Séance n 14 : Cette séance se divise en 3 exercices :

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1 Séance n 14 : La séance n 14 est une séance de révisions. Cette séance de révisions est une séance de contrôle. Celle-ci doit en effet vous permettre de savoir si les notions vues dans la seconde partie de votre «cahier de vacances» sont acquises. Face aux exercices proposés dans cette séance, vous n êtes pas en conditions d examen. Le temps n est pas limité et vous pouvez, si besoin, chercher dans votre cours certains points. Pourquoi est-ce important de ne pas être en conditions d examen lors de cette séance? Vous n êtes pas encore prêts pour réaliser un devoir surveillé. La séance de révisions fait partie entière de l apprentissage. Elle permet de mettre en exergue vos faiblesses (faiblesses à retravailler avant le devoir surveillé) ou vous conforte car le cours est visiblement assimilé (être conforté avant un devoir surveillé est plus qu important ; en effet, être sûr de soi et de ses connaissances avant d aborder un devoir surveillé peut rapporter énormément de points). Notre objectif est donc de vous faire prendre conscience de vos réels acquis. Or, pour que cela soit possible, vous ne devez pas être contraints par des conditions d examens qui peuvent s avérer perturbantes : temps limité, exercices difficiles, stress, Cette séance se divise en 3 exercices : - Exercice 1 : Probabilités 45 minutes - Exercice 2 : Suites 45 minutes - Exercice 3 : Probabilités et suites 30 minutes Volontairement, la séance est longue : l objectif est de permettre à tous de savoir si le cours est assimilé. N.B. : Ces trois exercices sont d un bon niveau car sont tombés à l examen du Baccalauréat (même si certaines questions des exercices originaux ont été supprimées pour que vous soyez en mesure de les faire). 1

2 Exercice n 1 : (l exercice s inspire de l épreuve du Baccalauréat 2010 Liban) Un magasin de vêtements démarqués a reçu un lot important de chemisiers en coton. Le propriétaire du magasin constate que les chemisiers peuvent présenter deux types de défauts: un défaut de coloris ou un bouton manquant. On note aussi que: - 4 % de ces chemisiers présentent un défaut de coloris, - 3 % des chemisiers ont un bouton manquant, - 2 % des chemisiers ont à la fois un défaut de coloris et un bouton manquant. Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considère les événements suivants: B :" le chemisier a un bouton manquant ", C : "le chemisier présente un défaut de coloris ". 1) Calculer la probabilité des événements suivants: D : «cette cliente prend un chemisier avec au moins un défaut», E : «cette cliente prend un chemisier ayant un seul défaut», F : «cette cliente prend un chemisier sans défaut». 2) Une autre cliente prend au hasard deux chemisiers dans le lot. Ces choix peuvent être assimilés à un tirage au hasard avec remise dans le lot de chemisiers. Quelle est la probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant? 3) Le propriétaire du magasin vend un chemisier sans défaut 40 euros, il fait une remise de 20 % si le chemisier a un seul défaut, et de 50 % s'il a les deux défauts. a- Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d'un chemisier. b- Quel chiffre d'affaires le propriétaire peut-il espérer faire sur la vente de cent chemisiers? 2

3 Exercice n 2 : (l exercice s inspire de l épreuve du Baccalauréat 2009 Polynésie) Soit u la suite définie par : «u 0 = 8 et n N, u n+1 = 0,85u n + 1,8». 1) Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthonormé (unité : 1 cm), où l axe des ordonnées est placé à gauche de la feuille. a- Dans ce repère, tracer les droites d équations respectives y = 0,85x + 1,8 et y = x. b- Dans ce repère, placer u 0 sur l axe des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe u 1, u 2 et u 3. On laissera apparents les traits de construction. 2) Soit v la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n 12. a- Démontrer que v est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b- Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c- En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 12 4 (0,85) n d- Donner le sens de variation de la suite v. e- En déduire le sens de variation de la suite u. 3) Un magazine est vendu uniquement par abonnement. On a constaté que : - Il y a 1800 nouveaux abonnés chaque année ; - D une année sur l autre, 15% des abonnés ne se réabonnent pas. En 2008, il y avait 8000 abonnés. a- Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite u où u n désigne le nombre de milliers d abonnés en ( n). b- En utilisant la question 2)-c, calculer une estimation du nombre d abonnés en

