Mathématiques : statistiques et simulation

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1 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Uiversité de Picardie Jules Vere 0-0 UFR des Scieces - LAMFA CNRS UMR 640 PAF Amies - Formatio Eseigemet des Mathématiques - 0 javier 0 Mathématiques : statistiques et simulatio Itroductio : échatilloage et proportio (Extrait du documet ressource pour la classe de secode) Das le ses commu des sodages, u échatillo est u sous-esemle oteu par prélèvemet aléatoire das ue populatio. E statistique, u échatillo de taille est est la liste des résultats oteus par répétitios idépedates de la même expériece. Par exemple : - 00 lacers d ue pièce, e oservat les apparitios de Pile ; - 00 lacers d u dé à 6 faces, e oservat les apparitios du 4 ; - 00 tirages succcessifs avec remise d ue oule das ue ure coteat oules laches et oule verte, e oservat les apparitios d ue oule lache. Ces trois exemples relèvet du modèle de Beroulli qui affecte la proailité p au omre, et la proailité pau omre 0. Das les deux premiers exemples, p peut être vue "directemet" comme ue proailité. Das le derier cas, p pourrait être d aord vue comme la proportio de oules laches das l ure, mais c est aussi la 3 proailité d oteir ue oule lache lors d u tirage. Das les trois cas, ce calcul de proailité (sur u esemle fii) relève du programme de secode. Le résultat d ue expériece aléatoire à issues peut être représeté par la Loi de BeroulliBp Soit,A,P u espace proailisé. Ue variale aléatoire X suit la loi de Beroulli de paramètre p 0,, que l o otebp, si et seulemet si X est à valeurs das0;, et PX p et PX 0 p. O a alors EX p et VarX pp. Exemple d ue ure coteat ue proportio p de oules laches 3 O tire ue oule au hasard das l ure : le omre de "oule lache" oteu e u tirage est ue variale aléatoire X de loi de BeroulliBp : PX p 3 et PX 0 p 3. O a EX 3 et VarX Si o effectue 00 tirages avec remise d ue oule, o oserve la réalisatio de X, X,..., X, variales aléatoires idépedates de même loi que X. O dit que l o a u échatillo aléatoire simple de taille 00 de loi de Beroulli de paramètre p 3. Le omre de "oules laches" oteues e 00 tirages est la variale aléatoire X i. La fréquece de "oules laches" oteue est la variale aléatoire : F X i i C est ce poit de vue qui est suivi pour le travail de simulatio de ces situatios. Remarquos qu à ce stade, il est pas écessaire de coaître les lois de proailité de ces variales aléatoires. Il faut seulemet savoir simuler des et des 0, avec proailité p et p.. i Stéphae Ducay

2 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Ayat procédé par répétitios idépedates d expérieces, F X i suit la loi Biomiale i B,p B 00; 3. Loi BiomialeB,p (vue e première) Soit,A,P u espace proailisé. Ue variale aléatoire X suit la loi de Biomiale des paramètres et p 0,, que l o ote B,p, si et seulemet si X est à valeurs das0,,...,, et pour tout PX k k p k p k. O a alors EX p et VarX pp. Reveat à F, o a alors EF EF p et VarF VarF pp, d où EF p 3 et VarF pp 9. O costate doc que lorsqu o augmete la taille de l échatillo, l espérace de F reste costate, alors que la variace dimiue. Ce que l o peut oserver sur les simulatios (e secode), et qui est cofirmé par la otio de variale aléatoire (e première et termiale), c est que pour répétitios idépedates d expérieces de Beroulli : - différets échatillos de taille peuvet doer différetes fréqueces f d apparitio du omre ; - ces différetes fréqueces f fluctuet autour de la valeur p, e restat "presque toutes" das u itervalle cetré e p.. Itervalle de fluctuatio : e secode, e première, e termiale.. E secode : simulatios et prise de décisio Cojecture à partir des simulatios : F appartiet à l itervalle de fluctuatio p ; p avec ue proailité d au mois 0,95. Coditios d applicatio : 5, p compris etre 0, et 0, 8, seuil 95%. Sur les simulatios, o oserve que f est das l itervalle échatillos. Utilisatio de l itervalle de fluctuatio pour la prise de décisio : p ; p pour eviro 95% des - si p est coue, et que f appartiet pas à p ; p, o cosidère que l échatillo est pas représetatif ; l oservatio de f est pas compatile avec la valeur de p, au ses où ue oservatio e dehors de l itervalle de fluctuatio e s otiet que pour eviro 5% des échatillos. - si l o fait ue hypothèse sur sa valeur de p, disos p p 0, et que f appartiet pas à p 0 ; p 0, o cosidère que l oservatio de f est pas compatile avec la valeur p 0 supposée de p, que l o rejettera avec u risque d erreur de 5%. Exemple d applicatio de l itervalle de fluctuatio Das ue certaie espèce de rogeur, o a compté 06 mâles sur 400 aissaces. Cela est-il coforme à l hypothèse d équiproailité male/femelle à chaque aissace? O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio : les rogeurs d ue certaie espèce. Variale : le sexe, à deux modalités (mâle et femelle), représeté par ue variale aléatoire de loi de BeroulliBp, où p est la proportio de mâles das la populatio ; o a aisi PX p et PX 0 p. Stéphae Ducay

