Correction du devoir surveillé en TS1-TS2 et TS3 (31 mars 2018)

Transcription

1 Corrction du dvoir survillé n TS1-TS2 t TS3 (31 mars 2018) I On considèr la suit d nombrs complxs (z n ) défini par z 0 = 3 i t pour tout ntir naturl n : Parti A Pour tout ntir naturl n, on pos u n = z n. 1. u 0 = z 0 = 3 i = 2; u 0 = 2. z n+1 = (1+i)z n 2. n N, u n+1 = z n+1 = (1+i)z n = 1+i z n = 2 z n = 2u n. (u n ) st donc un suit géométriqu, d prmir trm 2 t d raison q = 2. ( ) n 3. D après l cours, pour tout ntir naturl n, on a u n = (u n ) st un suit géométriqu d raison 2 > 1 t d prmir trm strictmnt positif, ll divrg donc vrs Algorithm Parti B Variabls : u st un rél p st un rél n st un ntir Initialisation : Affctr à n la valur 0 Affctr à u la valur 2 Entré : Dmandr la valur d p Traitmnt : Tant qu u p Fair Affctr à n la valur n+ 1 Affctr à u la valur 2 u Fin du Tant Qu Sorti : Affichr n 1. z 1 = (1+i) ( 3 i)=1+ 3+i( 3 1); z 1 = 1+ 3+i( 3 1). 2. Pour z 0 : z 0 =2. Rchrch d un argumnt d z 0 : Notons θ 0 un argumnt d z 0. cosθ 0 = R(z 0) 3 = z 0 2 sinθ 0 = Im (z 0) = 1. z 0 2 On n déduit qu θ 0 = π 6. ( ( D où : z 0 = 2 cos π ) ( + isin π )) 6 6 Pour 1+i : 1+i = 2. = 2 i π 6. Il st clair, géométriqumnt, qu arg(1+i)= π 4. On n déduit qu 1+i= ( 2 cos π 4 + isin π ) = 2 i π 4. 4 Alors : Pag 1/7

2 z 1 = (1+i)z 0 = 1+i z 0 =2 22 ( 2 cos + isin ) arg(z 1 )=arg((1+i)z 0 )=arg(1+i)+arg (z 0 )= π 4 π 6 = π 12. Par conséqunt : z 1 = 2 ( 2 cos + isin ) 3. Ds dux qustions précédnts, on obtint qu D où, par idntification ds partis rélls : 1+ 3+i( 3 1)=2 2=2 ( 2 cos + isin ) cos = = 4 II Dans un suprmarché, on réalis un étud sur la vnt d boutills d jus d fruits sur un périod d un mois. 40 % ds boutills vndus sont ds boutills d jus d orang; 25 % ds boutills d jus d orang vndus possèdnt l appllation «pur jus». Parmi ls boutills qui n sont pas d jus d orang, la proportion ds boutills d «pur jus» st noté x, où x st un rél d l intrvall [0; 1]. Par aillurs, 20 % ds boutills d jus d fruits vndus possèdnt l appllation «pur jus». On prélèv au hasard un boutill d jus d fruits passé n caiss. On définit ls évènmnts suivants : R : la boutill prélvé st un boutill d jus d orang; : la boutill prélvé st un boutill d «pur jus». Parti A 1. On rprésnt ctt situation à l aid d un arbr pondéré : 0,25 0,4 R 1 0,25=0,75 1 0,4=0,6 x R 1 x 2. On sait qu 20 % ds boutills d jus d fruits vndus possèdnt l appllation «pur jus» donc P()=0,2. D après la formul ds probabilités totals : ( ) ( ) P()= P(R )+P R = P(R) P R ()+P R P R ()= 0,4 0,25+0,6 x = 0,1+0,6x } P() = 0,2 = 0,2=0,1+0,6x x= 1 P() = 0,1+0,6x 6 3. Un boutill passé n caiss t prélvé au hasard st un boutill d «pur jus». P(R ) C st un boutill d jus d orang avc la probabilité P (R)= P() = 0,1 0,2 = 1 2 Pag 2/7

