a+b=c+d = b+d = a+d = b+c a+b+c=d+e+f = g+h+i d e f M

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1 EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 Dans tous ces exercices,kest égal àrouc.. : Dire dans quelk espace vectoriel sont inclus les ensembles suivants (il faut préciserkdans certains cas). En sont-ils des sous-espaces vectoriels? (a) Z (b) Q R (c) (x,y) K / x= (d) (x,y) K / x= (e) {(x,) / x K} (f) (x,y,z) K / x=y (g) (x,y,z) K / x= y (h) M c d (K) / c d = a+b=c+d (i) SMag (K)= M c d (K) / = a+c (ensemble des matrices semi-magiques d ordre ). = b+d a+b=c+d = a+c (j) Mag (K)= M c d (K) / = b+d (ensemble des matrices magiques d ordre ). = a+d = b+c (k) Mag (K)= c a+b+c=d+e+f = g+h+i d e f M (K) / = a+d+g=b+e+h=c+f+i g h i = a+e+i=c+e+g (l) S n (K)= (a ij ) i,jn M n (K) / i,j a ij = a ji (matrices symétriques). (m) A n (K)= (a ij ) i,jn M n (K) / i,j a ij = a ji (matrices antisymétriques). (n) P= f R R / f est paire (o) I= f R R / f est impaire (p) f R R / f polynomiale et degf = n (n N) (q) f R R / f polynomiale et degf n (notép n (R,R)) (r) F = f R R / f ()= (s) G= f R R / f ()= (montrer que G est un sous-espaceaffine de direction le précédent) (t) F = f R R / f est dérivable surret f = f (montrer que F C (R,R)) (u) F = f R R / f est deux fois dérivable surret f = f (montrer que F C (R,R)) (v) P T = f R R / f est périodique de période T (w) P= f R R / f est périodique (x) P Q = f R R / f est périodique de période rationnelle (y) F = f R R / g,h R R, g et h croissantes / f= g h (z) : On fixe g R R ; F g = f.g / f R R (on pourra remarquer que F g n est autre que l ensemble des applications qui s annulent aux points où g s annule). () (u n ) R N / (u n ) est arithmétique () (u n ) R N / (u n ) est géométrique () (u n ) R N / ( n N) u n+ = u n+ +u n () (u n ) R N / (u n ) est convergente

2 EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 () (u n ) R N / limu n = () (u n ) R N / limu n = (montrer que c est un sous-espaceaffine de direction le précédent) () (u n ) R N / (u n ) est bornée. : Dans les cas c), f), i), j), k),l), m), q), t), u) de l exercice précédent, déterminer une base du sev correspondant.. : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels dee. (a) Montrer que F G est un sous-espace deesi et seulement si F G ou G F. (b) En déduire que si F = E et G= E, alors F G= E. 4. : Soient F,G et H des sous-espaces vectoriels dee. On pose 5. : A=F (G+H) ;B=(F G)+(F H) (a) Montrer que B A, mais que l inclusion peut être stricte. (b) Montrer que si F contient G ou H, alors A=B. (c) Montrer que B= F (G+(F H)). F G=F H (d) Montrer que F+G=F+H G=H G H (e) Etudier les inclusions entre C= F+(G H) et D=(F+G) (F+H). (f) **Montrer que si F (G+H)=(F G)+(F H), les deux autres égalités similaires sont réalisées, ainsi que les trois égalités du type : F+(G H)=(F+G) (F+H). (a) Déterminer un système d équations cartésiennes du sous-espace F dek 4 engendré par 4 F= ; (b) Déterminer une famille engendrant le sous-espace vectoriel F dek 5 dont un système d équations cartésiennes est x+y+z+4t+5u= x+y= z+t=u 8x 6y 7z= Rep : (a) 5x 9y+7t= (b) ; 6. : Montrer que(exp,x xe x,x xe x lnx,x xlnx,x x,ln) est une famille libre der ],+ [. 7. : Les familles de Van der Monde ; 8. : 9 (a) On donne dans K les vecteurs,a,a,,b,b,,c,c ; à quelle CNS portant sur a,b,c forment-ils une famille libre? (b) Idem pour(,,),(a,b,c), a,b,c. (c) * Généraliser. (a) Soient a,b,c trois éléments dekdistincts. Montrer que((a n ),(b n ),(c n )) est une famille libre dek N. (b) * Généraliser.

