CHAPITRE 2. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES :

Transcription

1 CHPITRE 2. ODELISTION DES CTIONS ECNIQUES : I- SOIRE DU CHPITRE 2: II- NOTIONS GENERLES : III- NOTION DE FORCE : IV- NOTION DE OENT : V- ODELISER UNE CTION ECNIQUE PR UN TORSEUR : VI- FIGURES DECOUPER : «Hanzelet» I-Sommaire du chapitre 2: Page 1de 22

2 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : I- Sommaire du chapitre 2: CHPITRE 2. ODELISTION DES CTIONS ECNIQUES :... 1 I- SOIRE DU CHPITRE 2:...2 II- NOTIONS GENERLES :...3 II-1.. Préambule :... 3 II-2.. Définition d une action mécanique :... 3 II-3.. Différents types d actions mécaniques :... 4 II-3.a.. Les actions mécaniques à distance :...4 II-3.b.. Les actions mécaniques de contact :...4 II-4.. Notion de système matériel isolé... 4 II-5.. Notion de ilan des ctions écaniques Extérieures à un système matériel {S}:... 5 II-6.. Notion sur le modéle d une action mécanique :... 5 II-7.. Exercices d applications (E):... 6 II-7.a.. Portique :...6 II-7.b.. Elingues et tuyau :...6 III- NOTION DE FORCE :...7 III-1.. Notation et unités:... 7 III-2.. Caractéristiques géométriques (ou graphiques) d une force :... 7 III-3.. Vecteur-Force glissant ou glisseur :... 7 III-4.. Caractéristiques analytiques ou composantes d une force :... 7 III-4.a.. Définitions :...7 III-4.b.. Composantes cartésiennes...8 III-4.c.. Composantes cartésiennes en fonction de l angle et du module...8 III-5.. odéliser une force due à la pesanteur :... 8 III-6.. Exercices d applications (FORCES):... 9 III-6.a.. allon de foire...9 III-6.b.. Pont roulant...9 III-6.c.. blocage...9 IV- NOTION DE OENT :...1 IV-1.. Introduction :... 1 IV-2.. Notation et unités:... 1 IV-3.. Caractéristiques géométriques du moment d une force : IV-4.. Caractéristiques analytiques du moment d une force : IV-5.. Exercices d application (OENT) : IV-5.a.. Engrenage hélicoïdal h...12 IV-5.b.. Engrenage hélicoïdal (suite)...12 IV-5.c.. Tractopelle...13 IV-5.d.. Clé...13 IV-5.e.. Engrenage conique...14 V- ODELISER UNE CTION ECNIQUE PR UN TORSEUR :...15 V-1.. Introduction : V-2.. Torseur transmissible par une liaison parfaite : V-2.a.. Principe d analyse :...16 V-2.b.. Tableau des torseurs transmissibles des liaisons usuelles :...17 V-3.. Changement de point de réduction : V-4.. Particularité des torseurs : V-4.a.. Torseur glisseur...18 V-4.b.. Torseur couple...18 V-4.c.. ddition de torseurs...19 V-4.d.. ddition de résultantes de torseurs ou de forces...19 V-5.. Exercices d applications (TORSEUR TRNSISSILE)... 2 V-5.a.. Centreur...2 VI- FIGURES DECOUPER :...21 Hanzelet» I-Sommaire du chapitre 2: Page 2de 22

3 II-Notions générales : II- Notions générales : II-1.. Préambule : Système réel odélisation des liaisons et des actions mécaniques Etude statique ou dynamique Résistance des matériaux Vérification des caractéristiques des différents composants Vérification du dimensionnement des pièces II-2.. Définition d une action mécanique : On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer ou de modifier un mouvement, de déformer un corps : Exemple n 1 : ride hydraulique Pièce à brider L huile sous pression exerce sur le piston une action mécanique qui permet de pousser le piston (créer un mouvement ). Cette action mécanique comprime (déformer un corps) un ressort. Le basculement de la bride 1 amène la vis en contact avec la pièce à usiner. Cette vis exerce donc une action mécanique sur la pièce à usiner pour la maintenir immobile. «Hanzelet» II-Notions générales : Page 3de 22

