Chapitre 1 LE TEST DU KHI-DEUX

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1 Chapitre LE TEST DU KHI-DEUX I. Présentation de la statistique khi - carré ( χ²) Une somme de ν carré de variables indépendantes normalement distribuées de moyenne 0 et de variance suit une loi normale dite du khi-deux ou du khi-carré notée χ². Y Χ ν Y0Χ e avec Y 0 constante telle que l aire sous la courbe soit égale à ν nombre de degrés de liberté Figure : distributions χ² pour ν,, 4 et 8 II. Les tables du khi-deux Ces lois ont été tabulées pour ν variant de à 00. La table correspondant au nombre de degrés de liberté ν fournit le fractile d ordre p noté χ² p III. Le test du khi deux III.. Mode de calcul ( o e ) ( o e ) ( o p e p ) ( o e ) e e e p i e avec o i effectifs observés et e i effectifs théoriques i i

2 o e i N effectif total i On montre que ( ) ( ) o e o e ( o p e ) p ( oi ei ) e e e p e i oi e i N III.. Exemple de calcul de khi deux d ajustement Pour tester si un dé n est pas truqué, on le jette 50 fois et on note les résultats obtenus : En posant comme hypothèse nulle «le dé n est pas truqué», on s attend à ce que les effectifs observés ne diffèrent pas des effectifs théoriques, qui sont 5, 5, 5,, 5 (50 divisé par 6) χ observé ( 7 5) ( 6 5) ( 38 5) ( 5) ( 5 5) ( 5) ² 6² 38² ² 5² ² ou χ observé On fixe le seuil de significativité à 0% par exemple Le nombre de degrés de liberté est égal à 6-5 On lit dans la table : Χ 0.90 à ν 5 : 9.4 Si le Χ observé > 9.4, on rejette Si le Χ observé < 9.4, on ne peut pas rejeter H 0 (et on ne conclut pas) ; Dans notre cas, 0.08 > 9.4, on rejette H 0 (et on conclut que le dé est truqué) avec 0 chances sur 00 de se tromper. Si on travaille à 5%, on lit Χ 0.95 à ν 5 :. et dans ce cas 0.08 < 9.4, on ne peut rejeter H 0 (et on ne conclut pas). III. 3. Exemple de calcul de khi deux de croisement On travaille à partir du tableau de contingence qui sert à calculer les effectifs théoriques : A B totaux marginaux totaux de ligne X e e L Y e e L totaux marginaux totaux de colonne C C N e (L C )/N e (L C )/N

3 Exemple avec nombreuses modalités de variables Soit la répartition de 00 familles selon le nombre d enfants (X) et le nombre de pièces du lieu d habitation (Y). Testez à 5% l indépendance de ces deux variables nominales. Y X et + n. j et n i n.. 00 On inscrit en rouge les effectifs théoriques dans chacune des cases du tableau. Ho : il y a indépendance entre ces deux variables ( il n y a pas de lien entre le nombre d enfants et le nombre de pièces de l habitation) α 5% ν (5-)(5-) 6 χ² Si χ² observé > 6.3 Si χ² observé < 6.3 on rejette Ho on ne peut pas rejeter Ho χ observé < 6.3 donc on ne peut pas conclure à l indépendance entre les variables 3

4 Mode de calcul pour le cas particulier de variables à modalités Dans ce cas particulier, on n a pas besoin de calculer les effectifs théoriques. X X totaux marginaux totaux de ligne Y a b n. Y c d n. totaux marginaux totaux de colonne n. n. n.. ab n.. cd n.. ( ad cb) χ ² n. n. n. n. n. n. n. n. IV. Conditions d application du khi-deux Les fréquences théoriques L indépendance des observations L inclusion des non-occurrences Khi-deux : test unilatéral ou bilatéral? V. Les mesures d association Exemples sur lesquels on va travailler (issus de Howell) ) relation entre tabagisme et sexe non-fumeurs fumeurs hommes femmes ( ) 000 χ

5 ) relation entre responsabilité des courses alimentaires et sexe oui non hommes femmes χ ( ) C Le coefficient de contingence χ χ + N exemples : C. C Le coefficient Phi (Ø) Dans le cas des tables, le coefficient phi est une bonne mesure de corrélation entre deux variables dichotomiques. Φ χ N exemples : Φ. Φ Le coefficient Phi (ou V) de Cramèr (Ø c ) Φ c χ N ( k ) avec N taille de l échantillon et k plus petite valeur entre L (nbre de lignes) et C (nbre de colonnes) La mesure d accord : le kappa de Cohen (K) Cette statistique ne se base pas sur le khi-deux mais sur le tableau de contingence et sur le calcul des effectifs attendus. 5

6 Exemple (Howell) : JUGE JUGE Pas de problèmes Intériorisation Extériorisation Pas de problèmes Intériorisation 3 6 Extériorisation On voit les accords : les entrées en diagonales (5, 3 et 3) Les désaccords se sont toutes les autres cases. JUGE JUGE Pas de problèmes Intériorisation Extériorisation Pas de problèmes 5 (0.67) 3 0 Intériorisation 3 (.) 6 Extériorisation 0 3 (.07) La formule du kappa est : ei oi ei κ avec o i les effectifs observés en diagonale N et e i les effectifs théoriques (attendus) en diagonale κ ( ) ( ) 30 ( )

7 7

8 Chapitre COEFFICIENTS DE CORRELATION POUR VARIABLES ORDINALES I. Le coefficient rho de Spearman (ρ) Exemple : 5 copies d examen classées selon critères (X : cohérence argumentative et Y : nombre de connecteurs logiques utilisés) r X r Y Formule de rho : 6 d ρ N ( N ) ) Exemple : Calcul de rho : r X r Y r X -r Y d i ² Σ d i ² 30 ρ ² ( ) Remarques : Si les classements sont identiques : ρ Exemple de classements identiques : r X r Y r X -r Y d i ² ρ ( 6² ) 8

9 Si les classements sont inversés : ρ - r X r Y r X -r Y d i ² ρ ( 6² ) cas des ex-aequo Exemple : données brutes sur 7 individus selon deux critères X et Y ) on range X, on garde les couples ) on attribue des rangs aux données de X 3) on attribue des rangs aux données de Y 4) on calcule d 5) on calcule d² X i Y i X i rangés Y i r X r Y r X -r Y d i ² Σ d i ² 3.5 ρ ( 7² ) II. Le coefficient tau de Kendall (τ) Exemple : 5 individus statistiques classés selon critères X et Y r X r Y ère méthode ) on range par ordre croissant selon le premier critère ) on conserve les couples de données 3) on détermine les z ij 9

