Thème : Application affines en terminale
|
|
- Clotilde Chaput
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 6 ième ASSEMBLEE GENERALE de l Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants Thème : Application affines en terminale BOUGOUNI Présenté par : APROMARS/ Section Kadiolo APROMARS Bougouni
2 Introduction APPLICATION AFFINE Applications affines en terminale Dès le second cycle, en 9 ième année, on rencontre la notion de fonction affine en tant que fonction numérique dont la représentation graphique est une droite. A cette fonction on associe la fonction linéaire dont la représentation graphique est parallèle à celle de f et passe par l'origine. Cette fonction numérique vérifie c'est la première application linéaire rencontrée dans l'enseignement secondaire. Cette notion se généralise au plan et à l'espace. Déjà en 10 ième Sciences et 11 ième nous avons renforcé nos compétences relatives à une application. Et nous avons même rencontré l expression «application affine» (par morceaux). APROMARS Bougouni
3 En terminal, encore, on nous parle d application affine. On pourrait se poser la question suivante : «Qu est-ce que ce cours peut rapporter de plus?». En effet, il s agira pour nous d étendre cette notion dans le plan et même dans l espace (dimension 3). En outre, nous parlerons des éléments caractéristiques de quelques applications affines particulières. Bref, les objectifs généraux de ce cours sont : Etendre à l espace les transformations rencontrées dans le plan : translations, homothéties, symétrie centrale, réflexion et la rotation. Savoir trouver les éléments caractéristiques de ces transformations Investir ces compétences relatives à la géométrie. I. GENERALITE APROMARS Bougouni
4 Activité Applications affines en terminale Soit un vecteur du plan vectoriel, un nombre réel, et sont trois points du plan affine tels que :. On désigne par les images respectives des points et par la translation de vecteur. 1. a. Exprimer le vecteur en fonction de. b.quelle remarque faites-vous sur le coefficient de colinéarité? 2. a. Ecrire comme barycentre des points et. b.ecrire comme barycentre des points et. c. Quelle remarque faites-vous sur les coefficients de pondérations? On dit que la translation conserve le barycentre et le coefficient de colinéarité. 1.Définition APROMARS Bougouni
5 On appelle application affine de l espace dans toute application de dans qui conserve le barycentre. Remarques D une manière analogue on définit une application affine de la droite dans, une application affine du plan dans. Une application affine conserve le coefficient de colinéarité. 2.Application vectorielle associée à une application affine Rappel : est une application linéaire de dans signifie que pour tous vecteurs de et pout tout nombre réel α on a : a.définitions APROMARS Bougouni
6 Définition 1 Applications affines en terminale On appelle application vectorielle toute application de la droite vectorielle (respectivement du plan vectoriel ou de l espace vectoriel ) dans (respectivement dans ou dans ) De façon analogue : on appelle application ponctuelle toute application de la droite (respectivement du plan ou de l espace ) dans (respectivement dans ou dans ). Notons que : désignent respectivement l ensemble des points et des vecteurs d une droite. désignent respectivement l ensemble des points et des vecteurs du plan. désignent respectivement l ensemble des points et des vecteurs de l espace. APROMARS Bougouni
7 Définition 2 Soit une application affine. Applications affines en terminale On appelle application vectorielle associée à toute application qui, à tout vecteur de représentant associe le vecteur. Exemple 1 : soit une homothétie de et de rapport -2. On a : Donc l application vectorielle associée à est : Exercice-exemple 2 : Quelle est l application vectorielle associée à une translation du plan? b. Propriété APROMARS Bougouni
8 Soit une application affine du plan, φ l application vectorielle associée à est linéaire. Remarque On a : 3.propriétés Propriété 1 La composée de deux applications affines est une application affine. Propriété 2 Soit une application, une droite, les images respectives de A et B par Si alors l image de est le singleton Si alors l image de est la droite 4.Transformation affine APROMARS Bougouni
9 Activité (relative à la bijection) a.définition On appelle transformation affine de (respectivement de, de ) toute application affine bijective de dans ( respectivement de dans, de dans ) b. Propriétés Propriété 1 La réciproque d une transformation affine est une transformation affine. Propriéte2 Soit une application affine de la droite D. Si est bijective alors Si n est pas bijective alors est un singleton. Propriété 3 Soit une application affine du plan. Si est bijective alors APROMARS Bougouni
