Devoir surveillé n o 5 (4

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Devoir surveillé n o 5 (4"

Transcription

1 Devoir surveillé n o 5 4 heures) Ce devoir es consiué d'un eercice e de deu problèmes de concours)l'ordre des eercices ne correspond à aucun crière de diculé ou de longueur : vous pouvez les raier dans l'ordre que vous voulez Veillez à soigner la copie an pour l'écriure, la propreé que pour la rédacion, la rigueur e l'argumenaion Vous numéroerez vos copies e ferez apparaîre clairemen sur la première page le nombre de copies La calcularice n'es pas auorisée Pour rappel, on donne cerains DL qui pourron êre uiles : il s'agi pour des raisons praiques à chaque fois de DL à l'ordre 4 en ep) = +! + 2 2! + 3 3! + 4 4! + 4), ln + ) = ) + = ) EXERCICE : Diérence symérique On considère un ensemble E non vide Pour A e B deu paries de E, on considère l'ensemble : A B = A B) \ A B) On rappelle que si C PE), la foncion indicarice de C es noée C Monrer que, pour ou couple A, B) de paries de E, on a : A B = A B ) 2 2 Monrer que pour ou couple A, B) de paries de E, on a : A B = A \ B) B \ A) 3 Monrer que : A, B, C) PE)) 3, A B) C = A B C) 4 Démonrer qu'il eise une unique parie de E, parie que l'on noera X e que l'on déerminera, elle que : A PE), A X = A = X A 5 Monrer que : A PE),!A PE) A A = X = A A PROBLEME I : On considère les foncions f e g dénies sur R + par : f) = ep ) e g) = f) PARTIE A : Généraliés Prouver que f e g son de classe C sur R + e que, pour ou R +, g) = f ) 2 Monrer que g es prolongeable par coninuié en e que le prolongemen encore noé g) es dérivable en 3 Dresser le ableau de variaions de g sur R +, puis en racer un graphe on donne e = 36 à 2 près) 4 Soi H la primiive sur R + s'annulan en de la foncion g a) Calculer H b) Former un développemen limié de H à l'ordre 3 au voisinage de 5 Soi n 3 un enier naurel On inrodui l'équaion E n ) : f) = n d'inconnue R + a) En uilisan la quesion 3, monrer que E n ) a une unique soluion α n dans ], [ Monrer de même que E n ) a une unique soluion dans ], + [, que l'on noera β n b) Monrer que les suies α n ) n 3 e β n ) n 3 son monoones c) Es-il possible que l'une de ces deu suies converge vers une limie l >? En déduire leurs limies )

2 PARTIE B : Foncions dénies par des inégrales On prolonge mainenan f à R + en posan f) = 6 Monrer que l'applicaion f ainsi prolongée es de classe C sur R + ; préciser f ) e monrer que l'égalié de la quesion de la parie A rese valable pour = 7 Soi R + On noe : F ) = f) d e G) = g) d Ces inégrales eisen car les foncions f e g son coninues sur R + a) Monrer que F ) = ep ) G) b) Monrer que pour ou, G) ln) + C où C = g) d c) En déduire que G) es négligeable devan au voisinage de + d) Déerminer un équivalen simple de F ) au voisinage de + 8 Résoudre sur R + l'équaion diérenielle E) : 2 y + y = 2 L'epression générale de la soluion fera apparaire la foncion F PARTIE C : Eude qualiaive d'une équaion diérenielle On considère mainenan une applicaion y soluion de E) : 2 y + y = 2 cee fois sur R + e on suppose que y es de classe C sur R + Nous allons, sans aucun calcul eplicie de y, déerminer enièremen la suie des u n = y n) ) à parir de l'équaion E) 9 Que vau u = y)? En dérivan E), calculer u = y ) puis u 2 = y ) Peu-on avoir y de la forme : α 2 + β + γ avec α, β, γ) R 3? 2 Soi n un enier naurel a) On suppose ici n 3 Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que, pour ou R + : 2 y n+) ) + + 2n) y n) ) + nn )y n ) ) = En déduire une relaion de récurrence enre u n e u n b) Donner une epression de u n en foncion de n en uilisan une facorielle, valable pour ou n 2 PROBLEME II : PARTIE I : ln + ) On considère la foncion f dénie par la relaion f ) = Déerminer l'ensemble de déniion D de f 2 Monrer que f adme en un prolongemen par coninuié On précisera par quelle valeur f es alors prolongée e on coninuera à appeler f le prolongemen ainsi obenu On appellera D le nouvel ensemble de déniion de f 3 f es-elle dérivable en? Si oui, préciser f ) Calculer f ) sur D puis prouver que f es de classe C sur D 4 Eudier les variaions de f On dressera son ableau de variaions On pourra uiliser la foncion auiliaire dénie par : ) = + ) ln + ) 2

