Espaces vectoriels. Espace vectoriel. Exemples

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1 Espaces vectoriels Espace vectoriel Définition Un espace vectoriel (réel) est un ensemble abstrait V non vide aux éléments notés a, b,, appelés vecteurs et muni des opérations Somme vectorielle : associant à toute paire d éléments (vecteurs) a, b V un élément (vecteur) a + b V Multiplication par un scalaire : associant à tout vecteur a V et à tout scalaire (nombre réel) λ un vecteur λa V satisfaisant aux huit axiomes suivants : Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 1 1 a + b = b + a : commutativité de la somme 2 a + ( b + c) = (a + b) + c : associativité de la somme 3 Il existe 0 V tel que 0 + a = a, a V : vecteur nul 4 a V il existe a V tel que a + ( a) = 0 : vecteur opposé 5 λ(µa) = (λµ)a λ, µ R, a V : associativité du produit 6 (λ + µ)a = λa + µa λ, µ R, a V : distributivité 7 λ(a + b) = λa + λ b λ R, a, b V : distributivité 8 1a = a a V : nombre 1 1 R 2 (Plan muni d une origine) Vecteurs Exemples : paires ordonnées de réels, notés avec notre convention comme des matrices 2 1 : [ ] [ ] a1 x1 a =, x = Somme vectorielle : a + b = [ a1 ] + [ b1 b 2 x 2 ] [ ] a1 + b = 1 + b 2 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 2 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 3

2 Multiplication par un scalaire : λa = λ [ a1 ] [ ] λa1 = λ Vérification des axiomes : propriétés du calcul matriciel Interprétation géométrique : vecteurs de R 2 : vecteurs-lieux des points du plan muni d un repère cartésien Ox 1 x 2 Les axiomes ont leur interprétation en tant que théorèmes de la géométrie plane (règle du parallélogramme, similitude, etc) + b 2 λb 1 B b 2 b b 1 a+ b + b 1 a A λa λ Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 4 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 5 2 R n (n > 1) Vecteurs : n-uplets ordonnés de réels, notés avec notre convention comme des matrices n 1 : x 1 a =, x = a n x n Somme vectorielle : a + b = a n + b 1 b n = + b 1 a n + b n Multiplication par un scalaire : λa = λ a n = λ λa n Vérification des axiomes : propriétés du calcul matriciel Interprétation géométrique : pour n > 3 on n a plus d interprétation, mais on garde tout de même le vocabulaire géométrique Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 6 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 7

3 3 M m n : Espace vectoriel des matrices m n (aussi noté M mn ) Vecteurs : matrices m n : A : m n, B : m n Somme vectorielle : somme matricielle Multiplication par un scalaire : multiplication d une matrice par un scalaire Vérification des axiomes : propriétés du calcul matriciel Illustration numérique : M 2 2 [ 1 8 A = 3 2 ] [ 2 11, B = 3 0 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 8 ] [ ] 3 3 A + B = 6 2 [ ] 0 0 0A = 0 0 [ ] 1 8 A = P n : Espace vectoriel des polynômes de degré au plus n dans une variable t Vecteurs : polynômes : p(t) = a 0 + t + + a n t n, q(t) = b 0 + b 1 t + + b n t n Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 9 Somme vectorielle : p(t) + q(t) = (a 0 + b 0 ) + ( + b 1 )t + + (a n + b n )t n Multiplication par un scalaire : λp(t) = λa 0 +λ t+ +λa n t n Vérification des axiomes : propriétés des fonctions continues d une variable Vecteur nul : Polynôme identiquement nul 0 + 0t + + 0t n = 0 Illustration numérique : P 3 p(t) = 4 4t t 2 + t 3, q(t) = 2 + 3t + t 2 p(t) + q(t) = 6 t + t 3 2q(t) = 4 6t 2t p q q p q Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 10 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 11

