Parallélogrammes. Cette construction futuriste a été réalisée dans le port de. Histoire des arts : l architecture

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1 10 Parallélogrammes istoire des arts : l architecture expression du chapitre ette construction futuriste a été réalisée dans le port de ambourg en llemagne en es architectes ont imaginé l immeuble en forme de bateau avec une proue de près de 40 m. eux façades de l édifi ce sont en forme de parallélogramme. râce à son inclinaison et à sa façade en verre, le bâtiment donne l impression au visiteur de fl otter sur l eau. e toit-terrasse de l immeuble offre une vue panoramique sur l ensemble du port de ambourg qui est le troisième plus grand port de commerce d urope, derrière otterdam aux Pays-as et nvers en elgique. «u général au particulier.» 190

2 ans ce chapitre, on apprendra à : tiliser une définition du parallélogramme. tiliser les propriétés du parallélogramme. econnaître et construire un parallélogramme en utilisant ses propriétés. onnaître et utiliser une définition du carré, du rectangle, du losange. tiliser les propriétés du carré, du rectangle, du losange. econnaître et construire un carré, un rectangle et un losange en utilisant leurs propriétés. Pour s y remettre Pour chaque question, trouve la (ou les) bonne(s) réponse(s) et explique ton choix. e sais éponse éponse éponse econnaître et utiliser un centre de symétrie Pour les questions 1 et 2, utiliser les figures ci-contre. igure 1 igure 2 1 a fi gure a pour centre de symétrie le point le point le point 2 ans la fi gure, les triangles et sont symétriques par rapport au point. eux angles symétriques sont Nommer et identifier des quadrilatères particuliers Pour les questions 3 à 6, utiliser les figures ci-contre. et et et 3 e quadrilatère violet se nomme 4 Quelle fi gure représente un losange? le quadrilatère 5 e quadrilatère bleu est un rectangle le quadrilatère un carré le quadrilatère un carré 6 e quadrilatère est un losange un carré un rectangle 10 Parallélogrammes Parallélogrammes particuliers

3 ctivités 1 n nouveau quadrilatère? 1. eproduis les quadrilatères suivants sur ton cahier et place à chaque fois le point. 2. onstruis les symétriques de tous ces quadrilatères par rapport au point. 3. a. Que remarque-t-on pour les quadrilatères et? b. Que représente le point pour les quadrilatères et? c. es quadrilatères et ont-ils des axes de symétrie? 4. a. essine deux autres quadrilatères qui possèdent un centre de symétrie. b. es quadrilatères que tu as tracés ont-ils aussi des axes de symétrie? n quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme. i oui, trace les axes de symétrie! 2 Propriétés du parallélogramme e quadrilatère P ci-contre est un parallélogramme de centre. P 1. a. Que peux-tu dire du point pour le segment [P]? ustifi e ta réponse par des éléments de symétrie. b. Que peux-tu dire du point pour le segment []? ustifi e ta réponse par des éléments de symétrie. c. Que peux-tu conclure sur les diagonales du parallélogramme P? 2. a. Par la symétrie de centre, quels sont les symétriques des segments [P] et []? b. Que peut-on conclure sur les côtés opposés du parallélogramme P? 3 econnaître un parallélogramme 192 Pense à toutes les propriétés de la 1. a. race un segment [] et place son milieu. symétrie centrale. b. race un segment [] dont le milieu est aussi le point. 2. a. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère? b. Que représente le point pour le quadrilatère? c. Peux-tu préciser avec certitude la nature du quadrilatère? 3. ecopie et complète la phrase suivante. i les d un quadrilatère se coupent, alors ce quadrilatère est un.

