CHAPITRE 12. = 5 i. En séparant les variables, on obtient : di i

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1 hapire Équaions différenielles 7 HAPITRE EXERIES.. L équaion différenielle es di 5 i. En séparan les variables, on obien : di i di membres, on obien : i 5. e qui donne ln i 5 + k, d où i() b e 5 e, puisque i 3, A à s, on a i() 3, e 5 A.. a) L équaion différenielle es dp, P. En séparan les variables, on obien : dp P 5 e, en inégran les deu, e, en inégran les dp deu membres, on obien : P,. e qui donne ln P, + k, d où P() b e, e, puisque P habians à année, on a : P() e, habians. b) Le emps de généraion es le emps nécessaire pour doubler la populaion. Dans cee siuaion, le emps de généraion es e, 4, d où e, e, ln On a donc (ln)/,, ce qui donne 58 ans. 3. a) Le au de variaion relaif es consan, l équaion différenielle es donc : variables, on obien : dq, 44 e, en inégran les deu membres, on obien : Q e qui donne ln Q,44 + k, d où Q() Q e,44, car la quanié iniiale es Q. b) La demi-vie es donnée par Q e,44,5q, d où e,44,5 e,44 ln,5 On a donc (ln,5)/(,44), ce qui donne 8 ans. dq Q, 44. En séparan les dq Q, L équaion différenielle es dq, 5 q. En séparan les variables, on obien : dq q, 5 e, en inégran les deu membres, on obien : dq q, 5. e qui donne ln q,5 + k, d où q() b e,5 e, puisque q,7 à s, on a q(),63 e,5. 5. a) On connaî les concenraions à différens momens de la réacion. On peu vérifier si le logarihme de la concenraion es une foncion affine du emps en représenan les couples (; ln[a]) sur un papier à échelles linéaires ou en représenan les couples (; ln[a]) sur un papier semi-log. Lorsque le graphique es une droie, on peu conclure que la réacion es d ordre. Lorsque ce premier es échoue, on peu vérifier si l inverse des concenraions /[A] es une foncion affine du emps en représenan les couples (; /[A]) sur un papier à échelles linéaires. Lorsque le graphique es une droie, on peu conclure que la réacion es d ordre.

2 8 hapire Équaions différenielles Temps oncenraion,,88,78,69,6 Logarihme naurel,3,5,37,49 Logarihme de la concenraion,,,3,4,5,6 Temps (s) Dans le cas présen, on obien une réacion d ordre puisque le graphique des couples (; ln[a]) donne une droie. b) L équaion différenielle es d [ A ] a. [ A] c) En séparan les variables e en inégran, on rouve ln[a] a + ln[a ] où [A ] es la concenraion iniiale. Puisque [A ], on a ln[a ] e : ln[a] a On peu calculer la valeur du paramère a en subsiuan un couple de valeurs dans cee équaion. En subsiuan (;,88), par eemple, on a : ln,88 a ln 88, d où a, 64. Le modèle eponeniel es donc [N O 5 ] e,64 mol/l. d) La concenraion après s es [N O 5 ] e,64,46 mol/l. 6. a) Avec les données, on peu vérifier si le au de variaion relaif de la viesse es consan en calculan, pour chacune des correspondances du ableau, le rappor : dω ω On obien alors : w (/min) dw / (/min ) dw / w,4,4,4,4,4,4 es résulas permeen de conclure que le au de variaion relaif de la viesse es consan. L équaion différenielle es donc : dω ω, 4 b) En séparan les variables e en inégran, on obien : ln ω,4 + k ω e k e,4 La viesse iniiale es de 5 /min e on obien : ω() 5e,4 /min