4 Sous-espaces vectoriels Définition W est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel V si W est un sous-ensemble non vide de V W est lui-même un espace vectoriel par rapport aux mêmes opérations que V W 0 x 0 V Théorème Soit V un espace vectoriel et W un sous-ensemble de V Alors W est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les 2 conditions suivantes sont satisfaites : 1 W 2 a, b W a + λ b W, λ R Pr Si W est un sous-espace vectoriel de V alors les conditions sont remplies par définition d un espace vectoriel Inversement, tous les 8 axiomes sont satisfaits car, pour tous sauf pour 3 et 4 ils sont valables pour des éléments quelconques de V et donc hérités par W Pour 3 on a W a W, et par 2 a + ( 1)a W Or a+( 1)a = 0 De même pour 4, on a a W, a+( 2)a W Or a + ( 2)a = a Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 12 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 13 Exemples 1 V = R 2, W 1 = { x R 2 3x1 2x 2 = 0 W 1 : Droite passant par l origine, d équation cartésienne 3x 1 2x 2 = 0 Autre représentation : W 1 = d = [ 2 3 ] T {x R 2 x = s d, s R W 1 : Droite passant par l origine, de vecteur directeur d 3 d 2 W avec W 1 est bien un sous-espace de R 2 car! 0 W 1! a, b W 1 a + λ b W 1, λ R, en effet a W = 0 3( +λb 1 ) 2( +λb 2 ) = 0 b W1 3b 1 2b 2 = 0 a + λ b W 1 ou encore, avec la représentation paramétrique a W 1 s 1 R : a = s 1d b W1 s 2 R : b = s 2d a + λ b = (s 1 + λs 2 ) d a + λ b W 1 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 14 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 15

5 2 V = R 2, W 2 = { x R 2 3x1 2x 2 = 1 W 2 : Droite ne passant pas par l origine! W 2 n est pas un sous-espace vectoriel de R 2 car " 0 / W 2, ce qui est déjà une raison suffisante, mais on a aussi " a + b / W 2 a, b W 2 En effet a W = 1 3( +b 1 ) 2( +b 2 ) = 2 1 b W1 3b 1 2b 2 = 1 3 V = P 2, W = {p(t) P 2 p(t) = kt(t 1), k R W : Ensemble des polynômes de degré au plus 2 s annulant en 0 et 1 On vérifie que W est bien un sous-espace de P k a + b / W Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 16 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 17 4 [ V = M] 2 2, W = {A M 2 2 A = kd, k R avec D = W est bien un sous-espace de M 2 2 En effet! 0 = 0D La matrice nulle 2 2 appartient à W! car A W s 1 R : A = s 1 D A+λB = (s B W s 2 R : B = s 2 D 1 +λs 2 )D A + λb W 5 V = R n, W 5 = { x R n Ax = 0 pour A : m n donnée W 5 : Ensemble des solutions d un système homogène d équations linéaires W 5 est bien un sous-espace vectoriel de R n En effet! Le vecteur nul de R n appartient à W 5 car A0 n = 0 m! Aa = 0 et A b = 0 A(a + λ b) = 0 a + λ b W 5 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 18 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 19

6 6 V = R m, W 6 = {y R m x R n tel que y = Ax pour A : m n donnée W 6 est bien un sous-espace vectoriel de R n En effet! Le vecteur nul de R m appartient à W 6 car 0 m = A0 n! la deuxième condition est satisfaite car a W 6 x a R n : a = Ax a b W6 x b R n : a+λ b = Ax b = A(x a +λx b ) b Deux espaces vectoriels définis par la matrice A : m n Les deux derniers exemples W 5 et W 6 sont associés à une matrice A donnée, quelconque, et sont particulièrement importants Ils sont couramment désignés par : N (A) = { x R n Ax = 0 (= W 5 ) a + λ b W 6 C est l espace nul (en anglais nullspace ) de A ou encore l espace orthogonal aux lignes de A En effet les vecteurs de cet espace sa- Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 20 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 21 tisfont Ax = α T 1 α T 2 α T m x = α T 1 x α T 2 x α T mx = sont de la forme Ax = [ ] a n x 1 x 2 x n = x 1 + x a n x n Le deuxième est c est-à-dire les combinaisons linéaires des colonnes de la matrice A C(A) = {y R m x R n tel que y = Ax (= W 6 ) C est l espace des colonnes de A En effet les éléments de cet espace Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 22 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 23