4 ctivités 4 onstruire un parallélogramme 1. a. Place trois points, et. Pense aux propriétés b. race les segments [] des côtés opposés du parallélogramme! et []. 2. n souhaite terminer la construction d un parallélogramme. onstruis le point en utilisant uniquement l outil «droites parallèles». 5 u parallélogramme au ais une figure à main levée avant de 1. onstruis un parallélogramme tel que : construire! = 6 cm et = 6 cm. 2. Que peux-tu dire des quatre côtés du parallélogramme? ustifi e ta réponse. 3. Peux-tu préciser avec certitude la nature du parallélogramme? 4. ecopie et complète la phrase suivante. i un possède deux côtés consécutifs, alors il devient un. 6 u parallélogramme au rectangle 1. a. Place trois points, et. b. race les segments [] et []. c. ermine la construction d un parallélogramme avec l outil «droites parallèles». 2. a. vec l outil «angle», fais affi cher la mesure de l angle. b. vec l outil «angle», fais affi cher les mesures des angles, et. 3. vec l outil «déplacer», déplace le point jusqu à ce que l angle soit un angle droit. 4. a. Que peux-tu alors dire des quatre angles du parallélogramme? b. Peux-tu préciser avec certitude la nature du parallélogramme? 5. ecopie et complète la phrase suivante. i un possède un, alors il devient un. 10 Parallélogrammes 193

5 avoir/avoir faire 1 Parallélogramme et centre de symétrie éfinition n parallélogramme est un quadrilatère non croisé qui possède un centre de symétrie. e centre de symétrie d un parallélogramme est le point d intersection de ses diagonales. xemple : e point est le centre de symétrie du parallélogramme ci-contre. e parallélogramme est son propre symétrique par la symétrie de centre. n dit qu est un parallélogramme de centre. 2 onnaître les propriétés du parallélogramme a symétrie centrale permet de déterminer des particularités propres au parallélogramme. Propriété 1 es diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. xemple : i est un parallélogramme de centre, alors le point est le milieu des diagonales [] et []. Propriété 2 es côtés opposés d un parallélogramme sont symétriques, donc ils ont la même longueur. xemple : i est un parallélogramme, alors = et =. pplication 1 : es points, et sont trois sommets d un parallélogramme. omment construire le point? éponse : est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur. n reporte avec le compas la longueur à partir du point. n reporte avec le compas la longueur à partir du point. n place le point à l intersection des deux arcs de cercle. Pour s entraîner exercices 22 à 24, page

6 avoir/avoir faire pplication 2 : omment construire un parallélogramme de centre tel que : = 8 cm ; = 6 cm et = 110? éponse : n commence par réaliser une fi gure à main levée en indiquant les données de l énoncé. est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu qui est le point. onc = = 4 cm et = = 3 cm. 8 cm cm cm 3 cm n trace la diagonale [] et on place son milieu. Puis, à l aide du rapporteur, on trace un angle de côté [], de sommet et qui mesure 110. n reporte 3 cm avec le compas à partir du point. n place le point. Puis on trace la droite (). n reporte 3 cm avec le compas à partir du point. Puis on trace le parallélogramme. Pour s entraîner exercices 29 à 32, page 201 Propriété 3 es côtés opposés d un parallélogramme sont symétriques, donc les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. Propriété 4 es angles opposés d un parallélogramme sont symétriques, donc ils ont la même mesure. xemple : i est un parallélogramme, alors = et =. pplication 3 : P est un parallélogramme tel que P = 6 cm, P = 4 cm et P = 70. omment déterminer la mesure de l angle sans utiliser d instrument? éponse : n réalise une fi gure à main levée avec les données. P es angles P et sont opposés. P est un parallélogramme, donc ses angles opposés ont la même mesure. 4 cm es angles P et ont donc la même mesure. insi l angle mesure cm 70 Pour s entraîner exercices 44 et 45, page Parallélogrammes 195

7 avoir/avoir faire 3 econnaître un parallélogramme n seul de ces quatre critères suffit pour avoir un parallélogramme. Propriété 1 i un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c est un parallélogramme. Propriété 3 i un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme. Propriété 2 i un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c est un parallélogramme. Propriété 4 i un quadrilatère non croisé a ses angles opposés de même mesure, alors c est un parallélogramme. pplication 4 : ulie a dessiné ce quadrilatère sur son cahier et elle a codé certains segments. omment savoir si le quadrilatère est un parallélogramme? éponse : après les codages, le point est le milieu du segment [] et du segment []. insi les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu. après la propriété 3, le quadrilatère est un parallélogramme. Pour s entraîner exercices 52 à 54, page econnaître des parallélogrammes particuliers Propriété e rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. a. e rectangle ouviens-toi du chapitre 7 : le rectangle, le losange et le carré possèdent un centre de symétrie. éfinition n rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits. Propriétés héritées du parallélogramme es côtés opposés d un rectangle sont parallèles. es côtés opposés d un rectangle ont la même longueur. es diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu. Propriété propre au rectangle n rectangle est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. xemple : i est un rectangle, alors =. n a aussi = = =. 196