4 Exercice n 3 : (l exercice s inspire de l épreuve du Baccalauréat 2010 Rochambeau) Pendant ses vacances d été, Victor a la possibilité d aller se baigner tous les jours. S il va se baigner un jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,7. S il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,9. Le premier jour de ses vacances, Victor va se baigner. n étant un entier naturel non nul, on note : - a n la probabilité que Victor n aille pas se baigner le n ème jour ; - b n la probabilité que Victor aille se baigner le n ème jour. 1) On aimerait connaître a n et b n a- Montrer que, pour tout entier naturel n, b n+1 = 0,9a n + 0,7b n b- En déduire que : b n+1 = 0,2b n + 0,9 2) On considère la suite u définie pour tout entier n non nul par u n = b n 0,75 Montrer que u est une suite géométrique de raison -0,2, on précisera son premier terme. 3) On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Victor ne va pas se baigner. Quelle est la probabilité qu il aille se baigner le 20 ème jour de ses vacances? 4

5 Correction des exercices : Exercice n 1 : 1) Calculons les probabilités des événements D, E et F L énoncé donne : P(B) = 0,03 ; P(C) = 0,04 ; P(B C) = 0,02 L événement D est l événement B C. En effet, dire qu un chemisier a au moins un défaut, c est dire que celui-ci présente soit un défaut de coloris, soit a un bouton manquant, soit les deux. Ainsi, on a : P(D) = P(B C) = P(B) + P(C) P(B C) = 0,03 + 0,04 0,02 = 0,05 Un chemisier présentant au moins un défaut est soit un chemisier présentant exactement un défaut, soit un chemisier présentant deux défauts. Ainsi, on obtient : P(D) = P(E) + P(B C) Et donc, on peut écrire : P(E) = P(D) P(B C) = 0,05 0,02 = 0,03 L événement F est l événement contraire de l événement D. Ainsi, on a : P(F) = 1 P(D) = 1 0,05 = 0,95 P(D) = 0,05 P(E) = 0,03 P(F) = 0,95 5

6 2) Calculons la probabilité de l événement : «Sur les deux chemisiers choisis, un seul a un bouton manquant» Afin de bien visualiser la situation, nous pouvons dessiner un arbre. L événement «exactement un chemisier a un bouton manquant» est représenté par les deux chemins BB et B B. Sa probabilité est donc : 0,03 0,97 + 0,97 0,03 = 2 0,03 0,97 0,06 arrondi au centième près. La probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant est 0,06 arrondi au centième. 3) Le propriétaire du magasin vend un chemisier sans défaut 40 euros, il fait une remise de 20 % si le chemisier a un seul défaut, et de 50 % s'il a les deux défauts. a- Donnons la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d un chemisier Le prix d un chemisier ayant un seul défaut est (100% - 20%) 40 = (1 0,2) 40 = 0,8 40 = 32 euros. Le prix d un chemisier ayant les deux défauts est (1 0,5) 40 = 20 euros. D après la question 1), la loi de probabilité du prix de vente en euros est : x i P(X = x i ) 0,95 0,03 0,02 6

7 b- Indiquons le chiffre d affaires que le propriétaire peut espérer faire sur la vente de cent chemisiers Le prix de vente moyen d un chemisier est : E(X) = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + x 3 P(X = x 3 ) = 40 0, , ,02 = ,96 + 0,4 = 39,36 Donc en moyenne, 100 chemisiers seront vendus ,36 = 3936 euros En vendant 100 chemisiers, le propriétaire du magasin peut espérer faire un chiffre d affaires de 3936 euros. Exercice n 2 : 1) Observer le graphe ci-dessous 2) Etudions la suite v a- Démontrons que v est une suite géométrique n N, v n+1 = u n+1 12 = 0,85u n + 1,8 12 = 0,85u n 10,2 = 0,85(u n 12) = 0,85v n 7