10 Si n est pas bijective alors est un singleton ou une droite. Propriété 4 Soit une application affine de l espace E. Si est bijective alors Si n est pas bijective alors est un singleton ou une droite ou un plan. 5.Expression analytique d une application affine a.sur une droite D muni d un repère Activité La droite est muni d un repère Soit une application affine de dans. Soit a et b les abscisses respectives de et images respectives des points et. Le point d abscisse à pour image d abscisse. APROMARS Bougouni
11 1) Ecrire comme barycentre des points et, puis comme barycentre des points et 2) En déduire l expression de en fonction de. Retenons : l expression analytique d une application affine de dans est de la forme b. Dans le plan muni d un repère Le plan est muni d un repère. Soit f une application affine du plan dans lui-même. L expression analytique de f est la forme : Activité c. Exemple de détermination de l expression analytique d une application affine dans l espace APROMARS Bougouni
12 Soit l espace muni d un repère, la projection sur le plan d équation :, suivant la direction définie par le vecteur. Déterminer l expression analytique de. Cas général : L expression analytique d une application affine dans l espace muni d un repère est : Exercices d application Exercices relatifs aux applications linéaires Exercice 1 Soit φ l application définie par : Montrer que φ est linéaire. Exercice 2 APROMARS Bougouni
13 Soit une base de et φ une application linéaire définie par : 1) Déterminer les images des vecteurs et 2) Déterminer l expression analytique de φ dans base 3) Cette application est-elle bijective? Justifier votre réponse. Exercices relatifs aux applications ponctuelles Exercice 1 Soit le plan complexe. Soit l application définie de qui à tout d affixe associe le point d affixe tel que 1) Déterminer les coordonnés de l image du point par f. APROMARS Bougouni
14 2) Déterminer les coordonnées du point tel que Exercice 2 Soit une application définie de dont l expression analytique est la suivante : Déterminer l ensemble des points invariants par. II. AFFINITES DU PLAN 1.Définition Soit une droite, δ une direction de droite distincte de celle de et un nombre réel. On appelle affinité d axe, de direction δ et de rapport l application qui à tout point M du plan associe le point M tel que : où H est le projeté de M sur suivant la direction δ. Illustration APROMARS est l image Bougouni de par 14 l affinité d axe de direction δ et de rapport -1
15 2.Quelques affinités particulières Si la direction de est orthogonale à δ alors on parle d affinité orthogonale d axe est de rapport. Si alors on a une projection sur suivant la direction δ Si alors on a une projection identique du plan Si et que la direction de est orthogonale à δ alors on a une symétrie orthogonale d axe. Remarque : l ensemble des points invariants d une affinité est son axe. 3.Expression analytique d une affinité Le plan est muni du repère. APROMARS Bougouni
16 L expression analytique de l affinité d axe d équation, de direction celle de et de rapport est : Exercices Exercice 1 Soit une affinité de d axe, de direction δ et de rapport. Quelle est l image d un point de la droite par. Exercice 2 Dans le plan, on considère une droite et deux points distincts et n appartenant pas à. 1) A quelle condition existe-t-il une affinité d axe appliquant sur? Combien existe-t-il alors de telles affinités? APROMARS Bougouni
17 2) En supposant cette condition réalisée, construire l image d un point quelconque par cette affinité. III. DETERMINATION D UNE APPLICATION AFFINE 1.Détermination d une application affine par une application linéaire et un couple de points Théorème Etant donné un couple de point de l espace une application linéaire φ de l espace vectoriel dans lui-même, il existe une unique application affine de dans appliquant sur et associée à l application linéaire φ. De plus, pour tous points de : APROMARS Bougouni
18 2.Détermination d une application affine par l image d un repère a.application affine déterminée par l image d un repère de la droite Théorème Toute application affine de la droite dans est déterminée par l image d un repère de. Activité : Exemple de construction Soit A et B deux points de la droite. Les points et, de la même droite, leurs images respectives par une application affine. Construire l image du point par cette application. Théorème b. Application affine déterminée par l image d un repère du plan APROMARS Bougouni
