Mathématiques Sciences Techniques Corrigé de la session de contrôle Juin x 4x y 2y z 4z 5 0. (x 2) 4 (y 1) 1 (z 2)

Transcription

1 Mathématiqus Scics Tchiqus Corrigé d la sssio d cotrôl Jui 0 Exrcic ) (P) : x y z 0 A(,, 0) ; 0 0 ; d'où A (P). B(,, ) ; ( ) ( ) 0 ; d'où B (P). C(0,, ) ; 0 ( ) 0 ; d'où C (P). Aisi ls poits A, B t C appartit au pla (P). )a) M x, y, z (S) x y z 4x y 4z 5 0 b) c) x 4x y y z 4z 5 0 (x ) 4 (y ) (z ) (x ) (y ) (z ) 4. D où (S) st la sphèr d ctr I(,, ) t d rayo R. (S): (x ) (y ) (z ) 4. A(,, 0) ; ( ) ( ) (0 ) 4 ; d'où A (S). B(,, ) ; ( ) ( ) ( ) 4 ; d'où B (S). C(0,, ) ; (0 ) ( ) ( ) 4 ; d'où C (S). Aisi ls poits A, B t C appartit à la sphèr (S). Ls poits A, B t C appartit aussi au pla (P), doc (P) t (S) s coupt suivat l crcl (C) circoscrit au triagl ABC. AB ( ) ( ) ( 0) 8 AC (0 ) ( ) ( 0) 8 BC (0 ) ( ( )) ( ( )) 8 AB AC BC, d où ABC st u triagl équilatéral. )a) La droit st prpdiculair au pla (P) doc l vctur, qui st u vctur ormal au pla (P), st u vctur dirctur d la droit. O a aussi I(,, ) (P).

2 x D où u systèm paramétriqu d st : y ; z x α y α b) G x, y, zδ (P) z α x y z 0 x α y α z α α α ( α) 0 x α y α z α α 4 4 D où G(,, ). 4 4 A(,, 0) ; B,, ; C 0,, t G(,, ). 4 4 GA ; GB ; GC 4 c) GA GB GC 0, d où G st l ctr d gravité du triagl ABC. d) O a ABC st u triagl équilatéral d ctr d gravité G t (C) so crcl circoscrit, d où l crcl (C) st d ctr G t d rayo GA. 4 4 GA 6. 9 (C) st l crcl d ctr G t d rayo 6.

3 Exrcic ) f la foctio défii sur 0, par a) x x 0 f (x) x x. x 0 ; car la foctio x x st strictmt croissat sur. x x x x f (x) x. 0 x x 0 0 x 0 x x x x x x f (x) x x b) f '(x) x.( )' ; x 0, x.( ) x x ( x) x x c) f ' (x) 0 ( x) 0 x 0. x L tablau d variatio d la foctio f : ) (u ) la suit défii sur par : u0 u f (u ) pour tout a) Pour motrr qu 0 u, pour tout tir aturl, o raiso par récurrc. O a 0 u0, d où la propositio st vérifié pour 0. Soit u tir aturl. O suppos qu la propositio st vrai pour ct tir. O a doc 0 u.

4 Motros qu la propositio st vrai pour +. 0 u u 0, f (u ) 0, ; d 'aprèsl tablau d var iatio df u 0, 0 u D où la propositio st vrai pour +. Aisi d après l pricip d raisomt par récurrc o a b) O a : 0 u, pour tout. D après )a) 0 u u f (u ) D où la suit u u (u ) st croissat. c) O a 0 u, doc la suit (u ) st majoré par. 0 u, pour tout. La suit (u ) st croissat t majoré doc ll st covrgt. Soit l sa limit. La foctio f st cotiu sur 0,, la limit l vérifi f (l) l. l f (l) l l l l l( ) 0 l l 0 ou l 0 ou l 0 l 0 ou l Or l 0, car la suit st croissat t mioré par 0, d'où l. Aisi la suit (u ) covrg vrs. Exrcic Ls résultats du baccalauréat, das u établissmt public doé, sot : 60% ds cadidats sot admis. Parmi ls cadidats admis, 80% ot u moy aull supériur ou égal à 0 sur 0. Parmi ls cadidats o admis, 70% ot u moy aull supériur ou égal à 0 sur 0. A «l cadidat itrrogé st admis au baccalauréat». M «la moy aull du cadidat itrrogé st supériur ou égal à 0 sur 0». )a) A «l cadidat itrrogé st pas admis au baccalauréat».

