TD : Introduction au monde quantique

Transcription

1 TD : Introduction au monde quantique Questions de cours SP6-Q1 Comment s appelle le quanton associée à la lumière? Quelle est la relation (dite de Planck-Einstein) entre l énergie et la fréquence de ce quanton? entre l énergie et la longueur d onde? Comment cette relation permet-elle de retrouver l unité de la constante de Planck? SP6-Q2 La quantité de mouvement p d un photon est donnée par la relatione = pc. En déduire la longueur d onde de l onde associée au photon en fonction de sa quantité de mouvement. SP6-Q3 Qu énonce le principe de dualité onde-particule de Louis de Broglie? Quelle est la relation de Louis de Broglie correspondante? Dans quel cas peut-elle s écrire sous la forme approchée λ = h mv? SP6-Q4 Comment se transpose la notion (classique) de position d une particule dans le cadre de la physique quantique? Qu appelle-t-on ψ(x, t)? Comment traite-t-on son évolution temporelle? SP6-Q5 Pour une particule en mouvement sur l axe Ox, quelle restriction la physique quantique impose à la connaissance simultanée de la position et de la vitesse? SP6-Q6 Une particule confinée dans un intervalle de longueur L de l axe Ox peut-elle être au repos? Quel système en mécanique classique offre une analogie simple? Savoirs-faire Évaluer des ordres de grandeurs typiques intervenant dans des phénomènes quantiques Cf. E6, E8, E9, E20, E21 Décrire une expérience mettant en évidence a notion de photon Cf. App. Doc, E1, E2, E4, E18, E19 Décrire une expérience illustrant la notion d onde de matière Cf. App. Doc, E10,E11 Décrire une expérience d interférences particules par particules. Expliquer qualitativement la nécessité d une amplitude de probabilité dont le module est proportionnel à la probabilité de présence. Cf. Cours, E12, E16 Établir les niveaux d énergie du puits quantique infini. Établir le lien qualitatif entre confinement spatial et quantification Cf. E13, E14, E15 Exercices Données Charge élémentaire : e = 1, C Masse de l électron : m e = 9, kg Masse du proton : m p = 1, kg Masse du neutron : m n = 1, kg Vitesse de la lumière : c = 2, m.s 1 Constante de Planck : h = 6, J.s Constante de Planck réduite : = h 2π = 1, J.s Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.KJ 1.mol 1 Nombre d Avogadro : N A = 6, mol 1 Constante de Boltzman : k B = R N A = 1, J.K 1 Permittivité du vide : ǫ 0 = 8, F.m 1

2 PTSI Exercices Introduction au monde quantique Dualité onde-particule de la lumière SP6-E1 Seuil photoélectrique du potassium On éclaire la cathode d une cellule photoélectrique avec une lumière monochromatique, de longueur d onde λ = 546, 1 nm (raie verte du mercure). La photocatode est en rubidium et son travail de sortie est 2, 20 ev. Calculer la longueur d onde du seuil photoélectrique et l énergie cinétique maximale des électrons que peut extraire un tel rayonnement de la cathode. En déduire la vitesse maximale des électrons arrachés. SP6-E2 Effet photoélectrique produit par un téléphone portable Un téléphone portable fonctionne à partir de la modulation d ondes électromagnétiques de type hertziens, dont la fréquence est de 1, 8 GHz. La puissance d une telle source d ondes hertziennes est 2 mw. 1) Calculer la longueur d onde de cette radiation, ainsi que l énergie en ev correspondante. Comparer cette énergie à l énergie de liaison d une molécule organique qui est de l ordre de 1 ev : ce rayonnement est-il ionisant? 2) Quel est le flux de photons N correspondant? Rép : 1) λ 16, 7 cm ; E 7, ev ; 2) N 1, photons.s 1 SP6-E3 Transitions associées aux niveaux atomiques profonds Les spectres des pertes d énergie des électrons, dans le carbone, le raie K de C 285 ev cuivre, le titane et le nickel, présentent les raies caractéristiques raie L de Cu 293 ev ci-contres. raie K de Ti ev Quelles sont les longueurs d onde du rayonnement associé à raie L de Ti 460 ev ces énergies? À quel domaine du spectre électromagnétique ces raie K de Ni ev longueurs d onde appartiennent-elles? raie L de Ni 780 ev Rép : λ (K de C) = 4, 35 nm ; λ (L de Cu) = 4, 23 nm ; λ (K de Ti) = 0, 247 nm ; λ (L de Ti) = 2, 69 nm ; λ (K de Ni) = 0, 148 nm ; λ (L de Ni) = 1, 59 nm SP6-E4 Diffusion Compton L américain Arthur Compton a réalisé en 1923 l expérience suivante : il a envoyé des rayons X sur une mince feuille de graphite. Derrière cette feuille, il a placé un détecteur de rayons X qu il peut faire tourner d un angle θ par rapport à la direction des rayons incidents. θ = 90 θ = 0 90 λ λ' λ Spectre du rayonnement diffusé Photon X diffusé Détecteur de rayons X Source de rayons X Photon X incident Cible en graphite θ ϕ Electron diffusé 0 Il constate alors : (a) que des électrons sont arrachés de la cible ; (b) que les rayons X incidents sont diffusés (déviés) dans toutes les directions avec une longueur d onde λ différente de la longueur d onde λ des rayons incidents, et dépendant de l angle θ. 2 jpqadri@gmail.com