4 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : II-3.. Différents types d actions mécaniques : Les actions mécaniques sont de deux types : II-3.a.. Les actions mécaniques à distance : Les actions mécaniques ne résultent d aucun contact entre 2 pièces (pesanteur, magnétisme). Exemple n 2 : Relais ou moteur électrique imantation : aimants permanents ou électro-aimants exercent des forces à distance qui engendrent une translation (relais) ou une rotation (moteur électrique) : Pesanteur (Poids) : La pesanteur sur terre, exerce une force à distance engendrant par exemple la chute verticale vers le sol d un objet soumis à cette seule action. II-3.b.. Les actions mécaniques de contact : Les actions mécaniques de contact résultents du contact entre 2 (liaisons mécaniques entre 2 solides). pièces Exemple n 3 : Distributeur Ces actions dépendent de la nature de la liaison au contact. Contact PONCTUEL (sphère/plan) Contact LINÉIRE (cylindre/plan) Contact surfacique d un fluide sur un solide Pour utiliser le P.F.S., nous avons besoin : De la notion de système isolé De la notion de ilan des ctions écaniques Extérieures II-4.. Notion de système matériel isolé Le système isolé peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce ais aussi un liquide ou un gaz L'isolement d'un système matériel {S} est une opération préalable indispensable pour pouvoir applique le P.F.S. Hanzelet» II-Notions générales : Page 4de 22

5 (S 1 ) (S 2 ) II-Notions générales : II-5.. Notion de ilan des ctions écaniques Extérieures à un système matériel {S}: Une action mécanique est extérieure à S si l action est de S =>S. ucun élément de S ne peut se trouver dans S P1 D C (S ) éthode : ction mécanique à distance (la masse est-elle négligeable?) ction mécanique de contact (on associe une action mécanique à chaque contact de S avec S ) P2 Exemple n 4 : Deux sphères dans un caisson rectangulaire Isolement de S 2 : (énumération des actions mécaniques) ction à distance : Poids de S 2, ction de contact : ction, en C de S sur S 2, ction, en D de S sur S 2, ction, en, de S 1 sur S 2. (S 2 ) D G 2 P2 C Isolement de S 1 +S 2 :(énumération) ction à distance : Poids de S 1, Poids de S 2, ction de contact : ction, en de S sur S 1, ction, en C de S sur S 2, ction, en D de S sur S 2. Rq : l action en est une action intérieure au système S 1 +S 2. II-6.. Notion sur le modèle d une action mécanique : On peut modéliser l action mécanique à l aide d un torseur. Voici l écriture en torseur d une action mécanique. { τ } 1 / 2 1 / 2 = ( 1 / 2 ) (S 1 ) (S 2 ) P1 G 1 Isolement de S 1 + S 2 D G 2 P2 C «Hanzelet» II-Notions générales : Page 5de 22

6 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : II-7.. Exercices d applications (E): II-7.a.. Portique : Un portique 2 est en liaison pivot avec un support fixe 1. Ce portique 2 est retenu par un tirant 3. L étude se fera dans le repère R(O,x,y,z) Toutes les liaisons sont supposées parfaites. Le bras 3 est supposé de masse négligeable. Le portique 2 est de masse non négligeable et son centre de gravité est en G. Travail à réaliser : Nous allons réaliser 3 isolements successifs le tirant 3, le portique 2 et l ensemble Pour chaque isolement : Enumérer les actions mécaniques extérieures Donner l écriture du torseur associé à l action mécanique. II-7.b.. Elingues et tuyau : Le crochet d une grue, introduit dans l anneau 4, va soulever le tuyau 1, avec l aide des deux élingues 2 et 5 munies respectivement des crochets 3 et6. Les élingues 2 et 5 sont respectivement accrochées à l anneau 4 en C et Le crochet est en contact avec l anneau 4 en E. Les élingues 2 et 5, les crochets 3 et 6 et l anneau 4 sont de masses négligeables au regard de la masse non négligeable des 6 tonnes du tuyau 1 (de centre de gravité G). Travail à réaliser : On envisage d utiliser quatre fois le principe fondamental de la statique en effectuant quatre isolements successifs (l élingue 2, l élingue 5, l ensemble et l ensemble ) pour déterminer les actions en,, C, D et E. Pour chaque isolement : Enumérer les actions mécaniques extérieures Donner l écriture du torseur associé à l action mécanique. Hanzelet» II-Notions générales : Page 6de 22

