Mathématique - Cours

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1 Mathématique - Cours Filière STAV Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3

2 Sommaire 1 Ensemble 2 Équations et inéquations - Système du 1 er degré 2.1 Équations du type f(x)=g(x) Résolution graphique Résolution algébrique 2.2 Équations - produits 2.3 Inéquations 2.4 Intervalles 2.5 Systèmes de deux équations à deux inconnues 2.6 Équation de droite 3 Équation du second degré Résolution algébrique Résolution graphique Factorisation 3.1 Inéquations 3.2 Équation polynomiale 4 Fonctions 4.1 Vocabulaire 4.2 Représentation graphique Fonction affine 4.3 Opérations avec les fonctions 4.4 Résolution graphique 4.5 Fonction de référence 4.6 Fonctions du second degré 4.7 Fonctions homographique 4.8 Fonctions trigonométrique 4.9 Limite d une fonction Limite d une fonction en zéro Limite d une fonction en 4.10 Asymptotes 4.11 Limites des fonctions de références 4.12 Opérations sur les limites et limites indéterminés 4.13 Notion de tangente 4.14 Dérivabilité et nombre dérivé 4.15 Dérivée et sens de variation d une fonction 4.16 Fonctions logarithmes 4.17 Fonctions exponentielles 4.18 Intégrale

3 Référentiel Objectif : Mobiliser des concepts et des raisonnements mathématiques pour résoudre des problèmes dans des champs d application divers Outre l apport de nouvelles connaissances, la formation vise le développement des compétences suivantes : mettre en œuvre une recherche de façon autonome, mener des raisonnements, avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus, communiquer à l écrit et à l oral. L utilisation des calculatrices graphiques et de l outil informatique est une obligation dans la formation. Ces outils permettent d une part d expérimenter, de conjecturer, de construire et d interpréter des graphiques, et d autre part d alléger ou d automatiser certains calculs numériques et algébriques. En seconde générale et technologique, les élèves ont conçu et mis en œuvre des algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. 1. Traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets a) Résoudre un problème concret dont la situation est modélisée par une suite arithmétique ou géométrique b) Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème c) Utiliser la représentation graphique de fonctions pour contrôler des résultats, conjecturer des propriétés de la fonction, résoudre des équations et des inéquations d) S approprier la notion de nombre dérivé en un point (limite du taux de variation, coefficient directeur de la tangente) et utiliser la dérivation pour étudier (variations, recherche d extremum) des fonctions du type : x ax 2 + bx + c x x x ax + b + c x + d x ax 3 + bx 2 + cx + d x ax + b cx + d e) Déterminer la limite d une fonction simple et interpréter graphiquement une limite en termes d asymptote f) Déterminer les primitives d une fonction simple g) Connaître et utiliser les variations, les limites et la représentation graphique des fonctions logarithme népérien et exponentielle h) Appliquer les propriétés algébriques et analytiques de ces deux fonctions i) Résoudre une inéquation d inconnue n entier naturel, de la forme q n a ou q n a où q et a sont deux nombres réels strictement positifs donnés j) Étudier et représenter des fonctions du type : x ln ax + b x exp ax + b k) Déterminer une géométriquement dans le cas d une fonction positive 2. Utiliser des techniques d organisation de données et de dénombrement, et approfondir l étude de phénomènes aléatoires a) Interpréter des indicateurs de tendance centrale (mode, moyenne et médiane) et de dispersion (étendue, écart-type et écart interquartile) pour des séries statistiques à une variable b) Analyser des tableaux de contingence pour deux variables statistiques qualitatives (degré de dépendance) c) Décrire quelques expériences aléatoires simples et utiliser des techniques de dénombrement pour calculer des probabilités (arbres, tableaux, diagrammes, combinaisons) d) Déterminer la probabilité conditionnelle d un événement par rapport à un événement de probabilité non nulle e) S approprier la notion de variable aléatoire discrète ; déterminer sur des exemples simples la loi de probabilité associée et l espérance mathématique f) Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale et calculer, dans ce cadre, des probabilités g) S approprier la notion de variable aléatoire distribuée suivant une loi normale et calculer des probabilités dans ce cadre, la calculatrice ou un tableur étant des outils à utiliser h) Compléter la problématique de la prise de décision et de l estimation Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 3/27

4 1 Ensemble N contient les nombres 0,1,2,3... C est l ensemble des entiers naturels. Z contient les nombres précédents ainsi que..., 2, 1,0,1,2... C est l ensemble des entiers relatifs. D contient les nombres précédents ainsi que les nombres qui peuvent s écrire sous la forme un entier naturel. C est l ensemble des nombres décimaux. Q contient les nombres précédents ainsi que toutes les fractions par exemple : 48,9;54, C est l ensemble des rationnels. R contient les nombres précédents ainsi que π, 2... C est l ensemble des nombres réels. ( 3 2, 10 3, 562 ) a avec a un entier relatif et n 10n C contient les nombres précédents ainsi que les nombres imaginaires (ex : i tel que i2 = -1) C est l ensemble des nombres complexes. (étudié en filière S) Nous avons donc les inclusions suivantes N Z D Q R C Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 4/27