3 Exercices Introduction au monde quantique PTSI Il établit la relation entre les longueurs d onde du rayonnement incident et du rayonnement diffusé : λ λ = h (1 cos θ) m e c h 1) Montrer que m est homogène à une longueur λ ec C,e (appelée longueur d onde Compton de l électron) et la calculer. 2) Pourquoi cette expérience est-elle intéressante spécialement avec des rayons X? 3) Comment évolue l énergie du photon dans cette expérience? 4) Pour des rayons X tels que λ = 7, m, Compton a observé des rayons X diffusés à 90ř. Quelle est la longueur d onde λ des photons diffusés avec une énergie différente des photons incidents? 5) Quelle est l énergie perdue par un photon? Qu en déduire sachant qu une énergie d ionisation est de l ordre de la dizaine d électronvolts? 6) Sur la figure du spectre de rayonnement diffusé à θ = 90, comment interpréter la présence du plus petit pic, à gauche, qui correspond à un photon diffusé, mais sans perte d énergie? 7) En quoi cette expérience a-t-elle conforté l idée que le rayonnement est constitué de particules, les photons? Elle valut à Compton le prix Nobel de physique en Rép : 1) λ C,e 2, 4 pm ; 4) λ 73, 2 pm ; 5) E varphi 600 ev SP6-E5 Flux de photons provenant d une étoile Flux solaire : Le flux solaire, au niveau du sol terrestre, vaut environ Φ S = 500W.m 2 (flux surfacique). 1) Si on considère que la longueur d onde moyenne de ce rayonnement solaire est λ m = 590 nm, quel est le nombre de photons arrivant sur Terre, par seconde et par mètre carré? 2) Donner l ordre de grandeur de l énergie E reçue par un œil regardant pendant une seconde le Soleil au travers d un filtre ne laissant passer que 10 3 % de l énergie. La pupille a alors un diamètre D = 2 mm. Estimer le nombre de photons entrant alors dans dans l œil pendant cette durée de une seconde (il s agit d un flux de photon N). Vision nocturne : Dans l obscurité, la pupille s ouvre jusqu à un diamètre de 8 mm, en quelques secondes. La rétine devient plus sensible qu en pleine lumière : elle s adapte, ce qui lui prend environ 30 minutes. Ce sont alors les bâtonnets, plus sensibles que les cônes, qui nous permettent d y voir : l œil passe en vision scotopique. Les couleurs sont très peu perçues alors car ce sont les cônes (et non les bâtonnets) qui permettent de les discerner. Les étoiles visibles les plus faibles émettent au niveau de la Terre un flux d environ Φ = W.cm 2. On prend pour longueur d onde moyenne des photons issues de ces étoiles la même valeur que pour les photons solaire (hypothèse valide si la température de l étoile est proche de celle du Soleil). 3) Quel est le nombre de photons reçus alors par l œil pendant 1 seconde? 4) Pour avoir une perception continue de la lumière, les cellules de l œil doivent être excitées environ toutes les 0,1 secondes. Commentez le résultat précédent. Dualité onde-particule de la matière SP6-E6 Analyse quantique qualitative de l atome d hydrogène Analyse dimensionnelle : On sait que l atome d hydrogène est constitué d un électron (masse m e ) en interaction électromagnétique avec un proton (masse m p ). 1) En s appuyant sur des équations aux dimensions, trouver une énergie caractéristique de l atome à partir de h, qe 2 = e2 et m e. Calculer sa valeur. 4πǫ 0 2) Même question pour une vitesse caractéristique. Commenter, sachant qu on peut négliger les effets relativiste dans la théorie quantique pour v < 0, 1c. En déduire un ordre de grandeur de l énergie cinétique de l électron. Longueur d onde de de Broglie : En considérant que la vitesse de l électron est de m.s 1 : 3) évaluer la longueur d onde de de Broglie correspondante. Les aspects quantiques sont-ils importants? Quelles en sont les conséquences expérimentales? jpqadri@gmail.com 3

