TD 10 : Énergie cinétique, travail d une force et théorème de l énergie cinétique

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1 Université Paris 7 - Denis Diderot TD 10 : Énergie cinétique, travail d une force et théorème de l énergie cinétique 1 Introduction Exercice 1 1. Donner des situations ordinaires (i.e. de la vie quotidienne) qui permettent d appréhender une énergie d un Joule et une puissance d un Watt. 2. La puissance électrique consommée est donnée par EDF en kw.h. Evaluer la puissance en kw.h de l éclairage de votre chambre un soir d hiver. Sachant qu en France une famille consomme 7000 kw.h par an, calculer quelle devrait être la puissance d une ampoule qui resterait allumée 24 h dans une maison toute une année. Si tous les habitants du monde consommaient comme les français, calculer la puissance consommée sur terre. Comparer celle-ci à la puissance effectivement consommée par l activité humaine qui est évaluée à 15 tw. 3. Une éolienne développe typiquement une puissance mécanique de 500 kw. Son rendement est de l ordre de 10%. Calculer le mombre d éoliennes nécessaire pour la consommation électrique d une famille. Evaluer le nombre d éoliennes nécessaires pour l ensemble de la population française. La consommation totale d électricité en France (famille+industrie+colectivité+etc) est de 4000 tw.h. En déduire qu il est impossible aujourd hui de ne se satisfaire que de l énergie produite par le vent. 4. Le soleil fournit une puissance de 1kW par m 2. Les cellules photovoltaïques ont un rendement de 10%. Calculer la surface de cellule photovoltaïque nécessaire pour une famille en faisant l hypothèse que l ensoleillement est constant durant toute l année et que celui-ci est efficace durant 8 h. Etant donnée la consommation totale d électricité en France, en déduire qu il est impossible aujourd hui de ne se satisfaire que de l énergie produite à partir du soleil. 5. Une bille de masse m se dirige droit sur une autre de même masse et au repos dans le référentiel du laboratoire. Ainsi v 1 0 et v 2 = 0. Les billes se déplacent dans une rainure. Les vitesses ne peuvent donc être que selon une seule direction portée par le vecteur unitaire u x. On considère que tous les chocs sont élastiques. (a) Déterminez les vitesses v 1 et v 2 après le choc. (b) Supposons désormais que v 1 = v u x et v 2 = 3v u x. Déterminez v 1 et v 2. Vous devez trouver deux cas possibles : v 1 = 3v u x et v 2 = v u x, et v 1 = v u x et v 2 = 3v u x. Quel est le problème avec le second cas?

2 6. On observe des joueurs de pétanque vus du dessus. Le mouvement des boules de pétanque se réduit donc à un mouvement à deux dimensions dans le plan du terrain du jeu de boules. C est un peu comme si les joueurs faisaient rouler les boules plutôt que de les lancer et qu on ignorait les frottements du terrain sur les boules. (a) Supposons qu un joueur veuille "tirer" une boule de l équipe adverse (ce qui signifie vouloir faire dégager cette boule). En considérant que l énergie cinétique des boules est conservée, que pouvez-vous dire de l angle que feront les deux boules après le choc? (b) Si le même joueur veut faire un "carreau" (que sa boule remplace celle de son adversaire), comment doit-il s y prendre? Que deviendra la boule ainsi dégagée? (c) Est-il possible de faire un "carreau" avec le cochonnet? 2 Mises en application Exercice 2 Une voiture de masse m roule à 90kmh 1 sur une route horizontale. A un instant donné, le conducteur freine brutalement; les roues de la voiture se bloquent et la voiture dérape jusqu à s immobiliser. Sachant que la force de frottement exercée par le sol sur les pneus de la voiture a pour expression f = µ d N (où N est la composante normale de la réaction du sol sur la voiture et µ d désigne le coefficient de frottement dynamique): 1. Donner l expression de N en fonction de la masse de la voiture et de la constante g. 2. En appliquant le théorème de l énergie cinétique, exprimer le travail de la force de frottement pendant le temps du freinage. 3. Exprimer la distance de freinage en fonction des données de l énoncé. Donner sa valeur. 4. Donner la valeur du facteur multiplicatif de la distance de freinage si la vitesse de la voiture est multipliée par 2. Application numérique : µ d = 0, 8, g = 9, 8ms 1 Exercice 3 Un corps de masse m est astreint à se déplacer sans frottement en ligne droite. Il possède une vitesse initiale v 0. Une force F agit sur ce corps pendant un temps T au cours duquel elle reste constante. 1. Exprimer la distance d parcourue par le corps pendant le temps T en fonction de F, v 0, T, et m. 2. Calculer le travail accompli par la force. Page 2