3 PARTIE II : Dans la suie, on s'inéressera à l'inégrale suivane f ) d On noera L la valeur de cee inégrale mais on ne cherchera pas à calculer cee valeur Pour ou enier naurel n non nul on déni les polynômes P n X) = X X2 2 + X3 3 X X n n )n n = ) X e Q n X) = X X X3 3 2 X )n X n n 2 = n = = ) X 5 Jusier : [, ], ) n n = )n n 6 En déduire : [, ], P n ) = ln + ) ) n + d Dans oue la suie on noera : n N, [, ], R n ) = 2 + ) n + d 7 Eablir la majoraion : n N, [, ], R n ) n+ n + 8 Comparer pour ou ], ] : Q n ) e P n ) 9 En noan, g n l'applicaion dénie pour ou ], ] par g n ) = P n ) monrer : En déduire lim Q n ) n + Q n ) L g n ) d n + ) 2 ln + ) e g n ) =, Déerminer un enier naurel N el que Q N ) donne une valeur approchée de L à 4 près PARTIE III : On s'inéresse à présen au dérivées successives de f que l'on noe f n), n N Monrer que f es indénimen dérivable ], + [ 2 Calculer, f ) sur ], + [ 3 Monrer que pour ou enier naurel n non nul il eise un polynôme T n à coeciens réels e un réel a n els que : R +, f n) ) = T n ) + ) n + a ln + ) n n n+ 4 Monrer que ous les coeciens de T n son des eniers 5 En uilisan la formule de Leibniz calculer f n) ) e en déduire la valeur de T n On ne cherchera pas à eplicier une epression de chacun des coeciens de N) de ce polynôme Vérier cee epression pour n = 2 3

4 EXERCICE : Diérence symérique On considère un ensemble E non vide Pour A e B deu paries de E, on considère l'ensemble : A B = A B) \ A B) On rappelle que si C PE), la foncion indicarice de C es noée C Connaissan les foncions indicarices des inersecions, des réunions e des complémenaires, on a : A B = A B A B ) = A + B A B ) A B ) Ainsi, comme les foncions indicarices son égales à leurs carrés, on a : A B = A + B 2 A B = A B ) 2 ie A B = A B ) 2 2 On calcule de même la foncion indicarice de A \ B) B \ A) : A\B) B\A) = A B ) + B A ) A B ) B A ) = A + B 2 A B = A B Or les foncions indicarices caracérisen les paries donc pour ou couple A, B) de paries de E, on a : A B = A \ B) B \ A) 3 Soi A, B, C) PE)) 3 On calcule les foncions indicarices de A B) C e de A B C) On a : A B) C = A B C ) 2 = A + B + C 2 A B 2 B C 2 A C + 4 A B C e de même A B C) = A B C ) 2 = A + B + C 2 A B 2 B C 2 A C + 4 A B C Ainsi A B) C = A B C) : la diérence symérique es associaive 4 Par analyse-synhèse, monrons!x PE) A PE), A X = A = X A Analyse : Si une elle parie X eise Alors pour oue parie A de E, on a : A X = A ie A X ) 2 = A En pariculier avec la parie A = don la foncion indicarice es nulle, on a : 2 X = ie X = Synhèse : Soi X = Pour oue parie A de E, on a : A X = 2 A = A Donc A X = A E par commuaivié de, on a aussi A = X A Ainsi il eise une unique parie de E, X = elle que : A PE), A X = A = X A 5 Par analyse-synhèse, on monre : A PE),!A PE) A A = X = A A e A = A PROBLEME I : Soi f) = ep ) e g) = f) PARTIE A : Généraliés f es la composée de deu foncions de classe C : Donc f es de classe C sur R + sur R + e ep sur R g es le quoien de deu foncions de classe C sur R + don le dénominaeur ne s'annule pas sur R + donc g es de classe C sur R + On dérive f : R +, f ) = ep ) = f) 2 Donc 2 R +, g) = f ) ) ep 2 Par croissance comparée lim = + Donc g es prolongeable par coninuié en en posan g) = De plus, oujours par croissance comparée, g) g) = ep 2 ) Ainsi g es dérivable en e g ) = + 4

5 g ) g) On a pour > : g ) = e )f) 3 ae y 4 2 g) = ) ep ae ce qui es du signe de On en dédui le ableau de variaion : la limie en de g ) s'obien par comparaison des puissances e des eponenielles ainsi que celle en + de g) 4 Soi H la primiive sur R + s'annulan en de la foncion g a) Soi R + On a : H) = H) = 2e + )e ) e d Donc en inégran par paries, on obien : b) En uilisan le résula sur le produi e la somme de DL, on a : H + u) == 5 Soi n 3 un enier naurel On inrodui l'équaion E n ) : f) = n d'inconnue R + u + u e 6e u3 + u 3) a) On remarque qu'en divisan par l'équaion E n ) devien : g) = Or à la quesion 3, on a n monré : g coninue e sricemen croissane sur l'inervalle ], [ lim g =, lim g = + e Ainsi par le héorème d'homéomorphisme, g es une bijecion de ], [ vers n 3 > e, on a ] n, e ], [ Or comme e [ Donc il eise un unique α n ], [ soluion de E n ) De même il eise un unique β n ], + [ soluion de E n ) b) Soi n 3 On a g α n+ ) = n + < n = g α n) Comme α n e α n+ son dans ], [ inervalle sur lequel g es croissane, on en dédui : α n+ < α n Ainsi α n ) n 3 es décroissane De même β n ) n 3 es croissane c) On noe u n ) n 3 une quelconque de ces suies Supposons par l'absurde que u n ) n 3 converge vers l > En passan à la limie dans la relaion g u n ) = n, on a par coninuié de g en l, gl) = ce qui conredi R +, g) > il es impossible que l'une de ces deu suies converge vers une limie l > La suie α n ) n 3 es décroissane e minorée par Donc elle converge vers une limie l Or cee limie ne peu pas êre sricemen posiive dans le poin précéden, donc α n ) n 3 converge vers La suie β n ) n 3 es croissane e minorée par Donc soi elle diverge vers + soi elle converge vers un réel l Or elle ne peu pas converger vers un réel sricemen posiif d'après le poin précéden, donc β n ) n 3 diverge vers + 5