3 hapire Équaions différenielles 9 c) ω(5) 5e,4 5 67,67 /min. La viesse es donc de 68 /min. 7. a) Le au de variaion de la quanié de fluor par rappor au emps es égal au produi de la concenraion de fluor par le débi d eau fluorée. Représenons par Q la quanié en kilogramme de fluor dans l eau e le emps en jours à parir du momen où on a arrêé la fluoraion. Le au de variaion es alors : dq Q kg m 4, 3Q kg jour 8 m3 jour L équaion différenielle es donc : dq, 3 Q kg jour En séparan les variables e en inégran, on a alors : ln Q,3 + k Q Q e,3 Puisque la quanié iniiale es de 6 kg, on a Q 6 e la foncion cherchée es : Q() 6e,3 kg. b) La quanié de fluor dans le réservoir au bou de di jours es : Q() 6e,3 444,5 kg Après di jours, il rese oujours 444,5 kg de fluor dans le réservoir. c) La quanié aura diminué de moiié lorsque : Q() 6e,3 3 kg e,3,5 ln 5, 3 jours, 3 Il faudra 3 jours avan que la quanié de fluor dans le réservoir ai diminué de moiié. d) La quanié de fluor sera égale à kg lorsque 6e,3 kg kg e,3,7 ce qui donne 59,7 jours. Donc, la quanié de fluor sera inférieure à kg après 6 jours. 8. a) L équaion différenielle es : dl αl dt En isolan les variables e en inégran, on obien : ln L αt + k L L e αt À, la ige mesure cm, on a donc : L e d où L e puisqu il s agi d une ige d aluminium, α,. On obien : L(T) e, T cm b) La longueur de cee ige à 5 es : L(5) e, 5, cm. c) L équaion différenielle es : dl αl dt e la différenielle es : dl αl dt La longueur de la ige d aluminium es L 3, m. La variaion de empéraure es T 5. dl 5, 3, m 5,76 m,76 3 m 3

4 3 hapire Équaions différenielles 9. a) Le au de variaion de sel par rappor au emps es égal au produi de la concenraion de sel par le débi d eau salée. Représenons par Q la quanié (en kg) de sel dans l eau e le emps en minues. Le au de variaion es alors : dq Q kg L, 5Q kg min 8 L min L équaion différenielle es donc : dq, 5 Q kg min En séparan les variables e en inégran, on a alors : ln Q,5 + k Q Q e,5 Puisque la quanié iniiale es de 8 L,5 kg/l kg, on a Q e la foncion cherchée es : Q() e,5 kg b) La quanié de sel dans le réservoir au bou de rene minues es : Q(3) e,5 3 94,5 kg Après rene minues, il rese 94,5 kg de sel dans le réservoir. c) La quanié sera le diième de la quanié iniiale lorsque : Q() e,5 kg e,5, ln,,5 9,min. Il faudra 9 minues avan que la quanié de sel dans le réservoir soi le diième de la quanié iniiale.. a) L équaion différenielle es : dp, 5P En séparan les variables e en inégran, on a alors : ln P,5 + k P e k e,5 e P P e,5 Puisque la populaion iniiale éai de 8 ruies, on a P 8 e la foncion cherchée es : P() 8 e,5 ruies b) La populaion aura diminué de moiié lorsque : P() 8 e,5 4 e,5,5 ln 5, 46,, 5 La populaion aura diminué de moiié au bou de 4,6 mois.. a) L équaion différenielle es :, 3V En séparan les variables e en inégran, on a alors ln V,3 + k V e k e,3 e V V e,3 Puisque la valeur iniiale éai de 3 $, on a V 3 e la foncion cherchée es V() 3 e,3 $ b) La valeur sera le quar de la valeur iniiale lorsque P() 3 e,3 7 5 e,3,5 ln 5, 46,, 3 La compagnie devrai envisager de changer ce équipemen après quare ans e demi d uilisaion.

5 hapire Équaions différenielles 3. a) L équaion différenielle es : dl αl dt En séparan les variables e en inégran, on a alors : ln L αt + k L e k e α e L L e α À, les pourelles mesuren 5 m, on a donc : 5 L e, d où L 5 e, puisqu il s agi de pourelles d acier, α,. On obien : L(T) 5e, T m b) La longueur des pourelles à es : L( ) 5e, ( ) 4,9989 m. c) La longueur des pourelles à 5 es : L(5) 5e, 5 5,4 m. 3. a) On connaî les concenraions à différens momens de la réacion. On peu vérifier si le logarihme de la concenraion es une foncion affine du emps en représenan les couples (; ln[a]) sur un papier à échelles linéaires. Temps oncenraion,,674,57,46,353,3,8,47 Logarihme naurel 4,65 5, 5,84 5,57 5,646 5,86 5,878 6,4 Logarihme de la concenraion,,,3,4, ,6 Temps (milliers de s) Le graphique n es pas une droie, on peu conclure que la réacion n es pas d ordre. Vérifions si l inverse des concenraions, soi /[A], es une foncion affine du emps en représenan les couples (; /[A]) sur un papier à échelles linéaires. Temps oncenraion,,674,57,46,353,3,8,47 Inverse, 48,4 97, 46,3 83,3 33, 357, 44,9 Inverse de la concenraion Temps (milliers de s) Le graphique es une droie, la réacion es donc d ordre.