4 PTSI Exercices Introduction au monde quantique Inégalité d Heisenberg : L électron d un atome d hydrogène est confiné dans une zone de taille a m autour du proton. 4) D après l inégalité d Heisenberg, retrouver l ordre de grandeur de la vitesse de l électron. Rép : 1) E = me.q4 e 27, 2 ev ; 2) v = q2 e 2 2, m.s 1 ; E k = 13, 6 ev ; 3) λ DB = 0, 33 nm ; 4) v x m.s m.s 1 SP6-E7 Vitesse de propagation de l onde de de Broglie Une particule de masse m se déplace à la vitesse v très inférieure à la vitesse de la lumière. Elle n est soumise à aucune force ; donc son énergie E se réduit à son énergie cinétique. On souhaite trouver la vitesse de propagation de l onde de de Broglie. 1) Exprimer le vecteur d onde k DB de l onde de de Broglie en focntion de m et v. 2) En admettant que la relation de Planck-Einstein reliant l énergie du photon à sa pulsation est aussi valable pour la particule, exprimer ω DB en fonction de m, v et h. 3) En déduire la vitesse de propagation de l onde de de Broglie, appelée «vitesse de phase»et notée v ϕ (alors que la vitesse de la particule est appelée «vitesse de groupe»). Rép : 1) k DB = 2πmv ; 2) ω DB = πmv2 ; 3) v ϕ = v 2 h h SP6-E8 Longueur d onde broglienne λ DB d électrons Exprimer la longueur d onde λ DB d un électron en fonction du potentiel d accélération V a en mécanique classique newtonienne. On donne, en mécanique newtonienne (v c) la relation : E k = ev a. 1) Calculer λ DB dans les trois cas suivants : V a = 1 kv, V a = 100 kv et V a = 1 MV. 2) Dans chacun des cas, vérifiez la validité de l hypothèse non relativiste : - en évaluant la vitesse v classique correspondante - en sachant qu un calcul en mécanique einsteinienne conduit à : λ DB (1 kv ) 38, 8 pm λ DB (100 kv ) 3, 71 pm λ DB (1 MV ) 0, 94 pm Rép : 1) λ DB(1 kv ) 38, 8 pm λ DB(100 kv ) 3, 88 pm λ DB(1 MV ) 1, 23 pm SP6-E9 Longueur d onde broglienne λ DB des neutrons Calculer la longueur d onde λ DB de neutrons provenant de trois sources différentes, de températures respectives 25 K, 300 K et K. p 2 On donne la relation : 2m = 3 2 k BT. En déduire la nature des sources utilisables dans l étude de la diffraction de ces neutrons par des cristaux. Rép : λ DB(25 K) 0, 5 nm λ DB(300 K) 146 pm λ DB(2 000 K) 56 pm SP6-E10 Diffraction d électrons par un cristal et loi de Bragg Dans un monocristal, on regroupe les atomes par familles de plans réticulaires, parallèles et équidistants. Un faisceau parallèle monochromatique d électrons pénètre dans un monocristal sous un angle d incidence π 2 θ par rapport à la normale à une famille de plans réticulaires. On observe une réflexion du faisceau incident par les plans réticulaires pour des valeurs de θ reliées à la longueur d onde λ DB et à la distance d entre deux plans successifs par la relation de Bragg 2d sin θ = nλ DB, n étant un entier. 1) Établir la relation précédente en exprimant la différence de phase entre les ondes diffusées par les atomes de deux plans réticulaires successifs. 2) On bombarde avec des électrons de 100 kev un cristal de chlorure de sodium. Trouver l angle θ correspondant à la réflexion de Bragg, du premier ordre, sur les plans réticulaires distants de d = 281 pm. 4 jpqadri@gmail.com

5 Exercices Introduction au monde quantique PTSI 3) D où vient l écart entre la valeur θ trouvée en 2) et la valeur expérimentale (proche par valeur inférieure de 23 )? Utiliser la question 2) de SP6-E8 pour retrouver cette valeur. Rép : 2) θ 24 SP6-E11 Filtrage de neutrons Dans cette question, on cherche à filtrer en énergie un faisceau de neutrons, on utilise un monocristal dont les plans réticulaires sont distants de d = 0, 11 nm (Cf figure précédente), et on sélectionne les neutrons réfléchis sous un angle de Bragg égal à θ = 30, à l ordre 1. Calculer l énergie cinétique des neutrons filtrés. Rép : E k 68meV SP6-E12 Les atomes aussi interfèrent En 1992, les physiciens japonais Shimizu et Takuma ont réalisé une expérience d interférences atomiques équivalente à l expérience des fentes d Young pour la lumière (Fig. 1). Un nuage de quelques millions d atomes de néon est capturé et refroidi au mk. Il est ensuite lâché sans vitesse initiale à 3, 5 cm au dessus d un écran percé de 2 fentes parallèles, de largeur égale à 2, 0 µm et distantes de a = 6, 0 µm. Les atomes sont alors détectés sur une plaque située à une distance D = 85 cm à l aplomb du plan des fentes (Fig. 2). Chaque point noir sur la plaque réceptrice représente l impact d un atome. On donne la masse molaire du néon : M(Ne) = 20 g.mol 1. 1) Pourquoi est-il plus difficile de réaliser une telle expérience avec des atomes plutôt qu avec des électrons? Pourquoi utilise-t-on des atomes «froids»? 2) Comment se manifestent respectivement les caractères corpusculaire et ondulatoire des atomes de néon dans cette expérience? 3) Évaluer la vitesse v s et la longueur d onde de de Broglie λ s au niveau des deux fentes (si l on suppose la vitesse initiale voisine de zéro). Commentaire tenant compte de la largeur des fentes. 4) Déterminer l interfrange i exp à partir de la figure d interférence à grande distance de la Figure 2. Expliquer l écart avec la valeur numérique de l expression i Y = λ sd qu on attendrait pour a l interfrange si l analogie avec la figure d interfrences des fentes d Young était parfaite. 5) Montrer que l interfrange expérimental est donné par la relation : i th = h. D 1 + α 1) mv s a.2( avec : α = 2gD α vs 2 Rép : 3) v s 0, 83 m.s 1 ; 4) i exp 1, 2 mm ; i Y 3, 4 mm ; 4) i th 1, 3 mm jpqadri@gmail.com 5