7 III- Notion de Force : la foire, considérons un homme qui tape dans un ballon. Le coup de poing de l homme 1 sur le ballon 2 provoque le déplacement de celui-ci, l homme a donc exercé une action mécanique sur le ballon. Nous allons modéliser cette action mécanique par un vecteur-force ou force : III-1.. Notation et unités: Notation : (1 2) Unités : Newton (N) c b III-2.. Caractéristiques géométriques (ou graphiques) d une force : Sens : Vers la gauche odule ou intensité : 15 Newtons III-3.. Vecteur-Force glissant ou glisseur : En mécanique, les forces sont modélisées par des GLISSEURS. Nous pouvons donc faire glisser une force le long de son support sans en changer son effet. utrement dit, le point d application de cette force peut-être quelconque sur le support imposé. III-4.. Caractéristiques analytiques ou composantes d une force : III-4.a.. Définitions : a (1 2) III-Notion de Force : Exemple n 5 allon à la foire Une force ou vecteur-force comporte quatre caractéristiques géométriques : Point d application : (1 2) Support ou droite d action : Horizontale «Hanzelet» III-Notion de Force : Page 7de 22 F Il faut d abord placer un repère tridimensionnel orthonormé direct R ( O, x, y, z ). Les vecteurs de base du repère orthonormé sont : i, j, k. On appelle composantes d une force, les projections orthogonales de la force dans le repère choisi R(O, x, y, z ). Composantes de a + b + c F odule ou intensité de 1 2 1/ 2. = a + b + c 2 2 2

8 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : III-4.b.. Composantes cartésiennes C + x + y 1/ 2 +. = x + y + Cx Cy C3/ 4 +. = Cx + Cy III-4.c.. Composantes cartésiennes en fonction de l angle et du module C cosα sinα C C cos β sin β Cy 1 2 α. 1 2 cos. C3 4 sin β 1 2 α C x Cx. 1 2 sin β y C 3 4 α C cos III-5.. odéliser une force due à la pesanteur : Pour un solide {S 2 } de masse "m 2 ", le poids se représenté par le "torseur-poids" s'exprime au centre de gravité G 2 du corps {S 2 } et il aura la forme suivante : Point d application : G 2 P 2. = ( cos α ) + ( sin α ) = [(cos α ) + (sin α ) ] = 1/ 2 = 1 Support ou droite d action : Verticale Sens : Vers le bas P = m g odule ou intensité : 2 2. "m" s'exprime en kg -2 g = 9,81 m.s à Paris g est l'accélération de la pesanteur. P en Newton β (S 2) D G 2 P2 C Hanzelet» III-Notion de Force : Page 8de 22

9 III-Notion de Force : III-6.. Exercices d applications (FORCES): III-6.a.. allon de foire Reprenons le cas du ballon de foire, l homme cette fois-ci frappe le ballon avec une intensité de 1 N et son bras fait un angle de 3 avec l horizontale comme la figure le montre ci-contre. Donnez la description géométrique de cette force. Dessinez cette force avec l échelle suivante : Echelle des forces : 1 cm 2,5 N Définissez les composantes cette force dans le repère défini sur la figure. cartésiennes de III-6.b.. Pont roulant Le pont roulant déplace une charge de masse 5 kg. Donnez la description géométrique de cette force. Dessinez cette force avec l échelle suivante : Echelle des forces : 1 cm 1 N III-6.c.. blocage L ablocage est un mécanisme permettant un maintient en position de la pièce 1. Le serrage de l écrou sphérique 4, en liaison rotule de centre C avec la rondelle 3, provoque le serrage de la pièce 1 en par la bride 2 en appui sur la pige 6. L étude de l équilibre de l ensemble 2+3 nous donne les résultats dessinés sur la figure 1. Définissez les composantes cartésiennes des forces (1 2), (6 2), C (3 2) repère défini dans la figure. dans le «Hanzelet» III-Notion de Force : Page 9de 22

