FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES

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1 Chapitre 3 FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Terminale BEP Objectifs (à la fin du chapitre, je dois être capable de ) : - Différencier fonction affine et linéaire. - Calculer une image. - Déterminer graphiquement une image. - Déterminer graphiquement un antécédent. - Dire si une fonction est croissante ou décroissante. - Tracer la représentation d une fonction affine ou linéaire. I. linéaire Activité Aline possède un magasin de vêtements depuis très exactement 5 ans. Elle a décidé de fêter cela en accordant une remise exceptionnelle de 20 % sur tous les articles disponibles en rayon. 1. Donner la valeur fractionnaire, puis décimale de 20 %. La valeur fractionnaire de 20 % est 20 et la valeur décimale est 0, Quelle est la remise accordée pour 50 d achats? 50 x 0,20 = 10. Pour 50 d achats, la remise est de Même question pour 200 d achats. 200 x 0,20 = 40. Pour 40 d achats, la remise accordée est de Compléter le tableau suivant. Montant des achats ( ) Remise accordée ( ) Quelle opération a permis de calculer la remise associée au montant des achats? Pour calculer la remise, il faut multiplier le montant des achats par 0, Compléter : Remise = 0,20 x Montant des achats Nous voulons placer dans un repère les points correspondants aux 5 couples (montant des achats ; remise). 7. Quelle grandeur doit-on placer sur l axe des abscisses? Il faut placer en abscisses le montant des achats en. (x est le montant des achats). 8. Quelle grandeur doit-on placer sur l axe des ordonnées? Il faut placer sur l axe des ordonnées la remise en. (f(x) est le montant de la remise) 9. Placer ces 5 points dans un repère. Les 5 points ont pour coordonnées (50 ; 10) (100 ; 20) (150 ; 30) (200 ; 40) (250 ; 50). Voir le graphique ci-après. 10. Comment sont les points? Les points sont alignés suivant une droite passant par O (origine du repère). Cette droite est la représentation graphique de la fonction f(x) = 0,20x. Sur l axe des abscisses, x correspond au montant des achats. Sur l axe des ordonnées, f(x) correspond à la remise accordée. chapitre 3 s Linéaires et Affines 1/7

2 À retenir Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax. a est un nombre réel. Ce nombre a est appelé coefficient directeur. Une fonction linéaire admet pour représentation graphique une droite passant par O. Si a > 0 : la fonction est croissante (droite «vers le haut»). Si a < 0 : la fonction est décroissante (droite «vers le bas»). Exercices 1. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires? f(x) = 8x : Linéaire j(x) = 1 4 x : Linéaire 2. Compléter le tableau suivant. Affine f 1 (x) = 4x Coefficient directeur 4 g(x) = -3x + 2 : NON k(x) = x 2 : Linéaire f 2 (x) = -2x -2 h(x) = 2,4x : Linéaire l(x) = -x + 3x : Linéaire f 3 (x) = x 1 i(x) = x² : NON m(x) = x : NON f 4 (x) = -x f 5 (x) = 3 4 x chapitre 3 s Linéaires et Affines 2/7

3 3. Le tableau ci-dessous rassemble les coordonnées de 5 points. a) Placer ces points dans un repère. x f(x) b) Comment sont les points? Les points sont alignés suivant une droite passant par O. c) En déduire la nature de la fonction f. La fonction f est donc une fonction linéaire. d) Pouvait-on le déduire directement à partir du tableau? Oui, puisqu il s agit d un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité vaut 2. e) Donner l expression algébrique de la fonction f. Pour passer de x à f(x), il faut multiplier par 2, d où f(x) = 2x. 4. Représenter dans un même repère les 5 fonctions de l exercice 2. Pour pouvoir tracer les représentations graphiques, il faut calculer les coordonnées de plusieurs points de la droite. Il faut, pour chaque fonction, réaliser des tableaux de ce type : x f 1 (x) Remarque : - Les valeurs de x ne sont pas imposées. Prenez ce que vous voulez comme valeur. - Pour être sûr de ne pas se tromper, prendre 3 ou 4 valeurs de x. chapitre 3 s Linéaires et Affines 3/7

4 Remarques : - Les fonctions croissantes ont un coefficient directeur positif (bleu, vert et violet). - Les fonctions décroissantes ont un coefficient directeur négatif (rouge et noir). - Le coefficient directeur (le nombre avant x) indique si la fonction est plus ou moins croissante. Exemple : 2 > 1 > 3, cela se traduit sur le graphique par le fait que la fonction f(x) = 2x croît beaucoup plus 4 vite que le fonction f(x) = x, qui elle-même croît plus vite que le fonction f(x) = 3 4 x. II. Affine Activité Une entreprise de transport organise des excursions. Elle propose aux touristes le tarif suivant : Forfait de 40 et 1 par kilomètre parcouru. 1. Compléter le tableau suivant. Distance (km) Coût de l excursion ( ) On appelle : - x la distance parcourue. - f la fonction qui permet de déterminer le coût de l excursion. 2. Déterminer l expression de f(x). Le prix est égal à : 1 par kilomètre + 40 de forfait, d où f(x) = x Représenter la fonction f dans un repère. On prendra 1 cm pour 10 km et 1 cm pour 10. chapitre 3 s Linéaires et Affines 4/7

5 4. Comment sont les points? Sont-ils alignés avec O? La représentation de la fonction f est une droite. Cette droite ne passe pas par l origine du repère. La fonction f est une fonction affine. À retenir Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b a et b sont des nombres réels. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite. Le nombre b est appelé ordonnée à l origine. (Valeur de l ordonnée pour x = 0). La représentation graphique d une fonction affine est une droite qui ne passe pas par O. Remarques : Si b = 0, alors f(x) = ax : la fonction est linéaire. Si a = 0, alors f(x) = b : la fonction est constante. chapitre 3 s Linéaires et Affines 5/7

6 Exercices 1. Pour chacune des fonctions suivantes, cocher la bonne case. 2. S agit-il de fonctions croissante, décroissante ou constante? f(x) = 4x f(x) = 8x - 2 f(x) = 1 f(x) = -0,2x f(x) = 5x + 5 f(x) = x linéaire affine constante f(x) = 2x > 0 : f est croissante g(x) = -3x -3 < 0 : g est décroissante h(x) = 4 h est une constante i(x) = x 6 1 > 0 : i est croissante j(x) = -0,1x + 2-0,1 < 0 : j est décroissante k(x) = 7x 7 > 0 : k est croissante l(x) = 0,2x + 0,5 0,2 > 0 : l est croissante m(x) = -6x 8-6 < 0 : m est décroissante 3. La fonction f est définie par f(x) = 3x + 2. a) Compléter le tableau suivant. x f(x) b) Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 17 2,7 chapitre 3 s Linéaires et Affines 6/7

7 c) Déterminer graphiquement l image de 5. Vérifier par le calcul. L image de 5 est 17. (Traits en rouge). Vérification : f(5) = 5 x = 17. d) Déterminer graphiquement l antécédent de 10. L antécédent de 10 est environ 2,7. 4. Dans un même repère, tracer les représentations graphiques des fonctions suivantes. f(x) = 2x + 2 h(x) = -2x + 4 j(x) = 0,5x + 6 g(x) = 3x 1 i(x) = -x + 9 k(x) = -3x - 2 chapitre 3 s Linéaires et Affines 7/7