Chapitre 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace

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1 Chapitre 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Droites et plans de l espace Exercice SABC est un tétraèdre, la droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), le triangle ABC est rectangle en B (voir figure ci-dessous).. Démontrer que les droites (BC) et (SA) sont orthogonales. 2. Démontrer que le triangle SBC est rectangle en B. 3. H est un point de l arête [AB]. On trace par H le plan P orthogonal à (AB). Ce plan coupe (AC) en I, (SC) en J et (SB) en K. Le but de la question est de tracer I, J et K. (a) Démontrer que (HI) et (BC) sont parallèles. (b) En utilisant le théorème du toit, en déduire que (HI) et (KJ) sont parallèles. (c) On admet que, par un raisonnement analogue, (HK) et (IJ) sont parallèles. En déduire que HIJK est un rectangle. (d) Compléter la figure. Exercice 2 Tracer la section par le plan (IJK). Exercice 3 Tracer la section par le plan (IJK). /4

2 Exercice 4 Soit ABCDEFGH un cube. EF BG.. Montrer que 2. En déduire que EC BG 3. Prouver que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (BDG). Indication : on pourra étudier la position de (BD) par rapport au plan (EAC). Exercice 7 Cet exercice est un QCM. Une seule des réponses proposées est exacte. ABCDEFGH est un cube d arête. I est le centre de la face BCGF, K et J sont les milieux respectifs de [DC] et [BC]. (a) Le plan (EGJ) coupe le segment (AB] en son milieu. (b) La droite (KH) coupe le plan (EGJ) en un point. (c) Le triangle DIB est rectangle en B. (d) Les droites (EF) et (DI) ne sont pas coplanaires. H G E F Exercice 5 On considère le tétraèdre ABCD, E un point de [CD] et le point I du plan (ABE) comme le montre la figure ci-dessous. D C A B. Déterminer l intersection de la droite (AI) avec le plan (BCD). 2. Déterminer l intersection des plans (ADI) et (BCD), puis des plans (ADI) et (ABC). 3. En déduire l intersection de la droite (DI) avec le plan (ABC). Exercice 6 SABCD est une pyramide de sommet S, de base un parallélogramme ABCD. Les points M et N sont les milieux respectifs des arêtes [SC] et [SB].. Faire une figure en perspective. 2. Que peut-on dire des droites (MN) et (AD)? 3. Montrer que les droites (AN) et (DM) sont coplanaires. Soit P leur point d intersection. 4. Quelle est l intersection des plans (SAB) et (SDC)? 5. Montrer que les droites (SP) et (AB) sont parallèles. 2/4

3 Exercice 8 Géométrie vectorielle Soit le cube ABCDEFGH. M est le point tel que AN AB. 3 EM EH 3 et N le point tel que Exercice 0 Cet exercice est un QCM. Une seule des réponses proposées est exacte. ABCDEFGH est un cube. Les points M et N sont tels que 3 EM EH et 3 AN AB. MN a EA b BH avec a et b entiers relatifs. 3 (a) (b) MN a EA b BH 2 avec a et b entiers relatifs. (c) MN a EA b BH avec a et b entiers relatifs. (d) MN a EA b BH 2 avec a et b entiers relatifs.. Démontrer que MN EA DB 3 2. Les vecteurs EA, MN et HB sont-ils coplanaires? Exercice 9 Dans cet exercice, les tracés seront effectués sur la figure page suivante : Soit un cube ABCDEFGH.. Construire les points M et N tels que : BM AB AD AE et AN AB BG Montrer que les points A, M, et N sont alignés. 3. (a) Les vecteurs AG, EC, BF sont-ils coplanaires? Pourquoi? (b) Les vecteurs BD, BF, BH sont-ils coplanaires? Pourquoi? Exercice Soit ABCDA B C D un cube. On note I le milieu de [A D ], J celui de [AD], K celui de [B C ] et L celui de [BC].. Démontrer que les points I, J, K et L sont coplanaires. 2. (a) Démontrer que les vecteurs (b) Démontrer que les vecteurs ' IB, D ' K, ' B ' A et ' C ' D et ' D ' A sont coplanaires. ' C ' B ' (c) Comparer IB et D ' K. 3. Démontrer que les plans (IJB ) et (D KL) sont parallèles. Exercice 2. On donne les points A(5 ;2 ;), B(7 ;3 ;), C(- ;4 ;5) et D(-3 ;3 ;5). Démontrer que A, B, C, D sont coplanaires. 2. On donne les points A(4 ;3 ;-), B(0 ;-3 ;5), C(2 ; ;) et D(4 ;4 ;-). Les droites (AC) et (BD) sont elles parallèles? sont coplanaires. Exercice 3 Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle. On note I le point défini par AI AE, J 4 le milieu de [HG], K le milieu de [CD], et L est défini par AL AB AD. 2. Exprimer chacun des vecteurs IJ, IK et IL en fonction de AB, AD et AE. 2. Vérifier que IJ IK 2 IL. 3/4