3 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 i EchatilloX,X,...,X de taille 400 de X. Oservatio de l échatillo : x,x,...,x,,0,,...,0. X i i Estimateur de la proportio p : F, proportio (ou fréquece) de mâles das l échatillo, où X i représete le omre de mâles de l échatillo. x i i Estimatio poctuelle de la proportio p : f mâles das l oservatio de l échatillo. Supposos l équiproailité male/femelle à chaque aissace, autremet dit que p 0,5. Pour u échatillo de 400 aissaces, l itervalle de fluctuatio de F est 0.55, fréquece (ou proportio) de p ; p ; ; Notre oservatio f 0.55 appartiet à l itervalle de fluctuatio : elle est doc coforme à l hypothèse p 0,5, qui est doc pas rejetée au rique 5%... E première : avec la loi Biomiale O s appuie ici sur le documet d accompagemet qui précise le coteu «Utilisatio de la loi iomiale pour ue prise de décisio à partir d ue fréquece» et la capacité correspodate, «Exploiter l itervalle de fluctuatio à u seuil doé, détermié à l aide de la loi iomiale, pour rejeter ou o ue hypothèse sur ue proportio», des programmes du lycée. Cosidéros ue variale aléatoire X de loi BiomialeB,p. Cette variale aélatoire est à valeurs etières das l itervalle 0,. O cherche à partager l itervalle 0,, où X pred ses valeurs, e trois itervalles0,a,a, et, de sorte que X pree ses valeurs das chacu des itervalles extrêmes avec ue proailité proche de 0,05, sas dépasser cette valeur. E taulat les proailités cumulées PX k, pour k allat de 0 à, il suffit de détermier le plus petit etier a tel que PX a 0,05 et le plus petit etier tel que PX 0,975, c est-à-dire PX 0,05. Autremet dit, a est le plus grad etier tel que PX a 0.5. O oserve aussi que a. O a aisi PX a X PX a PX 0.05 et doc Pa X P X a X 0.95, e état "assez proche" de Comme F X, o a aisi P a F 0.95, e état "assez proche" de La règle de décisio est la suivate : si la fréquece oservée f appartiet à l itervalle de fluctuatio à 95 % a,, o cosidère que l hypothèse selo laquelle la proportio est p das la populatio est pas remise e questio et o l accepte ; sio, o rejette l hypothèse selo laquelle cette proportio vaut p. Pour 30, p 5 et p 5, o oserve que l itervalle de fluctuatio a, est sesilemet le même que l itervalle p, p proposé das le programme de secode. Utilisatio pour la prise de décisio : aalogue à ce qui est fait e secode.3. E termiale : avec la loi Normale F O s appuie sur le fait que si est suffisammet grad, U p suit approximativemet la loi pp ormalen0;. O détermie le réel u tel que Pu U u. Pour 5%, o a u Stéphae Ducay 3

