Concours National Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs ou Assimilées

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1 ROYAUME DU MAROC Minisère de l Éducaion Naionale, de l Enseignemen Supérieur, de la Formaion des Cadres e de la Recherche Scienifique Présidence du Concours Naional Commun 26 École Mohammadia d Ingénieurs EMI Concours Naional Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs ou Assimilées Session 26 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Durée 4 heures Filière PSI Cee épreuve compore 4 pages au forma A4, en plus de cee page de garde L usage de la calcularice es inerdi

2 L énoncé de cee épreuve, pariculière aux candidas du concours PSI, compore 4 pages. L usage de la calcularice es inerdi. Les candidas son informés que la précision des raisonnemens ainsi que le soin apporé à la rédacion seron des élémens pris en compe dans la noaion. Les candidas pourron admere e uiliser le résula d une quesion non résolue s ils l indiquen clairemen sur la copie. Il convien en pariculier de rappeler avec précision les références des quesions abordées. Si, au cours de l épreuve, un candida repère ce qui peu lui sembler êre une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie e poursui sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu il es amené à prendre. EXERCICE 1. Soi h : R 2 R une foncion de classe C 1 sur R 2 ; monrer que h = si e seulemen v s il exise une foncion h 1 de classe C 1 sur R elle que, pour ou couple (u, v) de R 2, h(u, v) = h 1 (u). 2. Soi Φ : (u, v) (ue v, e v ) une foncion définie sur R 2. (a) Monrer que Φ es une foncion de classe C 1 sur R 2, e qu elle réalise une bijecion de R 2 sur Ω = R ], + [. (b) Pour ou (x, y) Ω, exprimer Φ 1 (x, y) e jusifier que Φ 1 es de classe C 1 sur Ω. 3. Soi f : Ω R une foncion de classe C 1 sur Ω elle que x f f (x, y) y (x, y) =. On pose f = f Φ. (a) Jusifier que la foncion f es de classe C 1 sur R 2 e calculer les dérivées parielles premières f f e u v de f. (b) En déduire la forme de la foncion f puis donner celle de f. 4. Soi f : Ω R une foncion de classe C 1 sur Ω elle que x f f (x, y) y (x, y) = ax + by, où a e b son des réels. (a) Trouver une foncion g, linéaire de R 2 dans R, vérifian (x, y) R 2, x g g (x, y) y (x, y) = ax + by, (b) En déduire qu il exise une foncion F de classe C 1 sur R elle que f(x, y) = F (xy) + ax by. Épreuve de Mahémaiques I 1 / 4 Tournez la page S.V.P.

3 PROBLÈME Définiions e noaions Dans ce problème, E désigne le R -espace vecoriel des applicaions coninues de R + dans R, e E 2 le sous ensemble de E formé des applicaions de carrés inégrables sur R +. À oue foncion f E on associe la foncion, noée ψ(f), définie sur R + par ψ(f)() = f() e x >, ψ(f)(x) = 1 x f() d. Si Φ es un endomorphisme de E, on di que λ R es une valeur propre de Φ s il exise f E el que Φ(f) = λf e f ; dans ce cas, on di que f es un veceur propre de Φ associé à λ e Ker (Φ λid E ) s appelle alors le sous-espace propre de Φ associé à la valeur propre λ. 1. Soien a e b deux réels sricemen posiifs. Première parie 1-1. Monrer que la foncion e a e b es inégrable sur ], + [. + e a e b Dans la suie, on pose I(a, b) = d Monrer que I(a, b) = I(b, a) e que I(a, b) = I(1, b/a). + e e x 1-3. On noe ϕ l applicaion définie, pour ou x 1, par ϕ(x) = d Monrer que ϕ es coninue sur l inervalle [1, + [ Monrer que ϕ es de classe C 1 sur l inervalle [1, + [ e calculer ϕ (x) pour x Que vau alors ϕ(x) pour x 1? 1-4. En déduire soigneusemen la valeur de l inégrale I(a, b) en foncion de a e b Monrer que la foncion ln(1 + ) es inégrable sur l inervalle ], 1] Préciser le rayon de convergence e la somme de la série enière ( 1) n n + 1. n 2-3. Monrer que cee série enière converge uniformémen sur le segmen [, 1] On rappelle que + n=1 1 n 2 = π2 ; monrer alors que 6 1 ln(1 + ) d = π2 12. xn Deuxième parie 1. Soi f un élémen de E ; on noe g la foncion définie sur R + par x, g(x) = f() d Jusifier que g es de classe C 1 sur R + e que la foncion ψ(f) es un élémen de E. Épreuve de Mahémaiques I 2 / 4