4 Exercice 4 3. Que peut-on en déduire? 4. Soit M le milieu de [AB]. Prouver que (MG) // (IJK). 3. Les vecteurs u 6, Les vecteurs u 2, 0 v 2 et w 2 sont-ils coplanaires? v et w 0 sont-ils coplanaires? 2 2, 3, B 5, 2, On considère la droite d passant par A et Cet exercice est un QCM. Une seule des réponses proposées est exacte. (a) Les droites D et D sont parallèles. (b) Les droites D et D sont coplanaires. (c) Le point C appartient à la droite D. (d) Les points A, B et C sont alignés. Exercice 6 ABCDEFGH est un cube de longueur. Les deux parties sont indépendantes. PARTIE. (a) Justifier que (DFG) est le plan médiateur du segment [HC]. DF HC (b) En déduire que 2. Montrer de même que les droites (DF) et (AC) sont orthogonales. 3. En déduire que la droite (DF) est perpendiculaire au plan (ACH). Exercice 5 (a) Donner un vecteur directeur u de la droite d. (b) Donner une représentation paramétrique de la droite d. 9, 4, 4 N 2,, appartiennent-ils à cette droite? (c) Les points M et L espace est rapporté au repère orthogonal O, i, k. Les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives : A( ; - ; 2) B(3 ; 3 ; 8) C(-3 ; 5 ;4) On note D la droite ayant pour représentation paramétrique : x t 2 y 2t t R z 3t 4 et D la droite ayant pour représentation paramétrique : x s 3 y 2s s R z s 3 PARTIE 2 On note I le milieu de [AE], J le centre de la face CDHG, R et S sont définis par ER EH et AS AC. K est le milieu du segment [RS]. 3 3 La figure est donnée ci-dessous. On se place dans le repère A, AB, AD, AE.. (a) Calculer les coordonnées des points I et J. (b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). 2. (a) Vérifier que R 0,, et S,, (b) Déterminer les coordonnées du point K. (c) Démontrer que les points I, K et J sont alignés. (d) En déduire que les points I, J, K, R et S sont coplanaires. 4/4

5 3. Le plan (IRS) coupe la droite (AB) en un point noté L. (a) Construire le point L sur la figure (on laissera les traits de construction). x 2b (b) Justifier que le système y 2a 2b a, br est une représentation z 3a 3b 2 paramétrique du plan (IRS). (c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). (d) Calculer les coordonnées de L. Produit scalaire et équations de plans Exercice 7 Les droites d et d définies par les représentations paramétriques suivantes sont-elles orthogonales? x 2t x 3s y 3t 2 t R et y s 2 s R z t z 3s 2 Exercice 8 SABCD est une pyramide à base carrée de sommet S et dont toutes les côtés ont la même longueur a. Calculer en fonction de a, les produits scalaires suivants :. SA. SB 3. SA. AC 2. SA. SC 4. SC. AB Exercice 9 SABCDEFGH est un cube de centre O et d arête a.. Calculer en fonction de a, les produits scalaires suivants : a. AE. BG 3. AB. AO b. HB. BA 2. Déterminer dans le repère A AB, AD, AE 3. Déterminer une mesure de l angle HO ˆ G., les coordonnées des points A, B, E, G, H et O. 5/4

