Chapitre : Dérivation (partie 1)

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1 Capitre : Dérivation (partie ) Activité : introduction dérivation I) Nombre dérivée et tangente Définition (taux d'acroissement) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+ deux éléments de l'intervalle I. f (a+) f (a) Le quotient est appelé taux d'accroissement de f entre a et a+ Interprétation géométrique du taux d'acroissement Soit A et M les points d'absissces respectives a et a+ de la courbe de f. Le taux d'accroissement est le coefficient directeur de la droite (AM) : y y M A f (a+) f (a) x M x A ) Calculer le taux d'acroissement de la fonction carré entre et,5. On a,5-. Donc le taux vaut :,52 2,5 0,5 3 2) Calculer le taux d'acroissement de la fonction inverse entre et 2. On a 2-. Donc le taux vaut : 2-0,5 2

2 ) Taux d'accroissement de la fonction carré entre et +. (+) ² 2+. En faisant tendre vers 0, on trouve 2. Conclusion : la limite du taux d'accroissement est un nombre réel. 2) Taux d'accroissement de la fonction racine carré entre 0 et En faisant tendre vers 0, on obtient une limite infinie. Conclusion : la limite du taux d'accroissement est n'existe pas 3) Taux d'accroissement de la fonction valeur absolue entre 0 et En faisant tendre vers 0, on peut obtenir deux limites différentes. Lorsque est proce de 0 positivement, Lorsque est proce de 0 négativement, - Conclusion : la limite du taux d'accroissement n'est pas unique Définition (nombre dérivé) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. Si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un unique nombre réel lorsque tend vers 0, on dit que f est dérivable en a. Ce nombre, noté f'(a), est appelé nombre dérivé de f en a. f (a+) f (a) On a ainsi : f'(a) lim Dans les exemples précédents, on en déduit que les fonctions racine carré et valeur absolue ne sont pas dérivables en 0 ) Calculer le nombre dérivée de la fonction carré en,5 2) Calculer le nombre dérivée de la fonction inverse en

3 Interprétation géométrique du nombre dérivée Soit A(a;f(a) et M(a+;f(a+) deux points du plan situés sur la courbe d'une fonction f. Lorsque tend vers 0 - Le point M se rapproce du point A - La droite (AM) devient la tangente au point d'abscisse a - Le coefficient directeur de la droite (AM) devient le nombre dérivée de f en a, noté f'(a). Définition (tangente) Soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est la droite passant par le point de coordonnées (a;f(a)) et ayant pour coefficient directeur f'(a).

4 Remarque Grapiquement, on constate qu'une fonction est dérivable en a lorsque sa courbe représentative semble confondue avec une droite non parallèle à l'axe des ordonnées lorsqu'on agrandit suffisamment cette courbe autour de son point d'abscisse a. Ainsi, une fonction dérivable en a est une fonction qu'on peut approcer par une fonction affine en a

5 Propriété Soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est la droite qui a pour équation : y f'(a)(x-a) + f(a) Démonstration La tangente a pour coefficient directement f'(a) et passe par A(a;f(a)). Elle s'écrit donc sous la forme : y f'(a)x+b. Comme A appartient à cette droite, les coordonnées de A vérifient l'équation y f'(a)x+b c'est-à-dire f (a) f ' (a) a+b b f (a) f ' (a) a. En remplaçant b par sa valeur et en factorisant, on obtient : y f ' (a) x+b f ' (a)x+ f (a) f ' (a) a f ' (a)(x a)+ f (a) Exemple a 2; f(2) 3; f'(2) -3 L'équation de la tangente est : y f'(2)(x-2)+f(2) -3(x-2)+3-3x+6+3-3x+9 Exemple Equation de la tangente à la courbe représentative de la fonction carré au point d'abscisse 3. Le taux d'accroissement de f vaut : 2 a+2 2a+. En prenant a3 et en faisant tendre vers 0, on obtient f'(3) 6 y f'(3)(x-3)+f(3), f'(3) 6, f(3) 9 Donc y 6(x-3)+9 6x-8+9 6x-9 D'où y 6x-9 Approximation affine, valeur approcée f (a+) f (a) tend vers f'(a) quand tend vers 0. Cela signifie qu'au voisinage de a (lorsque tend vers 0), f (a+) f (a) f ' (a) Ou encore f (a+) f (a )+f ' (a) Ainsi, on dit qu'on approce la fonction f par une fonction affine qui est f(a)+f'(a) (équation de la droite tangente, donc d'une fonction affine) Cela est utile pour donner une approximation de certaines valeurs : ) Combien vaut à peu près,02? f(x) x f'(x) a 0,2 2 x,02 + 0, ,2 2 +0,, 2) 0,96 0,4 2 0,4-0,2 0,8 2 3) 2, , ,5-0,00 0,499 4), , ,5+0,002 0,5002

6 II) Fonctions dérivées Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout réel a de I, on dit que f est dérivable sur l'intervalle I. La fonction qui, à tout réel x de I associe le nombre dérivé f'(x) est appelée fonction dérivée de f Dérivée d'une fonction affine f(x) mx+p Ensemble de définition : R f ( x+) f ( x) m(x+)+ p (mx+ p) m m. En faisant tendre vers 0 on obtient f'(x) m Dérivée de la fonction carré f(x) x² Ensemble de définition : R f ( x+) f ( x) (x+)2 x 2 x2 +2 x+ 2 x 2 2 x+2 2x+ En faisant tendre vers 0 on obtient f'(x) 2x Dérivée de la fonction inverse f(x) x Ensemble de définition de f : ] ;0[ U ]0;+ [ f ( x+) f ( x) x+ x x ( x+) ( x+) x En faisant tendre vers 0 on obtient f'(x) x 2 ( x+) x ( x+) x (x+) x Dérivée de la fonction racine carrée f(x) x Ensemble de définition : [0;+ [ f ( x+) f ( x) x+ x ( x+ x)( x++ x) x+ x ( x++ x) ( x++ x) x++ x En faisant tendre vers 0 on obtient f'(x) 2 x Remarque : la fonction racine carré n'est pas dérivable en 0. Ens de définition de f' est ]0;+ [

7 Tableau des dérivées des fonctions usuelles (à connaître par coeur) Dérivée de cosinus et sinus (cosx)' -sinx (sinx)' cosx f(x) 3x+4, f'(x) 3 f(x) -x+5, f'(x) - f(x) 3-4x, f'(x) -4 f(x) x², f'(x) 2x f(x) x 3, f'(x) 3x² f(x) x 4, f'(x) 4 x 3 f(x) x 60, f'(x) 60 x 59 ) Soit f(x) x 3. Calculer f'(x). En déduire f'(2) 2) Soit f(x). Calculer f'(3) x 3) Soit f(x) x. Calculer f'(4)

8 Opérations sur les dérivées Proposition Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. (u+v)' u'+v' (la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées) (ku)' ku' u(x) x² v(x) 3x (u+v)' (x²+3x)' 2x+3 u x² k 3 (ku)' (3x²)' 3 2 x 6x