10 z ij si r yj > r yi z ij - si r yj r yi exemple : r X r Y r X rangés r Y rangés z. - z. 3 z 3. z Σz ij 6 z ij τ avec n nombre de sujets n( n ) τ (5 ) ème méthode ) on range par ordre croissant selon le premier critère ) on conserve les couples de données 3) on calcule pour chaque donnée rangée combien on a de données strictement supérieures à cette donnée (on compte point pour chaque donnée de rang supérieur) et combien on a de données de rang égal ou inférieur (on compte - à chaque fois) ; on fait la différence entre ces deux nombres et on l inscrit en dessous de la donnée. 4) On fait la somme de ces différences : S Exemple : r X r Y r X rangés r Y rangés / S 6 S 6 τ τ 0. 6 n( n ) 5(5 ) 0

11 Le cas des ex æquo τ n( n ) T S n( n ) X T Y avec T X t( t ) et T Y t( t ) t nombre d ex æquo dans chaque groupe Exemple : X i Y i X i rangés Y i r X r Y / 3 Tx ½ [ 3 (3-) + (-) ] 4 T Y ½ [ ( (-) ] τ n( n ) T S n( n ) X T Y τ (7 ) 4 7(7 ) Remarque : il y a plusieurs calculs de τ possibles, selon la position des r X ex aequo et les r Y correspondant. III. Le coefficient de concordance de Kendall (W) Exemple : 6 examinateurs classent 5 candidats E E E3 E4 E5 E6 r i C 3 C C C C

12 n VarR W avec k nombre de juges et n nombre d individus k n ( n ) Exemple : E E E3 E4 E5 E6 r i r i ² C 3 C C C C Moy R 90/5 varr 84/5 (90/5)² W (5 ) 0.54 Remarque kw ρ k Le cas des ex æquo W nvarr k² n( n² ) k T n VarR (rappel : W ) k n ( n ) 3 avec T ( t t) t nombre d ex æquo dans chaque groupe d ex aequo Exemple : Soit 0 individus classés selon 3 critères. Les rangs sont les suivants : r X r Y r Z Σ r i r i ²

13 Tx / [ ( 3 -) + ( 3 -) ] T Y / [ ( 3 -) + ( 3 -) + ( 3 -) ].5 T Z / [ (4 3 4) + (3 3 3) ] 7 W W nvarr k² n( n² ) k T (0² ) 3 ( ) IV. Significativité des coefficients. Coefficient rho de Spearman Si 4 N 30 Table des valeurs critiques du ρ de Spearman 3

14 Si N 0 N La valeur t ρ est distribuée selon la loi de Student à ν N- degrés de liberté ρ Table de la loi de Student 4

15 . Coefficient de corrélation par rang de Kendall (tau, τ) L (τ) N (0, (N + 5) 9N( N ) ) z ,0,0000,0040,0080,00,060,099,039,079,039,0359 0,,0398,0438,0478,057,0557,0596,0636,0675,074,0754 0,,0793,083,087,090,0948,0987,06,064,03,4 0,3,79,7,55,93,33,368,406,443,480,57 0,4,554,59,68,664,700,736,77,808,844,879 0,5,95,950,985,09,054,088,3,57,90,4 0,6,58,9,34,357,389,4,454,486,58,549 0,7,580,6,64,673,704,734,764,794,83,85 0,8,88,90,939,967,996,303,305,3078,306,333 0,9,359,386,3,338,364,389,335,3340,3365,3389,0,343,3438,346,3485,3508,353,3554,3577,3599,36,,3643,3665,3686,3708,379,3749,3770,3790,380,3830,,3849,3869,3888,3907,395,3944,396,3980,3997,405,3,403,4049,4066,408,4099,45,43,447,46,477,4,49,407,4,436,45,465,479,49,4306,439,5,433,4345, ,438,4394,4406,448,449,444,6,445,4463,4474,4484,4495,4505,455,455,4535,4545,7,4554,4564,4573,458,459,4599,4608,466,465,4633,8,464,4649,4656,4664,467,4678,4686,4693,4699,4706,9,473,479,476,473,4738,4744,4750,4756,476,4767,0,477,4778, ,4793,4798,4803,4808,48,487,,48,486,4830,4834,4838,484,4846,4850,4854,4857,,486,4864,4868,487,4875,4878,488,4884,4887,4890,3,4893,4896,4898,490,4904,4906,4909,49,493,496,4,498,490,49,495,497,499,493,493,4934,4936,5,4938,4940,494,4943,4945,4946,4948,4949,495,495,6,4953,4955,4956,4957,4959,4960,496,496,4963,4964,7,4965,4966,4967,4968,4969,4970,497,497,4973,4974,8,4974,4975,4976,4977,4977,4978,4979,4979,4980,498,9,498,498,498,4983,4984,4984,4985,4985,4986,4986 3,0,4987,4987,4987,4988,4988,4989,4989,4989,4990,4990 3,,4990,499,499,499,499,499,499,499,4993,4993 3,,4993,4993,4994,4994,4994,4994,4994,4995,4995,4995 3,3,4995,4995,4995,4996,4996,4996,4996,4996,4996,4997 3,4,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4997,4998 3,5,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998,4998 3,6,4998,4998,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999 3,7,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999 3,8,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999,4999 3,9,5000,5000,5000,5000,5000,5000,5000,5000,5000,5000 Table de la loi normale 5

16 3. Coefficient de concordance de Kendall (W) N 7 On confronte nvar avec la valeur donnée dans une table pour k (nombre de juges) et n (nombre de sujets). Si la valeur calculée > valeur lue on rejette Ho N Valeurs supplémentaires pour N3 k k s Valeurs à Valeurs à Table des valeurs critiques de s (nvar) dans le coefficient de concordance de Kendall N > 7 L (k (n ) W) χ² ν n- 6