5 2 Équations et inéquations - Système du 1 er degré 2.1 Équations du type f(x)=g(x) Résolution graphique Résoudre graphiquement une équation du type f (x) = g (x) revient à définir le ou les points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On peut voir sur le graphique que la solution de l équation f (x) = g (x) est le point d intersection des deux courbes. On peut lire graphiquement que l abscisse et l ordonnée du point [1;2]. Algébriquement ( on retrouve le point de coordonnées 12 7 ; 11 ) comme solution. 7 Résolution algébrique Résoudre une équation (respectivement une inéquation) d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles que l on peut donner à x pour que l égalité (respectivement l inégalité) soit vérifiée. Ce sont les solutions de l équation ((respectivement l inéquation). (1) 5x + 2 = 3x 4 5x = 3x 4 2 5x = 3x 6 5x 3x = 3x 6 3x 2x = 6 2x = x = 3 (2) 4x (x 2) = 5(1 + 2x) on développe : 4x x + 2 = x on réduit : 3x + 2 = x 3x = x 2 3x = 10x + 3 3x 10x = 10x x 7x = 3 7x = x = 3 7 (3) x 3 1 = x On réduit au même dénominateur 2x 6 1 = x 6 on multiplie chaque membre par 6 2x 1 = 9 6x 2x 1+1 = 9 6x+1 2x = 10 6x 2x+6x = 10 6x+6x 8x = 10 8x = x = 10 8 = 5 4 (4) Un grossiste livre 88 plantes à un fleuriste. Il y a des cyclamens et des azalées. Il y a trois fois plus d azalées que de cyclamens. Combien y a-t-il de cyclamens? Choix de l inconnue : Soit x, le nombre de cyclamens. - Mise en équation : 3x + x = 88 - Résolution de l équation 4x = 88 4x 4 = 88 4 x = 22 Conclusion : Il y a 22 cyclamens. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 5/27

6 2.2 Équations - produits Propriété P 1 : Un produit de facteurs est nul si l un, au moins, des facteurs est nul. (1) (3x 2)( x + 7) = 0 or P 1 donc 3x 2 = 0 ou x + 7 = 0 3x = 2 ou x = 7 x = 2 3 ou x = 7 L équation a deux solution : 2 3 et 7 (2) (2 3x)(x 4) (x 4)(5 + 2x) = 0 On factorise : (x 4)((2 3x) (5 + 2x)) = 0 (x 4)(2 3x 5 2x) = 0 (x 4)( 7 5x) = 0 or P 1 donc x 4 = 0 ou 7 5x = 0 3x = 4 ou x = 7 5 L équation a deux solution : 7 5 et 4 (3) x 2 = 9 x 2 9 = 0 (x 3)(x + 3) = 0 or P 1 donc x 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = 3 L équation a deux solution : 3 et Inéquations En ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres d une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens. En multipliant (ou divisant) les deux membres d une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une nouvelle inégalité de même sens. En multipliant (ou divisant) les deux membres d une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire. (1) Résoudre 4x 9 2x 7 4x x x + 2x 2x x 2x 2 2x 2 2 < 0 x 1 Solutions 1 (2) Résoudre 1 2 x 1 < x x 2 < x (2x 2) < x 24 On réduit 5 2x < x x+2x < x 24+2x Solutions < 3x < 3x < x Intervalles x appartient à l intervalle C est l ensemble des nombres rééls x tel que Sa représentation graphique est [a;b] ]a;b] [a;b[ ]a;b[ a x b a < x b a x < b a < x < b L intervalle I =] 2;4] est l ensemble des rééls tels que 2 < x 4-2 n appartient pas à l intervalle I. On dit que le crochet devant 2 est ouvert. 4 appartient à l intervalle I. On dit que le crochet devant 4 est fermé. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 6/27

7 2.5 Systèmes de deux équations à deux inconnues Une solution d un système de deux équations à deux inconnues est un couple de nombre qui vérifie chacune des deux équations. x + 3y = 11 (2 ;3) est solution du système 2x y = 1 car = 11 et = 1 Un système de deux équations à deux inconnues peut se résoudre algébriquement par substitution ou par addition. (méthode pour la substitution) Substituer, c est remplacer par (mettre à la place de) : 3x + y = 7 (1) Avec le système suivant : 2x 3y = 1 (2) 1. Première étape : Isoler y dans l équation (1) et remplacer y par sa valeur dans l équation (2) y = 7 3x (1 ) 2x 3(7 3x) = 1 2. Deuxième étape : Conserver l équation (1 ) et effectuer les calculs dans l équation (2) y = 7 3x 2x ( x) = 1 y = 7 3x 11x 21 = 1 3. Troisième étape : Conserver l équation (1 ) et Calculer la valeur de x y = 7 3x 11x = = 22 y = 7 3x x = = 2 4. Quatrième étape : Remplacer x dans (1 ) par la valeur trouvée, et calculer y Conserver la valeur de x y = x = 2 y = 1 x = 2 x = 2 5. CONCLUSION : y = 1 ou S = (2 ;1). 3x + y = 7 Phrase de conclusion : Le système admet pour solution (2 ;1). 2x 3y = = 7 (1) Vérification : Égalités vérifiées = 1 (2) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 7/27