4 1-2. Monrer que si f es posiive alors, ψ( f) ψ(f) ; dans quel cas y a -il égalié? Monrer que ψ es un endomorphisme de l espace vecoriel E Monrer que ψ es injecif L endomorphisme ψ es-il surjecif? 3. Soi λ un réel non nul Déerminer les applicaions f de ], + [ dans R dérivables e vérifian x >, λxf (x) + (λ 1)f(x) = Pour quelles valeurs du réel λ ces applicaions son-elles prolongeables à droie en? Es-ce que es valeur propre de ψ? 4-2. Monrer que si f E es un veceur propre de ψ associé à une valeur propre µ alors f es une foncion dérivable sur ], + [ Déerminer l ensemble des valeurs propres de ψ e préciser pour chacune d elles le sousespace propre associé. Troisième parie Monrer que si f e g son deux élémens de E 2, leur produi fg es une foncion inégrable sur R Monrer alors que E 2 es un sous-espace vecoriel de E Monrer que l applicaion (f, g) + f()g() d es un produi scalaire sur E 2. Dans la suie, ce produi scalaire se noera (..) e. désignera la norme associée. 2. Soi f un élémen de E 2 ; on noe oujours g la foncion définie sur R + par x, g(x) = f() d Calculer la limie en + de la foncion g2 () Monrer que, pour ou réel b >, la foncion g2 () 2 es inégrable sur ], b] e que ψ(f) 2 () d = ( on pourra faire une inégraion par parie) 2-3. En déduire que, pour ou réel b >, g 2 () 2 d = bψ(f) 2 (b) + 2 ( ) 1 ( ψ(f) 2 () d 2 f 2 2 b ) 1 () d ψ(f) 2 2 () d Conclure que ψ(f) E 2 e que ψ(f) 2 f. f()ψ(f)() d. (1) 2-5. On noe ψ 2 l endomorphisme indui par ψ sur E 2. Que peu-on alors dire de ψ 2 en an qu endomorphisme de l espace vecoriel normé (E 2,. )? 3. Soi f un élémen de E 2. Épreuve de Mahémaiques I 3 / 4 Tournez la page S.V.P.

5 3-1. En uilisan la formule (1) monrer que la foncion x xψ(f) 2 (x) end vers lorsque x end vers Monrer alors que (ψ(f) ψ(f)) = 2(f ψ(f)). 4. Soi f E 2 une foncion elle que ψ(f) = 2 f. Calculer ψ(f) 2f 2 e monrer que f es la foncion nulle. 5. On considère un réel a > e on noe f a la foncion définie sur R + par f a (x) = e ax, x Monrer que la foncion f a E 2 e calculer f a Calculer ψ(f a )(x) pour ou x puis donner les valeurs de (f a ψ(f a )) e de ψ(f a ). 6. On considère la foncion f définie sur R + par f(x) = 1, x. x Calculer ψ(f)(x) pour ou x. 6-2 Vérifier que f E 2 e monrer que (f ψ(f)) = 6-3 Trouver une primiive de la foncion 1 ln(1 + ) ( ln(1 + ) ln ) d ln puis calculer ψ(f). 1 + FIN DE L ÉPREUVE Épreuve de Mahémaiques I 4 / 4 FIN