Chapitre 10 : Exercices BAC Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse

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1 hapitre 10 : Exercices Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse Exercice 1. entres étrangers 2012 On considère un cube EH d arête ( de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal ; ; ; ) E. On considère les points I (1 ; 13 ) ( ) ( ) ; 0 2 3, J 0 ; 3 ; 1, K 4 ; 0 ; 1 un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. E H et L(a ; 1 ; 0) avec a Les parties et sont indépendantes. Partie 1. éterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). 2. émontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique x = 3 +t ( ) a y = t, t R z = 1 t 3. émontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = 1 4. Partie ans la suite de l exercice, on pose a = 1 4. Le point L a donc pour coordonnées ( 1 4 ; 1 ; 0). 1. émontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. 1/5

2 2. La figure ci-dessous fait apparaître l intersection du plan (IJK) avec les faces du cube EH telle qu elle a été obtenue à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d intersection du plan (IJK) et de la droite () et par N le point d intersection du plan (IJK) et de la droite (H). E J H M K N L I Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N. a. Prouver que le vecteur n de coordonnées (8; 9; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). b. En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+9y +5z 11 = 0. c. En déduire les coordonnées des points M et N Exercice 2. sie Vrai ou faux? Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. ans le cas d une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple; une figure pourra constituer ce contre-exempte. Rappel des notations : P 1 P 2 désigne l ensemble des points communs aux plans P 1 et P 2. L écriture P 1 P 2 = signifie que les plans P 1 et P 2 n ont aucun point commun. 1. Si P 1, P 2 et P 3 sont trois plans distincts de l espace vérifiant : P 1 P 2 et P 2 P 3, alors on peut conclure que P 1 et P 3 vérifient : P 1 P Si P 1, P 2 et P 3 sont trois plans distincts de l espace vérifiant : P 1 P 2 P 3 = alors on peut conclure que P 1, P 2 et P 3 sont tels que : P 1 P 2 = et P 2 P 3 =. 3. Si P 1, P 2 et P 3 sont trois plans distincts de l espace vérifiant : P 1 P 2 et P 1 P 3 =, alors on peut conclure que P 2 et P 3 vérifient : P 2 P 3. 2/5

3 4. Si P 1 et P 2 sont deux plans distincts et une droite de l espace vérifiant : alors on peut conclure que P 2 = - Intersection de trois plans donnés P 1 = et P 1 P 2 =, ans un repère orthonormal de l espace on considère les trois plans suivants : P 1 d équation x+y z = 0 P 2 d équation 2x+y +z 3 = 0, P 3 d équation x+2y 4z +3 = Justifier que les plans P 1 et P 2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d intersection, notée. 2. En déduire la nature de l intersection P 1 P 2 P 3. Exercice 3. mérique du nord 2013 On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points (0; 4; 1), (1; 3; 0), (2 ; 1 ; 2) et (7 ; 1 ; 4). 1. émontrer que les points, et ne sont pas alignés. 2. Soit la droite passant par le point et de vecteur directeur u(2 ; 1 ; 3). a. émontrer que la droite est orthogonale au plan (). b. En déduire une équation cartésienne du plan (). c. éterminer une représentation paramétrique de la droite. d. éterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (). 3. Soit P 1 le plan d équation x+y +z = 0 et P 2 le plan d équation x+4y +2 = 0. a. émontrer que les plans P 1 et P 2 sont sécants. b. Vérifier quela droite d, intersection des plans P 1 et P 2, a pour représentation paramétrique y = t, t R. x = 4t 2 z = 3t+2 c. La droite d et le plan () sont-ils sécants ou parallèles? Exercice 4. Pondichery 2013 Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question. L espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t désignent des paramètres réels. Le plan (P) a pour équation x 2y +3z +5 = 0. x = 2+t+2t Le plan (S) a pour représentation paramétrique y = t 2t z = 1 t+3t 3/5

4 x = 2+t La droite () a pour représentation paramétrique y = t z = 1 t On donne les points de l espace M( 1 ; 2 ; 3) et N(1 ; 2 ; 9). 1. Une représentation paramétrique du plan (P) est : x = t a. y = 1 2t z = 1 + 3t x = t + 2t b. y = 1 t + t z = 1 t c. x = t + t y = 1 t 2t z = 1 t 3t d. x = 1 + 2t + t y = 1 2t + 2t z = 1 t 2. a. La droite () et le plan (P) sont sécants au point ( 8 ; 3 ; 2). b. La droite () et le plan (P) sont perpendiculaires. c. La droite () est une droite du plan (P). d. La droite () et le plan (P) sont strictement parallèles. 3. a. La droite (MN) et la droite () sont orthogonales. b. La droite (MN) et la droite () sont parallèles. c. La droite (MN) et la droite () sont sécantes. d. La droite (MN) et la droite () sont confondues. 4. a. Les plans (P) et (S) sont parallèles. b. La droite ( ) de représentation paramétrique plans (P) et (S). x = t y = 2 t z = 3 t c. Le point M appartient à l intersection des plans (P) et (S). d. Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires. est la droite d intersection des Exercice 5. mérique du sud 2013 On considère le cube EH, ( d arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l espace du repère orthonormé ;,, ) E. E H K 4/5

5 1. éterminer une représentation paramétrique de la droite (). 2. émontrer que le vecteur n 1 1 est un vecteur normal au plan (E) et déterminer 1 une équation du plan (E). 3. Montrer que la droite () est perpendiculaire au plan (E) en un point K de coordonnées K ( 2 ; 1 ; ). 4. Quelle est la nature du triangle E? éterminer son aire. 5. En déduire le volume du tétraèdre E. Exercice 6. Polynésie 2014 ans un repère orthonormé de l espace, on considère les points (5 ; 5 ; 2),( 1 ; 1 ; 0),(0 ; 1 ; 2) et (6 ; 6 ; 1). 1. éterminer la nature du triangle et calculer son aire. 2. a. Montrer que le vecteur n 2 3 est un vecteur normal au plan (). 1 b. éterminer une équation cartésienne du plan (). 3. éterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan () et passant par le point. 4. éterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (). 5. éterminer le volume du tétraèdre. On rappelle que le volume d un tétraèdre est donné par la formule V = 1 h, où est 3 l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante. 6. On admet que = 76 et = 61. éterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l angle. L. JUNTRE Terminale S, hapitre 10 : Exercices 5/5