Correction du sujet national, juin 2006

Transcription

1 Corrction du sujt national, juin 26 Exrcic On n dmandait pas d justification ; clls-ci sont donnés à but pédagogiqu. L équation 2x + 2y = st l équation d un plan P. 2x A + 2y A A = = donc A appartint à P. 2x B + 2y B B = ( 3 = donc B appartint à P. 2x C + 2y C C = ( 3 = donc C appartint à P. 2 AB ; AC Ls vcturs AB t AC n sont pas colinéairs. Ls trois points A, B t C n sont pas alignés t appartinnnt au plan P, donc c plan st l plan (ABC. L affirmation st donc vrai. 2. 2x E + 2y E E = ( = donc E appartint à (ABC. L vctur 2 DE a pour coordonnés : DE 2. Alors: DE. AB = donc ls vcturs DE t AB n sont pas orthogonaux. L point E n st donc pas l projté orthogonal ddsur l plan (ABC.L affirmation st fauss CD donc AB. CD = 4+ 4 =. Ls dux vcturs AB t CD sont orthogonaux donc ls droits (AB t (CD aussi. L affirmation st vrai. 4. L point C n appartint pas à la droit dont on donn la rprésntation paramétriqu. En fft, si c était l cas, il xis- trait un rél t tl qu : fauss AI 4 5 st vrai. Il fallait donc répondr : V-F-V-F-V Exrcic 2 +2t = 3 + t = t = 3 t = 2 t = 2 t = 4, c qui st impossibl. Par conséqunt, l affirmation st donc AB = AI. Ls dux vcturs sont colinéairs, donc I appartint bin à la droit (AB. L affirmation 7. Soit f la fonction défini sur R par : f (x = x 2 x. (a lim ( x =+ donc lim x x x =+ par l théorèm d composition ds limits. Comm on a aussi lim x x2 = +,onndéduitqu: f (x =+. lim x Pour tout x,ona:f (x = x 2 x = x2 x. x x 2 D aprèslthéorèmdcroissanccomparé, lim =+ donc lim =. On n déduit qu x + x2 x + x lim L ax (Ox st donc asymptot à la courb C n +. (b f st dérivabl comm produit t composé d fonctions dérivabls ; pour tout x d R, f (x = 2x x x 2 x = (2x x 2 x = x(2 x x. f (x =. x + (c Pour tout x, x > doncf (x st du sign d x(2 x qui st strictmnt positif ntr ss racins donc sur ] ; 2[, nul n t 2 t négatif aillurs. On n déduit l tablau d variations : x 2 + f (x f (x Courb : Pag /5

2 j A i 2 Pag 2/5

3 2. Pour tout n N,onpos:I n = x n x d x. (a I n+ = x n+ x d x. { un+ (x = x n+ { u Prnons v (x = x.alors: n+ (x = (n + x n v(x = x. u n+ t v ont ds dérivés continus donc on put appliqur la formul d intégration par partis. On a : I n+ = u n+ (xv (xd x = [u n+ (xv(x] u n+ (xv(xd x = [ x n+ x] + (n + x N x d x = +(n + I n. Par conséqunt, pour tout n, on a : I n+ = (n + I n. (b La mêm formul d intégration par partis donn : I = x x d x = [ x x ] + x d x = + [ x] = +( + = 2. En appliquant la formul précédnt, on trouv : I 2 = 2I = 2 5. (c On rmarqu qu I 2 = f (xd x donc comm f st un fonction positiv, I 2 rprésnt l air, xprimé n unitésd air,dlapartiduplancomprisntrlacourbc,l ax(ox t ls droits d équations x = tx =. 3. (a Pour tout x d [ ; ], on a : x donc x, d où x qui donn x (n appliquant la fonction xponntill qui st croissant t finalmnt x n x n x x n (n multipliant par x n qui st positif. (b En utilisant ls propriétés d l intégral, on obtint : [ x x n dx x n x dx x n n+ ] [ x n+ ] dx soit I n. n + n + Par conséqunt : n + I n n +. Quand n tnd vrs +, lim I n =. n + n + t n + tndnt vrs donc I n tnd aussi vrs (théorèm ds gndarms. Exrcic 3 (pour cux n ayant pas choisi la spécialité. (a Soit un nombr complx non nul. ( = donc d après ls prérquis, arg ( = arg(+arg = arg( = ( + 2kπ. Par conséqunt : arg = arg( + 2kπ. Alors, pour tous nombrs complxs t non nuls : ( arg = arg ( ( = arg( + arg = arg( + ( arg( = arg( arg( + 2kπ. (b Soint A, B ( t C trois points du plan, dux à dux distincts, d affixs rspctivs a, b t c. c a Alors : arg = arg(c a arg(b a = ( u, AC ( u, AB (d après l prérquis = ( AB, AC (d après la rlation b a d Chasls. 2. Soit f l application d P \{O}dansP\{O} qui, à tout point M(associlpointM ( avc =. ( (a Pour tout, arg( = arg = arg( = arg( + 2kπ. arg( = arg( + 2kπ. On n déduit qu ( u, OM = ( u, OM + 2kπ donc M t M appartinnnt à un mêm dmi-droit d origin O. (b f (M = M équivaut à = donc à = c st-à-dir à 2 = doncà =. L nsmbl ds points invariants par f st l crcl d cntr O t d rayon. (c Pour tout : i = = i i = i( i = i + i = i i = ( i i donc i = i ( i ( On n déduit qu : arg i = arg ( ( ( ( + arg = arg( i arg i i i = π ( 2 arg + 2kπ. i Pag 3/5