8 avoir/avoir faire pplication 5 : omment construire un rectangle Y de centre tel que = 4 cm et = 6 cm? éponse : n réalise une fi gure à main levée avec les données. Y Y est un rectangle, donc ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu qui est le point. onc = Y = = = 3 cm. 4 cm 6 cm 3 cm Y Y 3 cm n construit un segment [], puis on construit au compas le point à 3 cm du point et du point. b. e losange n trace les demi-droites [) et [). n obtient les points Y et à 3 cm du point. n trace le rectangle Y. Pour s entraîner exercices 65 à 68, page 204 éfinition n losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. Propriétés héritées du parallélogramme es côtés opposés d un losange sont parallèles. es angles opposés d un losange ont la même mesure. es diagonales d un losange se coupent en leur milieu. Propriété propre au losange n losange est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. xemple : i est un losange, alors les droites () et () sont perpendiculaires. pplication 6 : est un losange de centre tel que = 8 cm et = 6 cm. omment déterminer la longueur sans utiliser d instrument? éponse : n réalise une fi gure à main levée avec les données. 8 cm est un losange, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, ici le point. e point est le milieu du segment [] ; donc = 3 cm. Pour s entraîner exercices 99 et 100, page cm 10 Parallélogrammes 197

9 avoir/avoir faire c. e carré éfinition n carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et quatre angles droits. emarque : e carré est un rectangle particulier. e carré est aussi un losange particulier. Propriétés héritées du parallélogramme es côtés opposés d un carré sont parallèles. es diagonales d un carré se coupent en leur milieu. Propriété héritée du losange es diagonales d un carré sont perpendiculaires. Propriété héritée du rectangle es diagonales d un carré ont la même longueur. xemple : i est un carré, alors les droites () et () sont perpendiculaires et =. 5 u parallélogramme aux rectangle, losange et carré organigramme suivant fait apparaître le rectangle, le losange et le carré comme un parallélogramme doté de propriétés particulières. un angle droit avec ou des diagonales de même longueur devient un rectangle avec deux côtés consécutifs de même longueur ou des diagonales perpendiculaires devient un parallélogramme un carré deux côtés consécutifs de même longueur avec ou des diagonales perpendiculaires devient un losange un angle droit avec ou des diagonales de même longueur devient pplication 7 : ulie a dessiné à main levée le parallélogramme ci-contre sur son cahier et elle a codé certains segments. omment préciser la nature de ce parallélogramme? éponse : es côtés [] et [] sont consécutifs, et, d après les codages, ils ont la même longueur. onc le parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur. après l organigramme, le parallélogramme est un losange ; on ne peut rien en dire de plus. Pour s entraîner exercices 102 à 107, page

10 n parallélogramme pour reproduire, réduire ou agrandir : le pantographe nventé en 1630 par l astronome allemand hristophe cheiner, cet instrument est composé de quatre bras articulés qui forment un parallélogramme. À l extrémité de l un des bras se trouve une pointe sèche que l on déplace sur le dessin à copier. n crayon placé au bout d un autre bras reproduit la fi gure en modifi ant ou en gardant l échelle de l original. et appareil est moins utile depuis l invention de la photocopieuse avec agrandissement et réduction. istoire des mathématiques P e rendez-vous des curieux N tilisation d un panthographe. Pierre Varignon ( ), brillant mathématicien, a démontré le célèbre théorème qui porte son nom : «n joignant les milieux des côtés d un quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme. i le quadrilatère est un carré, on obtient un carré ; si c est un rectangle, on obtient un losange ; si c est un losange on obtient un rectangle.» N 1 alculer. a. 9 7 b. 8 6 c d e f alculer. a b c d. (30 + 2) 3 e. (28 7) 2 f. 3 (9 + 2) g h alculer le périmètre de ces polygones. 6 cm 4 cm 2,5 cm 4,5 cm 4 alculer. a b c d e f alculer. a. opposé de 5. b. opposé de 19. c. ( 8) + ( 5) d. ( 3) + ( 7) e. 7 + ( 8) f. 5 + ( 9) g. ( 11) 9 h alculer. a b c d e. + f g. 2 - h. # i. # ne petite astuce : pour soustraire 19 à un nombre, on retranche 20 puis on ajoute Parallélogrammes 199

