoile mais pas losange en général (pas les losanges non carrés). 19. Quadrilatères Def. Dans un quadrilatère ABCD, deux côtés qui ne se suivent pas comme [AB] et [CD] sont appelés côtés opposés ; les segments [AC] et [BD] sont appelés diagonales. Un quadrilatère qui a deux côtés (opposés) parallèles est appelé un trapèze. 20. Parallélogrammes Prop. 1 Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes : c est à dire que chaque fois que l on sait que le quadrilatère ABCD possède l une de ces cinq propriétés (grâce à une démonstration ou directement d après les hypothèses d un énoncé) alors on pourra conclure que les quatre autres propriétés sont automatiquement vérifiées. On dit alors que ABCD est un parallélogramme. 1) Les côtés opposés du quadrilatères ABCD sont parallèles deux à deux. 2) Le quadrilatère n est pas croisé et il possède deux côtés parallèles et de longueurs égales (vecteurs égaux). 3) Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatères se coupent en leur milieu. 4) ABCD n est pas croisé et ses côtés sont deux à deux égaux. 5) ABCD a ses angles opposés égaux. (rem. : ceci entraîne que les angles adjacents de ABCD sont supplémentaires) Prop. 2 Les trois propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent les quadrilatères qu on appelle les rectangles. 1) Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu (parallélogramme) et sont de longueurs égales. 2) ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit. 3) ABCD est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Prop. 1 (Théorème de Thalès) triangles tels que : Soit OAB et OMN deux 1) O, A, M d une part et O, B, N, d autre part soient alignés ; 2) les droites (AB) et (MN) soient parallèles. Alors, (on peut conclure que) les longueurs des côtés des deux triangles se correspondent de manière proportionnelle : plus précisément, on obtient que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : OA OB AB OM ON MN Autrement dit, on a les égalités suivantes : OA OM = OB ON = AB MN. Rem. Dans la configuration précédente, du fait du parallélisme, O, A, M d une part et O, B, N d autre part sont alignés dans le même ordre. Il faudra par contre préciser cette condition pour pouvoir appliquer la proposition suivante : Prop. 2 (Réciproque du théorème de Thalès) OAB et OMN deux triangles tels que Soit 1) O, A, M d une part et O, B, N, d autre part soient alignés dans le même ordre ; 2) OA OM = OB ON Alors, (on peut conclure que) les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 5
6 22. symétrie centrale et symétrie axiale Def. 1. Image d un point par la symétrie centrale de centre O L image de O est lui-même. Si M est un point distinct de O, alors l image de M est le point M tel que O soit le milieu de [M, M ]. Def. 1. Image d un point par la symétrie axiale d axe. L image d un point de est lui-même. Si M est un point n appartenant pas à, alors l image de M est le point M tel que soit la médiatrice de [M, M ]. Def. 2. Image d une figure Soit F une figure du plan c est à dire un ensemble (fini ou infini) de points. On appellera image de F par une symétrie axiale ou centrale l ensemble formé par les images des points de F par cette symétrie. Rem. 1 Pour dessiner l image d une forme quelconque par symétrie axiale, on peut plier la feuille le long de l axe, ou utiliser du papier calque ou un miroir (à condition que la figure ne traverse pas l axe). Pour la symétrie centrale, c est plus compliqué (c est pour cela qu elle n est pas au programme de l école primaire) mais on peut cependant grâce à du papier calque faire pivoter la figure de 180 autour du centre. Def. 3. Centre de symétrie d une figure On dit qu une figure F (ensemble de points) admet un centre de symétrie O si par la symétrie de centre O tout point de F se transforme en un point de F. (On dit que F est globalement invariante par la symétrie de centre O.) équilatéral est invariant par une rotation de 60 autour de son centre de gravité. (Propriété analogue pour les autres polygones réguliers ayant un nombre impair de côtés.) Prop. 1. Axe(s) de symétrie des figures usuelles Un triangle isocèle non équilatéral admet un axe de symétrie (médiane issue du sommet principal). Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Un triangle non isocèle n a pas d axe de symétrie. Un rectangle non carré admet deux axes de symétrie et deux seulement qui sont les médiatrices de ses côtés. Un losange non-carré admet deux axes de symétrie et deux seulement qui sont ses diagonales. Un carré a donc quatre axes de symétrie. Un parallélogramme non rectangle et non losange n a pas d axe de symétrie. Toute droite passant par le centre d un cercle est un axe de symétrie du cercle. Un trapèze isocèle (les deux côtés non parallèles sont de même longueur) a un axe de symétrie et un seul qui est la médiatrice de ses côtés parallèles. Prop. 2. Conservation des distances des alignements La symétrie centrale et la symétrie axiale sont des isométries c est à dire qu elle conservent les alignements et les distances. Comme conséquence, l image d un segment est un segment de même longueur, l image d une droite est une droite, l image d un triangle est un triangle superposable (après retournement pour la symétrie axiale), l image d un secteur angulaire est un secteur angulaire de même angle, l image d un cercle est un cercle de même rayon etc. Rem. 2 Pour construire l image d un polygone, on peut ainsi se contenter de placer l image des sommets. Pour construire l image d un cercle, il suffit d avoir l image du centre. Rem. 3 Soit ABC un triangle tel que A, B et C se suivent sur le triangle dans le sens des aiguille d une montre. Soit A, B et C les images de ces points par une symétrie centrale, A, B et C les images de ces points par une symétrie axiale. Alors, A, B,et C se suivent dans le sens des aiguilles d une montre mais A, B et C se suivent dans le sens inverse. Def. 3. Axe de symétrie d une figure On dit qu une figure F admet un axe de symétrie si par la symétrie d axe tout point de F se transforme en un point de F. (On dit que F est globalement invariante par la symétrie de d axe.) Prop. 1. Centre de symétrie des figures usuelles Un parallélogramme admet un centre de symétrie qui est à l intersection des diagonales. Un cercle a un centre de symétrie (son centre!). Un trapèze n a pas de centre de symétrie sauf si c est un parallélogramme. Un polygone régulier ayant un nombre pair de côtés admet un centre de symétrie. (Pas de centre si le nombre de côtés est impair). Un triangle n admet pas de centre de symétrie (sinon il aurait deux côtés parallèles). Cependant, le triangle 6
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