8 (méthode pour l addition) 3x + 2y = 7 (1) Résoudre le système : 5x 2y = 1 (2) Remarque : Coefficient de y dans (1) : 2 Coefficient de y dans (2) : -2 Ce sont deux nombres opposés Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités. 1. Première étape : Écrire l équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2) et conserver l une des deux équations ( (1) ou (2) ) 3x + 2y = 7 (1) 3x + 2y = 7 (1) 3x + 2y = 7 (1) 3x + 2y + 5x 2y = (2) 8x = 8 (2) x = 1 (2) 2. Deuxième étape Conserver la valeur de x et remplacer x par sa valeur et calculer y y = 7 (1) 4 + 2y = 7 (1) 2y = 7 4 (1) 2y = 3 (1) x = 1 (2) x = 1 3. CONCLUSION : y = 3 2 Phrase de conclusion : Le système Vérification : = 7 (1) x = 1 (2) ou S = (1 ; 3 2 ). 3x + 2y = 7 5x 2y = = 1 (2) Égalités vérifiées x = 1 (2) admet pour solution (1 ; 3 2 ). x = 1 (2) y = 3 2 (1) x = 1 (2) 2.6 Équation de droite Détermination de l équation d une droite passant par 2 points (son équation peut se mettre sous la forme y = ax + b ) Détermination de l équation de la droite passant par les points : A( 1; 5) et B(2;4) 5 = a + b (1) 4 = 2a + b (2) Remplaçons a par sa valeur dans l équation (1) = L équation de la droite est y = 3x 2. (1) (2) 9 = 3a a = 9 3 = 3 5 = 3 + b b = = 2 b = 2 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 8/27

9 3 Équation du second degré Une équation du second degré a pour forme générale : ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Les solutions, si elle existent, sont les abscisses les points d intersection de la parabole P d équation y = ax 2 + bx + c et l axe (ox) d équation y = 0 Résolution algébrique Pour résoudre l équation ax 2 + bx + c = 0 (avec a 0) : 1. On calcul le nombre = b 2 4ac. Ce nombre est appelé discriminant de l équation. Trois cas sont possible : a) si < 0, l équation n a pas de solution b) si = 0 l équation a une solution unique : x 0 = b 2a c) si > 0 l équation a deux solutions distinctes : x 1 = b 2a x 2 = b + 2a Résoudre : 3x 2 + 5x 5 = 0 1. Identification : a = 3, b = 5 et c = 5 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 3) ( 5) = 35 D où = 35 < 0, donc l équation n a pas de solution. Résoudre : 4x 2 4x + 1 = 0 1. Identification : a = 4, b = 4 et c = 1 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 4) = 0 D où = 0, donc l équation a une solution. 3. Calcul de la solution : x 0 = b 2a = ( 4) 2 4 = 1 2 Résoudre : 2x 2 5x 3 = 0 1. Identification : a = 2, b = 5 et c = 3 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 5) ( 3) = 49 D où = 49 > 0, donc l équation a deux solutions. 3. Calcul des solutions : x 1 = b 2a x 2 = b + 2a = ( 5) = ( 5) = = = 1 2 = 12 4 = 3 4. La solution de l équation est Les solutions de l équation sont 1 2 et 3 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 9/27

10 Résolution graphique 1. La parabole (P) coupe l axe des abscisses (ox) en deux points A et B : Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d intersection de (ox) et P. L équation x 2 + x 6 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 + x 6 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) Les points d intersection A et B ont pour coordonnées respectives ( 3,0) et (2,0) Les abscisses x A = 3 et x B = 2 sont solutions de l équation x 2 + x 6 = 0. Vérification : ( 3) 2 + ( 3) 6 = 0 et = 0 2. L axe (ox) est tangent à la parabole (P) au point I : La solution est l abscisse du point de tangence de la droite à la parabole. L équation x 2 4x + 4 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 4x + 4 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) Le point d intersection I a pour coordonnées (2, 0) L abscisse x I = 2 est solutions de l équation x 2 4x + 4 = 0. Vérification : = 0 3. L axe (ox) ne coupe pas la parabole (P) : L équation n a pas de solution dans ce cas. L équation x 2 x 2 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 x 2 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) On ne trouve aucun point commun In n existe donc pas de réel x pour lequel x 2 x 2 = 0. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 10/27

11 Factorisation 1. si > 0 le polynôme ax 2 + bx + c a deux racines x 1 et x 2 et il se factorise comme suit : ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) 2. si = 0, ax 2 + bx + c admet une seule racine x 0 telle que : ax 2 + bx + c = a(x x 0 ) 2 3. si < 0, ax 2 + bx + c n a pas de racine, il ne peut être factorisé. Remarque : Dans le cas où l équation à résoudre peut se mettre immédiatement sous forme de produit de facteur, on n utilise pas la méthode du discriminant. Il sera plus rapide de factoriser l équation. 3.1 Inéquations Résoudre : 3x 2 9x = 0 3x 2 9x = 0 3x(x 3) = 0 3x = 0 x = 0 ou x 3 = 0 x = 3 D où les solutions x 1 = 0 et x 2 = 3 Objectif : trouver le signe du trinôme ax 2 + bx + c avec a 0 1. Cas où > 0 on a le schéma suivant : x x 1 x 2 + Signe de ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a Signe de a pour x ] ; x 1 [ ]x 2 ;+ [ et Signe de a pour x ]x 1 ; x 2 [ 2. Cas où = 0 ou < 0 : dans ce cas le polynôme ax 2 + bx + c est toujours du signe de a 3.2 Équation polynomiale Le degré d un équation polynomiale correspond au degré de la puissance de l inconnue. Pour tous a,b,c,d, a n R et n N 1 er degré : ax + b = 0, a 0, une seule solution 2 ème degré : ax 2 + bx + c = 0, a 0, zéro, une ou deux solutions 3 ème degré : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a 0, zéro, une, deux ou trois solutions n ième degré : a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 zéro à n solutions Graphiquement, les solutions sont les points d intersections de la courbes avec l axe des abscisses. Remarque Graphiquement se sont des solutions approchées que l on peut trouver. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 11/27