6 3 hapire Équaions différenielles b) L équaion différenielle es d [ A ] a [ A]. En séparan les variables on obien : En inégran, on rouve : d[ A] a [ A] d[ A] a [ A] e a k. [ A ] D où l on ire : a ou a + [ A] [ A ] [ A ] [ A ]. où [A] es la concenraion iniiale. Puisque [A],, on a /[A] e : a + [ A] On peu calculer la valeur du paramère a en subsiuan un couple de valeurs dans cee équaion. En subsiuan (8;,674), par eemple, on a : d où a,65, on a alors, [ A] 8a +, 674 Le modèle es donc [ A], 65 + mol L. c) La concenraion après 3 s es [A] 3,34 mol/l., a) La caracérisique de la désinégraion des maières radioacives es un au de variaion relaif consan. On a donc: dq Q a, d où dq Q a, dq Q a e Q() Q e a Puisque la demi-vie es de 5 ans, on a donc Q(5) Q e 5a,5Q d où l on ire e 5a,5. En prenan le logarihme naurel, on obien 5a ln,5 e a (ln,5)/5,3 e Q() Q e,3 b) Q() Q e,3,5q e 5,75 ans. 5. a) Q() Q e k où k,54 b) Il a manifesemen la moiié de l uranium qui a éé désinégré puisque la eneur en uranium-38 es égale à la eneur en plomb-6 e on peu esimer à 4,5 milliards d années. EXERIES.4. a) L équaion différenielle es dt, 4( T ). dt dt du b) On a, 4 e en posan u T, on a du dt. D où ( T ), 4 ( T ) u. On obien alors ln u,4 + k. On a donc u T e,4. On rouve alors T T e,4 e : T + T e,4. Puisque T() 8, on a T 6. On rouve donc T() + 6e,4. c) La foncion cherchée es la dérivée en foncion de, ce qui donne : T '() 6e,4,4 64 e,4 /min ou T '(),4(T ) /min.. a) L équaion différenielle es : 4, ( V), d où 4,. En posan u V, on a du ( V)

7 hapire Équaions différenielles 33 e du 4,. u du En inégran, on obien : u, 4, d où ln u,4 + k. On a donc u V e,4. On rouve alors : V V e,4 e V V e,4. Puisque V() 5 L, on a V 5 e le modèle es : V() 5e,4 L. b) La foncion cherchée es la dérivée en foncion de, ce qui donne : V '() 6e,4 L/min 3. a) L équaion différenielle es : dp, 35( p 4 ). En posan u p 4 on a du dp e du u, 35. du En inégran, on obien : u, 35 d où ln u,35 + k. On a donc u p e,35. On rouve alors : p 4 + p e,35. Puisque P() 3 MPa, on a p 6 e le modèle es : p() 4 + 6e,35 MPa b) La foncion cherchée es la dérivée en foncion de, ce qui donne : p '() 9,e,35 MPa/min 4. a) L équaion différenielle es dn, ( 5 N)En inégran, on obien. N() 5 ( e, ) ruies. b) On cherche el que N() 5 ( e, ) 5, ce qui donne 6,93. On peu donc dire que le modèle indique que la moiié des ruies du lac seron affecées au bou de 7 mois. 5. a) L équaion différenielle es : d ω 46, ( ω). b) ω() 6( e,4 ) /min d) L accéléraion en foncion du emps es donnée par la dérivée de la foncion décrivan la viesse, soi c) dω α 4e, 4 min. 6 5 w () Asmpoe à 6 /min Viesse (/min) Temps (min) a) L équaion différenielle es : 36, ( V) e 3,. ( 6 V) b) Le volume pompé es V() 55( e,3 ) m 3 e le volume dans le réservoir es : V() 55( e,3 ) + 5 m 3 d) Le débi en foncion du emps es donné par la dérivée de la foncion décrivan le volume de liquide en foncion du emps, soi : D () 6, 5e, 3 m 3 min