3 3. Quel est l accroissement de l énergie cinétique? Donner l énergie cinétique finale. Application numérique : F = 100N, T = 10s, m = 1kg, v 0 = 2ms 1 Exercice 4 Une force horizontale F est appliquée à un bloc de masse m. Celui-ci se déplace à vitesse constante sur une distance l le long d un plan incliné formant un angle θ avec l horizontale (voir figure ci-dessous). Si le glissement s effectue sans frottement, quel est le travail effectué par la force F? Exercice 5 1. On lance un bille verticalement et vers le bas avec une vitesse v 0 depuis une hauteur h 0 du sol. Calculer la vitesse v 1 de la bille juste avant l impact avec le sol. 2. On lance la même bille avec la même vitesse v 0 de puis la même hauteur h 0, mais cette fois-ci, en direction du ciel. Calculer la vitesse v 1 de la bille juste avant l impact avec le sol. 3. Quelle est la vitesse v 2 de cette bille lorsqu elle repasse (lors de sa descente) à la hauteur h On lance maintenant la bille horizontalement avec la même vitesse v 0 depuis la même hauteur h 0 du sol. Calculer la vitesse v 3 de la bille juste avant l impact avec le sol. Exercice 6 1. Calculer l énergie cinétique puis la puissance moyenne acquise par une bouteille d un litre d eau lors de sa chute d une table. Calculer le travail de la force de pesanteur. 2. La bouteille a été renversée sur la table. Sa vitesse au départ de la chute, v 0, est horizontale. Mêmes questions que précédemment. 3. La bouteille a été bousculée sur la table et sa vitesse au départ de la chute, v 0, fait un angle de 45 deg par rapport à un axe vertical. Mêmes questions que précédemment. Page 3

4 4. La bouteille tombe de la table sur un plan incliné à 45 deg par rapport à l horizontale. On néglige les frottements. Mêmes questions que précédemment. 5. On choisit de mettre le 0 en énergie au niveau de la table. La bouteille chute de la table sans vitesse initiale. Mêmes questions que précédemment. Exercice 7 1. La puissance nécessaire à un mammifère pour simplement survivre dans son environnement est donnée par la loi (approximative) de Kleiber, P = αm 3/4 où α est une constante qui vaut 4 W.kg 3/4. Calculer l énergie consommée par un homme en une journée. Sachant que l on ingurgite chaque jour 2500 kcal, calculer l énergie que l on absorbe en une journée. La différence entre ces deux énergies permet d avoir des activités physiques de loisir et de travailler dur. Calculer la puissance que l on peut consacrer à ceux-ci. 2. Calculer la puissance développée par Usain Bolt durant le 100 m. Le record du monde d haltérophilie est de 214 kg à l arraché. Calculer la puissance développée par l athlète sachant que le mouvement se fait en 4 secondes. Etant donnés les résultats que vous venez de calculer, expliquer pourquoi le gagnant du Tour de France qui a réussi à développer 470 W durant 1/2 heure n est pas un humain. 3 Approfondissement Exercice 8 1. On jette un obus de masse m vers le haut avec une vitesse initiale v 0. Jusqu à quelle hauteur va-t-il monter? 2. Trouver la valeur minimale de la vitesse d un objet de masse m nécessaire pour quitter la surface de la Terre, sans y retourner (ie : vitesse de libération). Dṕend-elle de la masse de l obus? Et l énergie qu il faut fournir pour l y envoyer en dṕend-elle? 3. Quelle serait cette vitesse de libération du la Lune? 4. Quelle vitesse doit-on communiquer à une fusée de masse m pour qu elle parvienne sur la Lune? A quelle vitesse arrive-t-elle sur la Lune? 5. Avec quelle vitesse minimale cette même fusée doit-elle décoller de la Lune pour pouvoir revenir sur Terre. Avec quelle vitesse atteint-elle la couche supérieure de l atmosphère terrestre? 6. Peut-on, à partir de la vitesse de libŕation, comprendre qualitativement pourquoi la Terre est entourée d un atmosphère gazeuse et non la Lune? Page 4

