Les calculatrices sont autorisées

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1 Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte quatre parties indépendantes. Les parties 1 et portent sur la mécanique (de la page à la page 7). Les parties 3 et 4 portent sur la thermodnamique (de la page 8 à la page 13). 1/13

2 MECANIQUE La première partie peut être vue comme l étude du mouvement d un sstème matériel composé de 3 parties, relativement à un repère fie. La seconde partie concerne le mouvement d un point matériel dans un fluide, le mouvement pouvant être étudié depuis un repère fie ou depuis un repère mobile. Noter que les deu parties sont indépendantes. PARTIE 1 Une moto et son conducteur On va étudier quelques mouvements d une motocclette (moto) et de son conducteur. On suppose l eistence d un référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct Oz et on note r r r e, e, ez les vecteurs unitaires des aes ; la direction O est supposée horizontale. L accélération r r due à la pesanteur est notée g = ge (pour simplifier les calculs, on pourra prendre g = 10 m.s ). L ensemble moto + conducteur est de masse M = 300kg, la position du barcentre de cet ensemble est caractérisée par les distances d 1 = 0, 7 m, d = 0, 4 m et h = 1m (voir figure 1). La roue avant, pneu inclus, de centre O 1, possède un raon r 1 = 0,5m et un moment d inertie, relativement à un ae ( O1, e r z ), J 1 = 6 kg.m. La roue arrière, pneu inclus, de centre O, possède un raon r = 0,5 m et un moment d inertie, relativement à un ae ( O e r, z ), J = 10 kg.m. Lorsque la moto se déplace, les deu roues en contact avec la chaussée supposée horizontale, les points de contact des roues avant et arrière sont r r r notés I 1 et I. Les réactions du sol sur les roues sont respectivement R 1 = T1e + N1e et r r r R = Te + N e. Le coefficient de frottement des roues sur le sol est f = 0, 8 ; il ne sera pas fait de distinction entre le coefficient de frottement statique et le coefficient de frottement dnamique. A r r un instant donné quelconque, la vitesse instantanée de l ensemble est v = v. e (on se limitera au cas ν > 0). De même, on note ω er 1 z et ω er z, les vitesses de rotation instantanées des roues avant et arrière. On supposera toujours que les roues roulent sans glisser sur le sol. De plus, pour les questions allant de 1.1 à 1.14, on négligera l action de l air ambiant sur la moto et son conducteur (il peut s agir, par eemple, d une phase de démarrage pour laquelle la vitesse n est pas élevée). g r Roue arrière Roue avant G O h O 1 e r O e r I d d1 I 1 Figure 1 : vue dans le plan vertical O /13

3 1.1 Ecrire les relations de non glissement des roues sur le sol ; en déduire les epressions de ω 1 et ω en fonction de v, r1, r. 1. On note ( ) 1 O 1 σr et σr ( O ), les moments cinétiques en 1 s agit de moments pour un observateur du repère Oz ). Donner les epressions de ( O 1 1 ) ( ) O σr en fonction de J1, ω1, J, ω. 1.3 Montrer que le moment cinétique ( G) O et O des roues avant et arrière (il σr et r σ de l ensemble moto + conducteur relativement au point G, moment pour un observateur du repère Oz, se limite à la somme des moments précédents (on pourra utiliser le théorème de Koenig faisant référence au repère barcentrique). 1.4 En utilisant le théorème de la résultante dnamique, donner deu epressions et liant N, N, T, T, M, g, v& (accélération instantanée) En utilisant le théorème du moment cinétique, donner une epression liant N1, N, T1, T et h, d1, d, J1, r1, J, r, v&. 1.6 En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue avant, établir une relation entre T1, J1, r1, v& (il est à noter que l articulation de cette roue sur le reste de la moto est supposée parfaite et que cette roue n est soumise à aucun couple). 1.7 A partir des relations obtenues, écrire N1, N, T1, T en fonction de v&. v& 1.8 Pour une accélération telle que 0,1 g =, montrer que les roues ne décollent pas du sol. 1.9 De même, montrer qu il n a pas glissement sur le sol, pour cette accélération Le moteur eerce un couple sur la roue arrière noté Γ.e r z ( Γ < 0 puisqu il s agit du couple moteur ; il n a pas de couple eercé sur la roue arrière). Par application du moment cinétique à la roue arrière, epliciter la relation liant le couple et l accélération On suppose le couple constant, ce qui correspond à une accélération constante. Eprimer la puissance instantanée P transmise par le moteur à la roue arrière motrice. Pour les questions 1.1 à 1.14, on suppose que le pilote parvient à soulever du sol la roue avant de son véhicule et on notera θ l angle d inclinaison de O O 1 par rapport à l horizontale (voir figures et 3, page 4). 3/13