11 ocle commun Vocabulaire et maîtrise de la langue ecopier et compléter les phrases des exercices 7 et 8 à l aide des mots suivants (en accordant au pluriel s il le faut) : diagonale ; milieu ; parallèle ; centre ; côté. 7 es mots mathématiques 1. es d un parallélogramme se coupent en leur.. 2. e rectangle, le losange et le carré ont tous un de symétrie. 3. es opposés d un parallélogramme sont. 8 et des mots de tous les jours 1. mma a mal compris l énoncé de cet exercice, car elle l a lu en. 2. a prolifération des algues inquiète les observateurs des sous-marins. 3. atthieu n aime pas vraiment aller au cinéma : il a d autres d intérêt. es compétences du socle commun Pour chaque énoncé, répondre par vrai ou faux. 9 Pour terminer la construction du parallélogramme : a. il faut piquer la pointe du compas sur le point et pas sur le point ; b. il faut reporter la longueur à partir du point. Pour chaque réponse, prépare une justification orale! Vrai aux 10 es diagonales d un parallélogramme ont la même longueur. 11 es côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. 12 e segment [] mesure 4 cm et le segment [] mesure 3 cm. 13 angle mesure 125. e quadrilatère est un parallélogramme. 4 cm cm 14 e quadrilatère est un parallélogramme. 15 e quadrilatère NP est un parallélogramme. P N 16 es diagonales d un rectangle sont perpendiculaires. 17 es diagonales d un losange se coupent en leur milieu. 18 n parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. 19 e losange ci-contre est un carré. 200

12 onstruire grâce aux propriétés des parallélogrammes Placer les points, et comme ci-contre. 2. onstruire le parallélogramme de centre onstruire en vraie N 3 cm grandeur le triangle N. 2. onstruire le parallélogramme NP sachant 5 cm que les points et N 6 cm sont des sommets et que le point est le centre du parallélogramme. voir l application 1, page eproduire la fi gure ci-dessous. xercices 25 à 27 : construire en vraie grandeur les parallélogrammes cm 2,8 cm 60 3 cm N 27 a. b. 4,5 cm 50 2,5 cm 5,4 cm cm 4 cm 28 onstruire un parallélogramme N tel que : = 4 cm ; N = 5,2 cm et \ N = eproduire la fi gure et placer le point sachant que est un parallélogramme. voir l application 2, page 195 Pour s entraîner 2. Placer le point pour que le quadrilatère soit un parallélogramme Placer les points, et comme ci-contre. 2. onstruire le parallélogramme Placer les points,, et comme ci-contre. 2. a. Placer le point pour que le quadrilatère soit un parallélogramme. b. Placer le point pour que le quadrilatère soit un parallélogramme. 30 onstruire un parallélogramme N de centre tel que = 10 cm, N = 8 cm et = onstruire un parallélogramme de centre tel que : = 7 cm ; = 5 cm et = onstruire un parallélogramme de centre tel que : = 5 cm ; = 3,5 cm et = eproduire la figure ci-contre. 2. onstruire deux parallélogrammes et dont [] est une diagonale. 10 Parallélogrammes 201