6 PARTIE B : Foncions dénies par des inégrales On prolonge mainenan f à R + en posan f) = 6 f es coninue sur R + e f) = f) Ainsi f es coninue sur R+ + f es de classe C sur R + ) Par croissance comparée, f ) = ep 2 qui es une limie nie + Ainsi par héorème de classe C par prolongemen, f es de classe C sur R + e f ) = On remarque alors en reprenan l'égalié de la quesion que 7 Soi R + On noe : F ) = foncions f e g son coninues sur R + f) d e G) = R +, g) = f ) g) d Ces inégrales eisen car les a) En inégran F ) par paries e en uilisan R +, g) = f ), on obien : F ) = ep ) G) b) Soi On a : G) = g) d +, G) ln) + C où C = c) On en dédui que :, G) G) Ainsi G) == + d) Soi On a : F ) = ep ) + ) G) 8 Soi l'équaion diérenielle E) : 2 y + y = 2 g) d C + g) d d ie C + ln) Ainsi par le héorème des gendarmes, Ainsi F ) au voisinage de + + Equaion homogène Les soluions de l'équaion homogène son de la forme : λ ep Variaion de la consane ) On cherche une soluion pariculière de E) sous la forme y) = λ) ep avec λ dérivable On rouve alors que : y es soluion de E) ssi R +, λ ) = f) On choisi alors λ = F ) Ainsi les soluions de E) sur R + son les foncions A + F )) ep où A R ) PARTIE C : Eude qualiaive d'une équaion diérenielle On considère mainenan une applicaion y soluion de E) : 2 y + y = 2 cee fois sur R + e on suppose que y es de classe C sur R + Nous allons, sans aucun calcul eplicie de y, déerminer enièremen la suie des u n = y n) ) à parir de l'équaion E) 9 Dans l'équaion E) on prend = On rouve y) = ie u = En dérivan E) une fois, on rouve : R +, 2 y ) )y ) = 2 Donc en évaluan en, on rouve u = En dérivan deu fois E), on rouve : R +, 2 y 3) ) )y ) + 2y ) = 2 Donc en évaluan en, on rouve u 2 = 2 6

7 Par l'absurde Supposons que y de la forme : α 2 + β + γ D'après la quesion précédene, on aurai alors γ = = β e α = donc y serai nécessairemen la foncion 2 Or on vérie aisémen que cee foncion n'es pas soluion de E) Ainsi y n'es pas un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 2 Soi n un enier naurel a) On suppose ici n 3 On noe h la foncion 2 y ) D'après la formule de Leibniz e en consaan que les dérivées de 2 d'ordre 3 son nulles, on a : R +, h n) ) = 2 y n+) ) + 2ny n) ) + nn )y n ) ) Ainsi, en dérivan n fois E) e en consaan que le second membre aura une dérivée n ième nulle, on a : R + : 2 y n+) ) + + 2n) y n) ) + nn )y n ) ) = En évaluan la relaion précédene en =, on en dédui En déduire une relaion de récurrence enre u n e u n b) En uilisan une récurrence ou le produi éléscopique u n = u 2 n 3, u n = nn )u n n =3 u u = u 2 n ) ce qui es possible car les u son non nuls à parir de = 2), on rouve : n 2, u n = )n n!) 2 =3 n PROBLEME II : PARTIE I : On considère la foncion f dénie par la relaion f ) = f es dénie sur D = ], [ ], + [ ln + ) 2 On a ln + ) == ) Ainsi, pour, on a f) == + ) Donc 2 f adme en un prolongemen par coninuié en posan f) = f ainsi prolongée es coninue sur D = ], + [ = 2 + ) f) f) 3 Pour, on a : Sur D, f es de classe C comme quoien de foncions de classe C don le dénominaeur ne s'annule pas sur D, e on a : ], [ ], + [, f ) = 2 Ainsi f es dérivable en e f ) = 2 + ln + ) 2 Par un calcul de DL, on rouve ln + ) == ) Ainsi f ) 2 = f ) Ainsi f es coninue en Comme f es de classe C sur D = ], [ ], + [, on en dédui que f es de classe C sur D = ], + [ 4 ], [ ], + [, f + ) ln + ) ) = = ) avec ) = + ) ln + ) + ) 2 + )2 Or es dérivable sur D = ], + [ e D, ) = ln + ) qui es du signe opposé à Ainsi possède un maimum global en Or ) = donc D, ) avec égalié 7

