Lycée Louise Michel DEVOIR COMMUN N 1. Le 19/11/2014 MATHEMATIQUES. Série S. Enseignement obligatoire. Durée de l épreuve : 2 heures

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1 Lycée Louise Michel DEVOIR COMMUN N 1 Le 19/11/2014 MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l épreuve : 2 heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Le sujet comporte 6 pages. Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 1

2 Exercice 1 Soit ABC un triangle ; soit I le milieu de [AC] ; soient K et L tels que AK = AB et BL = 2 CB. 5 On souhaite démontrer de deux façons différentes que les points I, K et L sont alignés. Partie A : Méthode sans repère 1. Placer les points K et L sur l annexe En utilisant l égalité KL = KA + AB + BL, exprimer KL en fonction des vecteurs AB et CB.. Montrer que IK = 1 AB + 1 CB En déduire que les points I, K et L sont alignés. On choisit le repère ( A ; AB, AC ). Partie B : Méthode avec repère 1. Donner les coordonnées de A, B, C et I. Aucune justification n est demandée. ( ) 2. Montrer que les coordonnées de K et L sont : K 5 ; 0 et L ( ; 2).. Montrer que les points I, K et L sont alignés. Exercice 2 Dans cet exercice, on peut être amené à utiliser les résultats suivants : Une médiane d un triangle est une droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes d un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle. Le centre de gravité G d un triangle se trouve aux 2 de chaque médiane, à partir du sommet. Autrement dit, si (AA ) est une médiane dans un triangle ABC, alors AG = 2 AA. M est un point de la médiatrice du segment [AB] si et seulement si MA = MB. Dans un repère orthonormé, pour tous points A et B du plan : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Dans un repère orthonormé, on considère les points A (1 ; ), B (5 ; 1) et C (4 ; 5). On utilisera l annexe 2 pour la figure. 1. On considère la droite D d équation x + 2y 9 = 0. a. Représenter D. b. Déterminer une équation de la droite (AB). c. Montrer que les droites (AB) et D ne sont pas parallèles. d. Déterminer les coordonnées du point d intersection de ces deux droites. 2. a. Déterminer les coordonnées du point E, milieu de [AB]. b. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de C dans le triangle ABC. c. Déterminer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC.. a. Le point D a pour coordonnées (0 ; 7). Montrer que ABCD est un parallélogramme. b. D appartient-il à la médiatrice de [AC]? Peut-on affirmer que ABCD est un losange? 2

3 Exercice Sur la figure ci-dessous, qui n est pas en taille réelle, ABCD est un carré de côté 10 cm et AMP N est un carré de côté x [0 ; 10]. On désigne par S(x) l aire en cm2 de la partie grisée. 1. a. Montrer que, pour tout x [0 ; 10] : S(x) = x 2 + 5x + 50 b. Déterminer la forme canonique de S(x). c. Déterminer la forme factorisée de S(x). 2. a. Justifier que S(x) admet un maximum sur [0 ; 10]. b. Déterminer ce maximum et interpréter géométriquement ce résultat.. Résoudre l inéquation S(x) < x 2. En donner une interprétation géométrique. Exercice 4 Une entreprise est en construction sur un terrain à une certaine distance d une route R. L objectif de l architecte responsable de cette construction est de déterminer le point de la route le plus proche de l entreprise afin de construire l allée la plus courte possible pour joindre l entreprise à cette route. Après étude, il constate que, dans un repère bien choisi, l entreprise peut être symbolisée par un point E de coordonnées (1 ; 0) et que la route peut être modélisée, sur cette portion, comme la représentation graphique R de la fonction x : x sur l intervalle [0 ; 1], comme indiqué sur l annexe. Soit M un point de R d abscisse x. On note EM = f(x). On rappelle que dans un repère orthonormé, pour tous points A et B du plan : 1. Montrer que, pour tout x R, f(x) = x 2 x + 1. AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 2. Soit g : x x 2 x + 1 la fonction définie sur R : a. Déterminer les variations de la fonction g sur R. b. En déduire celles de f sur l intervalle [0 ; 1].. a. Déterminer alors les coordonnées du point M qui minimise la longueur de l allée et donner cette longueur (dans l unité du repère). b. Placer ce point sur la figure et tracer cette allée.

4 Exercice 5 f est la fonction définie sur l intervalle [0 ; 1] par : f(x) = 5x 2 + 8x 2 1. On exécute l algorithme ci-dessous. Afin de suivre l évolution des contenus des différentes variables, compléter le tableau sur l annexe 4. Quelle valeur l algorithme affiche-t-il en sortie? 2. Expliquer le rôle de cet algorithme en précisant ce que représente la valeur de la variable M en sortie. Variables x, y, M sont des nombres réels k est un nombre entier naturel Initialisation x prend la valeur 0 M prend la valeur f(0) Traitement Pour k allant de 1 à 10 x prend la valeur x + 0, 1 y prend la valeur f(x) Si y > M alors M prend la valeur y Fin SI Fin Pour Sortie Afficher M 4

5 Feuille d annexes A rendre avec la copie NOM : Prénom : Classe : ANNEXE 1 : exercice 1 C B A 7 ANNEXE 2 : exercice 2 y x 5

6 ANNEXE : exercice y R x M O x E x ANNEXE 4 : exercice 5 k x 0 0,1 y 1, 25 M 2 1, 25 6