4 Roue avant Roue arrière G O 1 h H Sol O I 1 I d d 1 Figure : moto inclinée de θ par rapport à l horizontale O C I θ Figure 3 : détail du point de contact 1.1 En supposant négligeable la vitesse de rotation de la roue avant, eprimer le moment cinétique en G de l ensemble (il s agit du moment cinétique pour un observateur du repère Oz ) Déterminer le moment en G des forces s appliquant à l ensemble moto + conducteur D après les deu questions précédentes, donner une équation permettant le calcul de l angle θ. v& Donner la valeur numérique de cet angle, pour 0, g = en utilisant le graphe de la figure v& Moment / G pour 0, g = eprimé en N.m θ en degrés -100 Figure 4 : moment / G des forces appliquées à l ensemble moto + conducteur en fonction de θ 4/13

5 1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deu roues, le moteur eerçant un couple constant sur la seule roue arrière, couple noté Γ.e r z ( Γ < 0 ) A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deu roues, le suppose que Comme on s intéresse à une phase où la vitesse v peut être plus grande que celles des moteur la moto eerçant roule de un nouveau couple sur constant ses deu roues, questions précédentes, il est maintenant nécessaire d introduire une force supplémentaire de onstant sur la seule roue arrière, couple noté.e r sur la seule roue arrière, couple noté Γ.e r z ( Γ < 0 ). Comme on s intéresse à une phase Γ où z ( la Γ < vitesse 0 ). v peut être plus grande rque celles r des phase où la freinage, due à l environnement de l ensemble. Cette force s écrira F = kv e et l on questions vitesse v précédentes, peut être plus il est grande maintenant que celles nécessaire des d introduire une force supplémentaire de supposera, pour simplifier, que sa ligne d action horizontale passe par le r aintenant nécessaire d introduire une force supplémentaire de point G. r freinage, due à l environnement Etablir l équation différentielle pour v (reprendre les équations à et tenir compte de la force F r r de l ensemble. r Cette force s écrira F = kv e et l on ent la moto de l ensemble. roule supposera, de nouveau Cette pour force sur simplifier, ses s écrira deu roues, F = le kv e et l on ), équation. la sa seule ligne d action roue arrière, horizontale couple passe noté par.e le r que sa ligne d action horizontale passe par le point G. Etablir l équation différentielle Γ point G. z ( Γ < pour 0 ). v (reprendre les équations à et tenir compte de la e pour v (reprendre 1.15 A partir vitesse v 1.16 peut force Montrer être Fles r équations de cette question, à et on tenir suppose compte que de la la moto roule de nouveau sur ses deu roues, le ), plus qu il grande eiste,. que pour celles la vitesse des moteur eerçant un couple constant v, sur une la valeur seule roue limite arrière, v l dont couple on donnera noté l epression Γ.e r en cessaire d introduire une force supplémentaire de z ( Γ < 0 ). fonction du couple r et des autres paramètres. emble Cette Montrer Comme force s écrira qu il on eiste, s intéresse r F = pour à kv ela une vitesse phase et l on v, une où la valeur vitesse limite v peut v l dont être on plus donnera grande l epression que celles en des itesse v, une valeur questions limite précédentes, v l dont on il donnera est maintenant l epression nécessaire en d introduire une force supplémentaire de ction horizontale fonction 1.17 passe du Montrer par couple que point et l équation G. des autres paramètres. r peut s écrire sous la forme v& + av. = av. l. On r s paramètres. freinage, due à l environnement de l ensemble. Cette force s écrira F = kv e précisera et l on rendre les équations à et tenir compte de la 1.17 Montrer supposera, l epression que pour l équation de simplifier, la constante que peut a sa en ligne s