6 PTSI Exercices Introduction au monde quantique Inégalité de Heisenberg et confinement SP6-E13 particule dans un puits de potentiel infini Une particule de masse m est astreinte à se déplacer librement sur un axe Ox entre deux points O et A distants de a l un de l autre. Cela revient à dire que la particule est enfermée dans une «boîte» de longueur a avec des murs infiniment hauts. Minimum d énergie 1) Tracer l énergie potentielle souvent appelée potentiel et notée V (x), et en déduire l énergie E de la particule en fonction de son énergie cinétique E k. 2) Justifier que le confinement spatial de la particule conduise à une énergie minimale E min, à évaluer en fonction de, m et a ; commentaires. Quantification des niveaux d énergie 3) Déduire des conditions aux limites que l état associée à la particule est une superposition d ondes stationnaires ; quelle analogie est-il possible d invoquer? 4) Déterminer l énergie E n du niveau n en fonction de E 1, énergie du niveau fondamental (à exprimer en fonction des données) et de n ; commentaires. Comparer E min et E 1. Rép : 2) E min = 2 2ma = h 2 2 8π 2 ma ; 4) 2 En = n2 E 1 ; E 1 = π2 2 2ma = 2 h2 8ma 2 SP6-E14 Taille de l atome d hydrogène Dans le spectre de l atome d hydrogène, la radiation α de la série de Lyman, qui correspond à la transition du niveau n = 2 au niveau n = 1, a pour longueur d onde λ = 121, 60 nm. 1) Rappeler l expression de l énergie des états stationnaires dans un puits d énergie potentielle infiniment profond, unidimensionnel, de largeur L, pour un objet de masse m. 2) À l aide du modèle précédent, trouver un ordre de grandeur du diamètre de l atome d hydrogène. Comparer à la valeur connue du diamètre de l atome de Bohr (d = 2a 0 = 0, 11 nm). Commenter. 3 hλ Rép : 1) Cf exercice précédent, 2) ; 2) L = 8 m ec SP6-E15 Proton et hélion dans un noyau Dans un noyau, on peut considérer qu un proton est confiné dans un puits d énergie potentielle infiniment profond, unidimensionnel de largeur L = 10 f m. Quelle est, en MeV, l énergie cinétique minimale que peut avoir un proton dans le noyau? Même question pour un hélion (noyau d hélium). Rép : 1) E proton 2, 06 MeV ; E hélion 514 kev SP6-E16 Probabilité de localisation d un atome Un atome en interaction avec un puits d énergie potentielle infiniment profond de largeur L = 2 nm, se trouve dans un état stationnaire d énergie E. On admet que sa fonction d onde Ψ(x, t) est de la forme : Ψ(x, t) = ψ(x). exp( iωt) L amplitude complexe ψ(x) de la fonction d onde de probabilité, associée à son état est choisie réelle : ( A. sin 3π x ) pour : 0 < x < L ψ(x) = L 0 ailleurs 1) Représenter graphiquement ψ(x) et ψ 2 (x). 2) Comment s exprime la probabilité de trouver l objet quantique entre x et x + dx? Quelle est la probabilité de trouver l objet quantique entre x = 0 et x = L? entre les abscisses x = 0 et x = L 3? 3) En déduire la constante A en précisant son unité ainsi que la fonction d onde Ψ(x, t). 4) Comment se comporterait une particule classique qui se trouverait dans un puits de potentiel infini? Rép : 1) A = 2 L ; 2) jpqadri@gmail.com

