TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace

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1 TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace Une droite est définie par deux points distincts Un plan est défini par trois points non alignés droite (AB) le plan (ABC) I. Position relative de droites et plans : voir synthèse faite en seconde Deux droites de l espace sont coplanaires (parallèles ou sécantes) ou non coplanaires Deux droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'elles sont contenues dans un même plan Deux droites n ayant aucun point commun sont soit non coplanaires soit parallèles Une droite et un plan sont parallèles ou sécants Une droite est parallèle à un plan si elle n a pas de point commun avec ce plan ou si elle est incluse dans ce plan. la droite (AB) est incluse dans le plan P (AB) P Deux plans sont parallèles ou sécants Deux plans sont parallèles lorsqu ils n ont aucun point en commun ou lorsqu ils sont confondus II. Parallélisme dans l espace : a) Parallélisme de deux droites : Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l un coupe l autre b) Parallélisme de deux plans : Définition : Deux plans P et P ' sont parallèles si deux droites sécantes du plan P sont parallèles à deux droites sécantes du plan P ' Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l une coupe l autre Théorème d incidence Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles

2 c) Parallélisme d une droite et d un plan : Une droite D est parallèle au plan P si et seulement si le plan P contient une droite parallèle à la droite D. Théorème du toit Si les plans P et P sont sécants d est une droite du plan P d une droite incluse dans P. d et d sont parallèles alors la droite d intersection de ces plans est parallèle à d et à d III. Orthogonalité dans l espace : d P d P a) Orthogonalité de deux droites : Définition : Deux droites D et de l espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque sont perpendiculaires. Attention au vocabulaire: Deux droites orthogonales peuvent être coplanaires ou non coplanaires Deux droites perpendiculaires sont nécessairement coplanaires Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre b) Orthogonalité d une droite et d un plan : Définition : Une droite est perpendiculaire (orthogonale) à un plan P si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan P alors, elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles c) Plan médiateur d un segment Définition : Le plan médiateur d un segment [AB] est le plan passant par I milieu de [AB] et perpendiculaire à (AB) Propriété : Le plan médiateur de [AB] est l ensemble des points équidistants de A et B

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4 TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 2 nde Partie : Géométrie vectorielle et analytique dans l espace I. Définition et opérations sur les vecteurs : a) Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan peuvent être étendues aux vecteurs de l espace AB est le vecteur de la translation qui transforme A en B AB = CD signifie que ABDC est un parallélogramme On dit que AB et CD sont des représentants d un même vecteur u et on écrit u = AB = CD Pour tout point A de l espace et pour tout vecteur u, il existe un unique point B tel que AB = u Somme de deux vecteurs : Relation de Chasles AB + BC = AC Règle du parallélogramme : AB + AC = AD avec ABDC parallélogramme Produit d un vecteur par un réel : Propriétés des opérations : pour tous réels k et k et pour tous vecteurs u et v u + v = v + u ( commutativité) ; u +( v + w ) = ( u + v )+ w = u + v + w (associativité) u + 0 = u ( 0 élément neutre pour l addition de deux vecteurs) k u = 0 k = 0 ou u = 0 ( 1) u = u ( opposé de u ) ; u v = u + ( v ) k ( u + v ) = k u + k v ; ( k + k ) u = k u + k u ; k(k u ) = (kk ) u b) Vecteurs colinéaires Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu il existe un réel k tel que v = k u Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l espace Soient A,B, C et D quatre points de l espace, deux à deux distincts : Les points A,B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires II. Caractérisation vectorielle d un plan : a) Plan défini par un point et deux vecteurs directeurs Soit A un point de l espace. Soient u et v deux vecteurs non colinéaires. L ensemble des points M tels que AM = x u + y v où x et y sont des réels quelconques est un plan passant par A On parle du plan (A ; u ; v ) On dit que les vecteurs u et v sont deux vecteurs directeurs de ce plan.