écrire fonction d action de sous kmj, horizontale la, forme 1, J, rr 1passe,. v& + av. par = le av. point l. On G. précisera peut s écrire sous Etablir la l équation forme v& différentielle + av. = av. l. pour On v précisera (reprendre les équations à et tenir compte de la l epression de la constante a en fonction de kmj,, 1, J, rr 1,. n valeur fonction limite de 1.18 kmj v force, En, supposant que la vitesse est nulle à l instant t = 0, établir la solution de l équation l dont F r 1, on J),, équation donnera rr 1,.. l epression en v En l précédente. supposant que Pour la cela, vitesse on pourra est nulle introduire à l instant le changement t = 0, établir de fonction la solution suivant de : ul équation 1.16 Montrer qu il eiste, pour la vitesse v, une valeur limite v =. est nulle à l instant t = 0, établir la solution de l équation l dont on donnera l epression vl ven vl précédente. fonction du e sous la forme v& Pour couple cela, et on des pourra autres introduire paramètres. v le changement de fonction suivant : u =. + av. = av. l ra introduire le changement de fonction l. On précisera suivant : u =. vl v e kmj,, vl v 1, J, rr 1, Montrer que l équation peut s écrire sous la forme v& + av. = av. l. On précisera PARTIE l epression Point de la matériel constante dans a en un fonction fluide de kmj,, 1, J, rr 1,. l instant t = 0, établir la solution de l équation PARTIE Il s agit de Point l étude matériel du mouvement dans vun d un fluide l point matériel se déplaçant dans un fluide. n le fluide changement 1.18 de En fonction supposant suivant que : la u = vitesse. est nulle à l instant t = 0, établir la solution de l équation Soit R un premier référentiel v galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct d aes OX, l v Il s agit de l étude du mouvement d un point matériel se déplaçant rdans r un r fluide. vl un point Soit matériel OY, R précédente. OZ. un se premier déplaçant Les vecteurs Pour référentiel dans cela, unitaires un on fluide. galiléen pourra associés auquel introduire à ces est aes le associé changement sont un notés repère Ede, fonction E orthonormé, Ez. Ce suivant repère direct : ulié d aes = à la Terre OX,. est en auquel est considéré associé comme fie. L ae OZ est vertical ascendant, l accélération r r r vl v OY, OZ. due à la pesanteur sera notée r Les r vecteurs un repère orthonormé direct d aes OX, r runitaires r associés à ces sont notés E, E, Ez. Ce repère lié à la Terre est iés à ces aes g = sont genotés z. considéré comme Efie., E L ae, Ez. Ce OZ repère est vertical lié à la ascendant, Terre est l accélération due à la pesanteur sera notée vertical rascendant, Soit rr l accélération un second référentiel due à la auquel pesanteur est sera associé notée un repère orthonormé direct d aes O, O, Oz. g = ge r r r ériel se déplaçant Les vecteurs z. PARTIE dans un Point unitaires fluide. matériel associés dans à ces un fluide aes sont notés e, e, ez. Ce second repère mobile effectue un Soit R un second référentiel auquel est associé un repère orthonormé direct d aes O, O, Oz. el t associé est associé un mouvement repère de rotation uniforme relativement à R. Les aes Oz et OZ coïncident et l on posera un repère orthonormé orthonormé direct direct d aes d aes OX, r r r Les vecteurs r r O, O, Oz. runitaires r associés à ces sont notés e, e, ez. Ce second repère mobile effectue un Il s agit de l étude du mouvement d un point matériel se déplaçant dans un fluide. s aes sont sont notés mouvement notés ( E X,, Ee ), ee de = z,. e ωrotation. zce t. Ce où repère second ω, uniforme la lié vitesse repère à la Terre relativement de mobile rotation, est effectue est à R supposée. un Les aes constante Oz et OZ (voir coïncident figures 5a et et l on b, page posera 6). Un lativement ndant, l accélération r Soit R un premier référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct d aes OX, récipient à rr. Les lié due aes à à R Oz la, pesanteur figuré et OZ coïncident pointillés, sera notée et renferme l on posera r r r ( EOY, un volume fluide supposé au repos relativement à X, eoz. ) = Les ω. t vecteurs où ω, la unitaires vitesse associés rotation, à ces est supposée aes sont constante notés E (voir figures 5a et b, page 