CONFIGURATIONS PLAN ET REPÉRAGE

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1 ours NFGURTNS U PLN ET REPÉRGE 1 Triangles 1.1 Théorèmes des milieux Théorème 1 La droite qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. La droite qui passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu. La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. 1. roites remarquables Théorème ans un triangle : les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. e point est situé aux 3 de chaque médiane en partant du sommet. les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. e point est le centre du cercle inscrit dans le triangle. les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. e point est le centre du cercle circonscrit au triangle. H G NFGURTNS U PLN ET REPÉRGE 7

2 Seconde 5-010/011 Triangle rectangle.1 Théorème de Pythagore et sa réciproque Théorème 3 Soit un triangle. Si est rectangle en alors = +. Si = +, alors est rectangle en. b c a = b + c a. ercle circonscrit Théorème 4 Soit M un triangle. Si M est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. Si M est sur le cercle de diamètre [] alors M est rectangle en M. M.3 Trigonométrie Théorème 5 (Propriété et définition) Soit un triangle rectangle en et α la mesure de l angle. Les rapports, et ne dépendent que des angles du triangle. n définit le cosinus, le sinus et la tangente de α de la façon suivante : cos(α) = sin(α) = tan(α) = c b cos α = c a sin α = b a α a tan α = b c 8 URS

3 Seconde 5-010/011 3 Parallélogrammes éfinition 1 Un quadrilatère est un parallélogramme si [ ] et [] ont le même milieu. e milieu est appelé centre du parallélogramme. Théorème 6 Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles et de même mesure. 3.1 Rectangles éfinition Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Théorème 7 Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure. 3. Losanges éfinition 3 Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure. Théorème 8 Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même mesure. Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. NFGURTNS U PLN ET REPÉRGE 9

4 Seconde 5-010/ arrés éfinition 4 Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. 4 Repérage 4.1 éfinitions éfinition 5 Soit d une droite. Soient et deux points distincts de cette droite. Si M est un point de d, on appelle abscisse de M dans le repère (, ) le nombre réel x M défini de la façon suivante : Si M [ ) alors x M = M Si M [ ) alors x M = M La droite d munie du repère (, ) est appelée droite graduée ou axe gradué. Remarque : l abscisse d un point sur une droite ne dépend pas de l unité de longueur mais uniquement de la position relative des points. Exemple : n considère la droite ci-dessous. éterminer l abscisse de dans le repère (, ) puis l abscisse de dans le repère (,). [ ) donc l abscisse de dans (, ) est = [ ) donc l abscisse de dans (,) est = 1 3 éfinition 6 Un triplet de points (,,) est appelé repère du plan si, et ne sont pas alignés. Le point est appelé origine du repère et les droites ( ) et ( ) sont les axes du repère. éfinition 7 Soit (,,) un repère du plan. Soit M un point du plan. n appelle coordonnées de M le couple (x M ; y M ) défini de la façon suivante : Si on appelle N le point d intersection de la parallèle à ( ) passant par M et de ( ), x M est l abscisse de N sur l axe gradué (, ). Si on appelle P le point d intersection de la parallèle à ( ) passant par M et de ( ), y M est l abscisse de P sur l axe gradué (,). x M est appelé abscisse de M dans (,,) et y M est appelé ordonnée de M dans (,,). P M N 10 URS

5 Seconde 5-010/011 Exemple : éterminer les coordonnées de et dans le repère (,,) ci-dessous. n trace les parallèles aux axes passant par. Les abscisses des points d intersection sur (, ) et (,) permettent d écrire : ( 1;1). n trace les parallèles aux axes passant par. Les abscisses des points d intersection sur (, ) et (,) permettent d écrire : (0,5;). 4. Milieu d un segment Théorème 9 ( ) x + x y + y Si (x ; y ), (x ; y ) et est le milieu de [] alors ; Exemple : ans un repère (,,), on considère les points ( 4;4) et (;1). éterminer les coordonnées du milieu de []. n a x = x + x 4.3 istances Repère orthonormal = 4 + = 1 et y = y + y Soit (,,) un repère du plan. n se donne une unité de longueur. = = 5 donc éfinition 8 n dit que (,,) est orthonormal (ou orthonormé) si : Les axes sont perpendiculaires ; = = 1 ( 1; 5 ) Exemples : 1 non orthonormal orthonormal non orthonormal alcul de distances Soit (,,) un repère orthonormal. Théorème 10 Si (x ; y ), (x ; y ) alors = (x x ) + (y y ) Exemple : ans un repère orthonormal, soit (3; 1) et ( 1;5). alculer. = ( 1 3) + (5 ( 1)) = = 5 = 13. NFGURTNS U PLN ET REPÉRGE 11