17 Chapitre 3 TESTS NON PARAMETRIQUES CAS D UN ECHANTILLON I. Le test binomial On utilise le test binomial lorsque la variable nominale présente modalités et que l effectif de l échantillon est petit. Exemple : La consigne d un expérimentateur propose au sujet de choisir entre deux options A et B (question fermée) ; 6 sujets répondent A : B : 4 Il pose donc comme hypothèse nulle qu il n y a pas de différence entre le nombre de réponses A et B (comme si on avait obtenu 8 et 8). Une table a été établie pour rejeter ou ne pas rejeter cette hypothèse nulle en fonction des résultats observés si N < 5 Voici la procédure : N nombre total de cas observés 6 x plus petit effectif (des deux) observés 4 on fixe le seuil : 0.05 On regarde dans la table la probabilité d apparition de cette valeur 4 ; elle est de <.05 donc on rejette l hypothèse nulle au risque de 5% Si on n avait que 0 sujets : N 0 A 8 B x proba lue.055 >.05 donc non significatif à 5% 7

18 x N Table of probabilities associated with values as small as observed values of x in the BINOMIAL TEST Given in the body of this table are one-tailed probabilities under Ho for the binomial test when P Q ½ II. Le test de Kolmogorov-Smirnov Ce test est un test d ajustement entre la distribution d une variable observée sur un échantillon et une distribution théorique. Il permet de dire si un échantillon peut raisonnablement être constitué comme provenant d une population présentant la distribution théorique. Il concerne les variables ordinales. Il porte sur la distribution cumulée des effectifs et permet de déterminer la probabilité de l écart entre l observé et le théorique. Exemple : observation d origine sociologique ; les noirs américains semblent préférer un teint clair (une couleur de peau) 0 personnes de couleur sont photographiées et chaque photo est tirée en 5 versions différentes en intensité de noir ; ces versions peuvent être rangées de à 5 (de la plus noire à la moins noire). Chaque sujet choisit sa propre photo parmi les 5 versions Si l hypothèse (les personnes de couleurs américaines préfèrent une couleur de peau plus claire) est fausse alors on ne devrait pas observer de différence entre les choix. Ces choix devraient se distribuer de façon égale avec la même probabilité d apparition. Ho : les effectifs des modalités des photos choisies sont égaux Seuil 5% N 0 8

19 rang de la modalité choisie o i o i S N (x) 0 /0 /0 6/0 0/0 e i e i F O (x) /0 4/0 6/0 8/0 0/0 F O (x) - S N (x) /0 3/0 5/0 /0 0 S N (x) fréquences observées cumulées croissantes F O (x) fréquences théoriques cumulées croissantes On calcule D sup F O (x) - S N (x) D 5/0 0.5 La table donne les valeurs de ce D en fonction du nombre de sujets et du seuil de significativité ; les valeurs lues peuvent être considérées comme des valeurs à ne pas dépasser si l on veut Ho ; si la valeur calculée est supérieure à la valeur lue, on rejette Ho. Dans notre exemple, on lit une valeur dans la table de > 0.40 donc on rejette Ho à 5% (et d ailleurs aussi à %) 9

20 N Au-delà de 35. N.36 N.63 N Table pour le test de Kolmogorov-Smirnov 0

21 III. Le test des séquences Exemple : Soient les séquences suivantes de pile ou face lors de 0 lancers successifs d une même pièce de monnaie par un même joueur : P F P P P F F P P F F F P F F P P F F P P P P P P P P P P P F F F F F F F F F F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F 0 P 0 F 0 P 0 F 0 P 0 F Un test permet de savoir si l ordre d apparition des piles et les faces est aléatoire ou non. Il repose sur le calcul du nombre de séquence (r) de symboles identiques. Exemple : ) r ) r 3) r 0 Exemple : un financier s intéresse à la variation du CAC 40 ; il note les résultats suivants +0. ; ; -0.5 ; +. ; +.3 ; -0.0 ; ; ; ; +.5 ; -0.3 ; -.8 ; -.49 ; -.3 ; -3.3 ; -.0 ; ; ; ; -0.0 Il s intéresse à une éventuelle structure de l ensemble de ces variations opposée à une variation aléatoire On notera n le nombre de + et n le nombre de. On relève r 8

22 Toute valeur r inférieure ou égale à celle trouvée dans la table (a) ou supérieure à celle trouvée dans la table (b) cause le rejet de Ho au seuil de 0.05 (a) n n (b) n n VALEURS CRITIQUES DE r DANS UN TEST DE SEQUENCES

23 Cas des petits échantillons : n et n 0 Pour ces échantillons, une table donne les valeurs permettant de rejeter Ho à 5% Si r r a (valeur de r donnée dans la table a) ou Si r r b (valeur de r donnée dans la table b) alors on rejette Ho à 5% Exemples : ) la pièce de monnaie : n et n 0 cas : r Ho à 5% cas : r rejet de Ho cas 3 : r 0 rejet de Ho ) le CAC 40 : n 9 n et n r 8 table a : 8 > 6 et 8 < 6 donc pas de rejet de Ho à 5% Cas des grands échantillons Si n ou n > 0, on ne peut plus utiliser la table. On sait qu une bonne approximation de la distribution de r est une loi normale : L () r nn N n + n + ; n n (nn n n ) ( n + n ) ( n + n ) Exemple : 50 personnes, 30 hommes et 0 femmes forment une file d attente Ho : il n y a pas de structure, l ordre MF est aléatoire dans cette file H : l ordre n est pas aléatoire dans cette file M F M F M M M F F M F M F M F M M M M F M F M F M M F F F M F M F M F M M F M M F M M M M F M F M M n 30 et n 0 r 35 Le centrage réduction de r donne : Ecart type 3.36 Moyenne z seuil 5%.98 >.96 donc rejet de Ho (l ordre n est pas aléatoire) 3

24 Chapitre 4 TESTS NON PARAMETRIQUES CAS DE DEUX ECHANTILLONS APPARIES I. Test de Mac Némar On utilise ce test lorsqu un ensemble de sujets est mesuré de façon ordinale ou nominale à deux moments séparés par un certain traitement (au sens large) : une formation, un lecture de texte, une visite d un établissement, une vision d un document, un apprentissage, etc. Ce test analyse le changement du sujet sur un certain point entre l avant et l après. t 0 t Après 0 A B avant 0 C D Le nombre d individus qui changent est A+D Sous l hypothèse nulle, l effectif théorique est (A+D)/ dans les deux cases qui nous intéressent. Χ A D + ( A + D) A + D A + D Χ A + D ( A + D) A + D ( A D A + D ) En fait, on applique une correction (par continuité) qui consiste à calculer : Χ ( A D A + D ) et on le confronte à la table du khi deux A + D Attention : si < 5 on utilise préférentiellement le test binomial avec N A+D x la plus petite valeur entre A et D 4