6). Un, E, Ez. Ce repère lié à Terre est tation, est supposée R, la masse constante volumique (voir figures du fluide 5a étant et b, notée page 6). ρ. Un récipient considéré lié comme à R, figuré fie. L ae en pointillés, OZ est vertical renferme ascendant, un volume l accélération fluide supposé due au à la repos pesanteur relativement sera notée à é Une particule pesante, de masse m et de masse volumique ρ s se déplace au sein du fluide sous és, un renferme repère r orthonormé r un volume fluide direct supposé d aes O, au O, repos l action de son poids, d une force F r Oz. r rr g, = la masse ge relativement à ant tés notée e, e, ρ. ez. Ce second z. volumique du fluide étant notée ρ. repère mobile effectue un (et par la suite d une force supplémentaire). On suppose que la Une Soit particule R force F r un second pesante, référentiel de masse auquel m et de masse volumique ρ s se déplace au sein du fluide sous et R. de Les masse aes volumique Oz et ρ ρ s écrit OZ coïncident ρ s sous se déplace forme et l on au sein posera = kdu. Opfluide +. mge sous.. z avec l action de son poids, d une force F r est associé un repère orthonormé direct d aes O, O, Oz. r r r Les vecteurs unitaires associés à ces (et aes par sont la suite notés d une e force supplémentaire). k =. m. ω, une On constante suppose positive que la et pposée (et par la constante suite d une (voir force figures supplémentaire). 5a et b, page 6). On Un suppose ρsque la ρs force ρ p désignant F r, e, ez. Ce second repère mobile effectue un r mouvement ρ r ρ s écrit de la sous rotation projection la ρ forme uniforme du Fpoint = relativement k. P Opsur + le plan. mge. à. R horizontal z,. avec Les kaes (cette = Oz. m et force. ωoz, est une coïncident la constante et résultante positive l on posera r des forces et de kun. Opvolume +. mge fluide r.. z, supposé avec k = au repos. m. ω relativement, une constante à ρpositive s et ρ ( E s X, e) = ω. t où ω, la vitesse de rotation, est supposée constante ρ ρ(voir figures 5a et b, page 6). Un p sdésignant pression la s eerçant projection ρs sur du la point particule). P sur le Par plan la horizontal suite, seul (cette le cas force est > 1la sera résultante considéré. des forces On repère de la sur volumique le plan récipient horizontal lié ρ (cette à R, force figuré est en la pointillés, résultante renferme des forces un de volume fluide ρ s supposé au repos relativement à s se déplace au sein du fluide sous ρ pression R ite position, la masse s eerçant de P volumique par sur ρses la coordonnées particule). du fluide étant Par X, Y, notée la Z suite, (relativement ρ. seul le cas à R ) ou >, 1, sera z (relativement considéré. On à R repère ). la. Par d une la suite, force seul supplémentaire). cas > 1On sera suppose considéré. que la On repère la ρ s ρ. ge. r Une particule pesante, de masse m et de masse volumique ρ s se déplace au sein du fluide sous ρ s Y, Z z, avec position k = de. m P. par ω, ses une coordonnées constante positive X, Y, Z et (relativement à R ) ou,, z (relativement à R ). l action de son poids, d une force F r (et par la suite d une force supplémentaire). On suppose que la (relativement ρ à R ) ou,, z (relativement à R ). s orizontal (cette force force F r r ρ r ρ s écrit est la sous résultante la forme des Fforces = k. Op de +. mge.. z, avec k =. m. ω, une constante positive et ρs ρs ρ, seul le cas > 1 sera considéré. On repère la 5/13 p désignant la projection du point P sur le plan horizontal (cette force est la résultante des forces de ρ s 5/13 ρ ement à R pression ) 5/13 ou,, s eerçant z (relativement sur la à particule). R ). Par la suite, seul le cas > 1 sera considéré. On repère la ρ s