12 4 Fonctions 4.1 Vocabulaire (Notion de fonction) Définir une fonction f sur un intervalle [a;b], c est donner un procédé qui, à chaque valeur de la variable x de l intervalle [a,b], fait correspondre un nombre noté ( f (x). On dit que le nombre x a pour image le nombre f (x) par la fonction f. Inversement, le nombre f (x) a pour antécédent le nombre x. (Fonction affine) Soient a et b des nombres quelconques. Définir la fonction affine f,c est associer à tout nombre x le nombre ax +b. On note Cas particuliers : si a = 0, alors f est une fonction constante. si b = 0, alors f est une fonction linéaire. f : x ax + b Toute situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire. (Extremum) Un extremum est un maximum ou un minimum. f : x 4x + 2 L image de 3 par f est f ( 3) = 4 ( 3) + 2 = 10. Un nombre qui a pour image 4 par f est un nombre x tel que : f (x) = 4 soit 4x + 2 = 4 c est-à-dire 4x = 2 soit x = 0,5. L image de 2 est 2 L image de 1 est 2 L antécédent de 4 est 2 Les antécédents de 2 sont 4 et 4 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 12/27

13 4.2 Représentation graphique (Ensemble de définition) L ensemble de définition d une fonction f est l ensemble des nombres réels qui ont une image par la fonction f. (Domaine d étude) Le domaine d étude d une fonction f est la partie du domaine de définition sur laquelle la fonction f doit être étudiée. (Graphe d une fonction) Le graphe d une fonction f dans le plan muni d un repère est composé de tous les points dont l abscisse est un nombre du domaine d étude de la fonction et dont l ordonnée est l image de cette abscisse par la fonction f. Remarque Toute courbe n est pas le graphe d une fonction. Un nombre x du domaine de définition ne peut avoir, au plus, qu une seule image par la fonction f. Ici trois points de la courbe x 2 + x y + x y 3 + 3y 2 y = 1 ont pour abscisse 0 : Fonction affine La représentation graphique de la fonction f dans un repère est l ensemble des points de coordonnées (x; f (x)) dans ce repère. La représentation de la fonction affine f : x ax+b est la droite (d) d équation y = ax+b. Cette droite passe par le point de coordonnées (0;b). a est le coefficient directeur de (d), b est l ordonnée à l origine de (d). Cas particuliers : La représentation graphique de la fonction constante f : x b est la droite parallèle à l axe des abscisses qui passe par le point de coordonnées (0 ; b). La représentation graphique de la fonction linéaire f : x ax est la droite qui passe par l origine du repère et par le point de coordonnées (1; a). (Sens de variation d une fonction affine) Soit la fonction affine f : x ax + b ; x 1 et x 2 désignent deux nombres distincts. On a : a = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 Une fonction affine est croissante si a > 0 et décroissante si a < 0 Ci joint à droite : Fonction constante : y = 3 a = 0 et b = 3 Fonction linéaire décroissante : y = 2x a = 2 et b = 0 Fonction affine croissante : y = 4x + 2 a = 4 et b = 2 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 13/27

14 Cours- Filière STAV 4.3 Opérations avec les fonctions (Variations et représentations) Les fonctions h : x 1, g : x x et f : x x 2 sont des fonctions de référence. Les représentations graphiques de ces fonctions sont données ci-contre. La fonction h : x 1 est définie pour tout x : D h = R =] ; + [. Elle est constante sur D h. Elle est représentée par la droite horizontale d équation y = 1 La fonction g : x x est définie pour tout x : D g = R =] ; + [. Elle est croissante sur D g. Elle est représentée par la droite d équation y = x. C est la fonction identité. La fonction f : x x 2 est définie pour tout x : D f = R =] ; + [. Elle est décroissante sur R =] ; 0] et croissante sur R+ = [0; + [. Elle est représentée par la parabole d équation y = x 2 (Addition d une constante) Lorsqu onajoute une constante k à une fonction f, on obtient une fonction g qui a le même sens de variation que f. Les fonctions h : x x 2 2, g : x x ont le même sens de variation que la fonction de référence f : x x 2 (Multiplication par une constante) Lorsqu on multiplie une fonction f par une constante k positive (k R+ ), on obtient une fonction g qui a le même sens de variation que f. Lorsqu on multiplie une fonction f par une constante k négative (k R ), on obtient une fonction g qui varie en sens contraire de f. La fonction i : x 0, 5x 2 a le même sens de variation que la fonction de référence f : x x 2 La fonction i : x 2x 2 varie en sens contraire par rapport à la fonction de référence f : x x 2 (Résolution graphique f (x) = c ) Les solutions, si elles existent, de l équation f (x) = c (où c est un nombre donné) sont les abscisses des points d intersection de la courbe représentative C f de la fonction f et de la droite D d équation y = c. Les solutions de l équation i (x) = 2 sont 2 et 2. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 14/27