8 La suite v est donc géométrique de raison 0,85. D autre part : v 0 = u 0 12 = 8 12 = 4 La suite v est la suite géométrique de raison q = 0,85 et de premier terme v 0 = 4. b- Exprimons v n en fonction de n D après le cours, on a : n N, v n = v 0 q n = 4 (0, 85) n On sait que : c- Déduisons de la question précédente u n n N, u n = 12 + v n = 12 4 (0, 85) n d- Donnons le sens de variation de la suite v n N, v n+1 v n = ( 4 0,85 n+1 ) ( 4 0,85 n ) = ( 4 0,85 n ) (0,85 1) = 0,15 4 0,85 n > 0 Dès lors, on a : la suite v est croissante. e- Déduisons de la question précédente le sens de variation de la suite u La suite v est croissante. Or : n N, u n = 12 + v n Dès lors, on peut affirmer que la suite u est croissante (ajouter 12 ne change en rien le sens de variation ; si cela vous pose un problème d affirmer directement ce résultat, vous pouvez calculer «u n+1 u n» et montrer que le signe de cette différence est positif). 8

9 3) L exercice devient plus concret a- Qu est-ce que la suite u? u 0 est le nombre de milliers d abonnés en 2008 et donc u 0 = 8. Ensuite, pour tout entier naturel n, u n+1 est le nombre de milliers d abonnés en (n + 1) et donc, on peut écrire : u n+1 = u n u n + 1,8 = u n 0,15u n + 1,8 = 0,85u n + 1,8 La situation est effectivement modélisée par la suite u. b- Estimons le nombre d abonnés en 2014 L année 2014 correspond à n = 6. D après la question 2)c), on a : u 6 = ,85 6 = 10,4914 Le nombre d abonnés en 2014 devrait être de Exercice n 3 : 1) A la recherche de a n et b n a- Montrons l égalité demandée Si Victor se baigne le n ème jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,7. Si Victor ne se baigne pas le n ème jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,9. 9

10 Pour vous aider à comprendre la situation, nous pouvons tracer un arbre. Dès lors, on a : n N, b n+1 = 0, 9a n + 0, 7b n b- Déterminons une relation de récurrence pour la suite b Soit n un entier naturel. Puisque a n = 1 b n On a : b n+1 = 0,9(1 b n ) + 0,7b n = 0,2b n + 0,9 Pour tout entier n, b n+1 = 0, 2b n + 0, 9 2) Montrons que la suite u est géométrique Soit n un entier naturel. u n+1 = b n+1 0,75 = 0,2b n + 0,9 0,75 = 0,2b n + 0,15 = 0,2 (b n 0,75) = 0,2u n Donc la suite u est une suite géométrique de raison -0,2. 10

11 D autre part, u 1 = b 1 0,75 = 1 0,75 = 0,25 Donc la suite u est géométrique de premier terme u 1 = 0, 25 et de raison q = -0,2. 3) Déterminons la probabilité que Victor aille se baigner le 20 ème jour de ses vacances Dans cette question, on a : b 1 = 0. Dans ce cas, la suite u est géométrique de premier terme u 1 = 0,75 et de raison q = - 0,2. On en déduit que, pour tout entier naturel non nul n, u n = 0,75 ( 0,2) n 1. Dès lors, on a : n N, b n = 0,75 + u n = 0,75 0,75 ( 0,2) n 1 = 0,75 (1 ( 0,2) n 1 ) En particulier, b 20 = 0,75 (1 ( 0,2) 19 ) 0,7500 Il y a donc trois chances sur quatre que Victor aille se baigner le 20 ème jour des vacances. 11

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