6 Z g r O P h Y O p Y h p X ω.t X Figure 5a : vue dans l'espace Figure 5b : vue dans le plan horizontal.1 Etablir les trois équations différentielles du mouvement de P pour un observateur de R, c està-dire pour les variables X, Y et Z, fonctions du temps (équations I, II et III). Donner la solution générale des équations différentielles I et II et préciser la nature de la trajectoire du point p, trajectoire vue de R.. Etude de quelques cas particuliers..1 Dans le cas des conditions initiales suivantes : k X(0) = X0, X& (0) = 0, Y(0) = 0, Y& (0) = X0, préciser la nature de la trajectoire du point p m (trajectoire dans R ) ainsi que la vitesse angulaire de parcours sur cette courbe. Indiquer la nature de cette même trajectoire vue de R ainsi que la vitesse angulaire de parcours... Pour les conditions initiales suivantes : X(0) = X0, X& (0) = U0, Y(0) = 0, Y& (0) = 0, établir les solutions de I et II ; préciser la nature de la trajectoire vue de R..3 A partir de maintenant, on va tenir compte d une force supplémentaire F r v, trouvant son r r origine dans la viscosité du fluide. Cette force s écrit Fv = μ. vr où μ désigne une constante positive, v r r étant la vitesse de P par rapport à R. On va maintenant déterminer les équations différentielles du mouvement pour un observateur de R, c est-à-dire pour les variables, r r r r r r et z, fonctions du temps. Eprimer, suivant e, e, ez, les vecteurs ar, ac, ae, respectivement accélération relative, de Coriolis et d entraînement du point P. 6/13

7 .4 En utilisant les résultats de la question.3, établir les équations différentielles du mouvement pour et (équations IV et V)..5 Des solutions approchées de ces équations IV et V peuvent être obtenues en supposant l accélération de Coriolis négligeable devant l accélération d entraînement. Etablir les epressions de et en fonction du temps. Pour simplifier l écriture, on pourra poser Ω = k m ω μ et = λ, cette dernière quantité étant supposée inférieure à Ω. m.6 Pour t +, quelle est la position de p? 7/13

8 THERMODYNAMIQUE Bilan thermique d une maison climatisée Ce problème se compose de deu parties. La première partie, indépendante de la seconde, porte sur une étude du double vitrage. Dans cette première partie, beaucoup de questions ne dépendent pas des précédentes. Nous analsons l intérêt d utiliser vitres ainsi que les solutions technologiques actuellement emploées pour réduire les pertes thermiques. La seconde partie aborde le fonctionnement du climatiseur d un point de vue très général puis le bilan thermique d une maison climatisée en présence d air sec. Données du problème : 8 4 Constante de Stefan : σ = 5, W.m.K. Constante des gaz parfaits : 1 1 R = 8,315 J.mol.K. PARTIE 3 Comparaison des fenêtres à double vitrage On suppose qu un corps noir au fond d une cavité est éclairé par le soleil. L ensemble du problème sera unidimensionnel. Le corps noir ne raonne que d un côté. Une fenêtre est interposée entre le soleil et le corps noir comme représenté sur la figure 6. Fenêtre Corps noir Isolant thermique sans rôle Figure 6 : corps noir recouvert d une vitre éclairé par un raonnement solaire Dans cette partie, le corps noir sera supposé parfait, absorbant l intégralité du raonnement incident et réémettant tout le raonnement absorbé. Toutes les vitres sont en verre que l on suppose parfaitement transparent au raonnement solaire et se comportant comme un corps noir dans l infrarouge lointain. Dans cette partie du problème, on supposera que le flu surfacique solaire incident ϕ s, normal au corps noir, est égal à 1000 W.m. 3.1 Questions préliminaires Donner la loi du déplacement de Wien reliant la température du corps noir T CN et la longueur d onde λ m du maimum d émission du corps noir en μm. 8/13

9 3.1. Indiquer dans quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300 K et à 5800 K 3.1. (température Indiquer du dans soleil). quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300 K et à 5800 K (température du soleil) Le verre est globalement transparent pour le raonnement solaire (le soleil émet dans le visible) Le verre et se comporte est globalement comme transparent un corps noir pour dans le raonnement l infrarouge solaire lointain (le (issu soleil des émet corps dans à le température visible) ambiante). et se comporte Sachant comme que un 95 corps % du noir raonnement dans l infrarouge d un corps lointain noir est (issu concentré des corps à entre température 0,5 λ m et 8 ambiante). λ m, déterminer Sachant la longueur que 95 d onde % du approimative raonnement d un à laquelle corps le noir verre est change concentré de comportement. entre 0,5 λ Les constructeurs en fonction du tpe de verre donnent 3-4 µm. m et 8 λ m, déterminer la longueur d onde approimative