4 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 O e déduit l itervalle de fluctuatio asymptotique IF p p iveau. Coditios d applicatio : 30, p 5 et p 5, seuil. pp u ; p pp u au Utilisatio pour la prise de décisio : aalogue à ce qui est fait e secode et première. Lie avec l itervalle de fluctuatio au seuil 95% doé e secode : - pour tout p 0,, o a 0 pp 4, 0 pp, pp u.96 IF p IF p p ; p et doc o a l iclusio d évéemets et doc PF IF p PF IF p 0.95 : IF p p ; p est u itervalle de fluctuatio de F de iveau (supérieur ou égal à) pour tout p 0.,0.8, o a 0.6 pp 0.5, 0.4 pp 0.5 et doc pp u Itervalle de cofiace : e secode et e termiale.. E secode L apparteace de F à l itervalle de fluctuatio p ; p équivaut à l appartece de p à F ; F. Aisi, l itervalle de cofiace F ; F 0,95. Sur les simulatios, o oserve que p est das l itervalle échatillos. cotiet p avec ue proailité d au mois f ; f pour eviro 95% des Utilisatio de l itervalle de cofiace pour l estimatio de p icoue : à partir de l oservatio f, o otiet ue fourchette coteat p au iveau de cofiace 0,95. Exemple d itervalle de cofiace Repreos l exemple précédet, pour lequel o a oservé f 0.55 sur u échatillo de taille 400. Itervalle de cofiace de la proportio p : f ; f ; ; E termiale Le résultat vu e secode est validé par le calcul de l itervalle de fluctuatio IF p vu ci-dessus. L itervalle de cofiace f f f f u, f f u vu das le supérieur est pas au programme. Stéphae Ducay 4

5 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 3. Nouvelles otios e termiale 3.. Variale cetrée réduite Ue variale aléatoire X est dite cetrée réduite si so espérace est ulle et so écart-type vaut, ce qui s écrit EX 0 et X Soit maiteat ue variale aléatoire X telle que EX m et X 0 ; o a doc 0. La variale aléatoire X m a ue espérace ulle. La variale aléatoire X a u écart-type égal à. La variale aléatoire Z X m a ue espérace ulle et u écart-type égal à. O dit que Z est la variale aléatoire cetrée réduite associée à X. Valeurs de X et valeurs de Z. Si X pred ses valeurs etre a et, X m pred ses valeurs etre amet met Z X m pred ses valeurs etre am et m. O a alors, pour toute valeur k de X, PX k P Z k m. Z Exemple avec X de loi BiomialeB; p, avec p 0, O a EX p et X pp. Comme X pred ses valeurs etre 0 et, X p pred ses valeurs etre p et p et X p pred ses valeurs etre p p p et p p p. pp pp pp O a alors, pour tout etier k compris etre 0 et, PX k P Z k m k p k p k. O a EZ 0 et Z. Visualisatio graphique sur la feuille Excel. Itérêt de cetrer et réduire : l espérace et l écart-type de Z e dépedet plus de ceux de X. 3.. Loi ormale cetrée réduiten0; Cosidéros ue variale aléatoire X de loi BiomialeB; p, avec 00 et p 0,5, et la variale aléatoire Z X 50 cetrée réduite associée à X 5. Costruisos le diagramme e âtos de la loi de proailité de Z. Costruisos u histogramme associé : à chaque valeur k o fait correspodre u rectagle dot l aire est égale à PX k P Z k 5 50 et de ase de logueur cetrée sur k Les sommets des âtos, comme les ords supérieurs des rectagles, fot apparaître ue coure e cloche, l aire située sous cette coure état voisie de l aire de la réuio des rectagles. x De Moivre a découvert que cette coure représete la foctio défiie par fx e. O otiedrait par exemple : 60 P45 X 60 k45 P X 50 5 e x dx PX k k k P Z k45 P Z k 50 5 Stéphae Ducay 5

