Ceci est un examen à livre ouvert. Seules les calculatrices non-programmables et non-graphiques sont permises. Total = 18 points. Il y a 13 pages.

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1 MAT 3777 Test de mi-session Date: 12 février 2009 Durée: 80 minutes Professeur: G. Lamothe # d étudiant: Nom: Prénom: Ceci est un examen à livre ouvert. Seules les calculatrices non-programmables et non-graphiques sont permises. Total = 18 points Il y a 13 pages. 1

2 Partie I - Questions à choix multiples Question 1 (1 point) Version française. Une usine a vingt chaînes de montage produisant un jouet populaire. Pour vérifier un échantillon représentatif de 100 jouets, le personnel du contrôle de la qualité ont cueilli au hasard 5 jouets de chaque chaîne. Ont-ils utilisé un plan d échantillonage aléatoire simple? A) Oui, parce que les jouets ont été sélectionnés au hasard. B) Oui, parce que chaque jouet produits avait une chance égale d être sélectionné. C) Non, parce que pas toutes les combinaisons de 100 jouets pourrait être choisi. D) Oui, parce qu un échantillon stratifié est un type d échantillon aléatoire simple. English Version. A factory has 20 assembly lines producing a popular toy. To inspect a representative sample of 100 toys, quality control staff randomly selected 5 toys from each lines output. Did they use a simple random sample design? A) Yes, because the toys were selected at random. B) Yes, because each toy produced had an equal chance to be selected. C) No, because not all combinations of 100 toys could have been chosen. D) Yes, because a stratified sample is a type of simple random sample. Réponse : 2

3 Question 2 (1 point) Version française. Le sondage Gallup a décidé d accroître la taille de son échantillon aléatoire des électeurs canadiens d environ 1500 personnes à environ 4000 personnes. L effet de cette augmentation est de: (A) réduire le biais de l estimation. (B) augmenter l erreur type de l estimation. (C) réduire la variabilité de l estimation. (D) augmenter la longueur de l intervalle de confiance pour le paramètre. (E) n a aucun effet parce que la taille de la population est la même. English Version. The Gallup Poll has decided to increase the size of its random sample of Canadian voters from about 1500 people to about 4000 people. The effect of this increase is to: (A) reduce the bias of the estimate. (B) increase the standard error of the estimate. (C) reduce the variability of the estimate. (D) increase the confidence interval width for the parameter. (E) have no effect because the population size is the same. Réponse : 3

4 Question 3 (1 point) Version française. Une vérificatrice est donnée une mission de choisir et de vérifier 26 entreprises. Elle énumère toutes les sociétés dont le nom commence par A, assigne à chacun un numéro, et utilise une table de nombres aléatoires pour choisir un de ces nombres et ainsi une société. Elle utilise la même procédure pour chaque lettre de l alphabet et ensuite combine les 26 résultats dans un groupe pour la vérification. Lequel(s) des énoncés suivants sont des vrais déclarations? I. Elle utilise un plan d échantillonage probabiliste. II. Son procédé a comme conséquence un échantillon aléatoire simple. III. Chaque compagnie a une probabilité égale de sélection. A) I et II B) I et III C) II et III D) I, II et III E) Aucune de ce qui précède ne donne l ensemble complet des vraies déclarations. English version. An auditor is given an assignment to choose and audit 26 companies. She lists all companies whose name begins with A, assigns each a number, and uses a random number table to pick one of these number and thus one company. She proceeds to use the same procedure for each letter of the alphabet and then combines the 26 results into a group for auditing. Which of the following are true statements? I. She is using a probability sampling design. II. Her procedure results in a simple random sample. III. Each company has an equal probability of being selected. A) I and II B) I and III C) II and III D) I, II and III E) None of the above gives the complete set of true responses. Réponse: 4

5 Question 4 (1 point) Version française. Considérons une population de N = 100 unités dont 15 sont non-conformes. Si on cueille un échantillon aléatoire simple avec remplacement de taille n = 10, quelle est la probabilité qu il y ait au moins 2 observations non-conformes? English Version. Consider a population of N = 100 units such that 15 are non-conforming. If we select a simple random sample with remplacement of size n = 10, what is the probability that there are at least 2 non-conforming observations? A) B) C) D) E) Réponse : Question 5 (1 point) Version française. Considérons une population de N = 100 unités dont 15 sont non-conformes. Si on cueille un échantillon aléatoire simple sans remplacement de taille n = 10, quelle est la probabilité qu il y ait au moins 2 observations non-conformes? English Version. Consider a population of N = 100 units such that 15 are non-conforming. If we select a simple random sample without remplacement of size n = 10, what is the probability that there are at least 2 non-conforming observations? A) B) C) D) E) Réponse : 5