à laquelle le verre change de comportement. Les constructeurs en fonction du tpe de verre donnent 3-4 µm. 3. Comparaison du simple et du double vitrage 3. Comparaison du simple et du double vitrage 3..1 La fenêtre est composée d une simple vitre (température T v1 ). A partir d un bilan radiatif et 3..1 sans La tenir fenêtre compte est composée de la présence d une d air, simple déterminer vitre (température la température T du corps noir T CNa en v1 ). A partir d un bilan radiatif et régime sans stationnaire. tenir compte Effectuer de la présence l application d air, numérique déterminer pour la Ttempérature CNa ( ϕs = 1000 du W.m corps ) noir. T CNa en régime stationnaire. Effectuer l application numérique pour TCNa ( ϕs = 1000 W.m ). 3.. La fenêtre est maintenant composée d un double vitrage. La vitre etérieure est à la 3.. température La fenêtre T v1 est et la maintenant vitre face composée au corps noir d un à double la température vitrage. T La v. vitre A partir etérieure d un bilan est à la radiatif température et sans tenir T compte de la présence d air, déterminer la température du corps noir v1 et la vitre face au corps noir à la température T v. A partir d un bilan T CNbradiatif en régime et sans stationnaire. tenir compte de la présence d air, déterminer la température du corps noir Effectuer T CNb l application en régime stationnaire. numérique pour TCNb ( ϕs = 1000 W.m ). Effectuer l application numérique pour TCNb ( ϕs = 1000 W.m ). On cherche maintenant une durée caractéristique de la décroissance de la température pour les différentes On cherche fenêtres. maintenant On ne tient une toujours durée caractéristique pas compte de de l air. la On décroissance suppose que de le la corps température noir est pour à la les température différentes de T fenêtres. = 333KOn à ne t = tient 0s, toujours qu il raonne pas compte et se refroidit. de l air. On Il ne suppose reçoit plus que le de corps raonnement noir est à la 4 1 solaire. Sachant que le corps noir a une capacité thermique C = 10 J.K température de T = 333K à t = 0s, qu il raonne et se refroidit. Il ne, une reçoit surface plus A de de raonnement 1m et que la capacité thermique des vitres est négligeable : 4 1 solaire. Sachant le corps noir a une capacité thermique = 10 J.K C, une surface A de 1m et que la capacité thermique des vitres est négligeable : 3..3 Déterminer la durée τ a pour que le corps noir soit à une température de T 1 = 300 K pour le 3..3 simple Déterminer vitrage. la Effectuer durée τ a l application pour que le corps numérique noir soit et à donner une température cette durée de en T 1 = minutes 300 K pour et le secondes. simple vitrage. Effectuer l application numérique et donner cette durée en minutes et secondes Déterminer la durée τ b pour que le corps noir soit à une température de T 1 = 300 K pour le 3..4 double Déterminer vitrage. Eprimer la durée τ b en pour fonction que le de corps τ a. L application noir soit à une numérique température n est de pas T 1 = demandée. 300 K pour le double vitrage. Eprimer τ b en fonction de τ a. L application numérique n est pas demandée. 3.3 Amélioration par métallisation eterne 3.3 Amélioration par métallisation eterne Sur la face la plus eterne du double vitrage à la température T v1, est déposée une fine couche Sur métallique la face la ou plus un eterne revêtement du double à faible vitrage émission à la température thermique. On T suppose que cette v1, est déposée une fine couche couche transmet métallique intégralement ou un le revêtement flu solaire à et faible réduit émission de moitié thermique. l émission On de suppose cette face. que En cette 1 4 conséquence, couche transmet on devra intégralement écrire que le le flu flu surfacique solaire et réduit émis par de moitié la vitre l émission vaut ϕ = de σcette T pour face. En 1 4 conséquence, on devra écrire 4 que le flu surfacique émis par la vitre vaut ϕ = σt pour la face métallisée et ϕ = σt pour la face non métallisée. A partir d un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d air, 4 la face métallisée et ϕ = σt pour déterminer la face non la métallisée. température A partir T CNc d un du bilan corps radiatif noir. La et sans tenir compte de la présence d air, déterminer la température T CNc du corps noir. La 9/13 9/13