19 Une application affine du plan dans est entièrement déterminée par l image d un repère du plan. Activité : Exemple de construction Les points, et sont trois points non alignés du plan et, et leurs images respectives par une application affine. Construire l image du points M par cette application. IV. QUELQUES APPLICATIONS AFFINES 1.Translation a.définition Soit un vecteur de l espace vectorielle. APROMARS Bougouni
20 On appelle translation de vecteur, notée, l application de l espace dans lui-même qui à tout point associe le point tel que :. b. Propriétés Propriété 1 Soit une application de l espace dans lui-même. est translation si et seulement si, pour tous points et d images respectives et, on a :. Propriété 2 Soit deux vecteurs de l espace vectoriel. La composée des translations de vecteurs respectifs et est la translation de vecteur. c. Expression analytique dans l espace L espace est muni du repère. APROMARS Bougouni
21 L expression analytique de la translation de vecteur est : 2.Homothéties a.définition Etant donné un point du plan P et un réel non nul, on appelle homothétie de centre et de rapport l'application qui, à tout point M, fait correspondre le point M' tel que. On la note. Remarques Si, l'homothétie se réduit à l'application identique. Si, l'homothétie est équivalente à la symétrie par rapport à (ou symétrie centrale de centre ). Dans la suite nous supposerons. APROMARS Bougouni
22 b. Propriétés Les points, et son image sont alignés. (D après ) Point invariant : Le centre de l'homothétie est le seul point invariant de l'application. (pour la démonstration, supposez qu'il existe un autre point invariant). Réciproque : Toute homothétie est bijective. Toute homothétie de centre et de rapport admet une réciproque qui est l'homothétie de centre et de rapport : Caractérisation d'une homothétie : Une homothétie de rapport transforme un APROMARS Bougouni
23 bipoint en un bipoint (M',N') :. Démonstration : Soit l'homothétie. On a :. Alors :, d'où. Réciproque : soit une application qui transforme le bipoint (, ) en (, ) tel que ( avec ). APROMARS Bougouni
24 On applique cette relation à un couple (, ) fixes et (, ) quelconque i.e.. si et sont confondus, on a alors et l'homothétie de centre et de rapport. si et sont distincts, il existe un point sur qui partage le segment dans le rapport. (avec ). On a : et, alors. Donc est l'homothétie qui transforme en. D'où le théorème suivant : Théorème Si une application affine transforme un point fixe en un point fixe et tout point en un point tel que ( ), cette application est une homothétie de rapport. Propriété 1 APROMARS Bougouni
25 Si sont trois points distincts et alignés alors il existe une homothétie de centre, et une seule, qui transforme en, c'est l'homothétie de rapport. Propriété 2 Si est un réel non nul ( ), sont des points tels que ne sont pas alignés et alors il existe une homothétie, et une seule, qui transforme en et en ; c'est l'homothétie de centre, intersection de et et de rapport. c. Composée de deux homothétiestranslations i. Composée de deux homothéties Soient deux homothéties de centre respectif et rapport respectifs. Si Si alors l'application composée est une translation. alors l'application composée est une homothétie. APROMARS Bougouni
26 ii. Composée d'une homothétie et d'une translation En utilisant les propriétés d'une homothétie et d'une translation, on démontre le théorème suivant : Théorème Si est l'homothétie de centre et de rapport ( ), la translation de vecteur non nul alors sont des homothéties de rapport dont les centres sont sur la droite passant par et de vecteur directeur. Exercice : Démontrer que des homothéties. sont d. Expression analytique dans le plan Soit l'homothétie de centre et rapport. Soit, des points du plan P tels que ' i.e. APROMARS Bougouni
27 On a : e. Expression analytique d une homothétie dans l espace Soit l'homothétie de centre et rapport. Soit, des points de l espace tels que ' i.e. On a : Remarque On remarque que l expression analytique d une translation ou d une homothétie est de la forme : nombre réel non nul. où, et sont trois réel, un APROMARS Bougouni
28 Si alors on a une translation de vecteur Si alors on a une homothétie de rapport Exercice Le plan est muni d un repère orthonormé On considère l application affine qui, à tout point de, de coordonnées, associe le point de coordonnées données par : 1) Déterminer l ensemble des points invariants par 2) Montrer que l image de par est une droite 3) Montrer que est une homothétie qu on déterminera et la projection orthogonale sur APROMARS Bougouni