7 Exercices Introduction au monde quantique PTSI Exercices corrigés SP6-E17 Principe et propriétés d un laser On se propose de revoir ici le mode de fonctionnement et les propriétés d un laser. Pompage optique et émission stimulée : considérons trois niveaux d énergie croissant des atomes d un milieu : E l, E 2 et E 3. Un faisceau lumineux permet d exciter les atomes du niveau E 1 à un niveau excitée 3 de faible durée de vie. Les atomes se désexcitent très rapidement jusqu au niveau E 2 de plus grande durée de vie. Le système obtenu constitue le milieu actif et l émission stimulée permet de générer des photons de fréquence ν 12 que l on doit ensuite multiplier. 1) Tracer un diagramme des niveaux d énergie et indiquer la nature des diverses transitions. 2) Rappeler le principe de l émission stimulée. 3) Un laser du lycée de type He-Ne produit une lumière de 632, 8 nm. Quelle est sa couleur? Quelle est la différence des niveaux d énergie électronique associés? Cavité résonnante et amplification : une onde lumineuse transportant des photons de fréquence ν 12 traverse ce milieu actif entre deux miroirs distants de L. Un miroir est totalement réfléchissant et l autre permet réflexion partielle, entrée et sortie. L onde incidente effectue un certain nombre d allers et retours en subissant des réflexions. La longueur L doit être telle que toutes les ondes à la sortie de la cavité soient en phase (interférences constructives permettant l amplification). Miroir totalement réfléchissant Milieu actif L Miroir partiellement réfléchissant 4) Montrer que la condition se traduit par 2L = kλ avec k entier relatif. 5) Réciproquement, montrer qu un laser permet de sélectionner une lumière monochromatique. Directivité du faisceau laser : on sélectionne en sortie un faisceau très étroit de rayon r = 0, 20 mm. Si l on pointait ce laser sur la Lune, il formerait à sa surface une tache lumineuse de rayon R = 38 km. Sachant que la distance Terre-Lune est D = 3, km, calculer : 6) l angle de divergence angulaire 2α ; 7) le rayon d une tache lumineuse à d = 2, 0 m (échelle du laboratoire). Énergie d un faisceau laser : le laser He-Ne du laboratoire (632, 8 nm) a une puissance globale d émission de 2, 0 mw et émet un faisceau de rayon 0, 20 mm. 8) Calculer la puissance émise par unité de surface. 9) Calculer le nombre de photons par unité de temps et de surface. 10) Comparer à la puissance émise par un laser pulsé industriel fournissant une énergie de 1, 0 J sous forme d impulsion lumineuse d une durée s. SP6-E18 Effet photoélectrique Cf Approche documentaire Une radiation lumineuse monochromatique (dont on peut faire varier l intensité et la fréquence) frappe une plaque métallique. Si le transfert d énergie est suffisant, certains électrons sont extraits du métal et peuvent atteindre un collecteur. On mesure un courant dit photoélectrique. On appelle W le travail d extraction des électrons de ce métal (énergie nécessaire pour extraire un électron du réseau métallique, dépendant de la nature du métal). Aspect expérimental : On se propose d interpréter les résultats expérimentaux suivants : 1) Des électrons ne sont émis que si la fréquence de la radiation est supérieure à une radiation seuil ν s. Quelle est l expression de ν s? 2) Pour une fréquence supérieure au seuil, si un électron acquiert dans la plaque une énergie E, quelle sera son énergie cinétique une fois extrait de la plaque? 3) On peut annuler le courant au niveau du collecteur par freinage électrique en portant la jpqadri@gmail.com 7

8 PTSI Exercices Introduction au monde quantique plaque à un potentiel +V par rapport au collecteur. L énergie consommée ainsi par un électron pour aller de la plaque au collecteur est e.v. Montrer que pour chaque fréquence ν supérieure au seuil ν s, la tension V peut être augmentée jusqu à une certaine valeur dite tension d arrêt V a, pour laquelle le courant s annule. Justifier l allure de la courbe expérimentale de V a en fonction de ν. Quelle est la pente correspondante? 4) Si l on augmente l intensité lumineuse du faisceau, la fréquence seuil n est pas modifiée. Pour une fréquence ν supérieure au seuil, une augmentation de l intensité lumineuse ne change pas la valeur de V a, mais produit une augmentation du courant photoélectrique. Corréler ces résultats avec l interprétation d Einstein de la théorie des quanta. Application au sodium métallique : Son travail d extraction est de W = 2, 3 ev. 5) Calculer la fréquence seuil et la longueur d onde dans le vide correspondante. 6) Quelle est sa couleur? 7) On utilise un rayonnement UV de longueur d onde 200 nm. L effet photoélectrique a-t-il lieu? Quelle tension d arrêt faut-il appliquer pour l annuler? 8) Que vaut la masse, l énergie et la quantité de mouvement d un photon de longueur d onde 200 nm? SP6-E19 Effet Compton (2/*) Cf Figure SP6-E4 Compton observa que les rayons X diffusés possédaient une fréquence v 2 inférieure à celle des rayons X incidents de fréquence v 1, et que l angle de déviation θ des rayons X diffusés était fonction de la différence des fréquences. Dans cet exercice, On cherche à établir cette relation (qui était fournie dans SP6-E4). 1) La fréquence de l onde incidente est ν 1 = 2, Hz et la fréquence de l onde diffusée est ν 2 = 1, Hz. Quelles sont les longueurs d onde dans le vide correspondantes et la nature de ce rayonnement? 2) Quelle est l énergie E e de l électron diffusé (supposé primitivement au repos) en ev? 3) Quelle serait la vitesse de l électron diffusé en mécanique classique si sa masse m est de 9, kg? Justifier la nécessité de considérer un modèle relativiste. 4) Donner l expression de l énergie d un photon en fonction de sa quantité de mouvement. 5) Plus généralement, l énergie relativiste (énergie de masse plus énergie cinétique) d une particule de masse m et de quantité de mouvement p (de norme p) s écrit sous la forme : E = p 2 c 2 + m 2 c 4 Retrouver l expression de l énergie du photon de la question précédente. 6) En écrivant la conservation de la quantité de mouvement du système photon-électron au cours du choc, avec l indice 1 pour photon incident ( p 1 ), 2 pour photon diffusé ( p 1 ) et pas d indice pour l électron ( p ), montrer que l on obtient la relation : p 2 = p p 2 2 2p 1.p 2. cos θ 7) En écrivant la conservation de la masse-énergie, montrer que l on obtient la relation : p 2 = (p 1 p 2 ) 2 + 2mc.(p 1 p 2 ) 8) En utilisant les deux résultats précédents, montrer que la déviation θ vérifie : Calculer l angle θ. λ 2 λ 1 = h (1 cos θ) mc 8 jpqadri@gmail.com