3 EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 9. * : On donne. * : f : x +x +x;f : x +x x;f : x +x +;f 4 : x +x (a) Déterminer le rang de(f,f,f,f 4 ) dansr [,+ [ (indication : +sh =ch ou bien calculer(f ±f ) ). (b) Déterminer le rang de(f,f,f,f 4 ) dansr R. (a) Démontrer que( x, x,..., x p ) est libre si et seulement si Remarque : Vect( )=. i [,p ] (b) : Démontrer que( x, x,..., x p ) est liée si et seulement si xi / Vect ( x j ) j<i i [,p ] / Vect! x,..., xi,..., " x p =Vect( x, x,..., x p ).. * : Démonstration du théorème (fort) de lase incomplète : SoitG=( ε,..., ε m ) une famille génératrice deeetl=( e,..., e p ) une famille libre dee. On rappelle que la réunion de deux listes est leur mise bout à bout ; par exemple : (a,b) (c,d)=(a,b,c,d). (a) Montrer que siln est pas génératrice, il existe un élément ε i deg tel quel ( ε i ) soit encore libre. (b) En déduire qu il existe une sous-famillef deg telle queb=l F soit une base dee. (c) : Illustration de ce théorème ; on considère les vecteurs dek 4 définis par : a= ;b= ;d= ;e= ;f = i. Montrer quel=(a,b) est libre et queg=(c,d,e,f,g,h) est génératrice. ii. CompléterLen une base dek 4 en puisant dansg. ;g= ;h=. : Déterminer les rangs r des familles suivantes dek 4 et les4 r relations entre les vecteurs de chaque famille. (a) F = a= ;b= ;d= (b) F = (c) F = a= a= ;b= ;b= 4 4 ;d= ;d=. : Déterminer le rang de la famillef duc-espacec 4 et éventuellement les relations entre les vecteurs def : i i F= a= i +i ;b= i ;d= +i i +i +i i quel est le rang def dans ler espacec 4? 6 5

4 EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 4. : Soient les vecteurs dek : a= ;b= ;c= ;x= SoitB=(a,b,c) ; est-ce une base dek? Si oui, donner les coordonnées de x dans cette base. 5. : Soit F =Vect(a,b,c) et G=Vect(d,e) avec : a= ;b= 4 (a) Déterminer les dimensions de F, G, F+G, F G. (b) Déterminer une base de F G. Réponse : (d). 6. : On considère les vecteurs dek 5 suivants : a= ;b= et on posevect(a,b,c)=f,vect(d,e)=g. (a) Montrer quek 5 = F G. ;d= d= (b) Déterminer un système d équations cartésiennes de F et de G. ;e= ;e= (c) Donner les expressions analytiques des deux projections p et q associées à cette décomposition dek 5, c est-à-dire, x x y si p z t = y z t, les expressions de x,y,z,t,u en fonction de x,y,z,t,u et de même pour q. u u 7. : Soit I un ensemble fini. Déterminer une base et la dimension dek I. Même chose poure I oùeest unk espace vectoriel de dimension finie. 8. * : soit A=(a ij ) i,jn M n (K);Aest ditecentrosymétrique si : i,j a i,j = a n+ i,n+ j Montrer que l ensemble CS n (K) des matrices centrosymétriques est un sous-espace vectoriel de M n (K), en donner une base et la dimension (on séparera les cas n pair et n impair). 9. * : Soit E un C espace vectoriel ; E peut aussi être muni d une structure de R espace vectoriel, en restreignant l opération externec E E àr E E.. * : (a) Montrer qu une famille finie liée sur R (ou R liée) est C liée, mais que la réciproque est fausse. Qu en déduit-on pour les familles libres? (b) Une famille finie R génératrice est-elle C génératrice? (c) Une famille finie C génératrice est elle R génératrice? (d) Montrer que si( e,..., e n ) est unec base dee, alors( e,..., e n,i e,...,i e n ) est uner base dee. En déduire une relation entre la R dimension de E et sa C dimension. (e) SiF est une famille finie dee, démontrer querg C (F)rg R (F) rg C (F). 4