6 Exercice 20 L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : A(- ;0 ;2) ; B(3 ;2 ;-4) ; C( ;-4 ;2) ; D(5 ;-2 ;4) On considère les points I, J et K définis par : I milieu du segment [AB], K milieu du segment [CD] et BJ BC. 4. Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 2. (a) Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. (b) Justifier qu une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x + 9y + 5z 2 =0 (c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. Exercice 2 L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. On considère les points A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 5) et C(0 ; 20 ; 0).. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). (b) Montrer que la droite (AB) coupe l axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0). (c) Justifier que A, B et C ne sont pas alignés. 2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC. (a) Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle. (b) Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH). (c) Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : 20x + 9y + 2z 80 =0 (d) Montrer que le système suivant admet une solution unique. Que représente cette solution? x 0 4y 3z 0 20x y 2z 80 0 (e) Calculer la distance OH, en déduire que EH=5 et l aire du triangle EBC. Exercice 22 L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. On appelle P le plan d équation 2x y + 5 =0 et P le plan d équation 3x + y z =0.. Montrer que P et P sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est : x y 2 5 avec réel donné z Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier précisément vos réponses : Affirmation : D est parallèle au plan R d équation -5x +5y z = 0 Exercice 23 Soit D la droite de l espace de représentation paramétrique : x 3 y avec réel donné z 2 2 Affirmation 2 : D et D sont coplanaires. L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives : A( ; 0 ; 2), B( ; ; 4) et C(- ; ; ). (a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. (b) Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 4 ; -2). Vérifier que le vecteur n est orthogonal aux vecteurs AB et AC. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 2. (a) Montrer que les plans P et P2 sont sécants selon une droite D dont on déterminera une représentation paramétrique (b) La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles? 6/4

7 Exercice 24 Problèmes de synthèse (devoir surveillé) On considère un cube ABCDEFGH, d arête de longueur. On se place dans le repère D, DA, DC, DH. Une hauteur d un tétraèdre est une droite issue d un sommet et orthogonale à la face opposée à ce sommet. Exercice 25 (devoir surveillé) L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. 3 9 On considère les points A(2 ; 4 ; ) ; B(0 ; 4 ; -3) ; C (3 ; ; -3) ; D( ; 0 ; -2) ; I ;4; 5 5 Parmi chaque affirmation suivante, dire en justifiant si elle est vraie ou si elle est fausse.. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y z =0. 2. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 3. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : x 2t CD y t t R z t 4. Le point I est sur la droite (AB).. (a) Donner sans justifier, les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G et H dans le repère indiqué. (b) Calculer l aire du triangle EFH. En déduire le volume du tétraèdre EAFH. 2. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). (b) Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). (c) Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (AFH). En déduire que (EC) coupe (AFH) en un unique point I, projeté orthogonal de E sur (AFH). (d) Calculer les coordonnées de I. 3 (e) Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale Déduire des questions.b et 2.e l aire de la face AFH. 4. Définitions : - un tétraèdre est de type si ses faces ont même aire, - un tétraèdre est de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux, - un tétraèdre est de type 3 si les hauteurs sont concourantes. Préciser de quel type est le tétraèdre (EAFH). Exercice 26 (Baccalauréat S Métropole Septembre 203) Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées et une seule est exacte. L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. x 5 2t La droite D est définie par la représentation paramétrique y 3t z 4 t R. On note P le plan d équation cartésienne 3x + 2y + z 6 =0 (a) La droite D est perpendiculaire au plan P, (b) La droite D est parallèle au plan P, (c) La droite D est incluse dans le plan P. 2. On note D la droite qui passe par le point A de coordonnées (3 ; ; ) et a pour vecteur directeur u 2i j 2k. (a) Les droites D et D sont parallèles, (b) Les droites D et D sont sécantes, (c) Les droites D et D ne sont pas coplanaires. 7/4