13 Pour s entraîner 34 onstruire en vraie grandeur les parallélogrammes ci-dessous. 3,5 cm 5 cm 7 cm V P 3,4 cm 2 cm onstruire un parallélogramme tel que : = 5 cm ; = 8 cm et = 9 cm. 36 onstruire un parallélogramme tel que : = 5 cm ; = 8 cm et = 9 cm. 43 est un parallélogramme tel que = 8 cm. Quelle est la longueur du segment []? voir l application 3, page est un parallélogramme tel que = 65. Quelle est la mesure de l angle? 45 est un parallélogramme tel que = 105. Quelle est la mesure de l angle? 37 Éric dit qu il a construit un parallélogramme tel que = 6 cm, = 7 cm et = 9 cm. Que peut-on lui répondre? xercices 46 et 47 : est un parallélogramme de centre. Quelles mesures peut-on trouver à l aide des données? ustifier la réponse. 38 onstruire en vraie grandeur les parallélogrammes ci-dessous. 46 a. b. 8,4 cm 35 5,8 cm 4 cm 40 7 cm 8 cm 120 Y onstruire un parallélogramme P tel que : P = 3,8 cm ; P = 5,5 cm et P = onstruire un parallélogramme tel que : = 5 cm ; = 4 cm et = 60. ustifier avec les propriétés du parallélogramme 41 est un parallélogramme de centre tel que = 5 cm. Quelle est la longueur du segment []? 42 NP est un parallélogramme de centre tel que NP = 9 cm. Quelle est la longueur du segment [N]? 47 a. b. 2,2 cm 7,4 cm 48 est le parallélogramme ci-contre Quelles sont les longueurs des côtés 5 cm [] et []? 2. Quelle est la mesure de l angle? 49 est un parallélogramme tel que : = 7 cm ; = 110 et = 4 cm. 1. Quelles sont les longueurs des côtés [] et []? 2. Quelle est la mesure de l angle? 3 cm

14 econnaître un parallélogramme eproduire les quadrilatères suivants. 2. onstruire les symétriques de tous ces quadrilatères par rapport au point. 3. Quels quadrilatères sont des parallélogrammes? Pourquoi? 51 e suis un quadrilatère et mes côtés opposés sont parallèles. Qui suis-je? 55 Pour le quadrilatère, on sait que : = et =. est-il un parallélogramme? 56 ans la fi gure ci-contre les segments de même couleur sont parallèles. Nommer tous les parallélogrammes de cette fi gure en justifi ant les réponses. 57 Nommer tous les parallélogrammes de cette fi gure en justifi ant les réponses. Pour s entraîner voir l application 4, page 196 N P 52 ndiquer la nature des quadrilatères suivants en justifi ant les réponses. a. b. 53 Pour chaque fi gure, indiquer si le codage permet de dire que le quadrilatère est un parallélogramme ou non. a. b. 54 Voici deux fi gures codées tracées à main levée. es quadrilatères P et sont-ils des parallélogrammes? ustifi er les réponses. a. b. P 58 ans le quadrilatère NP, on sait que les angles N et P mesurent 125 et que les angles N P et NP mesurent 55. NP est-il un parallélogramme? racer un segment [] et placer un point n appartenant pas à la droite (). 2. onstruire les points et symétriques respectifs de et par rapport au point. 3. racer le quadrilatère. 4. Quelle est la nature du quadrilatère? ndiquer la nature du quadrilatère ci-contre en justifi ant la réponse. 2. onstruire le quadrilatère en vraie grandeur. 61 racer un segment [] et son milieu. racer un segment [] de milieu. Quelle est la nature du quadrilatère? 6,5 cm 55 3,5 cm 10 Parallélogrammes 203

15 Pour s entraîner onstruire des rectangles 62 onstruire un rectangle tel que : = 5 cm et = 4 cm. 63 onstruire un rectangle NP tel que : N = 0,7 dm et P = 45 mm. 64 onstruire en vraie grandeur le rectangle Y ci-contre. 204 voir l application 5, page onstruire un rectangle tel que : = 6 cm et = 8 cm. 66 onstruire un rectangle WXYZ tel que : XY = 4 cm et WY = 11 cm. 67 onstruire un rectangle tel que : = 6,4 cm et = 5,6 cm. 68 onstruire en vraie grandeur le rectangle. 4 cm 7 cm 69 onstruire un rectangle P de centre tel que P = 7 cm et = 5 cm. 70 onstruire un rectangle de centre tel que = 5 cm et = 3,6 cm. 71 onstruire en vraie grandeur le rectangle ci-dessous sachant que = 7 cm onstruire en vraie grandeur le rectangle ci-contre. 8 cm Y cm 4 cm 73 onstruire en vraie grandeur le rectangle de centre ci-dessous sachant que = 3,2 cm onstruire en vraie grandeur le rectangle. 5 cm onstruire un rectangle tel que : = 6 cm et = onstruire un rectangle de centre tel que = 10 cm et = 50. onstruire des losanges 77 onstruire en vraie grandeur ces losanges. a. b. 6 cm ,5 cm 78 onstruire un losange tel que : = 4 cm et = onstruire un losange N tel que : N = 6 cm et N = onstruire un losange tel que : = 10 cm et = 6 cm. 81 onstruire un losange tel que : = 8,4 cm et = 6,8 cm. 82 onstruire en vraie grandeur le losange ci-contre sachant que = 3 cm et = 4 cm.