8 34 hapire Équaions différenielles e) On cherche el que : ln( 455) V() 55( e,3 ) + 5 m 3 56 m 3, ce qui donne 874, min. On peu donc dire que la pompe, 3 foncionnera duran 8 minues e 44 secondes à chaque fois qu elle se mera en marche. c) V() Volume (m 3 ) 6 4 (8,74; 56) (; 5) Temps (min) 7. a) Le au de variaion es donnée en pourcenage de la populaion P, l équaion différenielle es donc : dp, 8P b) En séparan les variables e en inégran, on obien : dp, 8 P dp, 8 P ln P 8, + k P e, 8+ k eke, 8 Le modèle es P() P e,8. Puisque la populaion acuelle es de 5 êes, on a P() P e 5, d où P 5. On a donc : P() 5 e,8 cerfs. c) Le roupeau aura perdu 3 êes lorsqu il n aura plus que êes. On cherche donc el que : P() 5 e,8 ela donne : e,8,4,8 ln,4 ln 4, e :, 45, 8 La populaion aura chué de 3 cerfs dans environ ans. 8. Déerminons d abord les dérivées de e sin. On rouve : ' e (sin + cos ) e " e cos En subsiuan dans l équaion différenielle, on obien : " ' + e cos e (sin + cos ) + e sin Par conséquen, la foncion es bien une soluion de l équaion différenielle. 9. a) La caracérisique de la désinégraion des maières radioacives es un au de variaion relaif consan. On a donc: dq Q a, d où dq Q a, dq Q a e Q() Q e a Puisque la demi-vie es de 573 ans, on a Q(573) Q e 573a,5Q d où l on ire e 573a,5. En prenan le logarihme naurel, on obien 573a ln,5 e a (ln,5)/573, e Q() Q e, b) Q() Q e,,q d où l on ire e,,. en prenan le logarihme naurel, on obien,a ln, e (ln,)/(,), 466 ans. On peu daer à environ 46 ans.

9 hapire Équaions différenielles 35. a) Soi P la populaion de cerfs. L équaion différenielle es dp dp En séparan les variables, on a,. ( 5 P) 5, ( P). En inégran, on obien :, ( 5 P) dp, d où ln 5 P, + k e ln 5 P, k. Sous forme eponenielle, cee relaion s écri : 5 P e k e, 5 P ±e k e, b e,, où b ±e k. La populaion iniiale éan de 3 êes, on a 5 3 b e, d où b. En subsiuan : 5 P e, En isolan P, on rouve : P 5 + e, e P 5 e, Le modèle es donc : P() 3 + ( e, ) cerfs. b) On cherche el que P() 3 + ( e, ), ce qui donne ( e, ) 9. En divisan les deu membres de l équaion par e en simplifian, ( e, ) 3/4. ela donne : e, /4 e e, /4. En prenan le logarihme des deu membres, on obien : ln4, ln(/4) ln 4:, 55., Il faudra environ ans pour que la populaion aeigne êes. dp dp. a) L équaion différenielle es 4, e en séparan les variables, 4, d où : 5 4 P 5 4 P ln 5 4 P,4 + k e P() 5 4( e,4 ) b) P(5) 5 4( e,4 5 ) 78 plans.. a) L équaion différenielle es :, ( V ) ou, ( V) e,. ( V ) b) En inégran, on obien : ln V, + k d où : V e k e, e V V e,. Puisque le volume iniial es de 8 L, on a 8 V e d où V 7. Le volume es donc décri en foncion du emps par : V() + 7e, L c) 8 V() (; 8) Volume (L) (; 9,5) d) Le débi en foncion du emps es donné par la dérivée de la foncion décrivan le volume de liquide, soi :, D () 4e L min

10 36 hapire Équaions différenielles Débi (L/min) D() (; 4) Temps (min) e) V() + 7e, L 9,5 L. (;,89) f) 58, ( V) e 5,. 8 V g) En inégran, on obien ln 8 V,5 + k d où 8 V e k e,5 e 8 V V e,5. Puisque le volume iniial es de 9,5 L, on a 8 9,5 V e d où V 6,5. Le volume es donc décri en foncion du emps par : V() 8 6,5e,5 L h) Volume (L) V() (; 9,5) Temps (min) (; 75) i) Le débi en foncion du emps es donné par la dérivée de la foncion décrivan le volume de liquide, soi Débi (L/min) D() (; 5,5) (;,4) Temps (min) j) V() 8 6,5e,5 L 75L. D () 5, 5e, 5 L min 3. a) L équaion différenielle es : 44, ( V) e 4,. 4 V b) Le volume pompé es : V() 35( e,4 ) L e le volume dans le réservoir es : V() 35( e,4 ) + 5 L d) Le débi en foncion du emps es donné par la dérivée de la foncion décrivan le volume de liquide, soi, D () 4e 4 Lmin e) On cherche el que : V() 35( e,4 ln( 35) ) + 5 L 38 L, ce qui donne 76, min. On peu donc dire que la pompe, 4 foncionnera duran 7 minues e 9 secondes à chaque fois qu elle se mera en marche.