9 Exercices Introduction au monde quantique PTSI SP6-E20 Dualité onde-corpuscle Caractère corpusculaire de la lumière Une lampe à vapeur de sodium émet un rayonnement lumineux de longueur d onde dans le vide 590 nm et de puissance 12 W dans toutes les directions de l espace. 1) Combien de photons N 0 sont émis par seconde? 2) À quelle distance de la lampe le nombre de photons par mètre carré et par seconde n est égal à ) Par analogie, calculer le nombre de photons qui atteignent le sol terrestre par mètre carré et par seconde issus du Soleil au zénith et leur quantité de mouvement, si l on mesure une puissance moyenne par mètre carré P (puissance surfacique) au niveau du sol de 1, W.m 2 pour une longueur d onde moyenne 590 nm. Caractère ondulatoire de la matière Pour déterminer les structures cristallines et moléculaires, on utilise les techniques de diffraction par rayons X ou par neutrons. Les neutrons thermiques sont produits dans les réacteurs nucléaires après collision sur plusieurs atomes. Leur énergie cinétique vaut 3 2 k BT à la température T, avec k B constante de Boltzmann. On peut donc contrôler leur longueur d onde en contrôlant la température d emploi. 4) Quelles sont la vitesse et la quantité de mouvement d un neutron à 300 K? 5) Quelle est la longueur d onde associée? Commenter cette valeur. 6) Par analogie, pour étudier l intérieur d un noyau où les distances sont de l ordre du fermi (10 15 m), peut-on utiliser la diffraction des neutrons? SP6-E21 Course aux hautes énergies pour détecter les plus petits détails La plupart des expériences de physique peuvent être sommairement résumer comme suit : un messager (photon, électron, neutron) explore la matière en interagissant avec elle ; le résultat de l interaction sur le messager est détecté puis traité. On donne la relation einsteinienne entre l énergie, l impulsion et la masse au repos d une particule : E = p 2 c 2 + m 2 c 4 1) Montrer à l aide de la relation d indétermination d Heisenberg que l observation de détails de plus en plus petits exige une quantité de mouvement et donc une énergie du messager de plus en plus grande. 2) Étudier les cas de l optique photonique E = 2 ev, de l optique électronique E k = 100 kev et des collisions avec des protons-projectiles de quantité de mouvement p = 2, 7 GeV.c 1 SP6-SE17 1) Il s agit d un diagramme à trois niveaux : Niveau d'énergie des atomes Emission spontanée 2 atome "excité" 2 E 3 E 2 E 1 pompage 3 transitions spontanées "rapides" transitions spontanées "lentes" 2 transitions stimulées 1 Emission stimulée 1 2 atome "excité" ν ν 12 ν 12 ν 12 Le pompage optique correspond au passage de E 1 à E 3, la désexcitation radiative spontanée correspond au passage de E 3 à E 2 et a pour conséquence de créer un milieu fortement peuplé en atome excité d énergie E 2. 2) Si un milieu est fortement peuplé en atomes d énergie E l, un photon de fréquence ν 12 rencontrera essentiellement ces atomes-là et permettra une absorption spontanée de 1 vers 2 puis une émission spontanée de 2 vers 1. En revanche, après le pompage optique, un photon de fréquence ν 12 rencontrera essentiellement des atomes d énergie E 2 et la collision provoquera une émission jpqadri@gmail.com 9

10 PTSI Exercices Introduction au monde quantique stimulée de type réaction en chaîne : désexcitation de 2 vers 1 et présence de deux photons ν 12 (le photon incident après collision et le photon induit par émission stimulée). 3) Une longueur d onde dans le vide de 632,8 nm correspond à une couleur rouge. 4) Prenons l origine des phases au niveau du miroir partiellement réfléchissant pour la première onde incidente de type sinusoïdale ou onde source : ( ) 2π y S = a. cos(ωt) = a. cos T t Pour un point M (distant de δ) atteint après la durée τ = δ on obtient : c [ ( 2π y M = a. cos t δ )] T c soit un déphasage retard de ϕ = 2π δ T c = 2π.δ λ Pour M et S au niveau du miroir partiellement réfléchisant, les deux ondes correspondantes sont en phase si ϕ = n.2π, soit : δ = n.λ, avec n un entier relatif. Au bout d un premier aller-retour, la nouvelle onde réfléchie aura une différence de marche de δ = 2L, et elle sera en phase avec la précédente si : δ = 2L = nλ. Et de même après plusieurs allers retours. 5) Pour une longueur L choisie, seules les ondes monochromatiques de longueur d onde λ = 2L n conduisent à des interférences constructives et sont amplifiées. On sélectionne bien une lumière monochromatique. 6) Le faisceau est très directif, donc on peut supposer l angle de divergence faible et approximer tan α α, si l angle s exprime en radians. On en déduit : α tan α = R r D = 0, 10 mrad L angle global 2α est donc : 2α = 0, 20 mrad r D α α R 7) À l échelle du laboratoire, la divergence est faible : α = r r D r = r = αd = 0, 20 mm r = r + r = 0, 40 mm 8) La puissance émise se rapporte à une section d aire S = πr 2. Donc la puissance émise par unité de surface (flux énergétique surfacique) est : Φ = P S = 2, W π(0, m) 2 Φ = 1, W.m 2 9) Chaque photon transporte un quantum hν d énergie. Le nombre N de photons émis par unité de temps et de surface est donc tel que : Φ = N.hν = N.h c λ N = λ.φ hc = 5, photons.m 2.s 1 10) Un laser qui fournit l énergie E = 1, 0 J pendant la durée τ = s possède une puissance P = E = 1, W τ Si le faisceau est d une taille comparable au laser étudié, on atteint une puissance surfacique considérables : Φ = P πr 2 8, W.m jpqadri@gmail.com

