Logique du premier ordre : systèmes de preuves

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1 Logique du premier ordre : systèmes de preuves 1/19

2 Systèmes de preuves Systèmes extensibles depuis la logique propositionnelle : système de Hilbert (SKC 1 ) ; déduction naturelle ; calcul des séquents LK 1. Ces extensions demandent un peu de manipulation des variables étude des substitutions. 2/19

3 Préliminaire : les substitutions Un substitution remplace un variable par un terme. C est donc une application σ de V vers T. Domaine de σ : dom σ = {x V x σ(x)}. Image de σ : rng σ = {σ(x) x dom σ}. On note aussi yield σ = {fv(t) t rng σ} l ensemble des variables libres dans l image de σ. On note σ sous la forme [t 1 /x 1,..., t n /x n ] : t 1 remplace x 1, t 2 remplace x 2, etc. Les substitution s étendent aux termes en remplaçant les variables dans les termes. Attention : une substitution n affecte que les variables, jamais les constantes. Une substitution ne peut modifier Gauche(verte, rouge). 3/19

4 Instances de termes Les instances d un terme t sont les termes qui dérivent de t par l application d une substitution σ (on note cette application tσ). t = f(x, g(y, x)) tσ f f x g g y x σ(x) σ(y) σ(x) 4/19

5 Exemples Instances de f(g(x, y), h(verte, x))? pour f(g(x, rouge), h(verte, x)), OUI, avec σ = [rouge/y] pour f(g(y, y), h(verte, y)), OUI, avec σ = [y/x]. pour f(g(f(x), f(x)), h(verte, f(x)), OUI, avec σ = [f(x)/x, f(x)/y]. pour f(g(f(x), y), h(verte, y)), NON, parce que x n est pas remplacé par la même chose dans chaque sous-terme. pour f(h(x, rouge), h(verte, x)), NON : on ne peut pas remplacer autre chose qu une variable. pour f(g(x, verte), h(verte, x)), NON : même chose, on ne peut pas remplacer une constante. 5/19

6 Algorithme de test Pour tester si un terme t 2 est une instance de t 1 : 1. On crée une liste L vide associant des variables et de termes : ce sera notre substitution. 2. Si t 1 est une variable v : si cette variable apparaît dans L associée à un terme t v, alors : si t 2 = t v, on retourne vrai sinon, on retourne faux sinon, on ajoute t 2 comme étant associé à v dans la liste L, et on retourne vrai 3. sinon, t 1 est l application d une fonction f sur des sous-termes. Alors : si t 2 n est pas l application de la même fonction f sur des sous-termes, on retourne faux. sinon, on teste successivement chaque sous-terme de t 1 et t 2 par un appel récursif au point 2, sans réinitialiser L. Si chaque sous-terme de t 1 est bien une instance du sous-terme correspondant dans t 2, on retourne vrai. 6/19

7 Instances de formules Pour étendre au formules, attention à : ne pas substituer une variable liée : avec Φ = x P (x) et σ = [f(y)/x], Φσ doit encore être du genre x P (x). ne pas «capturer» une variable libre de σ : avec Φ = x P (x, y) et σ = [x/y], Φσ = z P (z, x). La solution consiste à renommer les variables liées en variables «fraîches», ni dans yield σ ni dans la formule. Cette opération s appelle l α-renommage et ne changera pas le sens des formules. 7/19

8 Exemples : α-renommage Soit la formule Φ = x (P (x) y Q(x, y)). x et y peuvent être remplacés par n importe quoi sans changer le sens de la formule, à condition de rester distincts. Mais x ne doit pas être renommé en y, y ne doit pas être renommé en x (ce serait possible, mais à éviter, avec la formule Φ = x (P (x) y Q(y))). 8/19

9 Instances de formules : construction Si σ est une substitution et Φ une formule, Φσ est construit par induction structurelle : P (t 1, t 2,..., t k )σ = P (t 1 σ, t 2 σ,..., t k σ) (Φ 1 Φ 2 )σ = Φ 1 σ Φ 2 σ, de même avec,, et. ( x.φ)σ = x.(φ[x /x]σ), où x est une variable «fraîche» et Φ[x /x] représente Φ dans laquelle x est remplacé par x. Alors Φσ est unique, à renommage des variables liées près. Φ est une instance de Φ si il existe une subsitution σ telle que Φ = Φσ. 9/19

10 Système de Hilbert Ajout de deux schémas d axiome : (E) x Φ Φ[t/x] pour toute formule Φ, terme t et variable x ; (I) x (Φ Φ ) Φ x Φ, à condition que x ne soit pas libre dans Φ. Ajout d un schéma de règle, utilisable uniquement sur des formules qui ne dérivent pas d hypothèses : (Gen) Φ x Φ Système correct et complet, en réécrivant x Φ en x Φ. 10/19

