Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

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1 Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur H et le reste de l horticulteur H. haque horticulteur livre deu catégories d arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l horticulteur H 1 comporte 80% de conifères alors que celle de l horticulteur H n en comporte que 50% et celle de l horticulteur H seulement 0%. 1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants : - H 1 : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 1» - H : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H» - H : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H» - : «l arbre choisi est un conifère» - F : «l arbre choisi est un arbre feuillu» a. onstruire un arbre pondéré traduisant la situation. b. alculer la probabilité que l arbre choisi soit un conifère acheté chez l horticulteur H. c. Justifier que la probabilité de l événement est 0,55 d. L arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu il ait été acheté chez l horticulteur H 1? On arrondira à 10.. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans la stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choi puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans la stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l échantillon prélevé comporte eactement 5 conifères? On arrondira à 10. c. Quelle est la probabilité que l échantillon prélevé comporte au moins deu arbres feuillus? On arrondira à 10. 1

2 Sujet Métropole 01 EXERIE. [7 pts] Fonctions Sur le graphique c-dessous, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0, + [. ( O, i, ) j, la B j O i A On dispose des informations suivantes : - les points A, B, ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, ), (0, ) - la courbe passe par le point B et la droite (B) est tangente à en B - il eiste deu réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif, f() = a + b ln 1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et de f (1). b. Vérifier que pour tout réel strictement positif, f (b a) b ln () = c. En déduire les réels a et b.. a. Justifier que pour tout réel appartenant à l intervalle ]0, + [, f () a le même signe que ln. b. Déterminer les limites de f en 0 et en +. On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, f() = + ln. c. En déduire le tableau de variations de la fonction f.. a. Démontrer que l équation f() = 1 admet une unique solution α sur l intervalle ]0, 1]. b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu il eiste un unique réel β de l intervalle ]1, + [ tel que f(β) = 1. Déterminer l entier n tel que n < β < n + 1.

3 Sujet Métropole On donne l algorithme ci-dessous Variables : a, b et m sont des nombres réels Initialisation : Affecter à a la valeur 0 Affecter à b la valeur 1 Traitement : Tant que b a > 0, 1 Sortie : Affecter à m la valeur 1 (a + b) Si f(m) < 1 alors Affecter à a la valeur m Sinon Affecter à b la valeur m Fin de Si Fin de Tant que Afficher a Afficher b a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l on recopiera sur la copie. étape 1 étape étape étape 4 étape 5 a b b a m b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme? c. Modifier l algorithme ci-dessus pour qu i affiche les deu bornes d un encadrement de β d amplitude Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OAB en deu domaines d aires égales. a. Justifier que cela revient à démontrer que 1 1 e f() d = 1. b. En remarquant que l epression de f() peut s écrire + 1 ln, terminer la démonstration.

4 Sujet Métropole 01 EXERIE. [4 pts] omplees, géométrie Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse eacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n est pas pénalisée. 1. Proposition 1 : Dans le plan muni d un repère orthonormé, l ensemble des points M dont l affie z vérifie l égalité z i = z + 1 est une droite.. Proposition : Le nombre complee (1 + i ) 4 est un nombre réel.. Soit ABDEFGH un cube. H G Proposition : les droites (E) et (BG) sont othogonales E D F A B 4. L espace est muni d un repère (O ; i ; j ; k ). Soit P le plan d équation cartésienne + y + z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1,, ). Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour = + t représentation paramétrique y = 1 + t, t R z = 1 + t 4

5 Sujet Métropole 01 EXERIE 4. [5 pts] Suites Soit la suite (u n ) définie sur N par : u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + 1 n a. alculer u 1, u, u et u 4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10 près. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n n + b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n+1 u n = 1 (n + u n) c. En déduire une validation de la conjecture précédente.. On désigne par v n la suite définie sur N par : v n = u n n. a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison. b. En déduire que, pour tout entier naturel n, ( ) n u n = + n c. Déterminer la limite de la suite (u n ). 4. Pour tout entier naturel n non nul, on pose : n S n = u k = u 0 + u u n et T n = S n n k=0 a. Eprimer S n en fonction de n. b. Déterminer la limite de la suite (T n ). 5

6 Métropole 01 corrigé EXERIE 1. Probabilités 1. a. Arbre pondéré. 0,8 H 1 0,5 0, F 0,5 H 0,5 0,5 F 0,4 0, H Les probabilités de l énoncé sont indiquées en bleu et celles qui en sont déduites sont en rouge. Par eemple le tete donne P (H 1 ) = 0, 5 et P (H ) = 0, 5, ce qui implique P (H ) = 1 0, 5 0, 5 = 0, 4 De même le tete donne P H1 () = 0, 8 et on en déduit P H1 (F ) = 1 0, 8 = 0, b. On demande ici : P (H ) = 0, 4 0, = 0, 1 c. Pour calculer P (), on applique la formule des probabilités totales : P () = P (H 1 ) + P (H ) + P (H ) = P (H 1 ) P H1 () + P (H ) P H () + P (H ) P H () = 0, 8 + 0, , 1 = 0, 55 d. On demande ici : P (H 1 ) = P (H 1 ) = P () 0, 8 0, 55 0,7 0, 5. a. Dans ce cas, la même epérience est répétée 10 fois et les résultats sont indépendants car on assimile le choi à un tirage avec remise. La variable aléatoire X est égale au nombre de conifères choisis donc au nombre de succès si on convient d appeler succès l événement. ette variable aléatoire suit d après le cours, une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 55. b. On demande de calculer P (X = 5). ( Le ) cours donne le résultat : 10 P (X = 5) = 0, , , 4 5 c. Dire qu il y a «au moins deu arbres feuillus» revient à dire qu il y a «au plus huit conifères». Or l événement contraire de (X 8) est (X 9) : P (X 8) = 1 P (X = 9) P (X = 10) = , , 475 0, , 984 F 6