10 température de la vitre face au corps noir est notée T v. Effectuer l application numérique pour TCNc ( ϕs = ) 1000 W.m Déterminer la durée caractéristique τ c de la décroissance de la température pour passer de T = 333K à T 1 = 300 K pour cette fenêtre. Comme précédemment, on suppose que le corps noir ne reçoit plus de raonnement solaire, qu il a une capacité thermique 4 1 C = 10 J.K, une surface A de 1m et que la capacité thermique des vitres est négligeable. Eprimer τ c en fonction de τ a. L application numérique n est pas demandée. 3.4 Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage On prend en compte, dans un premier temps, les échanges de tpe diffusif dus à un gaz uniquement entre les deu vitres. Dans le cadre d un modèle microscopique, on considère que les molécules se déplacent à la vitesse quadratique moenne identique v suivant trois directions et pour chaque direction suivant deu sens (isotropie de la distribution des vitesses) Trouver, dans le cadre de ce modèle simplifié du gaz parfait en équilibre thermodnamique interne, la relation entre la pression p et la vitesse v A partir de l équation d état du gaz parfait, retrouver l epression suivante de la vitesse v en fonction de la température T : 3RT v = M où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du gaz considéré. On suppose maintenant, qu à une échelle d espace plus grande, les molécules subissent des chocs caractérisés par une section efficace, a, que l on suppose constante en fonction de la pression et de la température. La conductivité thermique peut s écrire : 1 c λ = v 3 a où c est la capacité thermique constante d une molécule et v la vitesse quadratique moenne obtenue à la question précédente Est-ce que la conductivité thermique λ varie avec la pression? Et avec la température? T v1 T v Température etérieure 303 K Température intérieure 93 K L Figure 7 : vitres composant le double vitrage 10/13

11 Dans les doubles vitrages, le constructeur vante le remplacement de la lame d air emprisonnée entre les deu vitres par de l argon. A pression atmosphérique et à 73K, la conductivité thermique de 1 1 l argon vaut 0, 0177 W.m.K thermique est définie par : alors que pour l air, elle s élève à R th ΔT = Φ 1 1 0, 040 W.m.K. La résistance où Δ = v1 v T T T est la différence de températures entre les deu thermostats entre lesquelles s échange un flu énergétique Φ (en W). La température intérieure est de 93K et la température etérieure de 303K comme indiqué sur la figure Eprimer R th en fonction de la surface A de chaque vitre, de la distance entre les deu thermostats L et de la conductivité thermique λ Donner l analogie entre les grandeurs thermiques (, Δ, Φ) dans un tableau en spécifiant, pour chaque grandeur, l unité. R T et les grandeurs électriques Les vitres séparées par l air sont distantes de d = 1cm. Quelle distance L permet d avoir la même résistance thermique avec de l argon? La différence vous parait-elle importante? On suppose une faible différence de température (linéarisation du problème) et l on prend en considération (1) la conductivité thermique et () le raonnement entre les deu vitres Ecrire le flu énergétique entre la vitre 1 et la vitre en fonction des données du problème (surface A, distance L entre les vitres, températures des vitres T v1 et T v, conductivité λ et constante de Stephan σ ). Linéariser cette epression sachant que 4 ( ) ( ) v1 v = v + v1 v v v1 v 4 v T T T T T T T T T Que vaut la résistance thermique pour la lame d air (L vaut alors d = 1cm ) sans le raonnement ( ) ths R et avec le raonnement ( ) tha th R? Effectuer l application numérique. On prendra une surface A = 1m. Est-ce que la contribution du raonnement est importante? Remarque : il est courant que la métallisation ou une couche à faible émission thermique soit située sur une des faces internes Entre une lame d air et une lame d argon, la différence est un peu plus grande que celle que l on a calculée. De plus, si l espacement entre les vitres est supérieur à 1, cm, la résistance thermique ne varie plus. Quel phénomène de transport thermique permet d epliquer ces observations? 11/13