16 83 onstruire en vraie grandeur le losange P ci-contre. 84 onstruire un losange tel que : = 4,5 cm et = 7 cm. 85 onstruire en vraie grandeur le losange ci-contre sachant que = 8 cm. 86 onstruire en vraie grandeur le losange V ci-contre sachant que = 3 cm. onstruire des carrés 87 onstruire un carré NP de côté 5 cm. 6 cm P cm V ustifier avec les propriétés du rectangle, du losange et du carré 95 est un rectangle tel que = 8 cm. arc : «e segment [] mesure 8 cm.» etty : «e segment [] mesure 8 cm.» Qui a raison? 96 est le rectangle ci-contre. Quelles sont les longueurs des segments [], [] et []? 97 est un losange de centre. Quelles mesures peut-on trouver à l aide des données? a. b. 8 cm cm 10 cm 8 cm Pour s entraîner 88 onstruire un carré de côté 0,8 dm. 89 onstruire un carré tel que = 6 cm. 90 onstruire un carré dont les diagonales mesurent 8 cm. 91 Possible ou impossible? st-il possible de construire un carré WXYZ tel que : WY = 11 cm et XZ = 10 cm? 98 est un losange. Que peut-on dire des droites () et ()? voir l application 6, page NP est un losange de centre tel que = 7 cm. Quelle est la longueur du segment []? 100 est un losange de centre tel que 92 onstruire le carré de centre ci-contre en vraie grandeur. 3 cm = 5,3 cm. Quelle est la longueur du segment []? 93 onstruire un carré N de centre tel que = 5 cm. 94 onstruire un carré P de centre tel que = 3,8 cm. 101 est le carré ci-contre. 1. Quelles sont les longueurs des segments [] et []? 2. Préciser la nature des triangles,,, et des triangles,, et. 4 cm 10 Parallélogrammes 205

17 Pour s entraîner Préciser la nature d un parallélogramme voir l application 7, page Quelle est la nature des parallélogrammes suivants? ustifi er les réponses. a. b. Y 110 e suis un parallélogramme et j ai deux côtés consécutifs de même longueur. Qui suis-je? 111 ecopier en corrigeant les erreurs. a. n losange qui a un angle droit est un rectangle. b. n parallélogramme qui a un angle droit est un carré Quelle est la nature des parallélogrammes suivants? ustifi er les réponses. a. Z b. P 104 V est un parallélogramme tel que = V. Quelle est sa nature? 105 Y est un parallélogramme tel que Y = 90. Quelle est sa nature? 106 V est un parallélogramme tel que V =. Quelle est sa nature? 107 ans le parallélogramme Y, les droites (Y) et () sont perpendiculaires. Quelle est sa nature? 108 ecopier et compléter en utilisant l un des mots suivants : rectangle ; losange ; carré. 1. n parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un. 2. n parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un. 3. n quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur est un Quelle est la nature du parallélogramme ci-contre? 2. onstruire en vraie grandeur. 5 cm 7 cm onstruire un rectangle tel que : = 5 cm et = 5 cm. 2. Quelle est la particularité de ce rectangle? onstruire un rectangle PN de centre tel que = 6 cm et P = Quelle est la particularité de ce rectangle? onstruire un losange tel que : = 6 cm et = Quelle est la particularité de ce losange? racer un cercle de centre et de rayon 5 cm. 2. racer deux diamètres [] et []. 3. Quelle est la nature du quadrilatère? 4. efaire cette fi gure avec deux diamètres [] et [] perpendiculaires. Que peut-on dire alors sur le quadrilatère? 116 a fi gure ci-contre est formée de deux cercles de même centre. ecopier et compléter le tableau suivant par oui ou par non. e quadrilatère est un parallélogramme rectangle losange carré P