11 hapire Équaions différenielles 37 V() c) 4 Volume (L) (7,6; 38) (; 5) Temps (min) 4. Déerminons d abord les dérivées de e sin. On rouve : ' e sin cos e " e sin (cos sin ) En subsiuan dans l équaion différenielle, on obien : " (cos sin ) e sin (cos sin ) Par conséquen, la foncion es bien une soluion de l équaion différenielle. 5. Déerminons d abord les dérivées de an. On rouve : ' sec e " sec an En subsiuan dans l équaion différenielle, on obien : " ' sec an Par conséquen, la foncion es bien une soluion de l équaion différenielle. 6. a) En dérivan la foncion décrivan la charge, on rouve i dq e () 8, 5 s On a donc i (),8 e 5 A. La valeur sable du couran es lim i ( ) lim, 8e 5 A. La représenaion graphique du couran es donnée ci-conre. e graphique perme de consaer que le couran diminue au fur e à mesure que le condensaeur se charge. Lorsque v E, le couran es nul. b) La ension au bornes de la résisance peu êre obenue par la loi d OHM, ce qui donne : v R () R i() 5,8 e 5 Ω. A e 5 V La valeur sable de la ension au bornes de la résisance es lim v ( ) lim e 5 V R La représenaion graphique de la ension au bornes de la résisance es donnée ci-conre. c) La ension au bornes du condensaeur peu êre obenue par la loi des ensions de KIRHHOFF, ce qui donne : v () + v R () d où : v () v R () ( e 5 ) vols. La valeur sable de la ension au bornes du condensaeur es : lim v ( ) lim ( e 5 ) V La représenaion graphique de la ension au bornes du condensaeur es donnée ci-conre. d) La dérivée de la foncion décrivan la ension au bornes du condensaeur es dv d où dv e 5 Vs, 8 6 e 5, 8e 5 i () Les foncions saisfon donc à la relaion i dv. ouran (A) Tension au bornes de la résisance (V) Tension au bornes du condensaeur (V),8 i(),4 Asmpoe à A /5 /5 3/5 4/5 5/5 Temps (s) v R () v L () Asmpoe à V /5 /5 3/5 4/5 5/5 Temps (s) Asmpoe à V /5 /5 3/5 4/5 5/5 Temps (s)

12 38 hapire Équaions différenielles e) La foncion décrivan la charge es : q(),6( e 5 ) coulombs e le produi v () donne : v () 8 6 ( e 5 ),6( e 5 ) coulombs Les foncions saisfon donc à la relaion q v. 7. a) Lorsque l inerrupeur es en posiion 3, la maille formée ne conien plus de source de ension e par la loi des ensions de Kirchhoff, on a : v R + v par ailleurs : v q q v Ri 5i R 8 6 e q ce qui donne, en subsiuan : 5i e, puisque : on a : 5 En séparan les variables, on a alors : e : dq i dq q dq q 5 8 dq 5 q dq q 5 ce qui donne : ln q 5 + k e : q e 5 + k q ± e k e 5 b e 5 La foncion décrivan la charge es alors q() b e 5. Puisque le condensaeur éai iniialemen chargé, cee charge es donnée par : q v () 8 6,6 coulombs on a donc : q() b e,6 d où b,6. La soluion pariculière es donc : q(),6e 5 coulombs 6 b) La valeur sable es la limie lorsque end vers l infini, ce qui donne : lim q ( ) lim 6, e 5 c) La représenaion graphique de la charge en foncion du emps es donnée ciconre. 8. a) En plaçan l inerrupeur en posiion, il n a plus de source dans la maille e la loi des ensions de Kirchhoff nous perme d écrire que : v R + v L Or : v Ri i v L di di R e L 4 En subsiuan, on obien l équaion différenielle à variables séparables : En séparan les variables, on obien : di i + 4 V harge () q(),6,8 Asmpoe à /5 /5 3/5 4/5 5/5 Temps (s)