25 Exemples : er cas : 30 sujets 3 sujets ont donné la bonne réponse au pré test et au post test sujets se sont trompés lors du pré test sujets ont donné la bonne réponse au post test t 0 t Après 0 3 avant 0 t 0 t Après avant A 6 D 9 A+D 5 (5/ > 5 donc on utilise le test de Mac Némar) Ho : la probabilité de passer de 0 à est égale à celle de passer de à 0 (autrement dit 6 pas différent de 9 ; ou encore pas d effet d apprentissage) H : probabilité de passer d échec à réussite (de 0 à ) est supérieure à celle de passer de réussite à échec (autrement dit, 9 > 6, effet de l apprentissage) ν seuil 5% Χ ( 6 9 ) < 3.84, on ne peut pas rejeter Ho ème cas : 5 sujets t 0 t Après 0 avant A D 7 5 5

26 A + D 9 9/ < 5 test binomial N 9 x probabilité lue dans la table:.09 >.05 donc on ne peut pas rejeter Ho (pas d effet de l apprentissage) II. Test de signe On utilise le test de signe lorsque l on veut comparer des valeurs ordinales pour un couple de données. Il est utile lorsqu il n y a pas de quantification possible mais il faut évidemment pouvoir ordonner les valeurs. C est le cas lorsque l on veut savoir si un groupe préfère tel ou tel objet (sur une échelle ordinale), événement, traitement ou autre. Petit échantillon : N 5 Exemple : On demande à 5 enfants d une classe de juger les deux enseignants qui enseignent à mitemps. Ils utilisent une échelle graduée de à 0 pour chacun des deux enseignants. On attribue le signe + lorsque la valeur de la ère colonne est supérieure à celle de la seconde ; 0 ou lorsque les deux valeurs sont équivalentes. Melle X Melle Y Ho La fréquence d apparition de «+» est égale à la fréquence d apparition de «-» / 6

27 Remarque : les couples où il n y a pas de différence entre les deux valeurs comparées ne sont pas décomptés (on ne les prend pas en compte) car leur jugement ne sont ni à l avantage de l une, ni de l autre. Remarque : si on prédit une évaluation meilleure pour l une ou l autre, on effectuera un test unilatéral ; si on prédit une différence entre les deux, ce sera un test bilatéral. Dans cet exemple, on prédit une évaluation meilleure en faveur de Melle X ; donc test unilatéral. H La fréquence d apparition de «+» est supérieure à celle de «-» ( Melle X est plus appréciée par les élèves que Melle Y) On est dans les conditions d application du test binomial (nombre de modalités ; p q / ; N 5) : o Attention, on utilise pour N, le nombre total de couples moins le nombre de couples n ayant pas produit de différence ; cela signifie qu il faut avoir évaluer les écarts (en +, ou -) avant de savoir si on peut utiliser le test binomial ou non) N 5 3 o x est le plus petit des effectifs (ici c est le nombre de «-») x 4 o lecture : p.94 donc on ne peut pas conclure (on ne peut pas rejeter Ho) car.94 >.05 Grand échantillon : N > 5 On procède dans un er temps de la même manière, c est-à-dire on attribue les signes +, ou -. Puis on comptabilise le nombre de «+» que l on appelle R. On sait que L (Z) N (0, ) avec N ( R ± 0.5) Z N avec R si R N/ R 0.5 si R > N/ Exemple : La classe compte 35 élèves et que l on a obtenu les résultats suivants : N R R > N/ (4) donc on utilise la formule avec R 0.5 7

28 Z ( 0.5) Le test est unilatéral droit ; dans la table de la loi normale, z.46 correspond à.493 donc à un α de On rejette donc Ho au profit de l hypothèse alternative au seuil de.007, Melle X est plus appréciée par ses élèves que Melle Y. III. Test de Wilcoxon Dans l exemple précédent, on s est intéressé à la seule différence de jugement des deux enseignants pour chaque élève. On pourrait, de plus, vouloir connaître l importance de l écart entre les couples d évaluation. Pour ce faire, on utilise le test de Wilcoxon : on aura alors accès à la significativité de la différence éventuelle autant au niveau des signes que de la grandeur de l écart. Le test de Wilcoxon est plus puissant que le test de signe, car par exemple il donnera plus d importance à l avis de l élève qui a attribué 9 et 3, qu à l avis de celui qui a attribué 7 et 6. Petit échantillon N 5 Même exemple : Ho les deux enseignantes sont également appréciées Melle X est plus appréciée que Melle Y H Melle X Melle Y Rang en valeur absolue Rang positif Rang négatif / / / Σ + 45 Σ

29 ) on calcule la différence entre les deux valeurs pour chaque couple (en considérant toujours la ère colonne 9 7 ; 8 5 ; etc) ) on range ces différences en valeur absolue : on a deux fois ; on attribue donc deux fois le rang.5 on a ensuite +, -, +, + : on attribue à chacune de ces valeurs le rang 4.5 on a +3, -3 : rang 7.5 on a -4, +4 : rang 9.5 on a +6, -6 : rang.5 3) dans les deux colonnes suivantes, on redistribue les rangs en leur attribuant leur signe 4) On somme les rangs positifs et les rangs négatifs Ho se traduit par Σ rangs positifs Σ rangs négatifs T plus petite des deux valeurs en valeur absolue T 33 N nombre de rangs pris en compte (nombre total de paires moins nombre de paires n ayant pas produit de différence) N 9

30 α unil. α bil N Table de Wilcoxon pour séries appariées Si T calculé est inférieur ou égal au T lu, on rejette Ho Si T calculé supérieur au T lu, on ne peut pas conclure Dans notre exemple, pour N, on a T calculé (33) > à tout T lu ; donc on ne peut pas conclure (on garde Ho) Grand échantillon N > 5 On procède avec le même calcul mais on ne peut pas utiliser la table ; on sait que T suit une loi normale : L ( T ) N N ( ( N + ) ; 4 N( N + )(N + ) ) 4 Exemple : N 7 Σ rangs positifs 76 Σ rangs négatifs -0 30