3 Parti B Afin d avoir un millur connaissanc d sa clintèl, l dirctur du suprmarché fait un étud sur un lot ds 500 drnièrs boutills d jus d fruits vndus. On not X la variabl aléatoir égal au nombr d boutills d «pur jus» dans c lot. On admttra qu l stock d boutills présnts dans l suprmarché st suffisammnt important pour qu l choix d cs 500 boutills puiss êtr assimilé à un tirag au sort avc rmis. III 1. On prnd au hasard un boutill dans un lot d 500; il n y a qu dux issus possibls : ll st «pur jus» avc un probabilité égal à p = 0, 2 ou ll n l st pas avc la probabilité 1 p = 0, 8. On répèt d façon indépndant 500 fois ctt épruv donc la variabl aléatoir X qui donn l nombr d boutills «pur jus» suit la loi binomial d paramètrs n=500 t p=0, On chrch P(X 75) qui st égal à 1 P(X 74). À la calculatric on trouv P(X 74) 0,001 6 c qui donn 0, 998 pour la probabilité chrché. 3. L spéranc d un loi binomial d paramètrs n t p st E(X )=np, donc, ici, E(X )=500 0,2= 100; E(X )=100. Cla signifi qu sur un grand nombr d lots d 500 boutills, n moynn 100 d ntr lls sont «pur jus» On admt qu la sction du cub par l plan P rprésnté ci-dssus st un hxagon dont ls sommts I,, K, L, M, t N appartinnnt rspctivmnt aux arêts [AB], [BC ], [CG], [G H], [HE] t [AE]. ABC DEFG H st un cub d arêt égal à 1. L spac st muni du rpèr orthonormé (D ; DC, D A, DH). L H M E Dans c rpèr, on a : D(0 ; 0 ; 0), C (1 ; 0 ; 0), A(0 ; 1 ; 0), H(0 ; 0 ; 1) t E(0 ; 1 ; 1). Soit I l miliu d [AB]. G K C F D A B I N Soit P l plan parallèl au plan (BGE) t passant par l point I. On admt qu la sction du cub par l plan P rprésnté ci-dssus st un hxagon dont ls sommts I,, K, L, M, t N appartinnnt rspctivmnt aux arêts [AB], [BC ], [CG], [G H], [HE] t [AE]. 1. (a) On a 1 DF 1, 0 BG 1 t 1 BE 0. Par conséqunt : DF BG = ( 1)+1 1= 0 t DF BE = 1 ( 1) = 0. On n déduit qu (DF ) (BG) t (DF ) (BE). La droit (DF ) st orthogonal à dux droits sécants du plan (BGE), ll st donc orthogonal à c plan, t l vctur DF st donc un vctur normal au plan (BGE). Pag 3/7

4 (b) Ls plans P t (BGE) sont parallèls, l vctur 1 DF 1 st donc égalmnt un vctur normal au plan P. 1 C drnir a donc un équation cartésinn du typ : x+y+ z+ d = 0 ( ) 1 où d st un rél à détrminr. L plan P pass par l point I 2 ; 1 ; 0, donc d = 0 d = 3 2. Un équation cartésinn d P st donc x+y+ z 3 2 = Ls plans P t (BGE) sont parallèls. Lurs intrsctions rspctivs avc l plan (ABE) sont donc dux droits parallèls. L un d cs droits st (I N ), l autr st (BE). Ainsi dans l triangl ABE ls droits (I N ) t (BE) sont parallèls t I st l miliu d [AB], donc d après l théorèm «d la droit ds miliux» l point N st l miliu d [AE]. 3. (a) La droit (HB) pass par l point H(0 ; 0 ; 1) t a pour vctur dirctur 1 HB 1, un rprésntation paramétriqu d ctt droit st donc : 1 x = t y = t (t R). z = 1 t (b) Ls vcturs HG t DF n sont pas orthogonaux, la droit (HG) st l plan P sont donc sécants n un uniqu point T. Comm T (HG), il xist un rél t tl qu T (t ; t ; 1 t ). Alors : ( 1 ls coordonnés d T sont donc T 2 ; 1 2 ; 1 ) L tétraèdr F BGE T P t+ t+ 1 t 3 2 = 0 t = 1 2, a pour bas l triangl F BG qui st rctangl isocèl n F t a pour air B= 1 2 F E F B = 1 2 ; pour hautur h= F E = 1. L volum V du tétraèdr F BGE st donc V = 1 3 B h= = 1 6. IV Parti A Voici dux courbs C 1 t C 2 qui donnnt pour dux prsonns P 1 t P 2 d corpulncs différnts la concntration C d alcool dans l sang (taux d alcoolémi) n fonction du tmps t après ingstion d la mêm quantité d alcool. L instant t = 0 corrspond au momnt où ls dux individus ingèrnt l alcool. C st xprimé n gramm par litr t t n hur. Définition : La corpulnc st l nom scintifiqu corrspondant au volum du corps Pag 4/7