6 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Cojecture. Lorsque deviet grad, à p fixé, la largeur des rectagles est de plus e plus petite. pp L aire correspodat à Pa Z semle se rapprocher de l aire située sous la coure e cloche, x c est-à-dire de e dx. a Théorème de Moivre-Laplace O suppose que pour tout etier, la variale aléatoire X suit la loi BiomialeB,p. X O pose Z p pp, variale cetrée réduite associée à X. Alors, pour tous réels a et tels que a, o a : lim Pa Z a e x dx. Défiitio. Loi ormale cetrée réduiten0;. x Posos fx e pour tout réel x Ue variale aléatoire X suit la loi ormalen0; si, pour tous réels a et tels que a, o a : x e dx. La foctio f est appelée foctio de desité (ou desité de proailité) de la loin0;. Pa X a fxdx a O a EX 0, VarX et X. Coséquece sur la loi de F. Rappelos que F X. O a alors Z X p pp F p pp Le théorème de Moivre-Laplace idique alors que, pour assez grad, Z approximativemet la loi ormalen0;.. F p pp suit Théorème Si X est ue variale aléatoire suivat la loi ormalen0;, alors, pour tout 0,, il existe u uique réel positif u tel que Pu U u Lois ormalesn; Défiitio. Ue variale aléatoire X suit la loi ormalen; si la variale aléatoire Z X suit la loi ormale N0;. C est ue loi à desité, e ce ses qu il existe ue foctio g défiie sur telle que, pour tous réels a et tels que a, o a : Pa X a gxdx. O a EX, VarX et X. Stéphae Ducay 6

7 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier Loi uiforme sur u itervalle a, Défiitio. Soiet deux réels a et tels que a. Ue variale aléatoire X suit la loi uiforme sur a, si pour tous réels c et d tels que a c d, o a Pc X d c d fxdx, avec fx pour tout x dasa,. a Ce qui doe Pc X d a dc. Propositio Si ue variale aléatoire X suit la loi uiforme sur 0,, alors la variale aléatoire Y ax a suit la loi uiforme sura,. Ce résultat motre que l o peut simuler la loi uiforme sur a, à partir la loi uiforme sur 0,. O a même u résultat plus gééral. Propositio Soit X ue variale aléatoire et F X sa foctio de répartitio. Si F X est cotiue et strictemet croissate, alors - Y F X X est ue variale aléatoire de loi uiforme sur 0,. - si U suit la loi uiforme sur 0,, alors Z F X U suit la même loi que X. O peut utiliser ce derier résultat pour simuler la loi expoetielle Loi expoetielle Défiitio. Soit u réel 0. Ue variale aléatoire X suit la loi expoetielle de paramère si pour tous réels c et d tels que 0 c d, o a : Pc X d c d fxdx, avec fx e x pour tout x 0. Ce qui doe Pc X d e c e d, et e particulier PX d e d. 4. Méthode de Mote Carlo et applicatios Voir [D-M]. La méthode de Mote Carlo peut être défiie comme toute techique umérique de résolutio de prolème au moye d u modèle stochastique das lequel o utilise des omres aléatoires. Développée vers 949, elle est attriuée à Joh vo Neuma et Staislav Ulam (mathématicie américai. La référece au casio rappelle que la roulette permet de géérer des omres aléatoires. Elle peut être utilisée pour : - l estimatio d ue surface - l estimatio d ue itégrale - les prolèmes de files d attete - la gestio des stocks, - le redemet d u ivestissemet. Stéphae Ducay 7