8 + f ) + f) uniquemen en On en dédui que f es décroissane sur D PARTIE II : Soi L = f ) d On noera L la valeur de cee inégrale mais on ne cherchera pas à calculer cee valeur Pour ou enier naurel n non nul on déni les polynômes n ) X n ) X P n X) = e Q n X) = 2 = 5 D'après l'epression de la somme des premiers ermes d'une suie géomérique de raison diérene de, on a [, ], ) n n = )n n 6 Soi [, ] En inégran enre e les diérens membres de l'égalié précédene, on a : ) n ln + ) + d = ) n n n d = ) ) d = Ainsi + [, ], P n ) = ln + ) = = ) n + d Dans oue la suie on noera : n N, [, ], R n ) = 7 Soi n N e [, ] On a : R n ) ) n + d n N, [, ], R n ) n+ n + 8 On rouve aisémen ], ] : Q n ) = P n) = ) n + d 9 On noe g n l'applicaion dénie pour ou ], ] par g ) = P n ) D'après ce qui précéde, on a : [, ], g n ) = Q n) f) + ) n d = n+ n + Ainsi ln + ) e g n ) = valable aussi en car P n) f) enden vers lorsque end vers ) Par ailleurs, pour >, g n ) = R n) Aussi : Q n ) L = g n )d n g n ) d n + d = Ainsi lim n + ) Q 2 n ) = L n + Pour n 99, on a Q n ) L PARTIE III : n + ) 2 4 On s'inéresse à présen au dérivées successives de f que l'on noe f n), n N f es le quoien de foncions de classe C sur ], + [ don le dénominaeur ne s'annule pas sur ], + [, donc f es de classe C sur ], + [ e 8

9 2 On rouve : ], + [, f ) = ln + ) e f ) = + ) ln + ) ) Soi P n la proposiion : T n, a n ) R[X] R R +, f n) ) = T n) + ) n + a ln + ) n n n+ P es-elle vraie? On a : R +, f ) = + ) polynôme consan égal à e a =, on a bien R +, f ) = Donc P es vraie ln + ) Donc si on pose T 2 le T ) + ) + a ln + ) 2 On suppose que P n es vraie pour un cerain enier n P n+ es-elle vraie? On a l'eisence d'un polynôme T n e d'un réel a n els que : R +, f n) ) = T n) + ) n + a ln + ) n n Donc, en n+ dérivan cee epression, on obien : R +, f n+) ) = + )T n) 2n + n)t n ) + a n + ) n ln + ) a + ) n+ n+ n n+) Ainsi n+2 en posan T n+ le polynôme déni par : T n+ ) = + )T n) 2n + n)t n ) + a n + ) n e a n+ = n + )a n, on a bien R +, f n+) T n+ ) ) = + ) n+ + a ln + ) n+ n+ On en n+2 dédui que P n+ es vraie Ainsi, on a monré que P es vraie e, pour ou enier n, P n vraie enraine P n+ vraie Ainsi, par le héorème de récurrence, on en dédui que pour ou n N, P n es vraie ie n N, T n, a n ) R[X] R R +, f n) ) = T n) + ) n + a ln + ) n n n+ 4 Soi P n la proposiion : T n es à coeciens eniers e a n es un enier P es-elle vraie? On a : T = le polynôme consan égal à e a =, on a bien T à coeciens eniers e a es enier Donc P es vraie On suppose que P n es vraie pour un cerain enier n P n+ es-elle vraie? On a T n es à coeciens eniers e a n es un enier Or T n+ es déni par : T n+ ) = + )T n) 2n + n)t n ) + a n + ) n ce qui es à coeciens eniers e a n+ = n + )a n ce qui es aussi enier On en dédui que P n+ es vraie Ainsi, on a monré que P es vraie e, pour ou enier n, P n vraie enraine P n+ vraie Ainsi, par le héorème de récurrence, on en dédui que pour ou n N, P n es vraie ie n N, T n es à coeciens eniers e a n es un enier 5 On pose ϕ : ln + ) e h : ϕ e h son de classe C sur R + e on a : Si, ϕ ) ) = ) )! + ) e pour p, hp) ) = ) p p! Aussi en appliquan la p+ n ) n formule de Leibniz, on a : f n) ) = ϕ ) )h n ) ) + ϕ)h n) ) ie = n ) n f n) ) = ) )! n )! + ) )n + )n n! ln + ) n + n+ = n Ainsi T n ) = ) n + ) n n! Pour n = 2, on a ) 2 2! = 2 + ) 2 = 2 + ) = 2 3 = T 2 ) = 9

Fonction dont la variable est borne d intégration

Fonction dont la variable est borne d intégration [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes

Plus en détail

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton) TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel

Plus en détail

Exemples de résolutions d équations différentielles

Exemples de résolutions d équations différentielles Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................