18 Pêle-mêle onstruire en vraie grandeur le parallélogramme ci-contre. 2. alculer son périmètre. 118 onstruire les deux parallélogrammes suivants en vraie grandeur. a. b. 4 cm 7 cm 75 5 cm cm 5,5 cm 4 cm 123 Quelle est la nature du quadrilatère ci-dessous? 60 = 8 cm = 12 cm onstruire le quadrilatère en vraie grandeur. vec un logiciel de géométrie racer un quadrilatère. 2. égler le nombre de décimales à 1. Pour s entraîner 119 aths et langues vivantes 1. hercher la traduction en anglais et en espagnol du mot losange. 2. hercher la signifi cation en vieux français du mot rhombe à l aide d un dictionnaire ou sur nternet. 3. Y a-t-il un rapport entre le vieux français et l anglais ou l espagnol? onstruire un parallélogramme tel que : = 7 cm ; = 110 et = 4 cm. 2. Quelle est la longueur du segment []? 121 est un parallélogramme de centre cm 1,9 cm 1. Quelles sont les longueurs des segments [], [], [] et []? 2. Quelles sont les mesures des angles, et? onstruire un triangle tel que : = 7 cm ; = 4 cm et = 9 cm. 2. onstruire les points et P symétriques des points et par rapport à. 3. Quelle est la nature du quadrilatère P? 3. n observant les longueurs des côtés du quadrilatère, déplacer des points pour obtenir : a. un parallélogramme ; b. un losange. 125 uropean exercise shley : «et N be a rhomb wich side is 4 in. and its diagonal [] 3in.» (1 in. = 2,54 cm.) Petra : «Zeichne eine aute N mit 4 cm eite, deren iagonale [] 3 cm.» 126 Quelles sont les affi rmations exactes? ustifi er les réponses. 1. ous les parallélogrammes ont un centre de symétrie. 2. i un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. 3. n quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est forcément un carré. 4. ous les losanges sont des rectangles. 127 est un rectangle de centre tel que = 6 cm. Quelle est la longueur du segment []? 10 Parallélogrammes 207

19 l y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. rouve-les toutes! ilan e sais éponse éponse éponse e souvenir des propriétés du parallélogramme et les utiliser Pour les questions 128 à 130, on utilisera le parallélogramme de centre ci-contre cm 128 e point est le milieu du segment [] le milieu du segment [] le centre de symétrie de 129 Quel segment mesure 6 cm? le segment [] le segment [] le segment [] 130 Quels angles mesurent 75? et et et econnaître un parallélogramme 131 Quelle fi gure représente un parallélogramme? 132 ur quelle fi gure, le quadrilatère est-il un parallélogramme? e souvenir des propriétés des parallélogrammes particuliers et les utiliser Pour les questions 133 à 135, on utilisera le rectangle, le losange et le carré. 133 e triangle est rectangle en isocèle en équilatéral 134 es diagonales [] et [] se coupent en leur milieu ont la même longueur sont perpendiculaires 135 e triangle est rectangle en isocèle en équilatéral econnaître un parallélogramme particulier 136 e parallélogramme est un carré un losange un rectangle 137 n parallélogramme qui a des diagonales de même longueur est un carré un losange un rectangle éponses en fin de manuel, page

20 138 onstruire en vraie grandeur les parallélogrammes P et. a. b. 4 cm 25 3cm 110 P 8 cm 7 cm onstruire un triangle tel que : = 6 cm ; = 5 cm et = 4 cm. 2. onstruire : a. le point pour que soit un parallélogramme ; b. le point V pour que V soit un parallélogramme ; c. le point W pour que W soit un parallélogramme. 140 Pour chaque question, dessiner une fi gure à main levée codée puis construire en vraie grandeur un parallélogramme tel que : a. = 4 cm, = 35 et = 125 ; b. = 4 cm, = 7 cm et = 5 cm. 144 ans un repère 1. racer un repère orthogonal sur une feuille quadrillée en prenant un côté de carreau comme unité de longueur sur chaque axe. 2. Placer les points ( 3 ; 1), (1 ; 3) et (5 ; 1). 3. Placer le point pour que le quadrilatère soit un losange. 4. Quelles sont les coordonnées du point? 5. Quelles sont les coordonnées du centre de symétrie de ce losange? 145 est un parallélogramme Quelle est la mesure de l angle? 2. es points, et sont-ils alignés? Pour approfondir onstruire un triangle tel que : = 3,6 cm ; = 4,8 cm et = 6 cm. 2. Placer le milieu du segment []. 3. onstruire le point symétrique de par rapport au point. 4. Quelle est la nature du quadrilatère? 5. alculer le périmètre de. 142 est un parallélogramme de centre. vec un logiciel de géométrie a. onstruire un triangle et placer le milieu du côté []. b. onstruire le point symétrique du point par rapport au point. 2. a. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère? b. Quelle est la nature du quadrilatère? Quelle est la nature du quadrilatère? 143 eproduire la fi gure ci-contre et placer le point pour que soit un parallélogramme. 3. éplacer le point pour que le triangle devienne isocèle en. Quelle est alors la nature du parallélogramme? 4. a. aire affi cher la mesure de l angle. b. éplacer le point pour que le triangle devienne rectangle en. Quelle est alors la nature du parallélogramme? 5. éplacer le point pour que le triangle devienne isocèle rectangle en. Quelle est alors la nature du parallélogramme? 10 Parallélogrammes 209

