3 ème Sc Expérimentales

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1 Nombres Complexes 3 ème Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 1) Soient les nombres complexes : = 1 2 = 3+ Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 2 ; ; 2) Soit = 2+ où est un réel. a) Déterminer pour que soit imaginaire pur. b) Déterminer pour que 1+ soit un réel. Exercice 2 On donne les points d affixes respectives : = 1) Ecrire sous la forme algébrique. 2) Placer les points. 3) Montrer que le triangle % est isocèle. 4) Déterminer l affixe du point & tel que %& soit un carré. Exercice 3 = 3+4! # $ 1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : ' ; ( 2) Marquer les points, & d affixes respectives : 2+3, ) a) Montrer que & est un triangle rectangle en. b) Trouver l affixe du point ) tel que &) soit un rectangle. 4) a) On pose * = &, trouver l affixe du point *. b) Déterminer construire les ensembles suivants :! $1+, = -. 0/ 2 3 = = -. 0/ =53 Exercice 4 Une seule des réponses proposées est exacte. 1) Soit un nombre complexe, le conjugué de 1+ est : a) 1 b) 1 c) 1+ 2) La forme algébrique de est : 3) La forme algébrique de ' Exercice 5 a) 6 4 b) 6+4 c) 6 4 est : a) 2+3 b) 2+3 c) 2 3 1) Soient les points =2+ ; = 1 7 = 3 2. a) Placer les points,, &. b) Déterminer l affixe du point * milieu du segment 8&9.

2 2) a) Calculer les distances, & &. b) Déduire la nature du triangle &. 3) a) Déterminer l affixe du point ) symétrique du point par rapport à :. b) Quelle est la nature du quadrilatère &)? Justifier. Exercice 6 Soient les points,, & * d affixes respectives : = 2 ; =1+ ; 7 =4+2 ; =2. 1) a) placer les points,, & *. b) Vérifier que * est le milieu du segment 8&9. 2) Montrer que le triangle & est isocèle. 3) Déterminer l affixe < du point ) pour que &) soit un losange. 4) a) A tout point. d affixe 4+2 on associe le point. d affixe :? Montrer que : %. = A b) Montrer que si le point. décrit la médiatrice du segment 8&9 alors le point. décrit un cercle que l on précisera. Exercice 7 A tout. d affixe on associe le point. d affixe = soient les points : 1. 1) a) Montrer que = A A b) En déduire l ensemble des points. tel que =1. 2) Déterminer construire les ensembles suivants a), = -. 0/ R3 b), = -. 0/ soit imaginaire pur3. Exercice 8 1) Placer dans le plan complexe les points,, & ) d affixes respectives : ; 1 ; ) Montrer que &) est un rectangle. 3) A tout point. du plan d affixe distinct de 1 on associe le point. d affixe = a) Montrer que = A A b) En déduire que si. appartient au cercle trigonométrique alors. appartiendra à une droite que l on précisera. 4) a) Montrer que 1+ =2+ que.. = 5 b) Montre que si. appartient à un cercle de centre de rayon 1 alors. appartient à un cercle que l on précisera.

3 Exercice 9 Soient les points, & d affixes respectives : =, = 3+ 7 = 3+. 1) a) Donner la forme trigonométrique de, 7. b) Placer les points, &. c) Déterminer une mesure de l angle orienté Q%,%& R. 2) a) Déterminer l affixe du point * milieu du segment 8&9. b) Déterminer l affixe du point ) tel que &) soit un parallélogramme. c) Montrer que &) est un losange. Exercice 10 On donne les points, & d affixes respectives : = 1+4, = = 1) Ecrire sous forme algébrique les complexes : 2) a) Placer les points, &. b) Montrer que le triangle & est isocèle rectangle. c) Déterminer l affixe du point ) tel que &) soit un carré. 3) Soit le point, d affixe S =1+ 3. a) Donner le module un argument de S. b) Déduire le module argument de S. c) Ecrire sous forme algébrique le complexe : S. d) En déduire cos UV sin UV 4) Déterminer l ensemble des points. d affixe tel que + =. Exercice 11 On donne les points,, & ) d affixes respectives : =2 3+2, = = < = ) a) Placer les points,, & ). b) Calculer & ) c) En déduire le module un argument de & ) d) Quelle est la nature du triangle &). 2) a) Déterminer le module un argument de 7. b) Ecrire sous la forme algébrique & c) Ecrire sous la forme trigonométrique de & d) En déduire cos UV sin UV