Plus en détail

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

Plus en détail

Les circuits électriques en régime transitoire

Les circuits électriques en régime transitoire Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc

Plus en détail

MATHEMATIQUES FINANCIERES

MATHEMATIQUES FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial

Plus en détail

Texte Ruine d une compagnie d assurance

Texte Ruine d une compagnie d assurance Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose

Plus en détail

CHAPITRE I : Cinématique du point matériel

CHAPITRE I : Cinématique du point matériel I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons

Plus en détail

Caractéristiques des signaux électriques

Caractéristiques des signaux électriques Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme

Plus en détail

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0 Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance

Plus en détail

VA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1

VA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1 Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)

Plus en détail

Calcul Stochastique 2 Annie Millet

Calcul Stochastique 2 Annie Millet M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3

Plus en détail

CHAPITRE 13. EXERCICES 13.2 1.a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23,4375. 2.±0,36π cm 3

CHAPITRE 13. EXERCICES 13.2 1.a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23,4375. 2.±0,36π cm 3 Chapire Eercices de snhèse 6 CHAPITRE EXERCICES..a), ±,55 b) 97,75 ±,455 c) 95,5 ±,475.±,6π cm.a) 44,, erreur absolue de,5 e erreur relaive de, % b) 5,56, erreur absolue de,5 e erreur relaive de,9 % 4.a)

Plus en détail

Oscillations forcées en régime sinusoïdal.

Oscillations forcées en régime sinusoïdal. Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série -

Plus en détail

Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET

Finance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple

Plus en détail

Recueil d'exercices de logique séquentielle

Recueil d'exercices de logique séquentielle Recueil d'exercices de logique séquenielle Les bascules: / : Bascule JK Bascule D. Expliquez commen on peu modifier une bascule JK pour obenir une bascule D. 2/ Eude d un circui D Q Q Sorie A l aide d

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Le mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites

Le mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites CONSEIL D ORIENTATION DES RETRAITES Séance plénière du 28 janvier 2009 9 h 30 «Les différens modes d acquisiion des drois à la reraie en répariion : descripion e analyse comparaive des echniques uilisées»

Plus en détail

La rentabilité des investissements

La rentabilité des investissements La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles

Plus en détail

Sciences Industrielles pour l Ingénieur

Sciences Industrielles pour l Ingénieur Sciences Indusrielles pour l Ingénieur Cenre d Inérê 6 : CONVERTIR l'énergie Compéences : MODELISER, RESOUDRE CONVERSION ELECTROMECANIQUE - Machine à couran coninu en régime dynamique Procédés de piloage

Plus en détail

CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME

CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEE 1 SYSTEE STABLE, SYSTEE INSTABLE 1.1 Exemple 1: Soi un sysème composé d une cuve pour laquelle l écoulemen (perurbaion) es naurel au ravers d une vanne d ouverure

Plus en détail

Mathématiques financières. Peter Tankov

Mathématiques financières. Peter Tankov Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de

Plus en détail

Séquence 2. Pourcentages. Sommaire

Séquence 2. Pourcentages. Sommaire Séquence 2 Pourcenages Sommaire Pré-requis Évoluions e pourcenages Évoluions successives, évoluion réciproque Complémen sur calcularices e ableur Synhèse du cours Exercices d approfondissemen 1 1 Pré-requis

Plus en détail

Sommaire de la séquence 12

Sommaire de la séquence 12 Sommaire de la séquence 12 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon dépar.......................................................................................

Plus en détail

Rappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION

Rappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION 2 IUT Blois Déparemen GTR J.M. Giraul, O. Bou Maar, D. Ceron M. Richard, P. Sevesre e M. Leberre. -TP- Modulaions digiales ASK - FSK IUT Blois Déparemen du Génie des Télécommunicaions e des Réseaux. Le

Plus en détail

Non-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire

Non-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire Non-résonance enre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire AREl Amrouss MMoussaoui Absrac We consider he quasilinear Dirichle boundary value problem (φ p (u )) = f(u)+h(x),u(a)=u(b)=0,

Plus en détail

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE Dans e hapire l'amplifiaeur différeniel inégré sera oujours onsidéré omme parfai, mais la ension de sorie ne pourra prendre que deux valeurs : V sa e V

Plus en détail

Cours d électrocinétique :

Cours d électrocinétique : Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER 005-006 Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION 5 1.1. DÉFINITIONS

Plus en détail

Annuités. I Définition : II Capitalisation : ( Valeur acquise par une suite d annuités constantes ) V n = a t

Annuités. I Définition : II Capitalisation : ( Valeur acquise par une suite d annuités constantes ) V n = a t Annuiés I Définiion : On appelle annuiés des sommes payables à inervalles de emps déerminés e fixes. Les annuiés peuven servir à : - consiuer un capial ( annuiés de placemen ) - rembourser une dee ( annuiés

Plus en détail

3 POLITIQUE D'ÉPARGNE

3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3. L épargne exogène e l'inefficience dynamique 3. Le modèle de Ramsey 3.3 L épargne opimale dans le modèle AK L'épargne des sociéés dépend largemen des goûs des agens, de faceurs

Plus en détail

THÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques

THÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques Universié de Paris I Panhéon Sorbonne U.F.R. de Sciences Économiques Année 2011 Numéro aribué par la bibliohèque 2 0 1 1 P A 0 1 0 0 5 7 THÈSE Pour l obenion du grade de Doceur de l Universié de Paris

Plus en détail

Filtrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB)

Filtrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB) Filrage opimal par Mohamed NAJIM Professeur à l École naionale supérieure d élecronique e de radioélecricié de Bordeaux (ENSERB) Filre adapé Définiions Filre adapé dans le cas de brui blanc 3 3 Cas d un

