Ministère de la Jeunesse et des Sports Institut Royal de Formation des Cadres Département des Sciences de la Vie. A. Arfaoui

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1 Ministère de la Jeunesse et des Sports Institut Royal de Formation des Cadres Département des Sciences de la Vie A. Arfaoui

2 PLA Définitions Paramètres marginaux Covariance Coefficient de Corrélation Coefficient de détermination Droite de régression linéaire Régression non-linéaire

3 Série statistique bivariée On s intéresse à deux variables X et Y. Ces deux variables sont mesurées sur les n individus. Pour chaque individu, on obtient donc deux mesures. La série statistique est alors une suite de n couples de valeurs prises par les deux variables sur chaque individu : (x1, y1); ; (xn, yn) Les couples de valeurs (entiers ou réels) peuvent être représentés sur un graphique par des points de coordonnées x et y. On obtient un nuage de points.

4 1. Paramètres marginaux Les variables X et Y peuvent être analysées séparément. On peut calculer tous les paramètres dont les moyennes, les variances et les écarts-types : X i 1 x i Var( X ) ( ) X 2 xi 2 i 1 ( X ) Var( X ) ( Y ) Var( Y ) 2 y y i i i Y 1 2 i1 Var( Y ) ( ) Y Ces paramètres sont appelés paramètres marginaux : moyennes marginales, variances marginales, écarts-types marginaux, quantiles marginaux, etc...

5 La covariance est définie par: 2. Covariance Cov( X, Y ) k ( xi x)( yi y) i 1 x i 1 Cov( X, Y ) ( k y i i ) La covariance peut prendre des valeurs positives (liaison proportionnelle), négatives (liaison inversement proportionnelle) ou nulles (pas de liaison). x y

6 Exercices d application Exercice 1 On considère deux variables X et Y dont on connaît quelques valeurs : X Y Tracer le nuage de point Y en fonction de X. 2. Calculer les paramètres marginaux. 3. Calculer la covariance et le coefficient de corrélation.

7 Exercice 2 On a mesuré le poids et la taille pour 6 étudiants : X : Poids (Kg) Y : Taille (m) Etudier la liaison entre ces deux variables. Exercices d application 1,50 1,62 1,66 1,70 1,78 1,79

8 3. Coefficient de Corrélation r(x,y) mesure la dépendance linéaire entre X et Y : r( X, Y) Cov( X, Y) ( X ) ( Y) Le r(x,y) est toujours compris entre -1 et 1-1 r(x,y) 1

9 3. Coefficient de Corrélation Si r(x,y) > 0, le nuage de points est allongé parallèlement à une droite croissante X et Y proportionnelles. Si r(x,y) < 0, le nuage de points est allongé parallèlement à une droite décroissante X et Y inversement proportionnelles. Si r(x,y) 1, tous les points observés se trouvent à proximité d une droite liaison forte proportionnelle. Si r(x,y) -1, tous les points observés se trouvent à proximité d une droite liaison forte inversement proportionnelle.

10 r = 1 r = -1 r = 0 Exemples de nuages de points et coefficients de corrélation r > 0 r < 0 r = 0

11 4. Coefficient de détermination Le coefficient de détermination est le carré du coefficient de corrélation : r 2 ( X, Y ) r²(x,y) mesure le degré de signification de la liaison entre X et Y :

12 Table théorique du r² n r² n r² ,99 0,90 0,77 0,66 0,57 0,50 0,44 0,40 0,36 0,33 0,31 0,28 0,26 0,25 0,23 0,22 0,21 0, ,18 0,16 0,15 0,14 0,13 0,11 0,10 0,08 0,06 0,06 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,02 0,01 0,01 4. Coefficient de détermination Cette table donne les seuils de significativité statistique utilisés pour le coefficient de détermination r² en régression linéaire simple (avec n unités statistiques mesurées). Exemple : Avec n=30 unités, si le r²=0.2, la liaison est déclarée statistiquement significative car le seuil de 0.13 indiqué dans la table est dépassé. On conclut que les variables sont significativement corrélées. Si les seuils ne sont pas dépassés, on considérera que les deux variables ne sont pas corrélées.

13 Exercices d application Exercice 3 Afin de savoir si les basses températures influencent la performance des athlètes, on a mené une expérience dont les résultats sont les suivants: - Analyser ces données. Que peuton conclure à propos de cette influence? Température ( C) Performance (min)

14 4. Droite de régression linéaire La droite de régression est la droite qui ajuste au mieux un nuage de points. au sens des moindres carrés. On considère : Y a X b ( a = pente de la droite ) Le problème consiste à identifier une droite qui ajuste bien le nuage de points. a Cov( X, Y Var ( X ) ) et b Y ax

15 4. Droite de régression linéaire Représentation graphique : Y = X y2 230 y x 1 x

16 Bien que de nombreux phénomènes puissent s exprimer raisonnablement par des corrélations linéaires, il arrive parfois que l on soit confronté à des dépendances non-linéaires. De nombreux modèles non-linéaires se ramènent facilement aux modèles linéaires par des simples transformations. Voici quelques cas fréquents : Liaison non-linéaire Transformation 5. Régression non-linéaire Droite de régression linéaire y = k.e x y = ln(y) y = ln k + x y = k.x y = ln(y), x = ln(x) y = log k + x y = x/(x+k) y = (1/y ), x = (1/x) y = (1/) + (k/).x

17 Applications sur Excel 2007 Paramètres Formules Excel i1 i1 X 2 x i x i y i =SOMME.CARRES(série des valeurs) =SOMMEPROD(série des x i ; série des y i ) =MOYEE(série des x i ) Var (X) =VAR.P(série des x i ) (X ) =ECARTYPEP(série des x i ) Cov (X,Y) =COVARIACE(série des x i ; série des y i ) r (X,Y) =COEFFICIET.CORRELATIO(série des x i ; série des y i ) r² (X,Y) =COEFFICIET.DETERMIATIO(série des x i ; série des y i )