15 4.4 Résolution graphique (Signe d une fonction) Soit c la courbe représentative de la fonction f définie sur un intervalle I. Lorsqu elles existent, les solutions de l équation f (x) = 0 sont les abscisses des points d intersection de C avec l axe des abscisses. Lorsqu elles existent, les solutions de l inéquation f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0) sont les abscisses des points de c situés au-dessus (respectivement en dessous) de l axe des abscisses. Soit la fonction f définie par f (x) = x 3 x 2 2x sur l intervalle [-1,5 ;3]. La courbe représentative C f de f coupe l axe des abscisses en trois points d abscisses : -1, 0 et 2. L équation f (x) = 0 a donc trois solution qui sont -1, 0 et 2. Les solution de l inéquation f (x) 0 sont les nombres x tels que : 1 x 0 et 2 x 3 Les solutions de l inéquation f (x) < 0 sont les nombre x tels que : 1,5 < x < 1 ou x < 2. (Comparaison de deux fonctions) f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I. Soit c f la courbe représentative de la fonction f et C g celle de la fonction g. Lorsqu elles existent, les solutions de l équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d intersection des courbes C f et C g. Lorsqu elles existent, les solutions de l inéquation f (x) > g (x) (respectivement f (x) < g (x)) sont les valeurs de x telles que le point de C f d abscisse x est au-dessus (respectivement en dessous) du point de C g de même abscisse. Soit f définie précédemment. On donne de plus la fonction g telle que : g (x) = 0.5x 0.5 sur l intervalle [-1,5 ;3]. Elle est représentée par C g. La courbe C f et la courbe C g se coupent en deux points d abscisses : -1,3 et 0.2. L équation f (x) = g (x) a donc deux solution qui sont -1,3 et 0.2. Les solution de l inéquation f (x) g (x) sont les nombres x tels que : 1.3 x 0.2 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 15/27

16 4.5 Fonction de référence (Fonction carré) Elle est définie par f : x x 2 pour tout x Elle est décroissante sur R =] ;0] et croissante sur R + = [0;+ [. Elle est représentée par une parabole (Fonction inverse) Elle est définie par f : x x 2 pour tout x 0 Elle est décroissante sur R =] ;0[ et décroissante sur R + =]0;+ [. Elle est représentée par une hyperbole (Fonction cube) Elle est définie par f : x x 3 pour tout x Elle est croissante sur R =] ;+ [. (Fonction racine carré) Elle est définie par f : x x pour tout x 0 Elle est croissante sur R + = [0;+ [. 4.6 Fonctions du second degré (second degré) Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0 Propriété (1) Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que f (x) = ax 2 + bx + c, alors f admet un extremum pour α = b 2a Propriété (2) Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que f (x) = ax 2 + bx + c : Si a est positif, f est d abord décroissante, puis croissante ( l extremum est un minimum) Si a est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante ( l extremum est un maximum) Propriété (3) L équation f (x) = 0 à une, deux ou aucune solution. (cf. équations du second degré). Même équation que partie équation du second degré : f (x) = 2x 2 5x 3 : a > 0 et > 0 g (x) = 4x 2 4x + 1 : a > 0 et = 0 h(x) = 3x 2 + 5x 5 : a < 0 et < 0 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 16/27

17 4.7 Fonctions homographique (homographique) Les fonctions homographiques (ou fonctions inverses) sont du type : f (x) = ax + b cx + d où a,b,c,d sont des nombres réels et c 0 et ad bc 0 Propriété Les fonctions homographiques sont définies sur l ensemble des nombres réels { D f = R d } c ] D f = ; d [ ] dc [ c ;+ La fonction f est toujours croissante ou toujours décroissante. Le point d intersection de la courbe avec l axe des abscisses correspond à la solution de l équation f (x) = 0. Un quotient est nul si son numérateur (nominateur) est égal à 0 : ax + b = 0 donc x = b a Si a = 0 et b 0, l équation f (x) = 0 n admet aucune solution. Le point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées est défini par le quotient b d. En effet, il est caractérisé par une abscisse égale à 0, et donc l ordonnée de ce point sera toujours égale à f (0). Or : f (0) = a 0 + b c 0 + d = b d Remarque : Si d = 0 alors il n existe pas de point d intersection entre la courbe et l axe des ordonnées. La fonction a = 7, b = 1, c = 1, et d = 0 D f = R {0} f (x) = 1 x 7 = 1 7x x 0 Point d intersection de la courbe avec l axe des abscisses : x = b a = 1 7 = 1 7 Point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées : d = 0 donc il n y en a pas. (cubique) Les fonctions du troisième degré (fonctions cubiques, fonctions polynomiales de degré 3) sont définies sur R et sont du type : f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d où a,b,c,d sont des nombres réels et a 0 Propriété La courbe peut avoir 1, 2 ou 3 points d intersection avec l axe des abscisses, elle en possède toujours au moins 1 Le point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées est défini par d. En effet, il est caractérisé par une abscisse égale à 0, et donc l ordonnée de ce point sera toujours égale à f (0). Or : f (0) = a b c 0 + d = d La fonction n a pas de maximum ou minimum absolu ( maximum/minimum local) Si la fonction a un maximum/minimum local alors elle est soit croissante puis décroissante puis croissante soit décroissante puis croissante puis décroissante. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 17/27