10 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : IV- Notion de oment : IV-1.. Introduction : Le moment d une force par rapport à un point est un outil qui permet de mesurer la capacité de cette force à créer un mouvement rotation autour de ce point. Exemple n 6 Fermeture d'une porte utilisateur / porte Le moment de la force de l utilisateur par rapport au point est sa capacité à faire tourner la porte autour du point Le moment de 1/ 2 par rapport au point est un dont les caractéristiques sont vecteur noté ( 1/ 2 ) les suivantes : y 1 er cas : L utilisateur pousse la porte au niveau de la charnière (au point : centre de la liaison) ; il exerce une O x 1 2 force 1/ 2. Quelque soit l intensité de cette force, la porte ne 1/ 2 est nul tourne pas car le moment ( ) y O x 1 2 2ème cas : l utilisateur pousse la porte au niveau de la poignée au point avec la même force. On constate que la porte tourne car le moment ( 1/ 2 ) n est pal nul IV-2.. Notation et unités: Le moment de 1/ 2 sont les suivantes : Unités : N.m par rapport au point est un vecteur noté ( 1/ 2 ) dont les caractéristiques Hanzelet» IV-Notion de oment : Page 1de 22

11 IV-Notion de oment : IV-3.. Caractéristiques géométriques du moment d une force : On considère une force appliquée en un point et un point quelconque. Le moment de 1/ 2 par rapport au point est un vecteur noté ( 1 / 2 ) dont les caractéristiques géométriques sont les suivantes : Support : Perpendiculaire au plan contenant le point et la force 1/ 2 : Sens On applique la règle du «tire-bouchon» en considérant que 1/ 2 fait tourner le tirebouchon autour de. : 1/ 2 Intensité : Elle s exprime en Newton mètre (N.m): = H. ( ) 1/2 1/2 IV-4.. Caractéristiques analytiques du moment d une force : alors L = b c = c a N = a b Le moment par rapport au point de la force appliquée en a pour expression : 1/ 2 = On a les vecteurs suivants : ( ) 1/ 2 1/ 2 H 1/ 2 L a ( 1/2 ) ; b ; 1/2 N c a a a b c a b - c b ^ b b = b = c - a c c c c a a a b b b a b - c b = c - a c a - b a b «Hanzelet» IV-Notion de oment : Page 11de 22

12 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : IV-5.. Exercices d application (OENT) : IV-5.a.. Engrenage hélicoïdal h L action du pignon 1 sur la roue 2 d un engrenage est représentée ci-dessous. Cet engrenage est a denture hélicoïdale, ce qui explique F l inclinaison de cette force (1 2) en I. Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à O de l action du pignon 1 sur la roue2. IV-5.b.. Engrenage hélicoïdal (suite) L action du pignon 1 sur la roue 2 d un engrenage est représentée ci-dessous. On a décomposé l action du pignon 1 sur la roue 2 en trois forces Fr Ft et Fa en I Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à O de la force Fr Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à O de la force Ft Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à O de la force Fa Effectuez la somme de ces trois moments et comparez le résultat. Fr 34 Ft Fa F (1 2) OI r OI r Hanzelet» IV-Notion de oment : Page 12de 22

