Le capital placé reste invariable et produit des intérêts égaux pour chaque période de placement.

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1 3. Les intérêts composés 3. Les intérêts composés 3.1. Introduction ➊ Placement à intérêts simples Le capital placé reste invariable et produit des intérêts égaux pour chaque période de placement. ➋ Placement à intérêts composés Les intérêts sont considérés comme un nouveau placement et sont ajoutés au capital à la fin de chaque période pour produire des intérêts à leur tour Détermination de la valeur acquise (A) Valeur acquise (ou valeur définitive) = Capital + Intérêts composés Notation C = capital prêté ou placé i = taux pour 1 par période n = nombre de périodes de placement A = valeur acquise ou définitive Formule La valeur acquise d un capital placé à intérêts composés est dégagée à partir de la table 1, (page 13) et permet d établir la formule: Applications ➊ Calculer la valeur acquise par un capital de C placé à intérêts composés au taux de 8% par an pendant 5 ans. ➋ Quelle est la valeur acquise par un capital de C placé au taux de capitalisation semestriel de 2,5% pendant 5 ans et 6 mois. ➌ Calculer la valeur acquise par un capital de C placé pendant 5 ans et 3 mois au taux de capitalisation annuel de 7%. ➍ Déterminer la valeur acquise par un capital de C après 3 ans et 10 mois de placement à un taux de capitalisation trimestriel de 3,5%. 12 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

2 3.3. Détermination de la valeur actuelle (C) Table 1: Dégagement de la valeur acquised un capital placé à intérêts composés Période Capital début Intérêts Valeur acquise (A) 1 C C i = C + C i = C(1 + i) 2 C(1 + i) [C(1 + i)] i = C(1 + i) + [C(1 + i)]i = C(1 + i) (1 + i) = C(1 + i) 2 3 C(1 + i) 2 [C(1 + i) 2 ] i = C(1 + i) 2 + [C(1 + i) 2 ]i = C(1 + i) 2 (1 + i) = C(1 + i) 3. n C(1 + i) n 1 [C(1 + i) n 1 ] i = C(1 + i) n 1 + [C(1 + i) n 1 ]i = C(1 + i) n 1 (1 + i) = C(1 + i) n 3.3. Détermination de la valeur actuelle (C) Formule En partant de la formule générale divisons par (1 + i) n. Alors: A (1 + i) n = C C = A 1 (1 + i) n C = A(1 + i) n 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 13

3 3. Les intérêts composés Applications ➊ Quel capital faut-il placer aujourd hui pour obtenir après 6 ans de placement une somme de C, si le placement se fait au taux de capitalisation annuel de 6,5%? ➋ Une personne a une dette de C qui vient à échéance dans 5 ans et 8 mois. Quelle somme doit-elle débourser aujourd hui si elle désire se libérer immédiatement? Taux annuel à intérêts composés: 5% Recherche du taux de placement (i) Formule (1 + i) n = A C (1 + i) = n A C i = n A C 1 ou bien, au cas où la calculatrice n admet pas n x: (1 + i) = ( A C ) 1 n i = ( A C ) 1 n Applications ➊ A quel taux une somme de C est-elle placée si après 6 ans elle devient ,94 C? ➋ A quel taux faut-il placer à intérêts composés un capital de C pour qu il devienne C après 10 ans de placement? 14 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

4 3.5. Recherche du temps de placement (n) 3.5. Recherche du temps de placement (n) Formule La recherche du taux de placement se fait normalement à l aide de tables financières ou par logarithmes. Au cas où le taux est un taux indiqué dans des tables financières et le nombre de périodes n un entier, le temps de placement se recherche facilement dans des tables financières: (1 + i) n = A C Au cas où n n est pas un entier et n est de ce fait pas renseigné dans des tables financières, le temps de placement se calcule par interpolation linéaire. Si ni taux, ni temps sont renseignés dans les tables, le seul moyen de trouver une solution est de recourir au calcul par logarithmes. Cette solution est évidemment applicable pour toute recherche de n, renseigné ou non dans des tables financières. Calcul par logarithmes sur base de (1 + i) n = A C n log(1 + i) = log A C n = log A C log(1 + i) Applications ➊ Après combien de temps un capital de C placé à intérêts composés au taux de 6,5% devient-il ,45 C? ➋ Une personne place un capital de C sur un compte en banque à un taux annuel de 8%. Après combien de temps peut-elle retirer tout son avoir qui se chiffre à ,40 C? 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 15

5 3. Les intérêts composés 3.6. Taux proportionnels, taux équivalents Taux proportionnel Définition: Deux taux, appliqués à des périodes de durée différente,sont dits proportionnels, lorsque le rapport de taux est égal au rapport des périodes de capitalisation. Ainsi, 12% l an est proportionnel à 6% par semestre, à 3% par trimestre et à 1% par mois Taux équivalent Définition: Deux taux, appliqués à des périodes de temps différentes,sont dits équivalents, s ils permettent d acquérir à un même capital des valeurs définitives égales après une même durée de placement. Exemple: 1 C placé au taux annuel i a devient après 1 an: 1+i a 1 C placé au taux semestriel i s devient après 1 an (2 semestres): (1 + i s ) 2 Comme i a et i s sont des taux équivalents, les deux valeurs acquises sont égales: 1 + i a = (1 + i s ) 2 A partir de cette équation on peut calculer i a respectivement i s si le taux équivalent correspondant est connu. La procédure sera analogue pour le calcul de taux équivalents trimestriels, semestriels, mensuels, etc Applications ➊ Calculer le taux annuel équivalent à un taux mensuel de 0,5%. ➋ Calculer le taux trimestriel a) équivalent à un taux annuel de 9%; b) proportionnel à un taux annuel de 9% Exercices ➊ Une personne a emprunté une somme de C à intérêts composés au taux annuel de 11%. Quelle est le montant à rembourser après 3 ans et 3 mois. 16 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

6 3.7. Exercices ➋ Au bout de combien de temps une somme placée à intérêts composés, au taux de 5,5% par semestre, double-t-elle de valeur? ➌ Une personne place C et prélève ,80 C après 10 ans et 6 mois. Quel a été le taux de placement? ➍ Une personne emprunte C à rembourser dans 5 ans. A l échéance prévue la personne rembourse avec l accord du prêteur C et s acquitte du montant restant dû 5 ans plus tard par un versement de ,40 C. Quel est le taux unique de l emprunt? ➎ Un capital de C est resté placé à intérêts composés au taux annuel de 6% l an pendant 2 ans. Pendant combien de temps ce capital aurait-il dû être placé au même taux à intérêts simples pour donner les mêmes intérêts? ➏ Une personne place C, à un certain taux, sur un compte en banque. Après trois ans de placement, elle retire C et encore trois ans plus tard 3.852,28 C. Sachant qu elle dispose alors de C sur son compte en banque, calculez le taux annuel de placement. 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 17