18 La fonction f (x) = x 3 Pas de maximum/minimum local. La fonction f (x) = x 3 + 2x 2 3x Maximum/Minimum local et donc croissante puis décroissante puis croissante. 4.8 Fonctions trigonométrique A COMPLETER?? Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 18/27

19 4.9 Limite d une fonction Limite d une fonction en zéro Propriété (infinie) Soit f une fonction réelle. Si pour tout nombre possible N aussi grand que l on veut, il est toujours possible de trouver une valeur positive de x proche de zéro telle que : f (x) > N, alors on dit que la limite de la fonction f en zéro est égale à l infini positif. On le note : lim f (x) = + x 0 + x 0 + signifie que les valeurs de x sont positives et aussi proche de zéro que l on veut. x 0 signifie que les valeurs de x sont négatives et aussi proche de zéro que l on veut. 1 lim x 0 + x = + lim 1 x 0 x = Propriété (finie) Soit f une fonction réelle, définie par une expression unique et sur un intervalle contenant le nombre réel zéro alors : lim f (x) = f (0) x 0 x 0 signifie que l on choisit des valeurs de x infiniment proches de zéro autant de façon positive que négative. Limite d une fonction en lim x 0 x2 = ( 0) 2 = (+0) 2 = 0 2 = 0 = f (0) (infinie positif) Soit f une fonction définie au moins sur [ ; a[. Lorsque le réel x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolue et négatives vers, si les nombres f (x) deviennent de plus en plus proches d un réel l, on dit que f a pour limite l en et on note grands, on dit que f a pour limite + en et on note lim x lim f (x) = l. x f (x) = +. grands en valeur absolue et négatifs, on dit que f a pour limite en et on note lim f (x) =. x Dans le cas où la limite en est l, on dit que la droite d équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe représentative C f. "Visualisation" de limites en + : f (x) = 1 x f (x) = x 2 f (x) = 1 x 2 lim f (x) = 1 x La courbe admet une asympyote horizontale d équation y = 1. lim x f (x) = + Il n y a pas d asymptote. lim x f (x) = Il n y a pas d asymptote. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 19/27

20 (infinie négatif) Soit f une fonction définie au moins sur [a;+ [. Lorsque le réel x prend des valeurs de plus en plus grandes vers +, si les nombres f (x) deviennent de plus en plus proches d un réel l, on dit que f a pour limite l en + et on note grands, on dit que f a pour limite + en + et on note lim x + lim f (x) = l. x + f (x) = +. grands en valeur absolue et négatifs, on dit que f a pour limite en + et on note lim f (x) =. x + Dans le cas où la limite en + est l, on dit que la droite d équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe représentative C f. "Visualisation" de limites en + : f (x) = 1 x f (x) = x 2 f (x) = 1 x 2 lim f (x) = 2 x + La courbe admet une asympyote horizontale d équation y = Asymptotes lim x + f (x) = + Il n y a pas d asymptote. lim x + f (x) = Il n y a pas d asymptote. Si lim f (x) = L alors la droite d équation y = L est asymptote horizontale à la courbe représentative de f. x ± Si lim f (x) = ± alors la droite d équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. x a Si [f (x) (ax + b)] = 0, alors la droite d équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de f en lim x ± + (ou en ). f (x) = 3 1 f (x) = x x 1 x 1 La courbe C f à pour asymptote oblique y = x + 2 La courbe C f à pour asymptote verticale x = 1 et pour [ ] asymptote horizontale y = 3 lim f (x) (x + 2) = lim 1 x + x + x 1 = 0 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 20/27

21 4.11 Limites des fonctions de références lim x + x2 = + lim x x2 = + lim x + x3 = + lim x x3 = 1 lim x 0+ x = + 1 lim x 0 x = 1 lim x + x = 0 1 lim x x = Opérations sur les limites et limites indéterminés X forme indéterminés et règle des signes Somme : f l l + + g l ± + f + g l + l ± + X Produit : f l l 0 0 g l f g l l X Quotient : f l l 0 l g l l f g l l ± (G/D) X 0 X Remarque Règle à appliquer dans le cas de forme indéterminée : mettre en facteur le terme de plus grande puissance du polynôme et utiliser les limites de références. lim x + x3 x 2 = lim x + x3 (1 1 x ) = + Car lim x + x3 = + et lim 1 1 x + x = Notion de tangente (pente d une droite) Soit d une droite, A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points de cette droite, distincts l un de l autre. La pente p de cette droite est égale à : p = y A y B = y B y A = y x A x B x B x A x (Tangente en un point d un cercle) La tangente à un cercle de centre A et de rayon AB en un point B est la droite qui passe par ce point B est qui est perpendiculaire à la droite passant par ce point B et le centre A du cercle. autour du point B, le cercle et la tangente se confondent (Tangente en un point d une courbe) Comme pour la tangente en un point d un cercle, la tangente à la courbe d une fonction réelle en un point est une droite de plus en plus proche de la courbe de la fonction au fur et à mesure que l on zoome sur le point où a été tracée la tangente. En ce point, et uniquement en ce point précis, la tangente et la courbe se confondent. Remarque Une courbe est constitué d une infinité de points distincts, il existe donc une infinité de tangentes à une courbe donnée. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 21/27

