OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES

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1 OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2005 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Le sujet s adressait à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comportait trois pages et cinq exercices indépendants : Les exercices et 2 communs à toutes les académies étaient obligatoires. Parmi les trois exercices académiques 3, 4 et 5, les candidats devaient en choisir deux. Calculatrices autorisées. EXERCICE Le lièvre et la tortue Le lièvre se déplace 363 fois plus vite que la tortue. Lorsque la tortue a parcouru une moitié du circuit, le lièvre a parcouru, lui, 363 moitiés de circuit, c'est-à-dire 8 «tours complets» et un demi circuit, à l issue duquel les deux animaux se croisent. Le lièvre a donc dépassé 8 fois la tortue (à chaque passage sur une boucle de rang pair de son parcours), et l a croisée une fois au carrefour : ce premier demi circuit de la tortue génère donc 82 «dépassements ou croisements». Au second demi circuit effectué par la tortue, le même raisonnement s applique (la position initiale étant comptabilisée dans le décompte précédent), et ainsi de suite. Ainsi, chaque demi circuit effectué par la tortue génère-t-il 82 rencontres, dont 8 dépassements et un seul croisement à la fin : 2005 = Donc pour 2005 «croisements ou dépassements», la tortue aura parcouru moitiés de circuit, qui auront généré croisements. - -

2 EXERCICE 2 Pour résoudre cet exercice, il faut partir d un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C ). Si ce carré C a pour côté c, le carré C 2 a pour côté c +, et le carré C 3 a pour côté c + 2. Le carré C 4 a pour côté c + 3. (A chaque fois, on utilise le fait que le carré noir a pour côté ) Ceci permet de déduire que le carré C 5 pour côté 4. Quant au carré C 6 il a pour côté 2c +. On obtient qu une des dimensions du rectangle initial est : (2c + ) + (c + ) + (c + 2) = 4c + 4. Le carré C 7 a pour côté c = c + 7. Donc l autre dimension du rectangle initial est : (c + 7) + (c + 3) + (c + 2) = 3c +2. Le dernier carré C 8 a pour côté : c =c +. Finalement deux côtés opposés du rectangle ont pour dimensions : 4c + 4 et (c + 7) + (c + ) = 2c + 8 Les deux côtés étant de même longueur, on a 4c + 4 = 2c + 8 ce qui donne c = 7. En conclusion, le rectangle initial a pour dimensions 32u et 33u. EXERCICE 3 Au n-ième saut Nicolas se trouve sur la borne 2n et Jacques sur la borne 953 5n. Question Pour qu ils se rencontrent sur une même borne il faut trouver un entier naturel n tel que : 953 5n = 2n, soit 7n = 953 cette équation n a pas de solution dans l ensemble de naturels, ils ne peuvent donc se retrouver sur une même borne. La division euclidienne de 953 par 7 donne un quotient égal à 36 et un reste égal à. Pour n = 36, Nicolas arrive sur la borne 272 et Jacques sur la borne 273 et bien évidemment pour n = 37 ils se sont croisés et sont rendus respectivement à 274 et 268. La solution est donc celle qui correspond à 272 et 273. Question 3 Enfin, en supposant que la mouche part de Nicolas qui est arrivé sur la borne numéro 2. Pour aller sur Jacques qui est à cet instant sur la borne = 948, elle parcourt 25 (948 2) cm. Puis elle retourne sur Nicolas qui a avancé de deux bornes, elle parcourt alors 25 ( ) cm. Plus généralement, chaque trajet aller-retour, après le i ème saut de Nicolas, comprend la distance NJ : 25[(948 5i) 2i] plus la distance JN, N étant la position suivante de Nicolas, c est 25[(948 5i) 2i 2]. Donc entre la i ème position pour Nicolas et sa (i + ) i ème position, la mouche a parcouru 25[(948 5i) 2i + (948 5i) 2i 2 ] = 50[(948 5i) 2i ] = 50(947 7i ). De i = jusqu à i = 36 cela fait 50(947 7i) = 50[ i] = 50( ) = cm soit 3,79 km. i= La pauvre mouche a parcouru 3,79 Km i= 2

3 EXERCICE 4 Question On note P et E le poids total et le poids d'eau au début et P' et E' le poids et le poids d'eau après le séjour dans le hangar. On a P' = E - E' 0,9 P' = E' E = 0, d'où P' = 0, ,9 P' 0, P' = P' = 250 Réponse : 250 kg 9 secondes pour 9 coups cela veut dire 9 s pour chaque intervalle entre 2 coups. 8 Pour h il y a 0 intervalles donc =,25 Réponse :,25 secondes Question 3 Mikaël double le second donc il sera second Réponse : second Question 4 Si b, r et j sont les nombres de dossards correspondant à chaque couleur, on a b + r + j = b r j = 2000 ou encore 2b + r 2 + j 4 = 2 donc par soustraction : 3 2 r j = 2 et on obtient : r = j comme r et j sont des entiers non nuls inférieurs à 2 il faut j = 6, r = et b = 5 Réponse : 5 dossards bleus, rouge et 6 jaunes - 3 -

4 EXERCICE 5 Question Figure Démonstration En reprenant la définition on obtient par un calcul simple que Sm = Sm 2 SM 2 SM. D autre part les angles M SM 2 et m Sm 2 sont égaux car opposés par le sommet, les triangles S M M 2 et S m2m sont de même forme Figure 2 a) Voir figure 2 Conjecture : l image par I de la droite d est le cercle de diamètre SP b) Démonstration Soit M un point de cette droite et m son image, alors les triangles SMP et S P m sont, d après la question, de même forme, l angle SmP est un angle droit, le point m est par conséquent sur le cercle C de diamètre SP. Ceci montre que l image de la droite d est contenue dans ce cercle. Réciproquement soit m un point de ce cercle et considérons le point M obtenu comme intersection des droites (Sm) et d. Montrons que M est l antécédent de m par I. Or il suffit de raisonner sur les longueurs, puisque par construction les vecteurs Sm et SM sont colinéaires et de sens opposé, et de montrer que Sm = 2 SM. Les triangles SmP et SPM sont de même forme (trois angles égaux), les relations de proportionnalité conduisent à la relation SM.Sm = SP.SP = 2 d où le résultat : tout point du cercle est bien l image d un point de la droite

5 Question 3 Figure 3 Conjecture L image du cercle passant par S est une droite. Démonstration Soient S le point diamétralement opposés à S et s son image Avec les même arguments (direct et réciproque) que dans la question précédente, on montre facilement que la droite passant par s et perpendiculaire à (SS ) est l image du cercle. Question 4 Figure 4 Construction- Démonstration Chaque côté du triangle est un segment de droite, il va donc être transformé en un arc de cercle dont les extrémités sont les transformés des extrémités du segment. On va donc obtenir trois arcs de cercles dont les extrémités sont communes deux à deux. L arc à retenir est repéré par le projeté orthogonal de S sur la droite et de son transformé. Si le projeté de S est sur le côté, son transformé appartient à l arc de cercle image, s il est à l extérieur du côté, il est sur l arc à ne pas retenir