4 3) Résoudre dans R l équation Q1+ 3R cos2w+q1 3R sin2w =2. 4) A tout point. ) d affixe on associe le point. d affixe = & ) a) Vérifier que 1 Q 2+2 3R= b) Déduire l ensemble des point. lorsque. décrit le cercle de centre ) de rayon 4. Exercice 12 Une seule des réponses proposées est exacte. 1) Si = alors : a) XY =2 b) = c) *Z = 2 2) Si z est un nombre complexe dont un argument est V +2[\ ;[ Z alors un argument de 1 est : a) \+2[\;[ Z b) 0+2[\ ;[ Z c) V +2[\ ;[ Z 3) Si =Q 3 R 2 alors est égale à: Exercice 13 Répondre par Vrai ou Faux. a) 0 b) 2 3 c) ) Soit = 2 3 donc =3 2. 2) Soit = 1 donc ' =16 3) Soit un nombre complexe de module 1 dont un argument est donc = 1. 4) Soit un nombre complexe de module 2 dont un argument est donc est imaginaire pur. 5) Soit un nombre complexe dont un argument est V ayant une partie réelle égale à 4 3 donc =8. a 6) Soit un nombre complexe donc +1 = ) Soit deux nombres complexes si = donc =. 8) Soit deux nombres complexes on a toujours + = +. Exercice 14 On pose c = 1+ 3 d = 1+ 1) Ecrire sous la forme algébrique c d. 2) a) Ecrire c d sous la forme trigonométrique. b) Ecrire c d sous la forme trigonométrique. 3) En déduire cos UV Exercice 15 sin UV Soient les points d affixes respectives : =2 2 = 2+2 1) Placer. 2) Qu elle est la nature du triangle %.

5 3) Soit le point & d affixe 7 =! + $2 2. a) Ecrire 7 sous forme algébrique. b) Ecrire sous forme trigonométrique. 4) a) Ecrire 7 sous forme trigonométrique. b) En déduire cos V sin V 5) a) Comparer % %& donner une mesure de l angle!% e ; %& $. b) En déduire la nature du triangle %&. Exercice 16 Soient les nombres complexes = 2+ 2 = 2 2 1) Mtre sous forme trigonométrique. 2) Placer alors les points, & d affixes respectives 2, 3) Déterminer sous forme algébrique l affixe du point : = 4) Calculer %* une mesure de Qc,%* R. 5) Donner alors f sous forme trigonométrique en déduire les valeurs de cos V ' sin V ' Exercice 17 Soient les points =, = 7 =4. A tout point. d affixe on associe le point. d affixe 1) a) Montrer que si. alors on a %. = 7A A b) En déduire que si. est sur le cercle de centre % de rayon 1 alors le point. varie sur une droite que l on déterminera. 2) a) Montrer que si alors + = 3 en déduire que :.. =3. b) Montrer alors que si le point. appartient au cercle C de centre de rayon 2 alors le point. appartient à un cercle C dont on précisera le centre le rayon. e 3) a) Montrer que si.. alors!u,om i $= +!AM e, CM $+2kπ ; k Z. b) En déduire que si. appartient au segment 89\-,3 alors.,appartient à une droite que l on précisera. Exercice 18 On donne les points d affixes respectives : =1+ 3 =1. 1) Ecrire sous la forme trigonométrique. 2) Ecrire sous la forme trigonométrique en déduire cos i sin i 3) A tout point. 0\-3 d affixe, on associe le point. d affixe = a) Déterminer construire l ensemble, des points. tel que soit imaginaire pur.

6 b) Déterminer construire l ensemble 4 des points. tel que soit réel. c) Déterminer l ensemble o des points. tel que =1. 4) Soit * le point d affixe 1. Montrer que pour tout point 0\-3, *.. =1+ 3. Que décrit le point. lorsque. décrit le cercle de centre de rayon 1? Exercice 19 1) On donne = 1+, = 1 3 = 1. a) Ecrire, sous la forme trigonométrique. b) En déduire la forme trigonométrique de p = 2) a) Ecrire p sous forme algébrique. b) En déduire les valeurs exactes de cos Ui q q sin Ui 3) Résoudre dans 80,2\8 ; Q 2 6R cosw+q 2+ 6R sinw = 2