Plus en détail

Article. «Les effets à long terme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel et Bertrand Wigniolle

Article. «Les effets à long terme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel et Bertrand Wigniolle Aricle «Les effes à long erme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel e Berrand Wigniolle L'Acualié économique, vol 79, n 4, 003, p 457-480 Pour cier ce aricle, uiliser l'informaion suivane

Plus en détail

Documentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1

Documentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1 Documenaion Technique de Référence Chapire 8 Trames ypes Aricle 8.14-1 Trame de Rappor de conrôle de conformié des performances d une insallaion de producion Documen valide pour la période du 18 novembre

Plus en détail

Ned s Expat L assurance des Néerlandais en France

Ned s Expat L assurance des Néerlandais en France [ LA MOBILITÉ ] PARTICULIERS Ned s Expa L assurance des Néerlandais en France 2015 Découvrez en vidéo pourquoi les expariés en France choisissen APRIL Inernaional pour leur assurance sané : Suivez-nous

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

DESSd ingéniérie mathématique Université d Evry Val d Essone Evaluations des produits nanciers

DESSd ingéniérie mathématique Université d Evry Val d Essone Evaluations des produits nanciers DESSd ingéniérie mahémaique Universié d Evry Val d Essone Evaluaions des produis nanciers Véronique Berger Cours Janvier-Mars 2003 version du 27 mars 2003 Conens I Présenaion du plan de cours 3 II Insrumens

Plus en détail

Chapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement

Chapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement Chapire 2 L invesissemen. Les principales caracérisiques de l invesissemen.. Définiion de l invesissemen Définiion générale : ensemble des B&S acheés par les agens économiques au cours d une période donnée

Plus en détail

Evaluation des Options avec Prime de Risque Variable

Evaluation des Options avec Prime de Risque Variable Evaluaion des Opions avec Prime de Risque Variable Lahouel NOUREDDINE Correspondance : LEGI-Ecole Polyechnique de Tunisie, BP : 743,078 La Marsa, Tunisie, Insiu Supérieur de Finance e de Fiscalié de Sousse.

Plus en détail

Intégration de Net2 avec un système d alarme intrusion

Intégration de Net2 avec un système d alarme intrusion Ne2 AN35-F Inégraion de Ne2 avec un sysème d alarme inrusion Vue d'ensemble En uilisan l'inégraion d'alarme Ne2, Ne2 surveillera si l'alarme inrusion es armée ou désarmée. Si l'alarme es armée, Ne2 permera

Plus en détail

TRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A

TRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A UIMBERTEAU UIMBERTEAU TRAVAUX PRATIQUES 5 ISTALLATIO ELECTRIQUE DE LA CAE D'ESCALIER DU BATIMET A ELECTROTECHIQUE Seconde B.E.P. méiers de l'elecroechnique ELECTROTECHIQUE HABITAT Ver.. UIMBERTEAU TRAVAUX

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2 enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur

Plus en détail

Un modèle de projection pour des contrats de retraite dans le cadre de l ORSA

Un modèle de projection pour des contrats de retraite dans le cadre de l ORSA Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA - François Bonnin (Hiram Finance) - Floren Combes (MNRA) - Frédéric lanche (Universié Lyon 1, Laboraoire SAF) - Monassar Tammar (rim

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

LE PARADOXE DES DEUX TRAINS

LE PARADOXE DES DEUX TRAINS LE PARADOXE DES DEUX TRAINS Énoné du paradoxe Déaillons ou d abord le problème dans les ermes où il es souen présené On dispose de deux oies de hemins de fer parallèles e infinimen longues Enre les deux

Plus en détail

DE L'ÉVALUATION DU RISQUE DE CRÉDIT

DE L'ÉVALUATION DU RISQUE DE CRÉDIT DE L'ÉALUAION DU RISQUE DE CRÉDI François-Éric Racico * Déparemen des sciences adminisraives Universié du Québec, Ouaouais Raymond héore Déparemen Sraégie des Affaires Universié du Québec, Monréal RePAd

Plus en détail

Impact du vieillissement démographique sur l impôt prélevé sur les retraits des régimes privés de retraite

Impact du vieillissement démographique sur l impôt prélevé sur les retraits des régimes privés de retraite DOCUMENT DE TRAVAIL 2003-12 Impac du vieillissemen démographique sur l impô prélevé sur les rerais des régimes privés de reraie Séphane Girard Direcion de l analyse e du suivi des finances publiques Ce

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

MODÈLE BAYÉSIEN DE TARIFICATION DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHICULES

MODÈLE BAYÉSIEN DE TARIFICATION DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHICULES Cahier de recherche 03-06 Sepembre 003 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHCULES Jean-François Angers, Universié de Monréal Denise Desardins, Universié de Monréal Georges Dionne,

Plus en détail

Relation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée.