5 EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 (a) Si(f,...,f n ) est libre dans lec espacec R,(Re(f ),...,Re(f n )) est elle libre dansr R? (b) Montrer que si f,...,f n,f,...,f n estc libre, alors(re(f ),...,Re(f n ),Im(f ),...,Im(f n )) estr libre. (c) Soit(α,...,α n ) des nombres complexes distincts. Montrer que(x e αx,...,x e αnx ) estc libre dansc R. (d) Soit(ω,...,ω n ) des réels strictement positifs distincts. Montrer que(x cos(ω x),x cos(ω x),...,x cos(ω n x),x sin(ω x),...,x sin(ω n x)) estr libre.. * : Soient F,G,H des sous-espaces vectoriels de E de dimension n. Dire (preuve à l appui) si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux (faire des dessins).. : (a) Le complémentaire d un hyperplan est une droite. (b) Si F G=G H= H F ={} alorsdim(f+g+h)=dimf+dimg+dimh. (c) Si H et K sont deux hyperplans deealors H K=E. (d) Si P et P sont deux plans dee, vérifiant P P ={} alorsdime4. (e) On suppose que F est un hyperplan ; alors vecteur non nul du complémentaire de F dans E engendre nécessairement un supplémentaire de F. (f) On suppose que F est de dimension n ; alors vecteurs linéairement indépendants du complémentaire de F dans E engendrent nécessairement un supplémentaire de F. (a) Soient A,B,C trois ensembles finis, vérifier que A B C = A + B + C A B B C A C + A B C (b) Soient F, G, H trois sous-espaces vectoriels de E, K espace vectoriel de dimension finie. Montrer que l égalité : dim(f+g+h)=dimf+dimg+dimh dimf G dimg H dimf H+dimF G H n est pas toujours vérifiée, mais qu elle l est ssi F (G+H) =(F G)+(F H) (cf. exercice 4).. : SoitE=R I ;x I; F ={f E / f(x )=} (a) Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de E. (b) Montrer que l ensemble G des fonctions constantes de I dans R est un supplémentaire de F dans E. Qu en déduit-on pour F? (c) Quel est le projeté g d une fonction e E sur G parallèlement à F? Faire une figure avec les courbes de e et g. 4. : SoitE=D(R,R);x R;F ={f E / f(x )=f (x )=} (a) Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de E. (b) Montrer que l ensemble G des fonctions affines derdansr, est un supplémentaire de F danseet en déduire la codimension de F. (c) Quel est le projeté g de e E sur G parallèlement à F? Faire une figure avec les courbes de e et g. 5. : SoitF=( x, x,..., x p ) une famille finie dee. Montrer qu une sous-famille def a un rang supérieur ou égal àrg(f) nombre de vecteurs enlevés. 6. : SoitEunK espace vectoriel de dimension finie n; F et G des sous-espaces dee, avecdimf = p,dimg=q. (a) Montrer que : p+q ndim(f G)min(p,q) et donner un exemple pour chaque cas d égalité. (b) Plus généralement, si(f i ) i [ ;p ] sont des sous-espaces deeavecdimf i = n i pour tout i [ ;p ], montrer que : ce qui peut s écrire : p# i= n n i (p )ndim p i= F i min ip (n i) p# i= codimf i dim p i= F i min ip (dimf i) Regarder par exemple le cas particulier d une intersection d hyperplans. 5

6 EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 7. : Soient a,a,...,a n K non tous nuls. 8. * : (a) Soit a x + a x + +a n x n =une équation linéaire homogène à n inconnues. Montrer que l ensemble des solutions est un hyperplan dek n. (b) Déduire de l exercice précédent et de la première question le fait que l ensemble des solutions d un système linéaire homogène de p équations à n inconnues est un espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à n p. (a) Démontrer que l ensemble des étoiles magiques à 5 branches est un sous espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à6dek. Déterminer la forme générale de ces étoiles, et en déduire que la dimension est6exactement. Donner une base de ce sous-espace. (b) Idem pour les étoiles magiques à6branches. 6