5 60% ds cadidats sot admis, doc 40% l sot pas. D où 40 4 p(a) = = = Parmi ls cadidats admis, 80% ot u moy aull supériur ou égal à 0 sur 0. D où la probabilité qu la moy aull du cadidat itrrogé st supériur ou 80 égal à 0 sur 0 sachat qu il st admis au baccalauréat st p(m / A) = = Parmi ls cadidats o admis, 70% ot u moy aull supériur ou égal à 0 sur 0. D où la probabilité qu la moy aull du cadidat itrrogé st supériur ou égal à 0 sur 0 sachat qu il st pas admis au baccalauréat st 70 p(m / A) = = b) p(m / A) p(m / A) ) L arbr podéré suivat décrit la situatio. )a) La probabilité qu u cadidat itrrogé soit admis t qu sa moy aull soit ifériur à 0 sur 0 st doé par p(mç A) = p(a).p(m / A) = = 0.. b) p(m) = p(m Ç A) + p(m Ç A) = p(a).p(m / A) + p(a).p(m / A) = = = 0.76 c) La probabilité qu u cadidat itrrogé soit admis sachat qu il a obtu u moy aull supériur ou égal à 0 st p(a / M). p(m ÇA) p(a / M) = = = =. ( p(mç A) = p(a).p(m / A) = 0.48) ) p(m) ) O sait qu l ombr d cadidats d ct établissmt st égal à 00.

6 La probabilité qu u cadidat soit admis t ayat pas u moy aull supériur ou égal à 0 st p(mç A) = 0.. L ombr stimé d cadidats admis t ayat pas u moy aull supériur ou égal à 0 st cadidats. Exrcic 4 f (x) x x l(x) ; si x >0 Soit la foctio f défii sur 0, par f (0) 0 t o désig par (C) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé O,i, j. )a) lim f (x) lim x x l(x) lim x x(x l(x)) 0 f (0). ) b) x0 x0 x0 D où f st cotiu à droit 0. f (x) f (0) lim lim x x l(x) 0. D où f st dérivabl à droit 0 t f '(0) 0. x 0 f '(0) 0, d où la courb (C) admt au poit d absciss 0 u dmi-tagt horizotal. x0 x0 lim f (x) lim x x l(x) lim x ( l(x)). x x x f (x) x x l(x) lim lim lim x x l(x) lim x( l(x)). x x x x x x f (x) lim, d où la courb (C) admt u brach ifii d dirctio l ax (O, j). x x )a) f (x) x x l(x) ; si x >0. f '(x) x (x )'.l(x) x.(l(x))' x 4x.l(x) x. x x 4x.l(x) x 4x.l(x) Aisi pour tout x 0, ; f '(x) 4xl(x). b) Oa f '(x) 4xl(x) ; pour tout x 0. L sig d f '(x) st clui d l(x).

7 L tablau d variatio d f : 4) O a f 0 0. si x > 0 ; f (x) 0 x x l(x) 0 x ( l(x)) 0 l(x) 0 l(x) x Ls abscisss ds poits d itrsctios d la courb (C) avc l ax O,i sot 0 t. 5) La courb (C) d f :

8 6) Soit u rél tl qu : 0. a) I x l(x) dx. O pos : u(x) l(x) u '(x) x v'(x) x v(x) x E appliquat la formul d itégratio par partis o a : I x l(x) dx x l(x) x dx ( ) l( ) l( ) x l( ) l( ) ( ) b) ( ) l air d la parti du pla limité par l ax ds abscisss, la courb (C) t ls droits d équatios x t x. O a ( ) f (x) dx. f(x) dx = x x l(x) dx x dx I x I I ( ) f (x) dx I l( ) ( ) l( ) c) lim 0 ( ) lim l( )