Relation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée. Relaion enre la Volailié Implicie e la Volailié Réalisée. Le cas des séries avec la coinégraion fracionnaire. Rappor de Recherche Présené par : Mario Vázquez Velasco Direceur de Recherche : Benoî Perron

Plus en détail

GESTION DU RÉSULTAT : MESURE ET DÉMESURE 1 2 ème version révisée, août 2003

GESTION DU RÉSULTAT : MESURE ET DÉMESURE 1 2 ème version révisée, août 2003 GESTION DU RÉSULTAT : MESURE ET DÉMESURE 1 2 ème version révisée, aoû 2003 Thomas JEANJEAN 2 Cahier de recherche du CEREG n 2003-13 Résumé : Depuis une vingaine d années, la noion d accruals discréionnaires

Plus en détail

COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE. François LONGIN www.longin.fr

COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE. François LONGIN www.longin.fr COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE Obje de la séance 3 : dans la séance 2, nous avons monré commen le besoin de financemen éai couver par des

Plus en détail

Surface de Volatilité et Introduction au Risque de Crédit

Surface de Volatilité et Introduction au Risque de Crédit Modèles de Taux, Surface de Volailié e Inroducion au Risque de Crédi Alexis Fauh Universié Lille I Maser 2 Mahémaiques e Finance Spécialiés Mahémaiques du Risque & Finance Compuaionelle 214/215 spread

Plus en détail

CANAUX DE TRANSMISSION BRUITES

CANAUX DE TRANSMISSION BRUITES Canaux de ransmissions bruiés Ocobre 03 CUX DE TRSISSIO RUITES CORRECTIO TRVUX DIRIGES. oyer Canaux de ransmissions bruiés Ocobre 03. RUIT DE FOD Calculer le niveau absolu de brui hermique obenu pour une

Plus en détail

Thème : Electricité Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL

Thème : Electricité Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL Fiche ors Thème : Elecricié Fiche 5 : Dipôle e dipôle Plan de la fiche Définiions ègles 3 Méhodologie I - Définiions oran élecriqe : déplacemen de charges élecriqes q a mesre d débi de charges donne l

Plus en détail

Risque associé au contrat d assurance-vie pour la compagnie d assurance. par Christophe BERTHELOT, Mireille BOSSY et Nathalie PISTRE

Risque associé au contrat d assurance-vie pour la compagnie d assurance. par Christophe BERTHELOT, Mireille BOSSY et Nathalie PISTRE Ce aricle es disponible en ligne à l adresse : hp://www.cairn.info/aricle.php?id_revue=ecop&id_numpublie=ecop_149&id_article=ecop_149_0073 Risque associé au conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Copules et dépendances : application pratique à la détermination du besoin en fonds propres d un assureur non vie

Copules et dépendances : application pratique à la détermination du besoin en fonds propres d un assureur non vie Copules e dépendances : applicaion praique à la déerminaion du besoin en fonds propres d un assureur non vie David Cadoux Insiu des Acuaires (IA) GE Insurance Soluions 07 rue Sain-Lazare, 75009 Paris FRANCE

Plus en détail

No 1996 13 Décembre. La coordination interne et externe des politiques économiques : une analyse dynamique. Fabrice Capoën Pierre Villa

No 1996 13 Décembre. La coordination interne et externe des politiques économiques : une analyse dynamique. Fabrice Capoën Pierre Villa No 996 3 Décembre La coordinaion inerne e exerne des poliiques économiques : une analyse dynamique Fabrice Capoën Pierre Villa CEPII, documen de ravail n 96-3 SOMMAIRE Résumé...5 Summary...7. La problémaique...9

Plus en détail

NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES

NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES BRUSSELS EONOMI REVIEW - AHIERS EONOMIQUES DE BRUXELLES VOL 5 N 3 AUTUMN 7 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME (UNIVERSITE PARIS, ERMES- NRS- UMR78)

Plus en détail

2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE

2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE 009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, 1948-008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE DE LA FORME FAIBLE Thi Hong Van HOANG Efficience informaionnelle des marchés de l or

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Le mécanisme du multiplicateur (dit "multiplicateur keynésien") revisité

Le mécanisme du multiplicateur (dit multiplicateur keynésien) revisité Le mécanisme du muliplicaeur (di "muliplicaeur kenésien") revisié Gabriel Galand (Ocobre 202) Résumé Le muliplicaeur kenésien remone à Kenes lui-même mais il es encore uilisé de nos jours, au moins par

Plus en détail

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Estimation des matrices de trafics

Estimation des matrices de trafics Cédric Foruny 1/5 Esimaion des marices de rafics Cedric FORTUNY Direceur(s) de hèse : Jean Marie GARCIA e Olivier BRUN Laboraoire d accueil : LAAS & QoSDesign 7, av du Colonel Roche 31077 TOULOUSE Cedex

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Les solutions solides et les diagrammes d équilibre binaires. sssp1. sssp1 ssss1 ssss2 ssss3 sssp2

Les solutions solides et les diagrammes d équilibre binaires. sssp1. sssp1 ssss1 ssss2 ssss3 sssp2 Les soluions solides e les diagrammes d équilibre binaires 1. Les soluions solides a. Descripion On peu mélanger des liquides par exemple l eau e l alcool en oue proporion, on peu solubiliser un solide

Plus en détail

Les deux déficits, budgétaire et du compte courant, sont-ils jumeaux? Une étude empirique dans le cas d une petite économie en développement