22 4.14 Dérivabilité et nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et x 0, x 1 deux nombres de cet intervalle. (Taux d accroissement) La pente de la droite (M 1 M 0 ) passant par les deux points M 1 (x 1 ; f (x 1 )) et M 0 (x 0 ; f (x 0 )) est : f (x 1 ) f (x 0 ) x 1 x 0 = y x Ce nombre correspond au taux d accroissement de la fonction f entre les nombres x 1 et x 0. Posons : h = x 1 x 0 Alors x 1 = h + x 0, Donc : f (x 1 ) f (x 0 ) = f (h + x 0) f (x 0 ) x 1 x 0 h Remarque Il y a équivalence de dire que le nombre x 1 tend vers le nombre x 0 et de dire que le nombre h tend vers zéro. (x 1 x 0 ) (h 0) (Nombre dérivé) Le nombre dérivé de la fonction f en x 0 est le nombre, noté f (x 0 ), qui est défini par la limite suivante, si elle existe : f (x 1 ) f (x 0 ) f (h + x 0 ) f (x 0 ) lim = lim = f (x 0 ) x 1 x 0 x 1 x 0 h 0 h Remarque Cette limite correspond à la pente, ou au coefficient directeur, de la tangente à la courbe au point d abscisse x 0. D où l équation de la tangente au point x 0 ets de la forme : y = f (x 0 )x + b (équation de tangente) L équation de la tangente à la courbe f au point M 0 (x 0 ; f (x 0 )) est donc : y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Soit : La courbe C f représente la fonction f (x) = 3x 2 2x 1 La dérivée de la fonction f est f (x) = 6x 2 L équation de la tangente au point α d abscisse 2 est donc : t(x) = f (2)(x 2) + f (2) t(x) = [6 2 2)](x 2) + [ ] t(x) = [12 2](x 2) + [12 4 1] t(x) = 10(x 2) + 7 = 10x 13 La courbe T α représente la tangente pour x = 2. y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) L équation de la tangente au point d abscisse 1 ( )( 3 1 t(x) = f x 1 ) ( ) 1 + f t(x) = [ ](x 1 ( ) ) + [ ] t(x) = [2 2](x) + [ ] est donc : t(x) = 0(x 1 3 ) = 4 3 La courbe T β représente la tangente pour x = 1 3. (dérivabilité) Une fonction f est dérivable en x 0 si le nombre f (x 0 ) existe. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 22/27

23 4.15 Dérivée et sens de variation d une fonction (Fonction dérivée) Soit f une fonction admettant un nombre dérivé pour tout point d un intervalle I. La fonction dérivée de f est la fonction qui, à tout point de I, fait correspondre le nombre dérivé de f en ce point. Elle est noté f (Calcul d une dérivée) Si f (x) = Domaine de dérivabilité Alors f (x) = 1 k, k R R 0 2 kx, k R R k 3 kx + b, k R R k 4 x 2 R 2x 5 x 3 R 3x 2 6 x n R nx n x, x 0 R 1 x 2 8 x, x 0 R + 1 =]0;+ [ 2 x 9 u(x) + v(x) D u D v u (x) + v (x) 10 k u(x), k R D u k u (x) 11 u(x) v(x) D u D v u (x)v(x) + v (x)u(x) u(x) u(x) v(x) ax + b cx + d D 1/u D u D v D f u (x) u 2 (x) u (x)v(x) v (x)u(x) v 2 (x) ad bc (cx + d) 2 f (x) = x x x + 2 : 1. ensemble de définition : R = R\{0} 2. dérivons chaque membre : g (x) = x 2 g (x) = 2x d après (3) h(x) = 1 x h (x) = 1 x 2 d après (6) i(x) = x i (x) = 1 d après (2) j (x) = 2 j (x) = 0 d après (1) Or f (x) = g (x)+h (x)+i (x)+ j (x) d après (8) D où f (x) = 2x 1 x = 1 x 2 + 2x 1 (Signe de la dérivée et sens de variation d une fonction) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I = [a;b]. Pour toute valeur de x appartenant à I : Si f (x) = 0, alors f est constante sur I Si f (x) > 0, alors f est croissante sur I Si f (x) < 0, alors f est décroissante sur I x a b Signe de f (x) + Variations f (b) de f f (a) x a b Signe de f (x) - Variations f (a) de f f (b) Soit f la fonction définie sur I = [ 5;6] par f (x) = 3x + 5. Sa dérivée f est égale à : f x) = 3 qui est positif pour tout x I. Donc la fonction f est croissante sur I. x 5 6 Signe de f (x) + Variations f (6) de f f ( 5) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 23/27

