Module A ALGEBRE MATRICIELLE. Prçesentation - Plan

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1 Module A ALGEBRE MATRICIELLE Prçesentation - Plan

2 Ce module occupe une place particuliçere dans le dispositif de formation ça la statistique mis en place par le service de Formation Permanente et le dçepartement de Biomçetrie de l'inra. C'est un prçealable aux modules : Modçele linçeaire, Analyse des donnçees multidimensionnelles et Analyse discriminante. Il a pour but de familiariser les stagiaires avec le concept matriciel et les concepts gçeomçetriques associçes. En eæet, l'algçebre matricielle prçesente l'intçer^et d'un formalisme simple trçes utilisçe en statistique. De plus, elle permet de nombreuses reprçesentations gçeomçetriques dans la mesure oçu on ne la considçere pas comme une simple technique de calcul. Ces qualitçes sont particuliçerement intçeressantes en statistique puisqu'elles permettent: í D'uniæer la prçesentation des thçeories statistiques et d'automatiser les calculs. í De rendre plus concrets les rçesumçes statistiques par le truchement des reprçesentations graphiques. Ce dernier point est d'importance puisqu'il touche au domaine essentiel de l'interprçetation. Dans ces conditions, on ne peut pas dissocier l'algçebre matricielle de la thçeorie gçeomçetrique qui la sous-tend. Le contenu de ce module est : í Un rappel des dçeænitions çelçementaires sur les espaces vectoriels et l'explicitation du concept de gçeomçetrie qui est la consçequence de la dçeænition d'une distance qui dçerive elle-m^eme de la dçeænition d'un produit scalaire. í L'utilisation de la thçeorie des espaces vectoriels pour reprçesenter gçeomçetriquement les rçesumçes statistiques et probabilistes couramment utilisçes et l'illustration par des exemples des principes gçeomçetriques prçesentçes. í Le calcul matriciel proprement dit et la signiæcation gçeomçetrique des ëobjets matriciels" èvecteur, matrice, forme quadratique, valeur propre,...è. Enæn un exemple qui utilise les rçesultats d'algçebre matricielle qui ont çetçe exposçes pour dçecrire, le plus complçetement possible, un ensemble de donnçees. Le contenu de la malette formation a çetçe conçcu lors de la phase FPSTAT par le groupe Animateur-Formateurs qui a tenu compte des critiques et commentaires faits par S. Junca- Holmes et E. de Turckheim du Dçepartement de Biomçetrie de l'inra et par G. Philippeau du service statistique de L'ITCF. Une partie des documents a çetçe actualisçee lors de la phase FPSTAT2. Ces documents contiennent: í Les transparents. í Le document-formateur comprenant: í Un volume ëalgçebre matricielle" dans lequel le contenu du module A est exposçe en dçetail. í Un volume ëtransparents" en version rçeduite accompagnçes de leurs commentaires. 1

3 í Le document-stagiaire qui est une version rçeduite des transparents ça raison de deux transparents par feuille. í Un questionnaire de ëpositionnement" des connaissances pour informer le formateur sur le niveau des stagiaires. í Un questionnaire d'çevaluation de la session de formation. í Un document de prçesentation comprenant cette introduction et les tables des matiçeres des deux volumes citçes. Compte tenu de la place particuliçere de ce module dans le plan de formation ça la statistique il peut ^etre considçerçe comme : í Un module ëça part entiçere" et dans ces conditions faire l'objet de sessions spçeciæques de formation. Pratiquement, une session complçete de ce module peut ^etre faite en deux jours. í Une source de connaissances ça actualiser avant d'entreprendre des formations sur l'un des thçemes classiques de la statistique infçerentielle ou descriptive. Le contenu du volume ëalgçebre matricielle" est plus large que celui du volume ëtransparents" car le premier s'adresse aux formateurs et le second aux stagiaires. Cependant, les stagiaires peuvent ^etre demandeurs d'exposçes supplçementaires par rapport au programme qui leur est proposçe et qui est matçerialisçe par le volume ëtransparents". C'est pour cette raison que nous donnons dans ce qui suit le dçetail des points abordçes dans chacun des volumes. 2