31 T inf (76 ; -0 ) 0 µ T 7 (7 + ) 4 89 σ T 7 (7 + ) ( donc T suit la loi normale L (T) (89 ; 4.6) On calcule le rapport critique : 0 89 RC < donc rejet de Ho à 5% -.09 < -.96 donc rejet de Ho à % 3

32 Chapitre 5 TESTS NON PARAMETRIQUES CAS DE DEUX ECHANTILLONS INDEPENDANTS I. Test de Fischer On utilise le test de Fischer lorsque deux échantillons indépendants diffèrent quant à une variable discrète (nominale ou ordinale) qui ne prend que deux valeurs lorsque la somme des tailles des deux échantillons est inférieure ou égale à 30. Le test de Fischer apparaît comme se substituant au test du khi-deux dans le cas d une hypothèse d indépendance d une table avec (-)(-) degré de liberté. Mais dans ce test (contrairement au binomial) on prend en compte les 4 cases du tableau et les effectifs peuvent être très petits. Exemple : Dans une enquête, on veut savoir si les femmes et les hommes sont d accord sur certains items ; chaque item est présenté sous la forme d une question fermée de type «d accord ou pas d accord». Item : «les femmes au foyer doivent être rémunérées pour leur travail ménager» 4 femmes entre 0 et 30 ans 0 d accord 4 pas d accord hommes entre 0 et 30 ans 4 d accord 8 pas d accord X X Y (fem) 0 4 Y (hom) 4 8 Ho il n y a pas de différence de proportion de sujets d accord ou pas d accord dans l un ou l autre groupe H Il y a une différence Une table donne les significations des différences Notation : Utilisation de la table X X Y (fem) A (0) B (4) A+B (4) Y (hom) C (4) D (8) C+D () A+C (4) B+D () A+B+C+D (6) ) calculer A+B et C+D ) repérer la valeur de A+B dans la table, puis repérer la valeur C+D 3

33 3) parmi les valeurs données de B, repérer celle du tableau. Sur la même ligne, on lit les valeurs de D à dépasser si on ne veut pas rejeter Ho C est-à-dire, si la valeur de D est plus petite ou égale à la valeur lue dans le tableau, à un seuil donné, on peut rejeter Ho au seuil donné. 4) Si on ne trouve pas la valeur de B, on prend celle de A ; dans ce cas, le tableau donne la valeur de C qu il faut comparer à celle des nos résultats. Le niveau de significativité est donné pour un test unilatéral ; s il s agit d un test bilatéral, il faut doubler les seuils. Si on peut lire B, on aura les valeurs limites pour D Si on peut lire A, on aura les valeurs limites pour C Dans notre exemple : A+B 4 C+D B 4 on ne le trouve pas dans la table A 0 C devrait être (pour pouvoir rejeter Ho) inférieur ou égal à 3 (pour unilatéral à 5% ou bilatéral à 0%) Or, C 4, donc on ne peut pas rejeter Ho ; pas de conclusion Contrainte : Il faut que A+B 5 et C+D 5, sinon on ne peut pas lire la table. Si ce n est pas le cas, on inverse le tableau de contingence. Exemple : X X Y Y A+B 6 donc on ne pourra pas lire la table On inverse le tableau Y Y X 9 3 X A+B C+D On ne trouve pas B ; on lit A 9 ; on compare 9 à C (7) ; C devrait être 3 pour rejeter Ho, donc pas de conclusion 33

34 II. Le test de Mann Whitney Lorsque deux échantillons indépendants sont mesurés de façon ordinale, on utilise un test de Mann Whitney (le test U) pour tester le fait qu ils proviennent ou non d une même population. L hypothèse nulle est qu il n y a pas de différence entre les deux populations dont sont issus ces deux échantillons quant à la variable ordinale observée. La mise en œuvre du test diffère selon que : n et n 8 (cas A) 9 n et n 0 (cas B) n > 0 (cas C) avec n et n taille des deux échantillons, n < n n et n 8 Un psycholinguiste, travaillant sur la compréhension des consignes lors d exercices de mathématiques en classe de seconde, manipule la forme syntaxique de ces textes. Après il note la compréhension de l élève avec un score entre 0 et 50 Texte classique A Texte travaillé selon hypothèse linguistique B Ho : il n y a pas de différence de compréhension selon le texte H : il y a une meilleure compréhension dans le groupe B On applique un test unilatéral ; si bilatéral, on aurait posé comme H «il y a une différence de compréhension selon le type de texte.» α 5% o On range les deux échantillons confondus par ordre croissant en identifiant chacune des données (échantillons A ou B) A A A A A B B B B A A B B o Pour chaque note de A, on compte le nombre de notes de B inférieures ou égales à elle. On fait le total. C est U A A A A A B B B B A A B B / / / / 4 4 / / 8 34

35 o On lit une des tables appropriées Ici n 6 et n 7 (n toujours inférieur à n) U 8 Dans les tables, on lit directement la probabilité de U calculé quand n 8 ; si la probabilité lue est inférieure au seuil décidé, on rejette Ho. Dans la table, on lit une probabilité de <.05, donc on rejette Ho au seuil de 5% Si test bilatéral, on double la probabilité lue (.074), si α., rejet. Remarque : Si on avait compté pour chaque note de B le nombre de notes de A inférieures ou égales, on aurait obtenu : A A A A A B B B B A A B B / / / / / / / Cette valeur est notée U ; elle n apparaît pas dans la table Si vous avez commencé par calculer la valeur qui n apparaît pas dans la table, il est inutile de recommencer en comptant le nombre de l autre groupe. On sait que : U + U n n Donc si dans les tables, la valeur calculée est supérieure à la plus grande valeur de U donnée dans la table, c est que vous avez calculé U et il faut prendre pour U : U n n U 9 n, n 0 Même exemple mais plus de sujets Texte classique A Texte travaillé B n 9 n o On attribue un rang à chacune des valeurs, les deux échantillons étant confondus ; on fait la somme des rangs (R) des valeurs de l échantillon A ainsi que celle des valeurs de l échantillon B Pour des raisons pratiques, on calcule ainsi : 35