4 3. (a Soit tl qu t i. (donc M U t M V. M appartint à la droit (UVprivédU t V si t sulmnt si ( MU, MV = kπ c st-à-dir arg donc si t sulmnt si st rél non nul. i ( (b M( st un point d la droit (UVprivédU t V si t sulmnt si arg ( précédnt donc arg = π ( i 2 arg i M décritalorslcrclddiamètr[uv], privé ds points U, V t O. Exrcic 3 (pour cux ayant choisi la spécialité Parti A : ( i = kπ = kπ (d après la qustion i =± π 2 + 2k π c st-à-dir ( M V, M U =± π 2 + 2k π.. Théorèm d Béout : Dux ntirs rlatifs x t y sont prmirs ntr ux si t sulmnt s il xist dux ntirs u t v tls qu ux+ vy =. Théorèm d Gauss : Soint trois ntirs rlatifs a, b t c. Sia divis bc t si a t b sont prmirs ntr ux, alors a divis c. 2. Démontrons l théorèm d Béout : On suppos qu a t b sont prmirs ntr ux t qu a divis bc. Comm a t b sont prmirs ntr ux, d après l théorèm d Béout, il xist u t v rlatifs tls qu ua+ vb =. Alors : uac + vbc = c. Comm a divis bc,ilxistk rlatif tl qu bc = ka. On n déduit : uac + kav = c donc a(uc + kv = c. uc + kv st un ntir rlatif (somm t produit d rlatifs donc a divis c. Parti B : { n 3 (9 On considèr l systèm (S n 6 (2. 9 st un nombr prmir donc 9 t 2 sont prmirs ntr ux ; d après l théorèm d Béout, il xist dux ntirs rlatifs u t v tls qu 9u + 2v =. On pos alors N = 3 2v + 6 9u. N = 3( 9u + 6 9u = 3 39u + 6 9u 3(9. N = 3 2v + 6 ( 2v = 3 2v v 6(2. N st bin solution du systèm S. 2. (a Soit n un solution d (S. { n 3 (9 n st solution d (Ssitsulmntsi n 6 (2 { n n (9 donc (Séquivautà n n (2. (b Si n n (2 9 alors il st clair qu n n (9 t n n (2 donc qu { n 3 n (9 c st-à-dir n 6 n (2 { n n (9 n n (2 Réciproqumnt { : n n (9 Si n n (2,alorsilxistk t k ntirs rlatifs tls qu n n = 9k t n n = 2k donc 9k = 2k. 9 divis donc 2k. Comm 2 t 9 sont prmirs ntr ux, d après l théorèm d Gauss, 9 divis k donc k = 2k, k Z.Alorsn { n = 2 9k donc n n (2 9. n n (9 On a montré qu équivaut à n n n n (2 ( (a Appliquons l algorithm d Euclid : On a succssivmnt : 9 = = = = 2 2+ d où = = 5 2(7 5 = = ( = = 2 3 (92 5 = Un coupl (u ; vst: (u ; v = ( 5;8.. Pag 4/5

5 Alors N = ( 5 = 678. (b N = 678 st un solution d S. D après la qustion 2b, ls solutions d (S sont tous ls nombrs n tls qu n N (2 9 c st-à-dir n 678 (228. (car 2 9 = 228 S = { k, k Z} 4. Soit n un ntir tl qu, si on l divis par 2, l rst st 6 t si on l divis par 9, l rst st 3. n st donc un solution d (S. Alors n 678 ( (228. L rst r d la division d n par 228 = 2 9 st 222. Exrcic 4. Notons C l événmnt «l ballon st crvé». Alors p(c =,2. (a La probabilité qu la ballon soit intact au bout d dux tirs st p(c C. Comm ls tirs sont indépndants, on a : p(c C = p(c 2 = ( p(c 2 =,8 2 =,64. (b Calculons la probabilité qu dux tirs suffisnt pour crvr l ballon. L événmnt contrair st : «dux tirs n suffisnt pas», autrmnt dit, l ballon n st pas crvé au bout d dux tirs. C st l événmnt contrair d clui étudié au a. Sa probabilité vaut -,64=,36. (c Calculons la probabilité p n qu n tirs suffisnt pour crvr l ballon. L événmnt contrair st «l ballon n st pas crvé au bout d n tirs», d probabilité (p(c n =,8 n (car ls tirs sont indépndants. Par conséqunt : p n =,8 n. (d p n >,99 équivaut à,8 n >,99 c st-à-dir à,8 n <,. La fonction ln étant croissant, on trouv n ln,8 < ln, donc n > ln, soit n 2. ln,8 Il faut qu n 2 pour qu p n >, Pour chaqu valur d k compris ntr t 4, la probabilité d crvr l ballon st la probabilité p k,calculénc: p k =,8 k. L dé n st pas pipé donc chaqu fac a la mêm probabilité d sorti égal à 4. La probabilité d crvr l ballon st : 4 (p + p 2 + p 3 + p 4 =, (a Ls fréquncs sont : f = 58 2 = 29 ; f 2 = 49 2 ; f 3 = 52 2 = 3 5 t f 4 = 4 2. ( 4 (b Alors d 2 = f k 2 =, k= (c On constat qu d 2 < D 9. Au risqu d %, on put considérr qu l dé n st pas pipé. Pag 5/5