8 Exercice 27 (Baccalauréat S Amérique du Sud Novembre 203) On considère un cube ABCDEFGH, d arête de longueur, représenté page suivante et on munit l espace du repère orthonormé A, AB, AD, AE.. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). 2. Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE). 3. Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées 2 2 n ; ; Quelle est la nature du triangle (BEG)? Déterminer son aire. 5. En déduire le volume du tétraèdre (BEGD). Exercice 28 (Baccalauréat S Pondichéry Avril 203) L espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, k. t et t désignent des paramètres réels. Le plan P a pour équation x 2y + 3z + 5=0. x 2 t 2t' Le plan S a pour représentation paramétrique y t 2t' z t 3t ' x 2 t La droite D a pour représentation paramétrique y t z t On donne les points de l espace M(- ; 2 ; 3) et N( ; -2 ; 9).. Une représentation paramétrique du plan P est : x t x t 2t' (a) y 2t (b) y t t' z 3t z t x t t' x 2t t' (c) y t 2t' (d) y 2t 2t' z t 3t' z t' 2. (a) La droite D et le plan P sont sécants au point A(-8 ; 3 ; 2). (b) La droite D et le plan P sont perpendiculaires. (c) La droite D est une droite du plan P. (d) La droite D et le plan P sont strictement parallèles. 3. (a) La droite (MN) et la droite D sont orthogonales. (b) La droite (MN) et la droite D sont sécantes. (c) La droite (MN) et la droite D sont confondues. 4. (a) Les plans P et S sont parallèles. x t (b) La droite de représentation paramétrique y 2 t est la droite intersection z 3 t des plans P et S. (c) Le point M appartient à l intersection des plans P et S. (d) Les plans P et S sont perpendiculaires. 3. Dans le plan orthonormé A AB, AD, AE, : 8/4

9 Exercice 29 (Baccalauréat S Antilles Guyane Juin 203) On considère un cube ABCDEFGH, d arête de longueur, représenté page suivante et on munit l espace du repère orthonormé A, AB, AD, AE. On appelle P le plan (AFH). Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [HF]. Le point L est le point d intersection de la droite (EC) et du plan P. (a) Le plan P a pour équation cartésienne : x + y + z =0. (b) Le plan P a pour équation cartésienne : x - y + z =0. (c) Le plan P a pour équation cartésienne : -x + y + z =0. (d) Le plan P a pour équation cartésienne : x + y - z =0. 4. (a) EG est un vecteur normal du plan P. (b) EL est un vecteur normal du plan P. (c) IJ est un vecteur normal du plan P. (d) DI est un vecteur normal du plan P. 5. (a) AL AH AF 2 2. (b) AL AK. 3 (c) ID IJ. 2 (d) 2 AL AB AD AE Exercice 30 Métropole La réunion 22 Juin 205 Ceci est un QCM. Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Justifier les réponses.. (a) Les droites (IJ) et (EC) sont strictement parallèles. (b) Les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires. (c) Les droites (IJ) et (EC) sont sécantes. (d) Les droites (IJ) et (EC) sont confondues. 2. (a) Le produit scalaire AF. BG est égal à 0. (b) Le produit scalaire (c) Le produit scalaire (d) Le produit scalaire AF. BG est égal à -. AF. BG est égal à. AF. BG est égal à 2. Exercice 32 Amérique du Nord 2 Juin 205 9/4

10 Exercice 3 Polynésie 2 Juin 205 0/4

11 Exercice 33 Liban 27 mai 205 Exercice 34 Amérique du Nord 30 mai 204 /4

12 Exercice 34 Métropole 22 juin 208 2/4

13 Exercice 35 Nouvelle Calédonie 27 Novembre 208 Exercice 36 Amérique du sud 2 Novembre 208 3/4

14 4/4

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