4 Le contenu du volume ëalgçebre Matricielle" 1 Espace vectoriel - Gçeomçetrie 1.1 Quelques reprçesentations gçeomçetriques Egalitçe de deux vecteurs Addition de deux vecteurs Diæçerence de deux vecteurs Multiplication par un scalaire Longueur, distance, angle, produit scalaire 1.2 Notion d'espace vectoriel 1.3 Projections 1.4 Gçeomçetrie analytique 2 Gçeomçetrie - Statistique - Probabilitçe 2.1 Statistique et gçeomçetrie Rçesumer des observations Mesurer des liaisons Expliquer ou prçedire des variables Comparer des populations 2.2 Probabilitçe et gçeomçetrie Espçerance mathçematique Variance Corrçelation Espçerance conditionnelle Variance et variance conditionnelle Exemple 2.3 Complçements bibliographiques 2.4 Tableau rçesumçe 3 Formalisation des concepts 3.1 Espace vectoriel 3.2 Sous espace vectoriel 3.3 Combinaison linçeaire 3.4 Indçependance linçeaire 3.5 Base d'un espace vectoriel 3.6 Le langage gçeomçetrique 3.7 Sous espace aæne 3.8 Dçecomposition en somme directe 3.9 Exemples Exemple 1 : reprçesentations dans l'espace des variables Exemple 2 : base d'un espace vectoriel Exemple 3 : indçependance linçeaire Exemple 4 : application linçeaire et reprçesentation matricielle 4 Calcul matriciel 4.1 Dçeænitions 3

5 4.2 Opçerations çelçementaires Exemple 1 : çecriture matricielle Exemple 2 : Indçependance linçeaire 4.3 Encore un peu de gçeomçetrie 4.4 Valeurs et vecteurs propres Dçeænition Rçesultats gçençeraux Exemple 3 : recherche de valeurs et de vecteurs propres Exemple 4 : vecteurs propres et droites de rçegression 4.5 Projecteurs associçes ça une dçecomposition en somme directe Exemple 5 : projecteurs associçes ça des dçecompositions en somme directe 5 Partitionnement - Diæçerenciation - Extremum 5.1 Partitionnement Opçerations çelçementaires Exemple 1 : inverse et dçeterminant d'une matrice partitionnçee 5.2 Diæçerenciation 5.3 Extremum Maximisation sous contrainte Interprçetation gçeomçetrique des valeurs et des vecteurs propres Relations entre deux ellipsoíçdes A propos de la maximisation 5.4 Dçerivçee d'un dçeterminant 5.5 Quelques formules utiles 5.6 Exemple 2 : description d'un ensemble d'observations Illustration gçeomçetrique 4

6 Le contenu du volume ëtransparents" PARTIE I : Espace vectoriel 1 Espace vectoriel - Addition de 2 vecteurs - Multiplication par un scalaire - Propriçetçes de l'addition - Propriçetçes de la multiplication par un scalaire - Propriçetçes dçeduites des prçecçedentes 1.1 Sous espace vectoriel 1.2 Combinaison linçeaire 1.3 Indçependance linçeaire 1.4 Base d'un espace vectoriel 1.5 Longueur, distance, angle, produit scalaire -Intçer^et du produit scalaire - Propriçetçes du produit scalaire 1.6 Dçecomposition en somme directe 2 Projections 3 Coordonnçees dans IR 3 PARTIE II : Gçeometrie et statistique 1 Reprçesentation des donnçees - Les espaces des individus et des variables 2 Les rçesumes statistiques -Moyenne et variance 3 Les liaisons statistiques - Exemple : la liaison pression - tempçerature - Notion de corrçelation 3 Les tests statistiques - Comparaison de deux populations 4Rçesumçe PARTIE III : Calcul matriciel 1 Matrices - Ranger des donnçees -Traiter des donnçees -Faire une transformation 5

7 2 Matrices particuliçeres - Matrice carrçee - Matrice nulle - Matrice diagonale - Matrice identitçe I - Matrice J - Matrice transposçee : A 0 transposçee de A - Matrice symçetrique 3 Opçerations matricielles - Addition - Multiplication par un scalaire - Multiplication de deux matrices -Transposçee d'un produit de matrices -Trace - Matrice idempotente - Matrice inverse - Notion de rang -Dçeterminant d'une matrice PARTIE IV : Valeurs et vecteurs propres 1 Notion de valeur et de vecteur propre - Symçetrie par rapport ça la 1çere bissectrice -Gçençeralisation 2 Propriçetçes 3 Exercices - Symçetrie par rapport ça la 1çere bissectrice PARTIE V : Maximisation-dçerivation 1 Recherche des extrema - Exemple de la cartouche de chasse - Extremum d'une fonction 2Dçerivation -Dçerivçee premiçere - Exemple -Dçerivçee seconde 3 Recherche des extrema - Exemples 6