11 Exercices Introduction au monde quantique PTSI Φ Φ : Les lasers pulsés peuvent aisément découper les métaux. SP6-SE18 L hypothèse d Einstein : la lumière est constitué de grains de lumière qui transporte chacun une énergie E = hν. C est l interaction entre un de ces grains de lumière (photon) et un électron qui peut produire l extraction de ce dernier, à condition que l énergie apportée par le photon sot supérieure ou égale au travail d extraction W. 1) Il faut un transfert d énergie minimale de : hν s = W, soit une fréquence seuil ν s = W h 2) La conservation de l énergie s écrit ici pour l électron : E = W mv2 1 2 mv2 = E W = h.(ν ν s ) 3) Lorsqu on effectue un bilan énergétique entre la cathode (plaque) et l anode (collecteur), en l absence de frottements : Avec : E m = 0 (E k +E p ) C = (E k +E p ) A 1 2 mv2 C ev C = 1 2 mv2 A ev A 1 2 mv2 C = 1 2 mv2 = E W = h.(ν ν s ) et V = V C V A Dans le cas où V = V a, le courant est stoppé, c est-à-dire qu aucun électron ne dépasse la position du collecteur : v A = 0. On en déduit : E W ev C = 0 ev A h.(ν ν s ) = e(v C V A ) V a = h e (ν ν s) La courbe expérimentale représentant V a en fonction de ν est telle que : V a = 0 si ν < ν s (aucun électron n est extrait de la plaque) V a = h e (ν ν s) si ν > ν s (droite de pente h e ) 4) Einstein mit en évidence la contradiction de ces résultats expérimentaux avec le modèle ondulatoire de la lumière : - Les électrons devraient emmagasiner l énergie de façon continue et, au bout d un certain temps, avoir l énergie pour s extraire, ce qui contredit l existence d une fréquence seuil. - En outre, pour les fortes intensités, les électrons devraient acquérir plus d énergie et la tension d arrêt devrait augmenter. Or elle est indépendante de l intensité. En revanche, le modèle corpusculaire avec le photon transportant le quantum d énergie hν explique le transfert par collision photon-électron, et l intensité lumineuse ne mesure que le nombre de photons présents. L augmenter accroît simplement le nombre de collisions, donc d électrons émis, mais ne modifie ni la fréquence seuil, ni la tension d arrêt. jpqadri@gmail.com 11

12 PTSI Exercices Introduction au monde quantique ) Connaissant le travail d extraction, on en déduit la fréquence seuil : ν s = W h = 2, 3 1, , , Hz Ce qui correspond à la longueur d onde : λ s = c ν s 540 nm 6) Domaine du visible au voisinage de la couleur jaune. 7) Un rayonnement UV est plus énergétique qu un rayonnement visible. L effet photoélectrique a donc forcément lieu puisque λ < λ s ou encore ν > ν s. La tension d arrêt V a correspond à h(ν ν s ) = ev a, soit : V a = h e (ν ν s) = hc e 8) Les caractéristiques de ce photon sont les suivantes : - masse nulle : m = 0 ; - vitesse la célérité de la lumière dans le vide : v = c - énergie : E = hν = h c λ = 9, J = 6, 2 ev ( 1 λ 1 ) = 3, 9 V λs - quantité de mouvement : p = E c = hv c = h λ = 3, kg.m.s 1 SP6-SE19 1) On déduit la longueur d onde d après la relation λ = c ν : λ 1 = 1, m = 1, 50 pm et λ 2 = 1, m = 1, 68 pm On est bien dans le domaine des rayons X durs. 2) En supposant la conservation de l énergie au cours du choc, on obtient : E e = E 1 E 2 = 1, J = 87, 6 kev 3) En supposant un modèle classique, l énergie cinétique de l électron s exprime par : E e = 1 2E 2 mv2 v = m = 1, m.s 1 0, 58c Nous trouvons une valeur non négligeable devant c = 3, m.s 1. Il faut donc passer en mécanique relativiste. 4) On retrouve l expression de l énergie E = hν = h c λ en fonction de la quantité de mouvement grâce à la relation de Louis de Broglie λ = h p : E = pc 5) Le photon ayant une masse nulle, on retrouve bien pour son énergie E = pc. 6) La conservation de la quantité de mouvement avant (électron immobile) et après le choc s écrit : p1 = p 2 + p p = p 1 p 2 et en élevant au carré, sachant que le produit scalaire p 1 p 2 correspond à p 1.p 2. cos θ, on obtient : p 2 = p p 2 2 2p 1.p 2. cos θ 12 jpqadri@gmail.com