29 3.Rotation dans le plan et dans l espace a.définitions Soit un point et un nombre réel. On appelle rotation de centre et d'angle, l'application, qui à tout point distinct de, associe le point telle que : et On la note.. θ Exemples : L'application identique est une rotation d'angle 0. est un demi-tour ou une symétrie centrale de centre ou une homothétie de centre et rapport. b. Propriétés APROMARS Bougouni
30 Pour toute rotation r de centre θ, on a : Applications affines en terminale et d angle un unique point invariant. La réciproque de la rotation r est une rotation de centre et d'angle. c. Composée de deux rotations Soit deux rotation et d angle respectifs. La composée est une rotation d'angle. d. Expression complexe d'une rotation Soit la rotation de centre et d'angle. Les points et sont tels que. Soient les affixes respectives des points On a : ce qui équivaut à : APROMARS Bougouni
31 Il en résulte que : Donc e. Expression analytique d une rotation dans le plan Soit la rotation de centre et d'angle. Les points et sont tels que. Soient les affixes respectives des points Posons : '. En utilisant la formule On montre que : APROMARS Bougouni
32 On vérifie que c'est de la forme : des nombres réels. Définition f. Rotation dans l espace Applications affines en terminale où et sont Soit une droite de l espace et un angle orienté, défini dans un plan orthogonal à. Pour tout point de, on désigne par le plan passant par et orthogonal à et par le point d intersection de et. On appelle la rotation d axe et d angle orienté, l application telle que : Si alors ; Si alors est caractérisé par : APROMARS Bougouni
33 Activité 1) Soit une rotation d axe de l espace. a) Quel est l ensemble des points de invariants par? b) Soit un point n appartenant pas à et son image par. Préciser la position relative de et du plan médiateur du segment. 2) Soit une rotation de d angle orienté plat et d axe. Montrer que, pour tout point de, d image par, le milieu de appartient à. 4.Symétries orthogonales a.réflexions Activité APROMARS Bougouni
34 Soit et deux point de l espace et le milieu du segment. Quel est l ensemble des points de équidistants de et? Réponse : le plan orthogonal à en ; c est le plan médiateur i. Définition Soit un plan de l espace. On appelle réflexion du plan, notée, l application de dans lui-même qui à tout point associe le point tel que : Si, alors Si, alors est le plan médiateur de ii. Propriétés Pour les deux propriétés suivante on désigne par un plan et la réflexion du plan. APROMARS Bougouni
35 Propriété 1 Si est un plan perpendiculaire à et leur droite d intersection, alors : est globalement invariant par La restriction de à est la symétrie orthogonale d axe. Propriété 2 Si est une droite orthogonale à en un point, alors : est globalement invariant par La restriction de à est la symétrie de centre. iii. Expression analytique d une réflexion L espace est muni du repère orthonormé. APROMARS Bougouni
36 L expression analytique de la réflexion de plan d équation est b. Demi-tour i. Définition Soit une droite de l espace. On appelle demi-tour d axe, noté, l application de dans lui-même qui à tout point associe le point tel que : Si, alors Si, alors est la médiatrice de ii. Propriétés Propriété 1 APROMARS Bougouni
37 Soit une droite de l espace, le demi-tour d axe et un plan orthogonal à en un point. est globalement invariant par La restriction de à est la symétrie de centre I. Propriété 2 La composée de deux réflexions de plans perpendiculaires suivant une droite est le demi-tour d axe. Tout demi-tour est la composée de deux réflexions de plans perpendiculaire suivant la droite iii. Expression analytique d un demitour APROMARS Bougouni
38 L espace est muni du repère orthonormé. L expression analytique du demitour d axe ayant pour équations est : Activité 1 Soit l espace muni du repère orthonormé directe. Soit le plan d équation et la droite orthogonale à passant par. Déterminer l expression analytique des transformations suivantes : 1) Réflexion 2) Demi-tour 3) APROMARS Bougouni
39 Activité 2 Applications affines en terminale Soit un tétraèdre dont la face est un triangle équilatéral et les faces,, sont des triangles rectangles isocèles. 1) Démontrer que la droite est orthogonale au plan. 2) Déterminer les plans et axes de symétrie de ce tétraèdre. 3) Préciser les images des points A, B, C et D par les transformations suivantes : a. Réflexion de plan b.réflexion de plan c. Demi-tour d axe d.demi-tour d axe 5.ISOMETRIE a.définition et propriété APROMARS Bougouni