5 1,5 C C 1 1,0 C 2 0, ,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 t 1. La vitss st visiblmnt maximal pour t = 0 car c st la tangnt aux courbs n O(0 ; 0) qui smbl avoir l cofficint dirctur l plus élvé parmi touts ls tangnts. 2. La courb C 1 montr qu l taux d alcoolémi d P 1 admt un maximum plus élvé qu pour P 2. On n déduit qu la prsonn la moins corpulnt st P 1 3. (a) Prmièr méthod (longu mais utilisabl dans la parti B) : f st dérivabl sur [0 ; + [ comm produit d fonctions dérivabls sur [0 ; + [. { { u(t )= At u f = uv = f = u v+ uv (t )= A avc v(t )= t = v (t )= t t [0 ; + [, f (t )= A(1 t ) t t f (0)= A Duxièm méthod (put-êtr un pu plus astucius?) : f (h) f (0) lim = lim A h = A (limit fini) h 0 h h 0 On n déduit qu f st dérivabl n 0 t f (0)= A. (b) L affirmation st FAUSSE si A 1 > A 2 alors A 1 t t > A 2 t t car t t > 0 sur [0 ; + [ On n déduit qu la courb associé à A 1 st au dssus d cll associé à A 2 donc la prsonn associé à A 1 st d plus faibl corpulnc qu la prsonn associé à A 2 Parti B - Un cas particulir Paul, étudiant d 19 ans d corpulnc moynn t jun conductur, boit dux vrrs d rhum. La concntration C d alcool dans son sang st modélisé n fonction du tmps t, xprimé n hur, par la fonction f défini sur [0 ; + [ par f (t )=2t t. 1. On a vu dans la parti précédnt qu t [0 ; + [, f (t )= A(1 t ) t or A t > 0 donc f (t ) st du sign d 1 t, on put donc détrminr ls variations d f sur [0 ; + [ x f (t ) f (t ) 0 2. La concntration d alcool dans l sang d Paul st maximal 1h après l absorption. Ell st alors d nviron 0,74 g.l 1 Pag 5/7

6 t 3. lim t + t = + lim f (t ) = lim t + t + (2 t t ) = lim t ( t ) = 0 par quotint t On n déduit qu l alcool finit par s éliminr totalmnt. [ 0 ; 2 ] 4. (a) f st continu t strictmnt croissant sur [0, 1] à valurs dans [ or 0,2 0 ; 2 ] donc d après l théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f (t )=0,2 admt un uniqu solution t 1 sur [0, 1] d mêm, f st continu t strictmnt décroissant sur [1, + [ à valurs dans ] or 0,2 0 ; 2 ] donc d après l théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f (t )=0,2 admt un uniqu solution t 2 sur [1, + [ (b) Par balayag, on obtint t 1 0,112 t t 2 3,577 ] 0 ; 2 ] donc Paul doit attndr au minimum 3 hurs t 35 minuts avant d rprndr l volant. 5. (a) On sait qu lim t + t > T, f (t ) ] ǫ ; ǫ[ ici on pos ǫ= f (t ) = 0 donc par définition d la limit, pour tout ǫ>0 il xist T R tl qu pour tout Donc il xist un instant T à partir duqul l alcool n st plus détctabl dans l sang (b) Algorithm complété : Initialisation Étap 1 Étap 2 p 0,25 0,25 0,25 t 3,5 3,75 4 C 0,21 0,18 0,15 La valur affiché par l algorithm st l tmps nécssair, n hur, pour qu l alcool n soit plus détctabl dans l sang. Si on poursuit l algorithm jusqu à son trm, on obtint 8,25 à l affichag donc il faut 8 h t 15 minuts pour qu l alcool n soit plus détctabl dans l sang Pag 6/7