13 Exercices Introduction au monde quantique PTSI 7) La conservation de la masse-énergie s écrit, sachant qu avant le choc l électron était quasi immobile : p 1 c + mc 2 = p 2 c + p 2 c 2 + m 2 c 4 en élevant au carré p 2 c 2 + m 2 c 4 = [(p 1 p 2 )c + mc 2 ] 2 = [(p 1 p 2 )c] 2 + 2mc 2 (p 1 p 2 )c + m 2 c 4 On trouve après simplification : p 2 = (p 1 p 2 ) 2 + 2mc(p 1 p 2 ) 8) En égalant les deux expressions de la quantité de mouvement de l électron : p p 2 2 2p 1.p 2. cos θ = (p 1 p 2 ) 2 + 2mc(p 1 p 2 ) = p p 2 2 2p 1 p 2 + 2mc.(p 1 p 2 ) On déduit la relation : 2p 1.p 2.(1 cos θ) = 2mc.(p 1 p 2 ) avec : p 1 = h et p 2 = h λ 1 λ 2 ( h h h Soit : (1 cos θ) = mc h ) λ 2 λ 1 = h (1 cos θ) λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 mc Pour la diffusion Compton étudiée, on calcule l angle de déviation : cos θ = 1 mc2 h ν 1 ν 2 ν 1 ν 2 θ = 22, 6 SP6-SE20 1) Chaque photon possède une énergie E = hν = h c λ = 3, J. Le nombre N 0 de photons émis pas seconde est donc tel que N 0.E corresponde à la puissance rayonnée, donc N 0 = P E = 12 W 3, , photons.s 1 2) Ces photons diffusent dans tout l espace. En supposant leur conservation jusqu à la distance R, on les retrouve répartis sur une sphère de rayon R, et d aire S = 4πR 2. Donc : N 0 = n.4πr 2 N 0 R = 4πn 53 m 3) Un photon de longueur d onde λ = 590 nm a une énergie est de E = h c. Donc d après la λ puissance moyenne P (puissance surfacique, mesurée en W.m 2 ) au niveau du sol, le nombre de photons atteignant le sol n sol par unité de temps et de surface est : n sol = P E = Pλ hc = 3, photons.m 2.s 1 4) L énergie cinétique permet de calculer la vitesse donc la quantité de mouvement des neutrons thermiques : E k = 3 2 k BT = 1 2 mv2 v = 2E k m v = 3k B T m 2, m.s 1 On est bien dans le domaine de la mécanique classique newtonienne (v c), ce qui justifie a posteriori le choix de l expression de l énergie cinétique. On déduit : p = mv = 3mk B T 4, kg.m 1 jpqadri@gmail.com 13

14 PTSI Exercices Introduction au monde quantique ) D après la relation de Louis de Broglie, le neutron présente une onde associée de longueur d onde : λ = h p 145 pm Cela correspond à l ordre de grandeur des distances interatomiques dans les édifices chimiques. On peut donc se servir de ces neutrons thermiques pour étudier de tels édifices (en étudiant les figures de diffractions correspondantes). 6) La diffraction a lieu lorsque la longueur d onde est de l ordre de la dimension des obstacles, donc ici du fermi. Dans l hypothèse où on utiliserait des neutrons pour étudier l intérieur d un noyau, il faudrait donc une quantité de mouvement de : p = h λ 6, , = 6, kg.m.s 1 Soit une énergie E = 1 2 mv2 = p2 2m 1, J Soit encore des neutrons à la température : T = 2E k 3k B = 6, K (!!), ce qui n a pas de sens. Cl : Il est donc impossible d étudier l intérieur d un noyau en utilisant la diffraction des neutrons. SP6-SE21 1) L inégalité d Heinsenberg x p x 2 avec p x = p sin θ (en appelant θ l angle que fait la quantité de mouvement avec l axe Ox) donne : x 2p sin θ d où l ordre de grandeur du plus petit détail observable : x 0. Ce détail est d autant plus 2p petit que p est grand et donc que E = p 2 c 2 + m 2 c 4 est grande. D où la «course aux grandes énergies» pour explorer la matière à une échelle de plus en plus petite. 2) En optique photonique, p = E ϕ c, avec E ϕ = 2 ev pour un rayonnement visible ; ainsi : p = 2 ev c = 2 ev.c 1 ( 1, 1 kg.m.s 1 ) d où : x 0 p = c pc 1, (2 1, , 05 µm ) Cl : Cette indétermination x 0 50 nm impose la taille des plus petits détails observables avec un microscope optique. En optique électronique, on peut, en revanche, étudier les atomes, puisquee = p 2 c 2 + m 2 c 4 : p p = 2 c 2 + m 2 c 4 0, 335 MeV.c 1 c d où : x 0 p = c pc 1, (0, , , 3 pm ) Cl : La limite inférieure x 0 0, 3 pm étant bien inférieur à la taille des atomes (à comparer avec le rayon de Bohr : a B 52, 9 pm), cela autorise leur étude. Dans les collisions avec des protons projectiles de quantité de mouvement p = MeV.c 1, on trouve x 0 0, 036 fm, ce qui permet de sonder les noyaux atomiques. Rq : à comparer avec le rayon R d un noyau comportant A nucléons, qui est de l ordre de R A 1/3 r 0, r 0 1 fm étant le rayon de la sphère où se trouve confiné un nucléon jpqadri@gmail.com