Fonctions de référence

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1 CLASSE : 2nde Durée approximative : 1 H DS 2N3 Correction Fonctions de référence EXERCICE 1 : / 4 points Difficulté : L'alcoolémie est le taux d'alcool présent dans le sang. Elle se mesure généralement en grammes par litre de sang (g/l). À un certain instant t =, une personne possède une alcoolémie de 2 g/l. À cet instant, elle arrête de boire et commence à éliminer naturellement l'alcool à raison de,15 g/l par heure. 1. Quelle sera l'alcoolémie au bout de 3 heures (c'est-à-dire, pour t = 3)? 2. On note A l'alcoolémie. On admet que l'alcoolémie est une fonction affine. Exprimer en fonction de t l'alcoolémie A(t) au bout de t heures. 3. Pour avoir le droit de conduire, il faut posséder une alcoolémie inférieure à,5 g/l. Au bout de combien de temps la personne va-t-elle avoir le droit de conduire? 1. À t =, l'alcoolémie est égale à 2. La personne perd,15 par heure, donc au bout de trois heures l'alcoolémie sera égalé à 2 3,15, soit 1,55 g/l. 2. A(t) = 2,15 t 3. On cherche à résoudre l'inéquation 2,15 t <,5. Première méthode : On peut résoudre l'équation puis utiliser les variations de la fonction A. Résolvons l'équation. 2,15 t =,5,15 t =,5 2 t = 1,5,15 t = 1 Comme l'alcoolémie diminue avec le temps, la fonction A est décroissante. Donc l'alcoolémie sera inférieure à,5 lorsque t sera supérieur à 1 : la personne aura le droit de conduire au bout de dix heures. Autre méthode : résolution de l'inéquation. 2,15 t <,5,15 t <,5 2 (on soustrait 2 à chaque membre) t > 1,5,15 (on divise chaque membre par -1,5, qui est négatif) t > 1 EXERCICE 2 : / 3 points Difficulté : 1. Donner le tableau de variations de la fonction carré sur l'intervalle [-3 ; 5]. 2. En déduire un encadrement de x 2 lorsque x appartient à l'intervalle [-3 ; 5]. 1. On sait (voir le cours) que le tableau de variations de la fonction carré sur l'intervalle [-3 ; 5] est : x -3 5 x On en déduit, par observation du tableau, que le minimum de la fonction carré sur [-3 ; 5] est et son maximum est 25. Donc, lorsque 3 x 5, x 25. Ce résultat peut être observé sur le graphe de la fonction carré représenté ci-dessous : lorsque x 25

2 parcourt l'intervalle [-3 ; 5] (en bleu sur l'axe des abscisses), x 2 parcourt l'intervalle [ ; 25] (en rouge sur l'axe des ordonnées). EXERCICE 3 : / 4 points Difficulté : Voici un algorithme de calcul. Saisir un nombre x Ajouter 4 Soustraire x à 7 Diviser le nombre mis en mémoire par ce résultat Afficher le nombre obtenu 1. Appliquer cet algorithme au nombre Écrire la formule de calcul qui exprime le résultat de cet algorithme en fonction d'un nombre x. 3. Cet algorithme peut-il être appliqué à n'importe quel nombre? Pourquoi? 1. Appliquons l'algorithme pour x = 6 : Algorithme Algorithme appliqué à 6 Saisir un nombre x Le nombre x est égal à 6 Ajouter = 1 On garde 1 en mémoire Soustraire x à = 1 Diviser le nombre mis en mémoire par ce résultat On divise 1 par 1, on obtient 1. Afficher le nombre obtenu On affiche «1». 2. Appliquons l'algorithme à un nombre inconnu ou variable x : Algorithme Saisir un nombre x Algorithme appliqué à un nombre x Le nombre x