13 IV-5.c.. Tractopelle Le tractopelle se compose d un ensemble tracteur de centre de gravité G1 et de masse m 1 (6 Tonnes) et d un système de levage muni d un godet de centre de gravité G2 de masse m 2 (1 Tonne). La charge transportée de centre de gravité G3 et de masse m 3.(5 kg). Vérification du non basculement du tractopelle autour du point. Le tractopelle ne basculera pas si : /(P 1 ) /(P 2 ) + /(P 3) Calculer : /(P 1), /(P 2) (P ) et / 3 Vérifier l inégalité précédente. IV-5.d.. Clé Un utilisateur 3 agit sur une clé 1 pour serrer un écrou 2. L intensité de cette action est de 3 N. Le mécanisme admet un plan de symétrie matériel de géométrie et de chargement, Clef 1 donc l étude se fera dans le repère R(, x, y).l axe ( G, y ) est vertical ascendant. Toutes les liaisons sont supposées parfaites. Vous devez décrire le...e. de l isolement de la clé 1 Donnez l écriture de l action sur la clé par l utilisateur, avec le modèle torseur IV-Notion de oment : Donnez la description géométrique de la force U /1 de l utilisateur sur la clé 1. Donnez la description des composantes de la force U /1 de l utilisateur sur la clé 1 dans le repère R(, x, y). de la force de l utilisateur sur la clé Donnez la description géométrique du moment ( u/1 ) 1 par rapport au point. Donnez la description des composantes du moment ( u/1 ) rapport au point dans le repère R(, x, y, z). Ecrou 2 14 y 125 F 3 de l utilisateur sur la clé 1 par x Utilisateur «Hanzelet» IV-Notion de oment : Page 13de 22

14 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : IV-5.e.. Engrenage conique L action du pignon 1 sur la roue 2 d un engrenage conique est représentée ci-contre. On a décomposé l action du pignon 1 sur la roue 2 en trois forces Fr Ft et Fa en I Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à S de la force Fr Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à S de la force Ft Déterminez les composantes cartésiennes du moment par rapport à S de la force Fa Effectuez la somme de ces trois moments. Fr 17 Ft Fa r. Tang3 SI r Hanzelet» IV-Notion de oment : Page 14de 22

15 V-odéliser une action mécanique par un torseur : V- odéliser une action mécanique par un torseur : V-1.. Introduction : Toute action mécanique est entièrement modélisée, d un point de vue mécanique, par un torseur. Notation : { } τ 1/2 ( 1/ 2) 1/ 2 L 1/ 2 = = 1/ 2 1/ 2 N,R Le vecteur force 1/ 2 s appelle la résultante du torseur. 1/ 2 s appelle le moment du torseur. Le vecteur moment ( ) 1/2, 1/2, 1/2, L, et N sont appelés les éléments de réduction du torseur 1/2, 1/2, 1/2, sont les composantes de la résultante du torseur exprimées dans le repère R L, et N sont les composantes du moment du torseur exprimées dans le repère R Reprenons l exemple de la porte : y O y x x a b { T } { T } 1 2 = { T } 1 2 { T } 1 2 (1 2) (1 2) x = + y, R (1 2) = 1 2 (1 2) x = + y a. y b. x +, R «Hanzelet» V-odéliser une action mécanique par un torseur : Page 15de 22

16 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : V-2.. Torseur transmissible par une liaison parfaite : V-2.a.. Principe d analyse : Tx Ty Tz 1/ 2 1/ 2 1/ 2 L N Rx Ry Rz Lorsque 2 pièces (ou groupes cinématiques) sont liées par une liaison usuelle parfaite, la forme de l.. qu elles peuvent exercer l une sur l autre dépend de la nature de la liaison (voir tableau). Si la liaison permet un mouvement de translation suivant une direction, aucune résultante ne peut alors être transmise suivant cette direction. Si la liaison permet un mouvement de rotation autour d un axe, aucun moment ne peut alors être transmis selon cet axe. Prenons l exemple d une ponctuelle de normale (, x ) L = Rx Ty Ry = = Tz N = = Rz Hanzelet» V-odéliser une action mécanique par un torseur : Page 16de 22

