Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines

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Christian Lebrun
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1 Fonctions : vritions et extremums. Fonctions ffines Clsse de seconde I. Sens de vrition d'une fonction... 1) Fonctions croissntes... ) Fonctions décroissntes... II. Tbleu de vritions...3 III. Mximum, minimum...3 IV. Fonctions ffines - définition...4 V. Représenttion grphique d'une fonction ffine...4 VI. Proportionnlité des ccroissements...5 VII. Sens de vrition d'une fonction ffine...5 VIII. Signe d'une fonction ffine...6 pge 1 / 9

2 I. Sens de vrition d'une fonction 1) Fonctions croissntes Définition 4 : f est une fonction définie sur un intervlle I. Dire que f est croissnte sur I signifie que, pour tous nombres réels u et v de I, si u < v lors f (u) < f (v). Une fonction croissnte conserve donc l'ordre : deux nombres réels quelconques de I et leurs imges sont rngés dns le même ordre. Grphiquement, cel se trduit pr le fit que l courbe représenttive de l fonction f «monte» (de guche à droite) sur l'intervlle I. Exemple L fonction f est croissnte sur I. L courbe monte. Lorsque les vleurs de x ugmentent, les vleurs de f (x) ugmentent ussi : f conserve l'ordre des nombres. ) Fonctions décroissntes Définition 5 : f est une fonction définie sur un intervlle I. Dire que f est décroissnte sur I signifie que, pour tous nombres réels u et v de I, si u < v lors f (u) > f (v). Une fonction décroissnte chnge donc l'ordre : deux nombres réels quelconques de I et leurs imges sont rngés dns des ordres contrires. Grphiquement, cel se trduit pr le fit que l courbe représenttive de l fonction f «descend» sur l'intervlle I. Exemple L fonction f est décroissnte sur I. L courbe descend. Lorsque les vleurs de x ugmentent, les vleurs de f (x) diminuent : f inverse l'ordre des nombres. pge / 9

3 II. Tbleu de vritions Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Pour construire le tbleu des vritions de l fonction f sur I on détermine les intervlles contenus dns I sur lesquels f est monotone, c'est à dire soit croissnte, soit décroissnte. On note les résultts obtenus dns un tbleu où des flèches indiquent l croissnce ou l décroissnce de f. Exemple Considérons l fonction f définie sur [- ;3] dont l courbe représenttive est dessinée. On observe que : ) f est décroissnte sur [-; -1] b) f est croissnte sur [-1; ] c) f est décroissnte sur [; 3] D'utre prt f (-)=, f (-1)=-1, f ()=3 et f (3)=. Tout ceci peut être résumé dns le tbleu de vritions suivnt : x f(x) -1 III. Mximum, minimum Définition : f est une fonction, I est un intervlle contenu dns son ensemble de définition et est un nombre de I. Dire que f() est le minimum de f sur I signifie que f() est l plus petite vleur de l fonction : pour tout x de I, f ( x ) f ( ). Dire que f() est le mximum de f sur I signifie que f() est l plus grnde vleur de l fonction : pour tout x de I, f ( x ) f ( ). Un extremum est un mximum ou un minimum. Avec un tbleu de vritions : x f(x) -1-1 est le minimum 3 est le mximum pge 3 / 9

4 Activité fonctions ffines pge 4 / 9

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6 IV. Fonctions ffines - définition Définition : On ppelle fonction ffine toute fonction définie sur ℝ de l forme f : x et b sont des réels fixés. x + b ( f ( x ) = x + b ) où Exemple : L fonction f définie sur ℝ pr f ( x ) = 3 x est une fonction ffine. Cs prticuliers : Si b= 0, l fonction est du type f ( x ) = x. L fonction est linéire. Si = 0, l fonction est du type f ( x ) = b où b est un réel fixé, elle est donc constnte. V. Représenttion grphique d'une fonction ffine Théorème : L représenttion grphique d'une fonction ffine f, s'écrivnt f ( x ) = x + b est une droite. Cette droite pour éqution y = x + b. Réciproquement, toute droite non prllèle à l'xe des ordonnées est l représenttion grphique d'une fonction ffine. Démonstrtion : Le fit que f est représentée pr une droite été justifié en clsse de troisième. Et nous vons vu dns le cours sur les fonctions que, pr définition, cette droite pour éqution y = f ( x ), soit y = x + b. Cs prticuliers : Si b= 0, l représenttion grphique de f est une droite pssnt pr l'origine O du repère. Si = 0, l représenttion grphique de f est une droite prllèle à l'xe des bscisses. Une droite prllèle à l'xe des ordonnées ne peut représenter une fonction puisque cel signifierit qu'il existe un ntécédent qui une infinité d'imges. Exemples : L fonction L fonction L fonction L fonction f 1 ( x) f (x) f 3 ( x) f 4 (x) = 3 x + 4 est représentée pr l droite d 1 = 3 x est représentée pr l droite d = x 5 est représentée pr l droite d 3 = 4 est représentée pr l droite d 4 d3 d1 d d4 pge 6 / 9

7 VI. Coefficient directeur et sens de vrition d'une fonction ffine Le nombre est ppelé le coefficient directeur de l droite (ou pente). Le nombre b est l ordonnée à l'origine, cr l droite psse pr le point (0 ; b). Théorème : Une fonction f est une fonction ffine si, et seulement si, pour tous réels distincts u et v, on : f (u) f (v ) = u v Ce qui revient à dire que l'ccroissement Δ y de l'imge est proportionnel à l'ccroissement Δ x de l vrible et que le coefficient de proportionnlité est. Démonstrtion : Soit et b deux réels et l fonction ffine f définie sur ℝ pr f ( x ) = x + b. Pour tous réels distincts u et v on : Δ y = f ( u ) f ( v ) = ( u + b ) ( v + b ) = ( u v ) = Δ x. f (u) f ( v) Comme ( u v ) 0 on : =. u v f (u) f ( v) = u v En prticulier pour tout réel x et pour le réel 0, d'imge f ( 0 ) = b, on obtient : f ( x ) b = ( x 0 ) f ( x ) = x + b. On en déduit que f est une fonction ffine. Soit f une fonction telle que pour tous réels distincts u et v, on it Théorème : Soit l fonction ffine f ( x ) = x + b où et b sont des réels fixés. Si > 0, lors f est strictement croissnte sur ℝ. Si < 0, lors f est strictement décroissnte sur ℝ. <0 >0 Démonstrtion : Soit deux réels x 1 et x tels que x 1 < x. Si > 0, lors : x1 < x x1 + b < x + b f ( x 1) < f ( x ) Donc f est strictement croissnte sur ℝ. Si < 0, lors : x1 > x x1 + b > x + b f ( x 1) > f ( x ) Donc f est strictement décroissnte sur ℝ. pge 7 / 9

8 VII. Signe d'une fonction ffine Soit et b deux réels, 0. On étudie le signe de f ( x ) =x + b. b b Si > 0, x + b > 0 x > b x > x ;+ b b Si < 0, x + b > 0 x > b x < x ; ] ] [ [ On peut résumer ceci dns les tbleux de signes suivnts : Si > 0 x b f (x ) Si < 0 x f (x ) b Liste des exercices : Vérifier les cquis : QCM p 60 Vritions : 1,, 3, 4, 5, 7, 8 p 66 Géométrie : 5 p 69 Tbleu de vrition : 35 p 71 Pour réviser p 73 Fonctions ffines : 14 à 19 p 67 pge 8 / 9

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