6 Question 6 (1 point) Version Française. Le directeur d une banque qui a 1000 déposants dans une petite ville veut déterminer la proportion de ses déposants avec plus d un compte à la banque. Le directeur d agence veut être 95 % confiants que l erreur dans l estimation de la vraie proportion de la population des déposants qui ont plus d un compte à la banque sera moins de Quelle taille d échantillon est requis si le prélèvement est fait sans remplacement? Version Anglaise. The manager of a bank that has 1,000 depositors in a small city wants to determine the proportion of its depositors with more than one account at the bank. A bank manager wants to be 95% confident that the error in the estimation of the true population proportion of depositors who have more than one account at the bank will be less than What sample size is needed if sampling is done without replacement? A) 385 B) 278 C) 975 D) 1125 E) 411 Réponse : 6

7 Partie II - Questions à réponses Question 7 (4 points) Considérons une population de taille N = 5 et supposons qu on connait y 1 = 5, y 2 = 25, y 3 = 7, y 4 = 5, y 5 = 30. (a) Calculer la moyenne et la variance de la population. (b) Considérons le plan d échantillonage suivant. S P (S) {1, 5} 1/4 {2, 3} 1/2 {2, 5} 1/2 Si y est la moyenne de l échantillon. Calculer E[y], V [y], biais[y], EQM[y]. (c) Compare le plan d échantillonage en (b) au plan d échantillonage simple (avec remplacement). Lequel préfères-tu? (Pourquoi?) English Version. Consider a population of size N = 5 et suppose that we know y 1 = 5, y 2 = 25, y 3 = 7, y 4 = 5, y 5 = 30. (a) Calculate the mean and the variance of the population. (b) Consider the following sampling design S P (S) {1, 5} 1/4 {2, 3} 1/2 {2, 5} 1/2 If y is the sample mean. Calculate E[y], V [y], bias[y], MSE[y]. (c) Compare the sampling design from (b) to a simple random sample design (without remplacement). Which do you prefer? Why? 7

8 (Question 7 : cont.) 8

9 Question 8 (4 points) Les directeurs de Wildland veulent estimer le nombre de caribou dans la harde de Nelchina dans l Alaska central du sud. La densité de caribou diffère pour les différents types d habitat. Une enquête par photographies aériennes préliminaire a identifié le secteur employé par le troupeau, et le secteur fut divisé en quatres strates basées sur le type d habitat. L organisateur a décidé de diviser le secteur en sous-domaines appelés des quadrats, chaque d une superficie de 4 km 2. Le sondage principal sera mené en choisissant un échantillon aléatoire simple de quadrats dans chaque strate; le nombre du caribou, y, dans les quadrats sera compté d une photographie aérienne. Les estimations des moyennes et des écarts type des mesures, y, dans chaque strate basée sur un échantillon stratifié de 151 quadrats sont dans le tableau ci-dessous. Strate (h) N h n h y h s h N h s h Total (a) Basé sur ce plan stratifié estimer le nombre total de caribou dans la harde et calculer l erreur type de l estimation. (b) Supposons que nous allons cueillir un total de n = 200 quadrats. Pour une allocation (i) proportionnelle et (ii) Neyman, donner les allocations n h pour h = 1,..., 6. English Version. Wildland managers want to estimate the total number of caribou in the Nelchina herd located in south central Alaska. The density of caribou differs dramatically in different types of habitat. A preliminary aerial survey has identified the area used by the herd, and divided it into four strata based on habitat type. The organiser has decided to divide the area into sub-areas called quadrats, each 4km 2. The main survey will be conducted by selecting a simple random sample of quadrats from each stratum; the number of caribou, y, in the quadrats will be counted from an aerial photograph. Estimates of the means and standard deviations of the measurements, y, in each stratum based on a stratified sample of 151 quadrats are above in the French version. 9

10 (a) Based on this stratified design estimate the total number of caribou in the herd and give the standard error of the estimate. (b) Suppose that we will collect a total of n = 400 quadrats. For the (i) proportional allocation and the (ii) Neyman allocation, give the allocations n h pour h = 1,..., 6. 10

11 (Question 8 : cont.) 11

12 Question 9 (4 points) Considérons la population de la Question 7. Proposer une stratification de la population tel que V (y str ) < V SRS (y). English Version. Consider the population from Question 7. Propose a stratification of the population such that V (y str ) < V SRS (y). 12

13 (Question 9 : cont.) 13