21 Pour approfondir onstruire un parallélogramme tel que : = 7 cm ; = 41 et = alculer la mesure de l angle. 3. Quelle est la nature du parallélogramme? 148 aths et français 151 éa est sûre que WXYZ est un carré. -t-elle raison? 152 iagonales clés n a représenté les diagonales de quatre quadrilatères. Quelle est la nature de chaque quadrilatère? ustifi er les réponses. 1 2 P Z Y W X 1. hercher le mot lauze dans le dictionnaire. 2. Quelle semble être la forme des tuiles qui recouvrent ce toit? 3. À quelle figure du chapitre peut-on lier le mot lauze? 3 4 Y 149 econstituer une démonstration n classant les étiquettes dans le bon ordre, démontrer que Z est un carré. Z vec un logiciel de géométrie Z est un losange qui possède un angle droit. Z est un losange. angle Z est un angle droit. es quatre côtés du quadrilatère Z sont de la même longueur racer un quadrilatère. 2. Placer les milieux,, et des côtés de et tracer le quadrilatère. 3. Quelle semble être la nature de? Pour le vérifi er, faire affi cher la longueur des côtés. 4. i on déplace un des sommets de, la nature de semble-t-elle modifi ée? 5. aire affi cher les aires des deux quadrilatères et comparer. Que peut-on en déduire? 6. n déplaçant les points,, et, transformer le quadrilatère successivement en rectangle, en losange et en carré. bserver à chaque fois ce que devient le quadrilatère. Z est donc un carré. 150 Quelle est la nature du quadrilatère ci-contre? 210

22 onstruire un triangle rectangle en tel que = 3,9 cm et = 6,7 cm. 2. onstruire les points et pour que le quadrilatère soit un losange de centre. 3. alculer les longueurs des diagonales du losange. 155 et sont deux parallélogrammes a. onstruire un parallélogramme tel que = 4 cm ; = 130 et = 6 cm. b. Quelle est la longueur du segment []? c. Quelle est la mesure de l angle? 3. bserver la fi gure à main levée ci-dessous. xercice de synthèse 130 Pour approfondir Pourquoi peut-on affi rmer que : a. les longueurs et sont égales? b. les droites () et () sont parallèles? 156 Quels angles faut-il calculer pour pouvoir construire un parallélogramme NP tel que : = 7 cm ; N = 42 et P = 115? a. Quelle est la nature du quadrilatère? b. Quelle est la nature du quadrilatère? c. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère? 4. onstruire la fi gure complète en vraie grandeur. eux et défis mathématiques 158 asse-tête constructif! Peut-on construire un parallélogramme dont le périmètre vaut 24 cm et tel que la longueur vaut le double de la longueur? ais plusieurs essais! 159 Étonnant! a fi gure ci-contre représente un cercle de centre et deux de ses diamètres perpendiculaires. et sont deux rectangles. omparer les longueurs des segments [] et []. Q P N 160 ne figure hypnotique 1. onstruire un parallélogramme dont les côtés mesurent 20 cm et 16 cm. 2. Placer le milieu de chaque côté et relier ces quatre milieux pour former un nouveau quadrilatère. 3. Placer le milieu de chaque côté du nouveau quadrilatère et relier ces quatre milieux pour former encore un nouveau quadrilatère. 4. épéter trois fois la consigne de la question 3 et colorier la fi gure obtenue. 10 Parallélogrammes 211