5 b) Plan défini par trois points non alignés Soient A, B et C trois points non alignés de l espace. Un point M appartient au plan (ABC) si et seulement s il existe deux réels x et y tels que : AM = x AB + y AC. III. Vecteurs coplanaires : a) Définition Dire que les vecteurs u, v et w sont coplanaires signifie que les représentants de même origine ont leurs extrémités dans un même plan. Dire que les vecteurs u, v et w sont coplanaires signifie que, pour un point A quelconque de l espace, si u = AB, v = AC et w = AD alors les points A, B, C et D sont dans un même plan. Remarque : Pour tous vecteurs u, v de l espace, les vecteurs 0, u et v sont coplanaires Exemples : Soit le cube ABCDEFGH ci-dessous Les vecteurs AG, EG et DH sont-ils coplanaires? Les vecteurs AB, FG et DH sont-ils coplanaires? b) Propriété Soient u, v et w trois vecteurs de l espace. Si u et v sont colinéaires alors les vecteurs u, v et w sont coplanaires Si u et v deux vecteurs de l espace non colinéaires u, v et w sont coplanaires si et seulement s il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v IV. Vecteurs et positions relatives de droites et plans de l espace : (voir démonstration)

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7 Deux droites d = (A ; u ) ; u 0 d = (A, u' ) ; u' 0 Droites parallèles d // d d et d non parallèles d = d Droites strictement parallèles d d = et d et d coplanaires Droites sécantes d d = {I} Droites non coplanaires d d = Une droite et un plan d = (A ; u ); u 0 P = ( B ; v ; w ) ; v et w non colinéaires Droite parallèle au plan d P Droite non parallèle au plan Droite incluse dans le plan d P Droite strictement parallèle au plan d P = Droite et plan sécants d P = {J} Deux plans P = ( B ; v ; w ) ; v et w non colinéaires P = ( B ; v' ; w' ) ; v' et w' non colinéaires Plans parallèles P P Plans non parallèles Plans confondus P = P Plans strictement parallèles P P = Plans sécants P P =

8 V. Repérage dans l espace : a) Repère de l espace : Propriété 1 : Définition : Un repère de l espace, noté ( O ; i, j, k ) est formé d un point O et d un triplet de 3 vecteurs non coplanaires. Propriété 2 : Soient i, j et k des vecteurs non coplanaires de l espace Pour tout vecteur u de l espace, il existe un unique triplet ( X, Y, Z) de nombres réels tel que : u = X i + Y j + Z k Soit ( O ; i, j, k ) un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet ( x, y, z) de nombres réels tel que : OM = x i + y j + z k On dit que M a pour coordonnées (x ; y ; z) dans le repère ( O ; i, j, k ) x est l abscisse de M, y est l ordonnée de M et z est la cote de M dans ce repère Calculs sur les coordonnées : Soit ( O ; i, j, k ) un repère de l espace. X X' Si u Y et v Y' alors : Z Z' X +X' u + v Y + Y' Z + Z' kx pour tout réel k, k u ky kz Si A ( x A ; y A ; z A ) B ( x B ; y B ; z B ) alors : x B x A AB y B y A z B z A Si I est le milieu de [AB] alors I ( x A + x B ; y A + y B 2 2 ; z A + z B ) 2 b) Représentations paramétriques : Représentation paramétrique d une droite : (voir démonstration) Soit ( O ; i, j, k ) un repère de l espace. α Soit la droite d passant par le point A ( x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur u β γ x = x A + t α M ( (x ; y ; z) d (A ; u ) il existe un réel t tel que y = y A + t β z = z A + tγ t Le système x = x A + t α y = y A + t β est une représentation paramétrique de cette droite d. z = z A + tγ t est le paramètre de cette représentation. (voir démonstration)

9 Exemple 1 : Soit la droite (AB) telle que A ( 2 ; 3 ; 1) et B ( 5 ; 2 ; 2) dans un repère ( O ; i, j, k ) Déterminer une représentation paramétrique de cette droite d. Exemple 2 : Dans un repère ( O ; i, j, k ), on considère l ensemble des points M ( x ; y ; z) tels que x 2t y t 1. Quel est cet ensemble de points? z 3 Représentation paramétrique d un plan : Soit ( O ; i, j, k ) un repère de l espace. α α' Soit le plan P passant par le point A ( x A ; y A ; z A ) et dirigé par les vecteurs u β et v β' γ γ' M ( (x ; y ; z) P( A ; u ; v ) il existe un couple de réels (t ; t ) tel que x = x A + t α + t α y = y A + t β + t β z = z A + t γ + t γ (voir démonstration

10 Exemple : Dans un repère ( O ; i, j, k ), on considère la droite D de représentation paramétrique : z t y t x et le plan P de représentation paramétrique ' 2 2 ' 3 1 k k z k k y k x La droite D est-elle paralléle au plan P?