17 V-odéliser une action mécanique par un torseur : V-2.b.. Tableau des torseurs transmissibles des liaisons usuelles : Liaison Torseur transmissible Encastrement Glissière d'axe (, ) Pivot d axe (, ) Pivot glissant d axe (, ) Schématisation spatiale Schématisation plane vt. de translation Rotule à doigt de centre ppui plan de normale (, ) Rotule de centre Linéaire rectiligne de (, ) et l.c. (, y ) Linéaire annulaire d axe (, ) Ponctuelle de normale (, ) Hélicoïdale d axe (, ) Tx Tx Ty Tz Ty Tz Tx Ty Tz Tx L N L N N N L N N L N vt. de rotation Rx Rx Ry Rz Rx Rx Ry Rz Rx Ry Rx Ry Rz Rx Ry Rz Rx «Hanzelet» V-odéliser une action mécanique par un torseur : Page 17de 22

18 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : V-3.. Changement de point de réduction : le torseur. R = cst ou (1 2) = cst La résultante d un torseur est invariante (ne change pas) quel que soit le point auquel on exprime Lorsqu on change le point de réduction d un torseur, seule l expression du moment varie. La loi du transport des moments permet alors, connaissant le moment de l.. en un point, de déterminer le moment en n importe quel point : ( 1/ 2) = ( 1/ 2) + R1/ 2 ( 1/ 2) = ( 1/ 2) + 1/ 2 1/ 2 = 1/ 2 + V-4.. Particularité des torseurs : V-4.a.. Torseur glisseur ( ) ( ) 1/ 2 a x = + b + y a. y + b. x On appelle torseur glisseur au point, tout torseur associé à une action mécanique dont le moment résultant est nul en ce point. R(2 1) Un torseur glisseur est un torseur dont le moment est nul en un point. { τ } = (2 1) (2 1) Dans notre exemple ci-dessus le torseur d une force est un torseur glisseur V-4.b.. Torseur couple On appelle torseur couple, tout torseur associé à une action mécanique dont la résultante est nulle. Les éléments de réduction d un torseur couple sont les mêmes en tout point. = { τ } 2/1 { τ } 2/1 L (2 / 1) = = = (2 / 1) (2 / 1)... R L (2 / 1) = = = (2 / 1) (2 / 1)... R Hanzelet» V-odéliser une action mécanique par un torseur : Page 18de 22

19 V-odéliser une action mécanique par un torseur : V-4.c.. ddition de torseurs On peut faire la somme de 2 torseurs uniquement s ils sont exprimés au même point (même point de réduction). Dans ce cas on additionne les résultantes entre elles et les moments entre eux τ { (1/2)} τ { (3/2)} L = N L = N (,R) (,R) L L + L + L + = + + N N + N + N V-4.d.. ddition de résultantes de torseurs ou de forces ddition de résultantes de torseurs ou de forces concourrantes R C 3 4 C 3 4 RC ddition de résultantes de torseurs ou de forces parralelles C3 4 RC R RC C 3 4 «Hanzelet» V-odéliser une action mécanique par un torseur : Page 19de 22

20 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : V-5.. Exercices d applications (TORSEUR TRNSISSILE) V-5.a.. Centreur Voici le schéma cinématique d un centreur. Le moto réducteur fait tourner le vilebrequin 5 par rapport au bâti 1 pour entraîner le levier 1, qui fera tourner le coude 11 par rapport au bâti 1. Ce coude 11 par l intermédiaire du levier 19 fait glisser le centreur 18 par rapport au bâti 1. Une étude statique de ce mécanisme exige la détermination des torseurs transmissibles suivants : Déterminer la forme du torseur transmissible de 5 sur 1. Déterminer la forme du torseur transmissible de 1 sur 11. Déterminer la forme du torseur transmissible de 19 sur 17. Déterminer la forme du torseur transmissible de 1 sur 17. Hanzelet» V-odéliser une action mécanique par un torseur : Page 2de 22

21 VI-Figures à découper : VI- Figures à découper : 4 y E 6 5 C H D G x P ( P = 6 dan) «Hanzelet» VI-Figures à découper : Page 21de 22

22 Chapitre 2:odélisation des actions mécaniques : P2 P y 125 Ecrou 2 14 Clef 1 x F 3 Utilisateur Hanzelet» VI-Figures à découper : Page 22de 22