8 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier Estimatio d ue aire Exemple itroductif. Supposos que ous voulios estimer l aire d u carré de coté 0,5. Bie sûr, o sait que cette aire est 0.5. Commet trouver ue estimatio de ce résultat. Ce carré C 0,0.5 0,0.5 est évidemmet iclus das le carré 0, 0,. Si l o place poits aléatoiremet das le carré, certais serot das C, d autres o. Les coordoées d u poit aléatoire correspodet à deux variales aléatoires idépedates X et Y de même loi Uiforme sur0,. O a alors p PX,Y C P0 X Y aire de C. Aisi, lors de l expériece de Beroulli "placer u poit das", l évéemet A "le poit est das C" a pour proailité p aire de C. U échatillo de poits, oteu par répétitio idépedates de l expériece, ous fourira alors ue estimatio f de p. Simulatio Nous devos simuler deux échatillos de taille de la loi Uiforme sur 0,. Le premier doera les ascisses, le secod les ordoées des poits aléatoires. Pour chaque poit, o regarde s il est das C ou pas. O compte le omre C de poits das C puis o otiet f C. Il s agit de la méthode dite "du rejet" Cas gééral ) Si R est ue régio de 0, 0,, alors o a PX,Y R aire de R. O procède alors comme das l exemple précédet. aire de R ) Si R est ue régio de a, c,d, alors o a PX,Y R adc. O procède faço aalogue, e simulat deux échatillos de taille de la loi Uiforme sur a, et c,d. 4.. Estimatio d ue itégrale Si h est ue foctio positive, alors a hxdx est l aire située sous la coure représetative de f. O peut doc appliquer l estimatio précédete. Méthode de l espérace O peut estimer l itégrale a hxdx dès lors que h gf avec f desité de proailité. Cosidéros ue variale aléatoire X de desité f et posos gx O a alors E gx gxfxdx a gxfxdx a hxdx. Le prolème est doc d estimer E gx. gx si x a, 0 sio A partir d u échatillox,...,x de taille de X, o a l estimateur i gxi.. Exemple : estimatio de 0 xe x dx. Cette itégrale est autre que EX, avec X de loi expoetielle de paramètre. Pour la simulatio, o peut utiliser le fait que si U suit la loi uiforme sur 0,, alors X lu suit la loi expoetielle de paramètre. Stéphae Ducay 8

9 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 5. Applicatios diverses 5.. Marche aléatoire sur u graphe à trois sommets Voir exercice 8 de la deuxième liste d exercices. Ue puce se déplace idéfiimet etre trois poits A, B et C. Au départ (étape 0), elle est e A. A chaque étape, elle quitte sa positio et gage idifféremmet l u des deux autres poits. O suppose costruit u espace proailisé,a,p modélisat cette suite ifiie de déplacemets. Pour tout etier aturel, o cosidère l évéemet A (respectivemet B et C ) : la puce est e A (respectivemet B et C) à l issue de la -ème étape, et la proailité (respectivemet et ) de l évéemet A (respectivemet B et C ). O pose 0, 0 0 et 0 0. L ojectif est de calculer, et pour tout etier 0 ; autremet dit la proailité que la puce se retrouve e A, B et C au out de déplacemets. A l aide de la formule des proailités totales (utilisat des proailités coditioelles), o peut démotrer que pour tout etier 0,. Ce qui peut s écrire matriciellemet X M MX, avec 0 M 0. 0 Les termes de la matrice M sot les proailités de trasitio d u poit du graphe à u autre. Par exemple, PA /A 0 et PA /B. O démotre alors, par récurrece, que pour tout etier 0, X M X 0. O est doc rameer au calcul de M, ce qui utilise e gééral la diagoalisatio/trigoalisatio/... de M. Sur le cas étudié qui est relativemet simple, o ppeut repartir du système et trouver des relatios de récurrece vérifiées séparémet par chacue des trois suites. Ici, o a, pour tout etier 0, et. L étude de la suite 0, qui est arithmético-géométrique, coduit à l expressio 3. 3 O e déduit alors que Ue activité de simulatio pour estimer p N. O se fixe ue valeur de N, par exemple N 0. Utiliser le taleur ou la calculatrice pour : - pour simuler les N 0 déplacemets de la puce ; - répéter 00 fois les N 0 déplacemets ; - oteir la fréquece de réalisatio de l évéemet A N ; - comparer avec la proailité de l évéemet A N. Stéphae Ducay 9