13 hapire Équaions différenielles 39 di 4 i di 5 i di On a donc : i 5 e : ln i 5 + k d où l on ire : i e 5 + k e k e 5 i ±e k e 5 b e 5 Puisque le couran es consan avan le déplacemen de l inerrupeur, il es donné par i E/R 3 A, on a donc i() b e 5 3 d où l on ire b 3. La foncion décrivan le couran es : i() 3e 5 ampères b) La valeur sable du couran es : lim i ( ) lim 3e 5 A c) La représenaion graphique du couran es donnée ci-conre. ouran (A) i() 3,,5 Asmpoe à A /5 /5 3/5 4/5 5/5 Temps (s) EXERIES SYNTHÈSE. 5,, d où,5 e en inégran, on a,5 + k.., d où e, en inégran, on a ln,5 + k e b e, , d où e, en inégran, on a ln + k e b e., d où e, en inégran, on a ( + k). 5., d où e, en inégran, on a (ln + k). 6. a, où a es une consane, d où a e, en inégran, on a ln a + k e e k e a, d où b e a. 7. a, où a es une consane, d où a e, en inégran, on a a + k ou. a + k 8., d où e, en inégran, on a 3 + k + k a). En séparan les variables, on obien :. En inégran les deu membres, on obien :, d où + k.

14 4 hapire Équaions différenielles b) c) d). a) + 3. En séparan les variables, on obien : En inégran les deu membres, on obien : 3. En séparan les variables, on obien : En inégran les deu membres, on obien : 3. 3, d où 3 + k e b e e. En séparan les variables, on obien : ( + e ). 3, d où 3 + k e b e 3. En inégran les deu membres, on obien : e ( + ), d où + e + k. e). En séparan les variables, on obien :. En inégran les deu membres, on obien :, d où ln + k. f) 4. En séparan les variables, on obien : 4. En inégran les deu membres, on obien : 4 4 4, d où + k. g) 5. En séparan les variables, on obien : 5. En inégran les deu membres, on obien : 5 5 5, d où + k. h) 3 5. En séparan les variables, on obien : 5 3. b) En inégran les deu membres, on obien : En isolan, on obien alors : b e 5/ , d où ln 5 k k En séparan les variables, on obien : 4. En inégran les deu membres, on obien : 4, d où + k. En posan e, on obien : + k, d où k. La soluion pariculière es donc :.. En séparan les variables, on obien : En inégran les deu membres, on obien :., d où ln + k e b e. 3 En posan e 3, on obien : 3 b e, d où b 3/e. La soluion pariculière es donc : e e 3 e c) 4. En séparan les variables, on obien : 4. En inégran les deu membres, on obien : 4, d où 4 ln + k..

15 hapire Équaions différenielles 4 En posan e, on obien : 4 ln + k, d où k. La soluion pariculière es donc : 4 ln +. d) 8. En séparan les variables, on obien : 8. 8 En inégran les deu membres, on obien : 8 8, d où + k. 8 8 En posan e 4, on obien : 4 + k, d où k 8. La soluion pariculière es donc : + 8. e) 4. En séparan les variables, on obien :. 4 En inégran les deu membres, on obien :, d où + k e + k 4 6 En posan e 5, on obien : 5 +k, d où k 6 f) 4. En séparan les variables, on obien : La soluion pariculière es donc : En inégran les deu membres, on obien :, d où k e + k En posan e 4, on obien : 6 k. La soluion pariculière es donc : a) En séparan les variables de l équaion e cos, on obien : e cos En appliquan l opéraeur d inégraion, on obien : e sin + k Au poin (; π/), on obien : e sin(π/) + k Puisque e e sin(π/), on a k. ela donne : sin e arcsin(e ) Pour faire la vérificaion, on peu eprimer l équaion différenielle sous la forme : e cos Puisque arcsin(e ), sa dérivée es e e. Puisque sin e, on a cos sin e, d où : e e e cos La foncion arcsin(e ) es donc bien une soluion de l équaion différenielle e cos. b) En séparan les variables de l équaion ( + ) an, on obien : an + En appliquan l opéraeur d inégraion, on obien : Au poin (; ), on obien : ln + ln sec + k ln + ln sec + k

16 4 hapire Équaions différenielles Puisque ln e ln sec() ln, on a k. ela donne : ln + ln sec En epriman sous forme eponenielle, on obien : + sec e + sec En isolan, on rouve : sec an Puisque an varie de à, cela donne an. Pour faire la vérificaion, on peu eprimer l équaion différenielle sous la forme : ( + )an Si an, sa dérivée doi êre sec. Par subsiuion, on obien : ((an ) + ) an an + sec an La foncion an es donc bien une soluion de l équaion différenielle ( + ) an.