3 Ajouter 4 x + 4 Soustraire x à 7 Diviser le nombre mis en mémoire par ce résultat On garde x + 4 en mémoire 7 x On divise x + 4 par 7 x, ce qui est noté x+ 4 7 x. Afficher le nombre obtenu La formule de calcul est x+ 4 7 x. 3. Non, cet algorithme ne peut pas être appliqué à n'importe quel nombre, car il comporte une division. Il faut s'assurer de ne pas effectuer de «division par zéro», ce qui serait le cas si le nombre saisi au départ était égal à 7. Le nombre saisi doit donc être différent de 7. EXERCICE 4 : / 9 points Difficulté : Pour une entreprise, le résultat net est la différence entre les gains (l'argent gagné) et les pertes (l'argent dépensé). Lorsque le résultat net est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Pour une entreprise qui produit x tonnes de papier par jour, le résultat net en centaines d'euros est 5 x x 25. Considérons la fonction R définie sur l'intervalle [ ; 1] par : = 5 x x 25. 1) Recopier et compléter le tableau de valeurs : x ) Prouver que, pour tout nombre x : = 5( x 1)( x 5). 3) Quel est le résultat net maximal que peut obtenir l'entreprise? Pour combien de tonnes de papier est-il atteint? Justifier. 4) Donner, en justifiant, le tableau de variations de la fonction R sur l'intervalle [ ; 1]. 5) Aujourd'hui, pour des raisons techniques, l'entreprise doit produire un nombre de tonnes compris dans l'intervalle [35 ; 55]. Son résultat net est donné par la fonction R vue ci-dessus. Quel choix est le plus intéressant pour l'entreprise? Pourquoi? 6) Justifier que le tableau de signes de la fonction R est : x ) Pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice (c'est-à-dire un résultat net positif)? 1) On peut utiliser un tableur sur un ordinateur ou une calculatrice. Ou encore calculer les images une à une. Par exemple, l'image de 2 est obtenue en calculant en faisant attention de bien respecter les priorités de calcul. On obtient le tableau de valeurs suivant : x

4 2) On développe la forme factorisée. Pour tout nombre x, on a : 5(x 1)(x 5) = 5(x 2 5 x 1 x+ 5) = 5( x 2 6 x+ 5) = 5 x x 25 On constate que l'expression donnée est bien égale à R(x). 3) On voit que R est une fonction du second degré : elle peut être écrite sous la forme ax 2 + bx + c avec a = -5, b = 3 et c = -25. Comme a est négatif, cette fonction admet un maximum. Dans le tableau précédent, on observe que, par exemple R(2) = R(4). Par symétrie de la parabole représentant R, le maximum de R est atteint pour la demi-somme de deux nombres ayant la même image, 2+ 4 donc pour =3. L'image de 3 est 2. Donc le résultat net maximal de l'entreprise est de 2 2 centaines d'euros (soit 2 euros), il est atteint pour une production de 3 tonnes de papier. 4) On sait qu'une fonction du second degré avec a négatif est croissante jusqu'à la valeur pour laquelle elle atteint son maximum, puis décroissante. Le tableau de variations demandé est donc : x ) Sur l'intervalle [3 ; 1] (et donc sur [35 ; 55]), la fonction résultat net R est décroissante : plus l'entreprise produit, moins elle gagne d'argent. Donc l'entreprise a intérêt à produire le moins possible, la production la plus intéressante pour l'entreprise est de 35 tonnes. 6) Première méthode : Pour construire le tableau de signes de R, on peut déterminer les valeurs de x pour lesquelles R(x) = et utiliser les variations de R. D'après les variations de R et son tableau de valeurs, ces nombres sont 1 et 5. Sur l'intervalle [ ; 3], R est croissante et s'annule pour x = 1, donc R est négative sur [ ; 1] puis positive sur [1 ; 3]. Sur l'intervalle [3 ; 1], R est décroissante et s'annule pour x = 5, donc R est positive sur [3 ; 5] puis négative sur [5 ; 1]. Ce raisonnement peut être résumé dans un tableau : x Variations de Signe de Autre méthode : il est possible d'utiliser la forme factorisée de R et la «règle des signes». x x x 5 + 5(x 1)( x 5) +

5 7) Un résultat net positif est symbolisé par un «+» dans le tableau de signes de R. Le seul «+» de la ligne «signe de R(x)» est compris entre des valeurs de x égales à 1 et 5. Donc l'entreprise réalise un bénéfice pour une production strictement comprise entre 1 et 5 tonnes.