5 7. Quel devrait-être le rayon du Soleil pour qu aucun objet (pas même la lumière) ne puisse s en échapper? Application numérique : M T = kg (masse de la Terre), R T = 6400km (rayon de la Terre), G = 6, m 3 s 2 kg 1 (constante de gravitation), M T = 81.M L (M L masse de la Lune), R T = 3, 7.R L (R L rayon de la Lune), d T L 60.R T (d T L distance Terre-Lune). Exercice 9 1. On élève verticalement à une hauteur h de façon uniformément accélérée un objet de masse m initialement posé sur le sol. Calculer le travail que l on doit fournir. Calculer l énergie transférée à la masse. Calculer la puissance moyenne développée par la personne qui soulève l objet. Comment minimiser cette puissance? 2. On cherche le travail qu il a fallu fournir pour construire une pyramide en Egypte. Cette pyramide a une base carrée de longueur l et une hauteur h. Elle est pleine et composée de pierres d épaisseur infinitésimale dz dont la masse volumique ρ est constante. Ces pierres sont toutes posées sur le sol. Quelle est la masse de la couche de pierre à ajouter pour passer de z à z + dz? Calculer le travail pour placer cette couche de pierres. Exprimer le travail total en fonction de la masse totale de la pyramique (on rappelle que le volume d une pyramide est v = l 2 h/3). Exercice 10 Une bille lâchée sans vitesse initiale depuis une hauteur h rebondit sur le sol. 1. On définit le coefficient de restitution k comme le rapport entre les vitesses juste après et juste avant le choc. Entre quelles valeurs limites k est-il compris? Quels types de choc ces limites définissent-elles? 2. La bille subit un grand nombre de rebonds successifs jusqu à ce qu elle s immobilise. Déterminer la distance totale verticale parcourue D et le temps T écoulé jusqu à l immobilisation. On évaluera ces deux termes dans le cas d une bille d acier tombant de 1 mètre sur de l acier (k = 0, 9) en négligeant les frottements de l air. Exercice 11 Une balançoire est attachée à une haute branche d un noyer. Sa position est repérée par l angle que fait la corde avec la verticale, orientée vers le bas. Malheureusement une branche basse bloque la corde au quart de sa hauteur dans son mouvement d un côté. Ainsi, quand l angle de la corde avec la verticale est positif (on le note ψ), la longueur de la corde est L; quand l angle est négatif (on le notera alors φ), la longueur est L/4 (voir figure). Vous placez sur la balançoire votre petit cousin, supposé ponctuel et de masse m. On néglige tout frottement. Page 5

6 1. On soulève la balançoire jusqu à un angle initial φ 0 > 0. (a) A quelle hauteur h au dessus de la position d équilibre se trouve votre petit cousin? (b) On lâche le tout sans vitesse initiale. En utilisant le théorème de l énergie cinétique, déterminer la vitesse linéaire au passage par la verticale. 2. On considère maintenant le mouvement de l autre côté de la verticale, quand la longueur de la corde vaut L/4. (a) Toujours avec le théorème de l énergie cinétique, déterminer la hauteur au-dessus de la position d équilibre à laquelle l enfant monte de l autre coté. Préciser à quelle condition ce résultat est valable. (b) A quel angle maximum ψ 1 est-ce que cela correspond? 3. On cherche l équation horaire du mouvement de l enfant pour les valeurs positives de l angle de la corde avec la verticale. (a) En projetant le PFD sur un axe que vous préciserez, établir l équation différentielle régissant φ(t). (b) À quelle condition peut-on l écrire sous la forme : d 2 φ dt 2 + g l φ(t) = 0 (c) L origine des temps t = 0 est choisie à l instant où on lâche la balançoire. Donner l équation horaire φ(t) du mouvement. Préciser la valeur de l amplitude A et de la pulsation ω 0. (d) A quel instant t 1 la balançoire arrive-t-elle pour la première fois à la verticale φ = 0 (e) Quelle est alors la vitesse angulaire φ(t 1 )? balançoire? Exercice 12 Quelle est la vitesse linéaire de la Avec les seules photographies de la première explosion nuclŕaire ( Trinity Test, Alamogordo, 16 Juillet 1945) (cf. figures 1 et 2) publi des par l arlée, G.I. Taylor parvint à estimer l énergie (ou la puissance, comme on dit dans les média) produite (The formation of a blast wave by a very intense explosion. II. The atomic explosion of 1945, Proc. Roy. Soc. 201 (1950) p. 175). Page 6

7 Les photographies donnaient le rayon de l onde de choc en fonction du temps, r(t), dont le comportement devait être dominé par l apport initial d énergie et par la masse volumique du milieu non perturbé. La longueur de référence indiquée sur ces photographies est de 100 m. Les temps sont inscrits sur les photographies, sauf sur celle intermédiaire prise à 15 ms. 1. Pourriez-vous, à l instar de Taylor, et en utilisant l analyse dimensionnelle, estimer la forme de la loi r(t)? 2. On va vérifier que cette loi explique raisonnablement les donn des expérimentales (autrement dit les photos). On tracera pour cela la courbe log(r) = log(t). Expliquez l intérêt de passez aux logarithmes et montrer que la théorie explique bien les résultats observés. 3. Dénduire de ce qui précède la valeur typique de l énergie dégagée par l explosion (montrant ainsi que le secret militaire américain le mieux gardé était en fait publié). 4. Votre estimation pèche-t-elle plutôt par excès ou par d faut? 5. Estimez la masse de matière fissile nécessaire. On utilisera pour cela le fait que la fission d un atome d Uranium libère environ 215 MeV. Page 7

8 Figure 1: Photographies de l explosion nucléaire. Page 8

9 Figure 2: Photographies de l explosion nucléaire (suite et fin). Page 9