Les deux déficits, budgétaire et du compte courant, sont-ils jumeaux? Une étude empirique dans le cas d une petite économie en développement Les deux déficis, budgéaire e du compe couran, sonils jumeaux? Une éude empirique dans le cas d une peie économie en développemen (Version préliminaire) Aueur: Wissem AJILI Docorane CREFED Universié Paris

Plus en détail

La fonction de production dans l analyse néo-classique

La fonction de production dans l analyse néo-classique La oncion de producion dans l analyse néo-classique Jean-Marie Harribey La oncion de producion es une relaion mahémaique éablie enre la quanié produie e le ou les aceurs de producion uilisés, ou encore

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Sélection de portefeuilles et prédictibilité des rendements via la durée de l avantage concurrentiel 1

Sélection de portefeuilles et prédictibilité des rendements via la durée de l avantage concurrentiel 1 ASAC 008 Halifax, Nouvelle-Écosse Jacques Sain-Pierre (Professeur Tiulaire) Chawki Mouelhi (Éudian au Ph.D.) Faculé des sciences de l adminisraion Universié Laval Sélecion de porefeuilles e prédicibilié

Plus en détail

EPARGNE RETRAITE ET REDISTRIBUTION *

EPARGNE RETRAITE ET REDISTRIBUTION * EPARGNE RETRAITE ET REDISTRIBUTION * Alexis Direr (1) Version février 2008 Docweb no 0804 Alexis Direr (1) : Universié de Grenoble e LEA (INRA, PSE). Adresse : LEA, 48 bd Jourdan 75014 Paris. Téléphone

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

CONTRIBUTION A L ANALYSE DE LA GESTION DU RESULTAT DES SOCIETES COTEES

CONTRIBUTION A L ANALYSE DE LA GESTION DU RESULTAT DES SOCIETES COTEES CONTRIBUTION A L ANALYSE DE LA GESTION DU RESULTAT DES SOCIETES COTEES Thomas Jeanjean To cie his version: Thomas Jeanjean. CONTRIBUTION A L ANALYSE DE LA GESTION DU RESULTAT DES SOCIETES COTEES. 22ÈME

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

B34 - Modulation & Modems

B34 - Modulation & Modems G. Pinson - Physique Appliquée Modulaion - B34 / Caracérisiques d'un canal de communicaion B34 - Modulaion & Modems - Définiions * Half Duplex ou simplex : ransmission un sens à la fois ; exemple : alky-walky

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little. Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene

Plus en détail

Séminaire d Économie Publique

Séminaire d Économie Publique Séminaire d Économie Publique Les niveaux de dépenses d'infrasrucure son-ils opimaux dans les pays en développemen? Sonia Bassi, LAEP Discuan : Evans Salies, MATISSE & ADIS, U. Paris 11 Mardi 8 février

Plus en détail

CAHIER 13-2000 ANALYSE DES CHOCS D'OFFRE ET DE DEMANDE DANS LA ZONE CFA : UNE MÉTHODE STRUCTURELLE D'AUTORÉGRESSION VECTORIELLE

CAHIER 13-2000 ANALYSE DES CHOCS D'OFFRE ET DE DEMANDE DANS LA ZONE CFA : UNE MÉTHODE STRUCTURELLE D'AUTORÉGRESSION VECTORIELLE CAHIER 13- ANALYSE DES CHOCS D'OFFRE ET DE DEMANDE DANS LA ZONE CFA : UNE MÉTHODE STRUCTURELLE D'AUTORÉGRESSION VECTORIELLE Jean-Michel BOSCO N'GOMA CAHIER 13- ANALYSE DES CHOCS D'OFFRE ET DE DEMANDE DANS

Plus en détail

Cahier technique n 114

Cahier technique n 114 Collecion Technique... Cahier echnique n 114 Les proecions différenielles en basse ension J. Schonek Building a ew Elecric World * Les Cahiers Techniques consiuen une collecion d une cenaine de ires édiés

Plus en détail

Mémoire présenté et soutenu en vue de l obtention

Mémoire présenté et soutenu en vue de l obtention République du Cameroun Paix - Travail - Parie Universié de Yaoundé I Faculé des sciences Déparemen de Mahémaiques Maser de saisique Appliquée Republic of Cameroon Peace Wor Faherland The Universiy of Yaoundé

Plus en détail

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4

Plus en détail

SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE

SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE Le seul ballon hybride solaire-hermodynamique cerifié NF Elecricié Performance Ballon hermodynamique 223 lires inox 316L Plaque évaporarice

Plus en détail

Pouvoir de marché et transmission asymétrique des prix sur les marchés de produits vivriers au Bénin

Pouvoir de marché et transmission asymétrique des prix sur les marchés de produits vivriers au Bénin C N R S U N I V E R S I T E D A U V E R G N E F A C U L T E D E S S C I E N C E S E C O N O M I Q U E S E T D E G E S T I O N CENTRE D ETUDES ET DE RECHERCHES SUR LE DEVELOPPEMENT INTER NATIONAL Pouvoir

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

CHAPITRE 4 RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES?

CHAPITRE 4 RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES? CHAPITRE RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES? Les réponses de la poliique monéaire aux chocs d inflaion mondiaux on varié d un pays à l aure Le degré d exposiion

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail