Corrigé du devoir n 5

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1 Corrigé du devoir n 5 Il es foremen conseillé de lire l'ensemble des énoncés avan de commencer. n poin es consacré à l'uilisaion correce des noaions (leres minuscules, leres majuscules soulignées, ). Exercice 1 (7,5 poins) L'éude pore sur une machine à couran coninu foncionnan en moeur e don la plaque signaléique pore les indicaions suivanes : Indui : 220 V ; 6,15 A Induceur : 200 V ; 0,3 A n essai roor bloqué sous ension réduie a donné 24,9 V aux bornes de l'indui pour une inensié de 6 A. n essai en moeur à vide sous ension nominale a permis de mesurer un couran indui de 0,8 A. Le graphe ci dessous a éé relevé lors d'un essai en foncionnemen générarice à vide à 1500 r/min. 270 V 1. Modélisaion de l'indui de la machine Le modèle équivalen de l'indui de la machine compore une fém noée E en série avec une résisance noée R. a. Déerminer R à parir des résulas de l'un des essais, pour la suie on prendra R = 4,1 W. Il fau uiliser les résulas de l'essai roor bloqué, la viesse de roaion es nulle e la fém aussi, la loi d'hm pour l'indui s'écri R= c = 24,9 I b 6 =4,15 b. À parir des résulas de l'un des essais, déerminer la consane k elle que E=k (W es la viesse de roaion exprimée en rad/s) pour le couran d'exciaion nominal. Pour la suie, on prendra k =1,7 N.m/A. Sur la caracérisique à vide, on li E = 270 V pour un couran d'exciaion égal à 0,3 A (voir le graphique cidessus) e une viesse égale à 1500 r/min. Puisque E=k e = 2 n 60 k = E = 60 E 2 n = =1,72 N.m/A alors Devoir n 5 Page 1/7 S1 E

2 2. Éude du foncionnemen en moeur à vide a. Déerminer la fém du moeur pour ce foncionnemen. La loi d'hm pour l'indui du moeur perme d'écrire =E R I soi E= R I =220 4,1.0,8=216,7 V b. En déduire la viesse de roaion du moeur. D'après ce qui précède n= 60 E 2 k =60.216,7 =1217 r/min 2.1,7 c. Calculer le couple de peres (il es supposé consan par la suie). Le couple de peres es égal au couple élecromagnéique à vide soi C p =k I 0 =1,7.0,8=1,36 N.m 3. Éude en charge n éudie un poin de foncionnemen pour lequel l'arbre du moeur es accouplé à une charge mécanique imposan un couple résisan de momen consan e égal à 8 N.m. La ension aux bornes de l'indui es égale à 220 V. a. Quelle es la valeur du couple élecromagnéique? En déduire la valeur de l'inensié du couran dans l'indui. Le couple élecromagnéique es égal à la somme du couple résisan (égal au couple uile) e du couple de peres soi C em =C u C p =8 1,36=9,36 N.m. Comme C em =k I alors I= C em k = 9,36 1,7 =5,5 A b. Calculer la fém du moeur e en déduire sa viesse de roaion. n a oujours E= R I donc E=220 4,1. 5,5=197,4 V. Pour la viesse, on uilise la relaion n= 60 E 2 k =60.197,4 =1109 r/min 2.1,7 n éudie un nouveau poin de foncionnemen pour lequel le couran dans l'indui es égal à 5,5 A e la ension à ses bornes es égale à 220 V, la viesse de roaion es égale à 1110 r/min. La ension e le couran induceurs son réglés à leurs valeurs nominales. c. Calculer la puissance absorbée par le moeur. Il fau enir compe des puissances de l'indui e de l'induceur : P a =. I e. I e avec e e I e la ension e l'inensié pour l'induceur. P a =220. 5, ,3=1270 W d. Calculer les peres par effe Joule dans l'indui puis dans l'induceur. Peres par effe Joule dans l'indui : Peres par effe Joule dans l'induceur : P ji =R. I 2 =4,1.5,5 2 =124 W P je = e. I e =222. 0,3=60 W e. Calculer les peres collecives (appelées aussi peres à vide) Les peres collecives corresponden au couple de peres : P c =C p. =C p. P c =1, =157 W 60 2.n 60 soi f. Déduire de ce qui précède la puissance uile e le rendemen du moeur pour ce foncionnemen. La puissance uile es égale à la puissance absorbée à laquelle on sousrai oues les peres soi P u =P a P ji P je P c = =929 W Devoir n 5 Page 2/7 S1 E

3 Par définiion le rendemen es égal au rappor de la puissance uile sur la puissance absorbée ce qui donne : = P u P a = =73,1 % Exercice 2 (6,5 poins) n considère le hacheur représené ci conre : 1 es commandé à la fermeure de 0 à a e à l ouverure de a à ; 2 es commandé à la fermeure de a à e à l ouverure de 0 à a. 1. ension de sorie a. Représener u en foncion du emps pour a = 0,7. i al i 1 1 D 1 i D1 2 D 2 i u L M u es égale à enre 0 e a ( 1 ou D 1 es passan) e u es égale à 0 enre a e ( 2 ou D 2 es passan). La durée a correspond à 0,7. b. Calculer la valeur moyenne de u si a = 0,6 e = 200V. La valeur moyenne es donnée par la relaion l'énoncé, on rouve u c =. =0,6. 200=120 V u c = 1. =.. Pour les valeurs données dans 2. Les oscillogrammes de la page 4 représenen l évoluion du couran pour une siuaion pariculière. a. Indiquer les inervalles de conducion des ransisors 1 e 2 e des diodes D 1 e D 2. 1 es passan enre 0 e a lorsque le couran es posiif ; D 1 es passane enre 0 e a lorsque le couran es négaif ; 2 es passan enre a e lorsque le couran es négaif e enfin D 2 es passane enre a e lorsque le couran es négaif. Voir le documen réponse. b. Compléer les oscillogrammes des courans pour le ransisor 1 e la diode D 1. Les orienaions des courans son indiquées sur le schéma. Enre 0 e a : i 1 = i lorsque celui ci es posiif, il es nul sinon. Enre a e : i 1 = 0. Enre 0 e a : i D1 = i lorsque celui ci es négaif, il es nul sinon. Enre a e : i D1 = 0. Voir le documen réponse. 3. L indui de la machine à couran coninu es modélisé par sa fém E (l influence de la résisance es négligée) ; les valeurs minimale e maximale de l inensié son noées I min (à l'insan 0) e I max (à l'insan a). a. Éablir l équaion de i en foncion de, E, L, e I min enre 0 e a. D'après la loi des mailles e la loi d'hm pour l'inducance, on peu écrire d i = E d L =E L d i d ce qui donne. Puisque la dérivée de i par rappor au emps es une consane alors i = E L B 1 avec B 1 une consane d'inégraion. Déerminaion de B 1 : Devoir n 5 Page 3/7 S1 E

4 À l'insan = 0 : i(0) = I min donc Finalemen i = E L I min i 0 =I min = E L 0 B 1 ce qui donne B 1 =I min b. Éablir l équaion de i en foncion de E, L,, a, e I max enre a e. D'après la loi des mailles e la loi d'hm pour l'inducance, on peu écrire di = E d L 0=E L d i d ce qui donne. Puisque la dérivée de i par rappor au emps es une consane alors i = E L B 2 avec B 2 une consane d'inégraion. Déerminaion de B 2 : À l'insan = a : i(a) = I max donc Finalemen i = E L I max i =I max = E L B 2 ce qui donne B 2 =I max E L Exercice 3 (6 poins) Relaions uiles : Soi un dipôle don la ension e l'inensié son périodiques. Les composanes coninues de la ension e de l'inensié son noées respecivemen 0 e I 0 e les valeurs efficaces des harmoniques de rangs n son noées n e I n ; le déphasage enre les harmoniques de rangs n de la ension e de l'inensié es noé j n. La puissance acive es donnée par la relaion : P= 0 I 0 n=1 La puissance réacive es donnée par la relaion : Q= n=1 n= 1 n= n. I n cos n n n.i n cos n Le graphique ci dessous représene la ension e l'inensié pour l'enrée d'un converisseur. Échelles : 100 V par division pour la ension, 20 A par division pour l'inensié. 1. Déerminaion de la puissance apparene a. Calculer la valeur efficace de u. La valeur maximale de u es égale à 400 V e c'es une ension sinusoïdale donc = =283 V b. Calculer la valeur efficace de i. Pour ce calcul, il fau élever i au carré ce qui donne une valeur consane égale à 40 2 ; la valeur moyenne de cee consane es donc égale à 40 2 e il suffi d'en prendre la racine carrée pour rouver la valeur efficace du couran ce qui donne I=40 A c. Déduire de ce qui précède la puissance apparene. Par définiion, la puissance apparene es égale au produi des valeurs efficaces de la ension e de l'inensié Devoir n 5 Page 4/7 S1 E

5 soi S=. I=283.40=11,3 kva 2. Déerminaion des puissances acive e réacive. a. Calculer l'ampliude du fondamenal sachan que l'ampliude de l'harmonique de rang 2k+1 es donnée par I 2 k 1 = 160. Représener sur le graphe ci dessus le fondamenal de l'inensié. 2 k 1 Le rang du fondamenal es égal à 1, il fau uiliser la relaion proposée avec k = 0 (on a alors 2k + 1 = 1). L'ampliude du fondamenal : I 1 = =51 A. Le fondamenal es une sinusoïde qui passe par zéro en monan sur les frons monans de i, qui passe par zéro en descendan sur les frons descendans, qui es maximale (égale à 51 A) au milieu des paliers à 40 A e minimale (égale à 51 A) au milieu des paliers à 40 A (voir le racé approximaif en rouge sur le graphe ci dessus). b. Déerminer sur le graphique le déphasage enre u e le fondamenal de i. Sur le graphe, on observe que le déphasage enre u e le fondamenal de i correspond à deux divisions (écar enre deux passages par zéro en monan par exemple) ; six divisions corresponden à une demi période c'es à dire 180, on a donc un déphasage de 60. c. En déduire la puissance acive e la puissance réacive. ous les harmoniques de la ension aures que le fondamenal son nuls ainsi que sa valeur moyenne, la n= n. I n cos n se rédui à P=. I 1 cos 1 avec I 1 la valeur efficace du relaion P= 0 I 0 n=1 fondamenal du couran e j 1 le déphasage enre la ension e le fondamenal de l'inensié. P= cos30=5100 W (calcularice en degrés). 2 n= 1 La relaion pour la puissance réacive, Q= n=1 ce qui donne Q= sin 30=8840 var 2 3. Calculer la puissance déformane e le faceur de puissance. La puissance déformane se calcule par n n.i n cos n, se simplifie en Q=. I 1 sin 1 D= S 2 P 2 Q 2 = =4850 vad Le faceur de puissance es égal par définiion au rappor de la puissance acive sur la puissance apparene soi k= P S = =0,451 Le graphique ci dessous représene la ension e l'inensié pour la sorie du même converisseur. L'inensié es coninue : i c = I c. Échelles : 100 V par division pour la ension, 20 A par division pour l'inensié. La valeur moyenne de la ension u c es donnée par la relaion maximale de u c e = 3 rad. u c = 2 max cos avec max la valeur Devoir n 5 Page 5/7 S1 E

6 4. Puissance acive en sorie a. Calculer la valeur moyenne de la ension de sorie. n uilise la relaion u c = 2 max cos avec max = 400 V soi u c = cos 3 =127 V (calcularice en radians...) b. Calculer la puissance acive en sorie du converisseur. Le couran éan coninu, la relaion n= n. I n cos n se rédui à P= 0 I 0 n=1 P= 0 I 0 soi P=u c I c avec u c =127 V e I c =40 A ce qui donne P= =5100 W (la puissance en sorie es égale à celle en enrée). 5. Puissance apparene a. Expliquer pourquoi la valeur efficace de u c es égale à sa valeur maximale divisée par 2. En élevan u c au carré, on obiendrai le même signal qu'en élevan une sinusoïde d'ampliude 400 V au carré. b. Déerminer la valeur efficace de u c e en déduire la puissance apparene. D'après ce qui précède, la valeur efficace de u c es égale à 283 V e la puissance apparene se calcule par S= ceff.i=283.40=11,3 kva 6. Calculer le faceur de puissance. Le faceur de puissance es égal par définiion au rappor de la puissance acive sur la puissance apparene soi k= P S = =0,451 Devoir n 5 Page 6/7 S1 E

7 scillogrammes pour la quesion 2 de l'exercice 2 i α α 1 2 D 1 D 2 i 1 α i D1 α Devoir n 5 Page 7/7 S1 E