24 4.16 Fonctions logarithmes (Fonction logarithme népérien) La fonctions logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie pour x > 0 (D ln =]0;+ [, dont la dérivée est la fonction x 1 x sur ]0;+ [, et qui s annule en 1. ln : x ln(x) Par définition, ln(1) = 0 et ln (x) = 1 x La fonction ln est croissante sur l intervalle ]0; + [ Le nombre e est le nombre tel que ln(e) = 1. Une valeur approchée de e au dixième est 2,7 La courbe représentative de la fonction ln : Propriété a et b sont deux nombres strictement positifs ; n est un entier positif ou négatif. ( a,b R + et n Z) ln(a b) = ln(a) + ln(b) ; log(a b) = log(a) + log(b) ( a ) ( a ) ln = ln(a) ln(b) ; log = log(a) log(b) ; b b ln(a n ) = n ln(a) ; log(a n ) = n log(a) ln(21) = ln(3 7) = ln(3) + ln(7) ; log(4) + log(5) = log(4 ( ) 5) = log(20) 10 ln(10 ln(3) = ln ; ( ) 3 3 log = log(3) log(4) 4 ln(25) = ln(5 2 ) = 2ln(5) ; 3 log(4) = log(4 3 ) = log(64) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 24/27

25 4.17 Fonctions exponentielles (Fonction exponentielle de base e) Soit b un nombre quelconque. Le nombre noté e b est la solution unique de l équation ln(x) = b. La fonction exponentielle de base e est définie pour tout nombre x et s écrit : x e x Valeurs particulières : e 0 = 1, e 1 = e et e x > 0 pour tout x Propriété : Pour x > 0, si ln(x) = b, alors x = e b Pour b > 0, si e x = b, alors x = ln(b) Dérivé : Si f (x) = e x alors f (x) = e x Variations : ] ;+ [ Courbe représentative : La fonction exponentielle de base e est croissante sur Si ln(x) = 5, alors x = e 5. Si e x = 3,5, alors x = ln(3,5) (Fonction exponentielles du type x e ax ) Soit la fonction définie pour tout x par f (x) = e ax (a constante non nulle) alors f (x) = a e ax. f est croissante si a > 0 et décroissante si a < 0. f (x) = e 0,5x f (x) = 0,5 e 0,5x 0,5 > 0 : la fonction f est donc croissante : f (x) = e 0,5x f (x) = 0,5 e 0,5x 0,5 > 0 : la fonction f est donc décroissante : Propriété Pour x et y deux nombres quelconques et n un entier positif ou négatif : e x e y = e x+y e x e y = ex y (e x ) n = e x n e 1,2 e 3 = e 1,2+( 3) = e 1,8 ; e 2+x = e 2 e x ; e 5 e 8 = e5 8 = e 3 (e 3 ) 4 = e 3 4 = e 12 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 25/27

26 4.18 Intégrale (Primitive d une fonction) Une fonction F est une primitive d une fonction f sur un intervalle I si, pour tout x de ect intervalle I, la fonction f est la dérivée de F : F (x) = f (x) Toutes les primitives de la fonction f sont les fonctions F définies par F (x) + k où k est une constante réelle quelconque (k R). Fonction f f (x) = a Primitive F F (x) = ax + k f (x) = x f (x) = x 2 f (x) = x 3 F (x) = 1 2 x2 + k F (x) = 1 3 x3 + k F (x) = 1 4 x4 + k f (x) = x n ; n 1 F (x) = 1 n + 1 xn+1 + k f (x) = 1 x ; x > 0 F (x) = ln(x) + k Soit f la fonction définie pour tout x par f (x) = 4x 2 5x : Les primitives F de f sont données par F (x) = 4 3 x3 5 2 x2 + k Soit g la fonction définie pour tout x strictement positif par g (x) = 3 x : Les primitives G de g sont données par G(x) = 3ln(x) + k f (x) = u(x) + v(x) f (x) = a u(x) ; a R F (x) = U(x) +V (x) F (x) = a U(x) (Intégrale définie d une fonction) Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle [a;b]. Le nombre F (b) F (a) (indépendant de a primitive F choisie) est appelé intégrale définie de la fonction f entre les valeurs a et b de la variable. Les nombres a et b sont les bornes d intégration. On écrit : b a f (x)dx = F (b F (a) ou b a f (x)dx = [F (x)] b a = F (b F (a) Le symbole b a f (x)dx se lit somme de a à b de f (x)dx Dans le cas d une fonction f positive et définie sur l intervalle [a;b], l aire A du domaine limité par la courbe représentative de f, l axe des abscisses et les droites d équations x = a et x = b est égale à l intégrale définie de f sur l intervalle [a; b]. Elle s exprime en unité d aire du repère : A = b a f (x)dx Soit l intégrale I = 2 1 f (x)dx, f étant définie pour tout x par f (x) = 2x + 3 Une primitive de f est : F (x) = x 2 + 3x. On a : F (2) = 10 et F (1) = 4 I = 2 1 (2x + 3)dx = F (2) F (1) = 10 4 = 6 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 26/27

27 avoir Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 27/27