36 A B valeur rang valeur rang n R 99 n9 R o On calcule U et U : U n n n ( n + ) + R U n n n ( n + ) + R 9 0 U U U inf (U ; U) U 33 o On lit les tables Les tables donnent les valeurs maximales que doit prendre U pour pouvoir rejeter Ho. Dans notre exemple, on utilise un test unilatéral : ère table α.05 U lu 7 33 > 7 pas de rejet ème table α.05 U lu 3 3 ème table α.0 U lu 8 n > 0 Les tables sont inutilisables. n n nn ( n + n + ) L ( U ) N( ; ) U sera calculé avec R et on calcule le rapport critique. 36

37 Ex æquo L écart type de la distribution est : 3 n n ( n + n ) ( n + n ) T ( n + n )( n + n ) avec T Exemple 3 t t et t nombre d ex æquo pour une valeur valeur rang valeur rang n 349 n : fois Remarque : inutile de calculer la somme de n n ( n + ) 4 5 U n n + R

38 3 4 m 47 T 8 σ 3 4 (4 + ) (4 + ) 4 (4 )(4 ) RC < <.96 donc compris dans la zone où on ne rejette pas Ho ; donc pas de conclusion III. Le test médiane On utilise le test de la médiane lorsqu on veut tester la différence entre deux groupes indépendants quant à une variable ordinale ou par intervalle. Plus précisément, il s agit de tester l hypothèse selon laquelle les deux groupes proviennent de deux populations présentant la même médiane ou non. La procédure est la suivante : On détermine la médiane de l ensemble des valeurs prises par la variable On dichotomise l ensemble des valeurs prises par la variable dans chaque groupe en : o Valeur inférieure strictement à la médiane o Valeur supérieure strictement à la médiane On rassemble dans un tableau de la forme G G < méd A B A+B >méd C D C+D A+C B+D A+B+C+D n+nn Selon les effectifs, on applique le test du khi-deux d indépendance de deux variables nominales ou le test de Fischer Remarque : Si le nombre d individus présentant exactement la valeur médiane est petit par rapport à n+n, on les élimine (de l ordre de 0%). Si le nombre d individus présentant exactement la valeur médiane est plus important, on dichotomise de la sorte : médiane et > médiane 38

39 Exemples ) variable ordinale G : G : n9 n 3 On cherche la médiane de l ensemble ; on classe donc toutes les valeurs : L intervalle médian est (5 ; 6) ; la médiane est de 5.5 On fait le tableau suivant : on dénombre combien de valeurs < 5.5 et > dans le G, ainsi que dans le G. G G < > On applique le test de Fischer : A+B C+D B 5 donc D doit être <0 si on veut rejeter Ho D 8 donc pas de conclusion ) variable par intervalle Soient deux distributions X et Y x i n i n i [0 ; 5[ 3 3 [5 ; 0[ 8 [0 ; 5[ 0 [5 ; 0[ 7 8 [0 ; 5[

40 y i n i n i [0 ; 5[ [5 ; 0[ 3 4 [0 ; 5[ 9 3 [5 ; 0[ 5 [0 ; 5[ Il faut d abord calculer la médiane de l ensemble ; on refait donc un tableau en additionnant pour chaque intervalle les effectifs correspondant de X et de Y z i n i n i [0 ; 5[ 4 4 [5 ; 0[ 5 [0 ; 5[ 9 34 [5 ; 0[ 9 53 [0 ; 5[ La médiane se situe dans la classe [0 ; 5[ car 67/33.5 On fait une interpolation linéaire ; on associe 5 d effectif cumulé à 0, 34 à 5 et on cherche la valeur de la variable entre 0 et 5 correspondant à 33.5 : mé mé Donc la médiane de l ensemble est de 4.87 Il s agit maintenant de connaître exactement le nombre de sujets de chacun des groupes qui présentent une valeur < et > à 4.87 Pour cela, il faudra refaire des interpolations linéaires, avec un raisonnement inverse de celui que l on vient de faire : on connaît les valeurs de la variable, on cherche les effectifs cumulés correspondants. er groupe : x i n i n i [0 ; 5[ 3 3 [5 ; 0[ 8 [0 ; 5[ 0 [5 ; 0[ 7 8 [0 ; 5[ La mé de l ensemble est situé dans la classe [0 ; 5[ ; à la valeur 0 correspond sujets ( sujets ont un score strictement inférieur à 0) ; à la valeur 5 correspond sujets ; à combien de sujets correspond la valeur On va appeler A ce nombre de sujets : 40

41 A A Comme n 3, C ème groupe : y i n i n i [0 ; 5[ [5 ; 0[ 3 4 [0 ; 5[ 9 3 [5 ; 0[ 5 [0 ; 5[ La médiane de l ensemble est toujours dans la classe [0 ; 5[ ; on associe 0 à 4, 5 à 3 et on cherche 4.87 à combien? B B Comme n 35, D On peut maintenant faire le tableau : G G < > Χ ( ) ν Khi-deux lu à > 3.84 donc on rejette Ho au profit de H à 5% (S, p<.05) 4

42 Chapitre 6 ANALYSE DE LA VARIANCE I. Introduction Exemple : Soit l hypothèse selon laquelle le temps de réaction à un stimulus peut être affecté par la teneur de la consigne. C groupe contrôle : «Appuyez sur la touche le plus rapidement possible après l allumage de la lampe rouge.» C groupe expérimental «Appuyez sur la touche le plus rapidement possible après l allumage de la lampe rouge ; attention la lampe peut s allumer dans une autre couleur, n appuyez que si elle est rouge.» Σ m Gpe contrôle Gpe expé Temps en ms Variances intra et inter L idée générale est la suivante : on travaille non seulement sur l écart entre les deux moyennes, mais aussi sur la variabilité générale. La variabilité intra est mesurée par la variance intra qui donne une mesure de l erreur expérimentale (cf. cours ère année, variations aléatoires des mesures) ; elle explique les variations, pour une même situation expérimentale, du temps de réaction au sein d un même groupe de sujets (ou de plusieurs mesures pour un même sujet). Elle n atteint pas du tout la différence entre les deux situations. La variabilité inter est mesurée par la variance inter qui exprime l action éventuelle de la VI (variable indépendante) et celles de facteurs aléatoires (erreur expérimentale et fluctuation d échantillonnage) ; elle prend en compte les variations entre les deux situations (les deux groupes). On s intéresse au rapport : F cal Var int er c est l indice d effet de la VI Var int ra Si il n y a pas d effet de la VI : la var inter se réduit à l erreur expérimentale la var intra est, par définition, l erreur expérimentale et donc F cal 4