10 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier Modèle de diffusio d Ehrefest Extrait de [M-B-J] sur Le modèle C est u modèle de diffusio d u gaz à travers ue paroi proposé par les physicies Ehrefest (Mr et Mme) au déut du siècle derier. Ue oite séparée e compartimets A et B cotiet au total N particules. A chaque top d ue horloge, ue particule et ue seule, choisie au hasard parmi les N, chage de compartimet. A l istat iitial toutes les particules sot e A. Das ce modèle il est importat de remarquer plusieurs poits : - la proailité pour ue particule doée de passer de A à B, ou de B à A est la même, égale à /N ; - cette proailité e déped pas du temps ; - le comportemet d ue particule est idépedat de celui des autres particules. L ojectif Etudier l évolutio de la répartitio des particules au out d u grad omre de déplacemets de particules. Pour les physicies Ehrefest l u des ojectifs était de lever le «paradoxe» de l irréversiilité. Ils voulaiet doc motrer commet, à partir de particules aux évolutios réversiles, o pouvait oteir, e comiat ces évolutios, ue situatio macroscopique irréversile. U exemple : N particules. p 0 p / Il y a N 3 états possiles : E 0 E E p 0 / p D où la matrice de trasitio 0 0 / 0 / 0 0 avec p i,j proailité de passer de l état i et à l état j. O peut procéder comme das l exemple précédet pour oteir les proailités d être das chacu des trois états après déplacemets. La simulatio La simulatio peut se réaliser avec le taleur Excel et le lagage de programmatio associé VBA (visual asic). Le graphique (uage de poits) et le choix aléatoire de la particule qui va se déplacer (par la foctio ENT(ALEA( )*N) peuvet se faire directemet sous Excel sas avoir recours à la programmatio. Par cotre, pour que la même opératio se répète u grad omre de fois, il est plus pratique de recourir à la programmatio (utilisatio d ue oucle : For i to.next i ). L aalyse des résultats L irréversiilité Il semle impossile, e regardat la simulatio pour N00, de reveir à l état iitial (toutes les particules das le compartimet A). Le système s équilire apparemmet autour de la positio 50/50. Cet état d équilire paraît ecore plus stale pour u omre de particules plus grad (N000). L évolutio de l ure d Ehrefest est irréversile puisque le système s équilire das u état différet de l état iitial. O peut remarquer toutefois que, lorsque le omre de particules est très faile (N, 3) le comportemet de l ure est totalemet réversile. Stéphae Ducay 0

11 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 petit. Il faut doc l accumulatio d u grad omre de particules réversiles pour créer de l irréversiilité. La simulatio «tempsretour.xls» permet de costater le comportemet réversile de l ure pour N Le temps de retour U système tel que l ure d Ehrefest possède Nétats, chaque état correspodat au omre k de particules das le volume A, k 0,...,N, qui peuvet être choisies de faços. N Ce qui doe k0 N k N situatios possiles pour l ure, chaque situatio e coduisat pas forcémet à u état différet. Pour u omre N de particules très grad (ce qui correspod à la réalité), o coçoit aisémet, vu le grad omre de situatios possiles, que le retour à l état iitial sera extrêmemet rare puisqu ue seule situatio coduit à cet état. Quoiqu il e soit, o démotre das l étude des chaîes de Markov que le retour à l état iitial est quasi-certai pour u tel système. Nous avos étudié (et simulé iformatiquemet) le temps de retour pour l ure d Ehrefest. L espérace du temps de retour à l état iitial pour l ure d Ehrefest est N. Pour le omre de particules traitées das ue situatio macroscopique le temps de retour est doc quasimet ifii à otre échelle (et même par rapport à l âge de l uivers). L irréversiilité apparete de la physique statistique est doc e grade partie due à la différece etre l échelle de temps de l oservateur et celle du temps de retour. Coclusio sur l irréversiilité L irréversiilité de l ure d Ehrefest est doc qu ue illusio. D ue part elle déped du omre de particules mises e jeu, et d autre part elle disparaît si le temps d oservatio est illimité. Cepedat, pour les situatio macroscopiques usuelles (grads omres de particules, temps d oservatio limité), l ure présete u comportemet irréversile. La plupart des activités proposées permettet d évaluer le temps de retour pour se covaicre de l irréversiilité du phéomèe Etude du pricipe du calcul de la pertiece d ue page we (page rak google) Voir [RIG] sur : la matrice cachée de Google N k Référeces Référeces - Ouvrages [CHV] Gérard Chauvat et al, Mathématiques BTS/DUT, Proailités et statistique [C-T] Huert Carec et Marc Thomas, Itiéraires e Statistiques & Proailités [D-M] Yadolah Dodge et Giuseppe Melfi, Premiers pas e simulatio Référeces - E lige [M-B-J] Alai Marie-Jeae, Frédéric Beau, Michel Javier - Simulatio de l ure d Ehrefest - [RIG] Michel Rigo - La matrice cachée de Google - [SN] St@tNet - Les techiques de la statistique - Stéphae Ducay

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