O, i, ) notées C et C.Leurtracéestdonnéenannexe.

Transcription

1 EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Soient f et g les fonctions définies sur l ensemble R des nombres réels par : f(x) =xe x et g(x) =x 2 e x. Les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal ( O, i, ) j sont respectivement notées C et C.Leurtracéestdonnéenannexe.. Etude des fonctions f et g a. Déterminer les ites des fonctions f et g en. b. Justifier le fait que les fonctions f et g ont pour ite en +. c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations respectifs. 2. Calcul d intégrales Pour tout entier naturel n, ondéfinitl intégralei n par : I = a. Calculer la valeur exacte de I. e x dx et, si n, I n = x n e x dx. b. Àl aided uneintégrationparparties,démontrerquepourtout entier naturel n : I n+ = +(n +)I n. c. En déduire la valeur exacte de I,puiscelledeI Calcul d une aire plane a. Étudier la position relative des courbes C et C. b. On désigne par A l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C et C,d autrepartentrelesdroitesd équationsrespectivesx =et x =. En exprimant A comme différence de deux aires que l on précisera, démontrerl égalité: A =3 e. 4. Etude de l égalité de deux aires Soit a un réel strictement supérieur à. On désigne par S(a) l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C et C,d autrepartentrelesdroitesd équationsrespectivesx =et x = a. On admet que S(a) s exprime par : S(a) =3 e a (a 2 + a +). L objectif de cette question est de prouver qu il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S(a) sont égales. a. Démontrer que l équation S(a) =A est équivalente à l équation : e a = a 2 + a +. b. Dans cette question, toute trace d argumentation, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Conclure, quant à l existence et l unicité du réel a, solutionduproblèmeposé. Page 5 / 6

2 FEUILLE ANNEXE Courbes de l exercice 4 C O 2 3 C 2 3 Page 6 / 6

3 EXERCICE 4 ) Etude des fonctions f et g a) Limite de f en. x = et e x = X + ex =+. Donc, f(x) =. f(x) = xe x =. Limite de g en. x2 =+ et e x =+. Donc, g(x) =+. g(x) = x2 e x =+. b) Limite de f en +. Pour tout réel non nul x, f(x) =x e e x = e e x /x.d aprèsunthéorèmedecroissances e x comparées, =+ puis x + x x + e x = et donc /x f(x) = e x + x + e x /x =. f(x) =. x + Limite de g en +. Pour tout réel non nul x, g(x) =x 2 e e x = e e x /x 2.D aprèsunthéorèmedecroissances e x comparées, =+ puis x + x2 x + e x = et donc /x2 g(x) = e x + x + e x /x 2 =. g(x) =. x + c) Variations de f. La fonction f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, f (x) = e x + x ( ) e x =( x)e x. Pour tout réel x, e x >et donc, pour tout réel x, f (x) est du signe de x. Onendéduitletableaudevariationsde le fonction f (f() = e = ). x + f (x) + f Variations de g. La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, g (x) =2x e x + x 2 ( ) e x =(2x x 2 )e x = x(2 x)e x. Pour tout réel x, e x >et donc, pour tout réel x, g (x) est du signe de x(2 x). Onendéduitletableaudevariations de le fonction g. 2) Calcul d intégrales x 2 + g (x) + g + a) La fonction x e x est continue sur le segment [, ]. DoncI existe. I = e x dx = [ e x] =( e ) ( e )=e. I = e. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, 2. Tous droits réservés.

4 b) Soit n un entier naturel. On a I n+ = fonctions u et v sont dérivables sur [, ] et pour x dans [, ] on a x n+ e x dx. Pourx dans [, ], posonsu(x) =x n+ et v(x) = e x.les u(x) =x n+ u (x) =(n + )x n v(x) = e x v (x) =e x De plus, les fonctions u et v sont continues sur [, ]. Onpeutdonceffectuer une intégration par parties et on obtient I n+ = x n+ e x dx = [ x n+ ( e x ) ] (n + )x n ( e x ) dx =( n+ ( e ) ( n+ e )) + (n + ) = +(n + )I n. x n e x dx (par linéarité de l intégrale) Pour tout entier naturel n, I n+ = +(n + )I n. c) I = + I = +(e ) =e 2 et I 2 = + 2 I = + 2(e 2) =2e 5. I = e 2 et I 2 = 2e 5. 3) Calcul d une aire plane a) La position relative de C et C est donnée par le signe de f(x) g(x) suivant les valeurs de x. Soitx un réel. Le signe de f(x) g(x) est donné dans le tableau suivant : f(x) g(x) =xe x x 2 e x = x( x)e x. x + f(x) g(x) + On en déduit que C est strictement au-dessous de C sur ],[ et sur ], + [, strictementau-dessusdec sur ], [ et C et C se coupent aux points de coordonnées (, ) et (, ). b) D après la question précédente, C est au-dessus de C sur [, ]. Donc,d aprèslaquestion2)c), A = (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx = I I 2 =(e 2) (2e 5) =3 e. A = 3 e. 4) Etude de l égalité de deux aires a) Soit a>. S(a) =A 3 e a (a 2 + a + ) =3 e e e a (a2 + a + ) =e e a (a2 + a + ) = a 2 + a + = e a (car e a ). b) Pour a, posonsh(a) =e a a 2 a de sorte que S(a) =A h(a) =. La fonction h est dérivable sur [, + [ et pour a, h (a) =e a 2a. Demême,lafonctionh est dérivable sur [, + [ et pour a, h (a) =e a 2. Pour a>, h (a) >e 2>.Donclafonctionh est strictement croissante sur [, + [. [ [ Puisque la fonction h est continue et strictement croissante sur [, + [,onsaitquepourtoutréelkde h (), h (a), a + l équation h (a) =k admet une solution et une seule dans ( [, + [. 2 a e a ) =+ >et d autre part h () =e 2 = En particulier, puisque a + ea 2a = a + ea e a e 3<,ilexisteununiqueréelα de [, + [ et même ], + [ tel que h (α) =. Puisquelafonctionh est strictement croissante sur [, + [, onendéduitquelafonctionh est strictement négative sur [, α[ et strictement positive sur ]α, + [ puis que la fonction h est strictement décroissante sur [, α] et strictement croissante sur [α, + [. http :// 7 c Jean-Louis Rouget, 2. Tous droits réservés.

5 Puisque h() =e 3<et que h est strictement décroissante sur [, α], pourtoutréela de [, α], onah(a) <.En particulier, pour tout réel a de [, α], onah(a) et d autre part, h(α) <. Ensuite, la fonction h est continue et strictement [ croissante [ sur [α, + [. On en déduit que pour tout réel k de h(α), h(a),l équationh(a) =k admet une unique solution dans [α, + [. a + En particulier, puisque ( h(a) = a + a + ea a2 e a a e a ) e a =+ >et que h(α) <,l équationh(a) = admet une unique solution dans [α, + [. En résumé, l équation h(a) = admet une unique solution dans [, + [ ou encore l équation S(a) =A admet une unique solution a dans [, + [. Onpeutmontrerque, 79 < a <,8. 2 C C a 2 http :// 8 c Jean-Louis Rouget, 2. Tous droits réservés.