43 S il y a un effet de la VI : la var inter contient l erreur expérimentale mais quelque chose de chose en plus qui est bien plus important (en termes de quantité) que seule cette erreur la var intra est, par définition, l erreur expérimentale et donc F cal > Evidemment, c est la valeur de l écart entre F cal et qui sera ou non significatif. II. Notation Pour le moment, nous travaillons avec des groupes de même effectif. Un plan expérimental simple est noté S (A) S ensemble des individus statistiques pour un groupe cardinal de S S A ensemble des modalités prises par la VI cardinal de A A Dans notre exemple, on noterait S 0 (A ) On note : a une modalité de la VI (dans notre exemple, a ou, on attribue une modalité arbitraire car variable nominale) Y a s valeur de la variable (VD) pour un individu précis qui appartient à un groupe précis (donc pour une valeur précise de la VI) s S Y a. Y as somme des valeurs de la variable (VD) pour les individus s qui ont a pour modalité de la VI a A s S a s Y.. Yas somme de toutes les valeurs de la variable (VD) pour toutes les modalités de la VI Ya. M a. moyenne des valeurs de la variable VD pour une S modalité précise de la variable VI Y.. moyenne de toutes les valeurs de la variable VD SA pour toutes les modalités de la VI M.. Dans notre exemple : a groupe contrôle a groupe expérimental Y 4 Y 7 8 Y Y

44 Y.. Y. + Y. 450 M. 50/0 5 M. 00/0 0 M Les sommes des carrés Dans l anova, les variances inter (entre) et intra (dans) se ramènent à des sommes de carrés rapportées à des degrés de liberté. On travaille sur des écarts entre les valeurs de la variable et les moyennes. Y a s M.. (Y a s M a. ) + (M a. - M.. ) (Y a s M.. )² (Y a s M a. )² + (M a. - M.. )² + (Y a s M a. ) (M a. - M.. ) On veut la somme des carrés des écarts à la moyenne (cf. formule variance) a A s S a s a A s S a s (Y a s M.. )² a A s S a s a A s S a s (Y a s M a. )² + (Y a s M a. ) (M a. - M.. ) (M a. - M.. )² + or, on montre (cf Abdi Introduction au traitement statistique des données expérimentales), que la somme du dernier terme est nulle (car somme des Y a s somme des M a. ) on a donc a A s S a s a A s S a s (Y a s M.. )² a A s S a s (Y a s M a. )² + (M a. - M.. )² (Y a s M a. ) l écart entre un sujet et la moyenne dans son groupe ; donc la somme de tous ces écarts (donc pour tous les sujets) élevée au carré «représente ce qui se rapproche de la variance intra groupe» ; on l appelle SC dans (M a. - M.. ) écart entre la moyenne d un groupe et la moyenne générale ; la somme élevée au carré «représente ce qui se rapproche de la variance inter» ; on l appelle SC entre. (Y a s M.. ) écart entre le score d un individu et la moyenne générale ; la somme élevée au carré est SC tot donc on voit que SC tot SC dans + SC entre 44

45 somme des carrés totale somme des carrés dans les groupes + somme des carrés entre les groupes. Les degrés de liberté En regardant les formules précédentes, on s aperçoit qu elles dépendent du nombre de sujets (plus le nombre de sujets augmente, plus la somme des carré dans les groupes augmente). Si on veut comparer ces sommes, il faut les exprimer sur une même échelle ; il faut donc les normer selon le nombre de sujets, donc selon le degré de liberté. SC entre est calculé à partir des écarts des moyennes de groupes à la moyenne générale ; si nous avons A groupes, nous avons A moyennes donc : ddl entre A- SC dans est calculé à partir des écarts des scores de chaque groupe à la moyenne du groupe. Nous avons S observations par groupe (donc ddl S-) et nous avons une moyenne par groupe, donc A moyennes. ddl dans A (S-) AS A N A avec N nombre total de sujets SC tot se calcule à partir des écarts de chacun des scores à la moyenne générale ; nous avons N scores (ou S A) : ddl tot N Remarque : SC tot SC dans + SC entre ddl tot ddl dans + ddl entre N N A + A- Ces deux relations sont fondamentales dans l analyse de variance. Les carrés moyens On définit donc les carrés moyens comme le rapport des sommes des carrés sur le nombre de degrés de liberté correspondant : SC CM dans ddl dans dans SC CM entre ddl entre entre Attention CM tot CM dans + CM entre 45

46 Exemple : Σ Gpe contrôle Y. 50 Gpe expé Y. 00 m M. 5 M. 0 SC dans est la somme des écarts au carré entre les sujets et la moyenne de son groupe : SC dans (3-5)² + (4-5)² (7-5)² + (0-0)² + (5-0)² + + (9-0)² 37 SC entre est la somme des écarts entre la moyenne d un groupe et la moyenne générale (attention, pondérée par le nombre d individus dans chaque groupe) 450 M SC entre 0 (5-.5)² + 0 (0-.5)² 5 SC tot est la somme des écarts au carré entre le score d un individu et la moyenne générale : SC tot (3-.5)² (7-.5)² + (0-.5)² +. + (9-.5)² SC dans + SC entre ddl dans A (S-) AS A N A avec N nombre total de sujets 0 8 ddl entre A- - ddl tot N 9 SCentre 5 SC entre dans 37 CM 5 CM dans ddl ddl 8 entre dans III. L indice d effet F czl CM CM entre dans effet VI + erreur erreur exp exp 5 dans notre exemple : F cal Cet indice d effet suit une loi de Fisher-Snédécor à double degré de liberté : ν A c est le ddl du numérateur (ddl entre ) ν A (S-) N A c est le ddl du dénominateur (ddl dans ) Il y a donc autant de tables possibles que de couples de degré de liberté ; on se contente de travailler avec deux tables, celle du seuil de 5% et celle du seuil de %. 46