11 Exemple de preuve (système de Hilbert) Preuve de x P (x) x (Q(x) P (f(x))) : 1. x P (x) P (f(y)) (E) 2. P (f(y)) Q(y) P (f(y)) (K) 3. (P (f(y)) Q(y) P (f(y))) x P (x) P (f(y)) Q(y) P (f(y)) (K) 4. x P (x) P (f(y)) Q(y) P (f(y)) (MP avec 2 et 3) 5. ( x P (x) P (f(y)) Q(y) P (f(y))) ( x P (x) P (f(y))) x P (x) Q(y) P (f(y)) (S) 6. ( x P (x) P (f(y))) x P (x) Q(y) P (f(y)) (MP avec 4 et 5) 7. x P (x) Q(y) P (f(y)) (MP avec 1 et 6) 8. y ( x P (x) Q(y) P (f(y))) (Gen avec 7) 9. y ( x P (x) Q(y) P (f(y))) x P (x) y (Q(y) P (f(y))) (I) 10. x P (x) y (Q(y) P (f(y))) (MP avec 8 et 9) 11. x P (x) (hypothèse) 12. y (Q(y) P (f(y))) (MP avec 10 et 11), CQFD avec α-renommage 11/19

12 Remarques sur la preuve 1. Cette preuve est un peu compliquée parce qu on n utilise l hypothèse qu à la fin (à cause de la généralisation dans la formule 8). En déduction naturelle et calcul des séquents, la généralisation sera plus facile. 2. De la ligne 2 à la ligne 6, on prouve une formule propositionnelle de la forme (a b) a c b, en remplaçant a par x P (x), b par P (f(y)) et c par Q(x). Ce résultat est général : D une preuve de Φ en logique propositionnelle, on peut déduire une preuve de Φ dans laquelle les variables sont substituées par des formules en logique des prédicats. 12/19

13 Déduction naturelle Ajout des règles d introduction et d élimination des quantificateurs : Γ Φ[y/x] Γ x.φ ( I) (y non libre dans Γ) Γ Φ[t/x] Γ x Φ ( I) Γ x Φ Γ x Φ Γ Φ[t/x] ( E) Γ, Φ[y/x] Ψ Γ Ψ (y non libre dans Γ et Ψ) ( E) Système correct et complet. Bien noter que les y sont des variables «fraîches» alors que les t sont des termes quelconques. 13/19

14 Exemple de preuve (déduction naturelle) Preuve de x P (x) x P (f(x)) : x P (x), P (f(z)) P (f(z)) x P (x), P (f(z)) x P (x) x P (x), P (f(z)) x P (x) x P (x), P (f(z)) F x P (x) P (f(z)) x P (x) x P (f(x)) 14/19

15 Calcul des séquents Ajout de règles de quantificateurs gauche et droite : Γ, Φ[t/x] Γ, x Φ ( G) Γ, Φ[y/x] Γ, x Φ ( G) (y non libre dans Γ et ) Γ Φ[y/x], Γ x Φ, ( D) (y non libre dans Γ et ) Γ Φ[t/x], Γ x Φ, ( D) Système correct et complet, même sans coupure (mais plus automatique, à cause des t). Note : règles sous-entendues : duplication/réduction à droite et à gauche des formules. 15/19

16 Exemple de preuve 1 (séquents) Preuve de P (a) P (b) x P (x) : P (a) P (a) P (b) P (b) P (a) x P (x) P (b) x P (x) P (a) P (b) x P (x) P (a) P (b) x P (x) 16/19

17 Exemple de preuve 2 (séquents) Preuve de x (P (a) P (b) P (x)) : P (a) P (a), P (b) P (b) P (a), P (b) P (a) P (b) P (a), P (b) P (a) P (b) P (a), P (a) P (b) P (b) P (a) P (b) P (a), P (a) P (b) P (b) P (a) P (b) P (a), x (P (a) P (b) P (x)) x (P (a) P (b) P (x)) Nécéssité de dupliquer une formule à droite pour instantier x deux fois «en même temps». 17/19

18 Exemple de preuve 3 (séquent) Preuve de x (P (x) y P (y)) (on peut trouver un x tel que soit P (x) est faux, soit P (y) est vrai pour tout y) : P (a), P (b) P (b), y P (y) P (a) P (b), P (b) y P (y) P (a) P (b), x (P (x) y P (y)) P (a) P (b), x (P (x) y P (y)) P (a) y P (y), x (P (x) y P (y)) x (P (x) y P (y)) 18/19

19 Remarque : décidabilité Théorème : étant donné une formule Φ en logique classique du premier ordre, la question de savoir si Φ est une tautologie est indécidable (en fait, semi-décidable). Tout programme de preuve automatique en logique du premier ordre est imparfait (ça n empêche pas d essayer). 19/19