40 i. Définition Applications affines en terminale On appelle isométrie du plan (ou de l espace) toute application qui conserve les distances, i.e. pour tous points,, si alors on a : Exemples : une translation, une rotation ou une symétrie axiale sont des isométries. Contre-exemple : une homothétie de rapport 2 n est pas une isométrie. ii. Propriété Le composé de deux isométries est une isométrie. Définition b. Composition et décomposition d isométries APROMARS Bougouni
41 On appelle Identité, notée, l application affine telle que pour tout point Propriété La symétrie axiale est une application involutive, i.e. pour toute droite Attention! En général, l ordre de composition des transformations est important, cette opération n est pas commutative :. Propriétés La composée de deux symétries axiales d axes parallèles est une translation Toute translation se décompose en deux symétries d axes parallèles, l un étant choisi, arbitrairement, perpendiculaire au vecteur de la translation. Exemple APROMARS Bougouni
42 Soient et deux droite parallèles et un point du plan. Si est le projeté orthogonal de M sur, on a tel que Si est le projété orthogal de sur, on a tel que. D où On a un vecteur fixe indépendant de M, ainsi ;. L ordre de la composition est important. On a : et On peut classer les isométries en deux : les déplacements et les antidéplacements Définition c. Déplacement APROMARS Bougouni
43 On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les angles orientés. Ce sont les translations et les rotations. Définition d. Antidéplacement On appelle antidéplacement toute isométrie qui change les angles orientés en leurs opposés. Ce sont les symétries axiales et les symétries glissées. APROMARS Bougouni
44 Difficultés Applications affines en terminale 1.Constructions géométriques 2.Détermination de l axe d une symétrie glissée 3.Détermination des éléments caractéristiques de la composée de deux rotations de centres distincts 4.Insuffisance de pré-requis 5.Contrainte de temps 6.Le passage du plan à l espace 7.Passage de l analytique à la géométrie et vice-versa. Solution 1.Concertation dynamique entre professeurs. 2.Formation continue des professeurs de Mathématiques. 3.Multiplication des activités de construction suivant un principe clairement défini. 4.Exécution d exemples concrets avec des objets réels et des projections si possible. APROMARS Bougouni
45 APROMARS Bougouni
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailDURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE
DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détail1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..
1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailPARTIE NUMERIQUE (18 points)
4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailOLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF
OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF Durée : 4 heures Les quatre exercices sont indépendants Les calculatrices sont autorisées L énoncé comporte trois pages Exercice
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailNom : Groupe : Date : 1. Quels sont les deux types de dessins les plus utilisés en technologie?
Nom : Groupe : Date : Verdict Chapitre 11 1 La communication graphique Pages 336 et 337 1. Quels sont les deux types de dessins les plus utilisés en technologie? Les dessins de fabrication. Les schémas.
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailRencontre des personnes-ressources en déficience motrice et organique RÉCIT MST - RÉCIT Adaptation scolaire Pierre Couillard
Rencontre des personnes-ressources en déficience motrice et organique RÉCIT MST - RÉCIT Adaptation scolaire Pierre Couillard Pylote (http://pascal.peter.free.fr/?17/pylote) Logiciels d aide en mathématique
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailGMEC1311 Dessin d ingénierie. Chapitre 1: Introduction
GMEC1311 Dessin d ingénierie Chapitre 1: Introduction Contenu du chapitre Introduction au dessin technique Normes Vues Traits Échelle Encadrement 2 Introduction Les dessins ou graphiques sont utilisés
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCatalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.
Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailLecture graphique. Table des matières
Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailComment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Plus en détailCercle trigonométrique et mesures d angles
Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailOscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détail