47 Si F cal F table Si F cal < F table rejet de Ho pas de conclusion L hypothèse nulle consiste à affirmer que, dans l ensemble de la population (rappel que les hypothèses ne concernent pas l échantillon considéré, mais la population dont provient l échantillon), la VI n a pas d effet sur la VD. La valeur observée du critère s attribue au hasard (erreur expérimentale). L hypothèse alternative considère que dans l ensemble de la population, la VI a un effet sur la VD. La valeur observée du critère s attribue à l effet de la VI sur la VD. Dans notre exemple : On regarde dans la table la valeur de F table à 5% pour ν et ν 8 ; on lit > 4.4 on rejette Ho Au seuil de %, on lit < 8.8 pas de conclusion IV. Présentation des résultats Les résultats sont classiquement représentés dans un tableau Source SC ddl CM F cal entre dans total (S, p<.05) * (S, p<.0) ** ns On trouve aussi une notation plus générale pour la première colonne qui rappelle le plan expérimental : A (ou encore «consigne») pour «entre» Renvoie à l ensemble des modalités prises par les groupes, donc au nombre de groupes ; c est donc bien la variabilité due aux groupes ; traduit l effet de la VI S (A) (ou encore «erreur») pour «dans» C est la variabilité dans les groupes ; c est le facteur sujet, l erreur expérimentale. Autre exemple : Hypothèse sur l utilisation d images mentales favorise la mémorisation. Apprentissage de paires de mots ; ensuite on donne le premier mot, le sujet doit donner le second. Deux groupes de 5 sujets : Groupe expérimental : consigne pour imager (lier les deux mots de la paire avec une même image : chat + cigare : imaginer un chat fumant un cigare) Groupe contrôle : mémoriser les couples de mots. 47

48 On relève le nombre de mots rappelés par sujet. GE GC Ho la VI n a pas d effet sur la VD La manipulation expérimentale n affecte pas le comportement des sujets L imagerie n influence pas la mémorisation Le GC et le GE ne diffèrent pas pour le nombre de mots rappelés ; seul le hasard responsable des différences observées Dans l ensemble de la population, la moyenne GC est égale à la moyenne GE est H La VI a un effet sur la VD Etc.. S 5 A SC entre ou SC A 70 SC dans ou SC S(A) 68 SC tot 338 ddl entre ddl A - ddl dans ddl S(A) 30-8 ddl tot 9 SC 70 entre SC dans 68 CM entre CM A 70 CM dans CM S ( A). 43 ddlentre ddldans 8 70 F cal.8.43 ν ν 8 à 5% on lit 4.0 à % on lit 7.64 source SC ddl CM F cal A S (A) total ** Avec SPSS : Analyse comparer les moyennes moyennes définir VD et VI choisir option tableau anova et êta 48

49 Tableau de bord VAR0000 VAR0000,00,00 Total Moyenne N Ecart-type 0,0000 5,6475 4,0000 5,4639 7, ,440 Tableau ANOVA VAR0000 * VAR0000 Inter-groupes Intra-classe Total Combiné Somme Moyenne des carrés df des carrés F Signification 70,000 70,000,76,000 68,000 8,49 338,000 9 V. Autres modes de calcul Mode Il est fondé sur le tableau suivant avec les «nombres dans le carré». source SC ddl CM F cal A A - A- A (entre) A- S (A) (dans) AS - A AS - A AS A AS-A total AS - AS - On calcule 7 quantités : Q «Grand total» Y.. somme de toutes les valeurs Q AS Σ Y.. ² somme du carré de toutes les valeurs Q3 A Σ Y a. ² /S on calcule la somme des valeurs des individus pour le er groupe ; on l élève au carré et on la divise par le nombre d individus dans le groupe ; on fait de même pour tous les groupes et on somme le tout. Q4 Y.. ²/AS Q²/AS Q5 SC tot AS Q - Q4 Q6 SC entre SC A A Q3 Q4 Q7 SC dans SC S(A) AS A Q Q3 49

50 Exemple : Deux méthodes pédagogiques I et II ; 5 étudiants dans chaque groupe ; même épreuve I II Q Y Q AS Σ Y.. ² 75² + 6² ² + 8² ² 5877 Q3 A Σ Y a. ² /S ( )² /5 + ( )² / 5 339²/5 + 46²/ Q4 Y.. ²/AS Q²/AS 755² / Q5 SC tot AS Q - Q Q6 SC entre SC A A Q3 Q Q7 SC dans SC S(A) AS A Q Q On vérifie que On calcule (ddl entre ; ddl dans 0-8) CM entre 59.9 / 59.9 CM dans 58.6 / F cal 59.9/ source SC ddl CM F cal A (entre) S (A) (dans) total * Mode On peut également simplifier les calculs en faisant une translation à la variable. Dans notre exemple, on pose Y Y 70 I II 5-0 Y AS Σ Y.. ² 5² + 8² + ² +. + ² + 0² 477 A Σ Y a. ² /S ( )² / 5 + ( )² / 5 -² + 66² /

51 Y.. ²/AS Q²/AS 55² / source SC ddl CM F cal A A A- A (entre) A S (A) (dans) AS A AS A AS A AS-A total AS AS /8 7.7 * Autre exemple : 3 groupes de 5 étudiants ; 3 méthodes de mémorisation selon consigne. Peut-on conclure à un effet de la consigne? image construite (définition du mot à mémoriser + dessin du mot à faire soi-même) image donnée (définition + dessin donné à recopier) contrôle (définition) On relève le nombre de mots mémorisés I Σ 6 II Σ 78 III Σ 56 Le plan expérimental est de la forme S (A) avec S 5 et A 3 Nous n avons qu un facteur de variation. Y AS Σ Y.. ² 3² + 9² ² + ² ² + 5² 469 A Σ Y a. ² /S (6² + 78² + 56²) / Y.. ²/AS 50² / source SC ddl CM F cal 5

52 A A (entre) S (A) AS A (dans) total AS A- AS A AS 4 A A AS A AS-A / ** VI. Lien entre l ANOVA et le test de Student Nous venons de comparer grâce à l ANOVA les moyennes de deux ou plusieurs groupes expérimentaux. L année dernière, nous avons vu que le T-test permet aussi de comparer deux groupes expérimentaux. Ce ne sont pas deux tests différents car le t cal est lié au F cal. Exemple : Deux groupes de 8 souris ; G produit supposé inhibiteur, G groupe contrôle ; on mesure le temps de passation dans une épreuve de labyrinthe. G G ) T-test Rappel: L ( X X ) St ( µ ν X X X X ; σ ) avec ns + ns + X X n + n n n σ et ν n + n -.5 4² + 5.5² ².5 x 5.9 σ ² + 8² ² 35.5 x 6.94 σ σ X X