12 Le coefficient de transfert thermique U d une fenêtre, eprimé en W.m.K, est défini comme l inverse du produit de la résistance thermique de l objet et de sa surface A. Il vaut pour les différents tpes de fenêtres : Sstème Fenêtre 1 U ( W.m.K ) I Simple vitrage 5,8 II Double vitrage ordinaire,8 III Double vitrage avec métallisation 1,9 IV Double vitrage avec métallisation et argon 1,1 V Triple vitrage avec métallisation et argon 0,8 Pour référence, les murs ont tpiquement un coefficient de transfert thermique de 1 0,5 W.m.K. Analser l importance du nombre de vitres à partir du tableau ci-dessus et des questions précédentes. Justifier que l on installe majoritairement des fenêtres en double vitrage. PARTIE 4 Bilan thermique d une maison climatisée en été On considère une maison et sa climatisation. La température etérieure est de T C = 303K. La température intérieure est de T F = 93K. L ensemble mur-fenêtre reçoit un flu net (radiatifconvectif-diffusif) de W. La maison est équipée d une climatisation idéale. Sur chaque ccle, le fluide circulant dans l installation reçoit un transfert thermique Q C à la source chaude, un transfert thermique Q F à la source froide et un travail W. Dans toute cette partie, on admettra que la conversion électromécanique du compresseur (moteur servant lors de la compression) a un rendement unité. 4.1 Maison sans circulation d air A partir du premier principe, eprimer le travail W en fonction du transfert thermique avec la source chaude Q et froide Q. C F 4.1. A partir du second principe en supposant une machine de Carnot, donner l epression de Q F en fonction de QC, T C et T F Déterminer le coefficient de performance (COP) du climatiseur idéal modélisé comme une machine de Carnot fonctionnant en récepteur. Effectuer l application numérique Quelle puissance électrique est nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 93K avec cette machine de Carnot? Rappel : le moteur est idéal, sans perte, convertissant l intégralité de la puissance électrique reçue en puissance mécanique. 1/13

13 4.1.5 La machine réelle utilisée pour la climatisation de la maison a un COP de 3. En déduire la puissance électrique nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 93K. 4. Prise en compte de la circulation d air sec 3 1 Dans une maison de 100m, le débit volumique d air entrant mesuré à l etérieur vaut 100m.h. L air chaud entrant est directement en contact avec la climatisation. La température à l intérieur de la maison est homogène. L air entrant est à la même pression que l air sortant. On prendra : p = 1,00 10 Pa, M air = 0,089 kg.mol et c p, air = 1005 J.kg.K. d L air sera traité comme un gaz parfait. Dans la suite, on adoptera la notation : = &. dt 4..1 Ecrire le bilan des débits massiques (on notera m& V, air, e le débit massique d air entrant et m& le débit massique d air sortant). Déterminer la valeur numérique du débit massique V, air, s entrant en 1 g.s. La température de référence sera la température etérieure T = 303K. 4.. Ecrire le premier principe et en déduire l epression du transfert thermique reçu par l air entrant δ Q air, e en fonction des paramètres du problème dont font partie le débit massique m& V, air, e et la différence de température TC T F. Dans le cas d un sstème ouvert, on rappelle que la variation d enthalpie dh = C p dt est reliée au transfert thermique δq et au travail utile δ Wu = Vdp par : dh = δw + δq En déduire la puissance thermique Q & F reçue par le fluide de la climatisation nécessaire pour refroidir cet air. Effectuer l application numérique Quelle puissance électrique est maintenant nécessaire pour maintenir la température interne COP = 3? de la maison ensoleillée à 93K avec la climatisation réelle ( ) 4..5 En présence d air humide saturé (air + vapeur d eau dont la pression partielle est égale à la pression de vapeur saturante), la puissance thermique Q & F trouvée à la question 4..3 passe à 190 W. A quel phénomène phsique est associée cette augmentation sachant que la pression de vapeur saturante de l eau vaut 446Pa à 303K et 339Pa à 93K? u air Fin de l'énoncé. 13/13

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16 IMPRIMERIE NATIONALE D après documents fournis