7 Métropole 01 corrigé EXERIE. Fonctions 1. a. On sait que la courbe passe par le point B(1, ) ; cela implique f(1) = Puisque B et ont la même ordonnée, la droite (B)est horizontale et a pour équation cartésienne y =. On sait que cette droite est tangente en B à la courbe : le coefficient directeur de (B) est donc le nombre dérivé de la fonction f en = 1 : f (1) = 0 b. On pose u() = a + b ln et v() = de sorte que f() = u() v(). On calcule u () = b, v () = 1 et on applique la formule de dérivation d un quotient : f () = b (a + b ln ) (b a) b ln = c. On traduit les deu résultats de la question 1. a. : Donc f() = + ln f(1) = a 1 = a = f (1) = 0 b a 1 = + ln = 0 b = a =. a. f ln () = est toujours du signe de ln car > 0 On a les trois résultats suivants : ln = 0 = 1 ln > 0 ln < 0 0 < < 1 ln < 0 ln > 0 1 < b. En 0, on utilise lim ln = : 0 1 lim + ln = et lim = + implique lim f() = En +, on lève l indétermination en écrivant f() = + ln et en utilisant l un des résultats sur la croissance comparée : lim + = 0 et c. Tableau de variations. lim + ln = 0 implique lim + f() = f () 0 + f(). a. f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ]0, 1] sur ], ] : l intervalle image est alors ], ] : puisque cet intervalle contient 1, l équation f() = 1 a une solution α et une seule dans ]0, 1] 0 7

8 Métropole 01 corrigé b. On vérifie : f(5) 1, 04 et f(6) 0, 9 ; donc 5 < β < 6 4. a. Tableau étape 1 étape étape étape 4 étape 5 a 0 0 0,5 0,75 0,475 b 1 0,5 0,5 0,5 0,5 b a 1 0,5 0,5 0,15 0,065 m 0,5 0,5 0,75 0,475 0,46875 b. a et b sont les bornes d un encadrement de α à 10 1 près. c. Dans la partie initialisation, il suffit d affecter à a et b respectivement 5 et a. La courbe partage le rectangle OAB en deu domaines. Le domaine situé à droite est délimité par la courbe, l ae des abscisses, la droite = k où k désigne l abscisse du point d intersection de et de O, et la droite = 1. On vérifie f(1/e) = 0, ce qui implique k = 1/e et donc f positive sur [1/e, 1]. L aire du domaine situé à droite est alors 1 1/e f()d. L aire du rectangle est égale à : il s agit donc de montrer que cette aire est égale à 1. b. On vérifie alors qu une primitive de f sur ]0, + [ est F () = ln + (ln ) Donc l aire mesure F (1) F (1/e) = 0 ( + 1) = 1. 8

9 Métropole 01 corrigé EXERIE. omplees, géométrie 1. VRAI Soient A et B les points d affies respectives i et 1. Si M est un point du plan d affie z, alors : z i = z M z A = AM et z + 1 = z M z B = BM L ensemble des points M tels que AM = BM est la médiatrice de [AB].. FAUX On peut par eemple déterminer la forme algébrique de l epression : (1 + i ) = + i implique (1 + i ) 4 = 8 8i : ce n est pas un réel puisque sa partie imaginaire est différente de 0 On peut également déterminer la forme trigonométrique de l epression : 1 + i = e i π implique (1 + i ) 4 = 16e i 4π : on n obtient pas un réel car les réels ont pour arguments les nombres de la forme kπ où k Z. VRAI On se place dans le repère (D, DA, D, DH). On calcule les coordonnées de deu points puis d un vecteur directeur de chaque droite : E E B 1 1 G 0 1 BG D où le produit scalaire : E BG = = 0 Les deu droites sont orthogonales. 4. VRAI Le vecteur n (1, 1, ) est un vecteur normal au plan P et est aussi un vecteur directeur de la droite proposée : cette droite est donc perpendiculaire au plan P. Pour t = 1, le système de l énoncé permet de retrouver les coordonnées du point S : la droite passe donc par S. 9

10 Métropole 01 corrigé EXERIE 4. Suites 1. a. u 1 = u = 7, u = u , 89 u = u =, 59 u 4 = u = 4, 4 b. La suite (u n ) paraît être croissante.. a. On procède par récurrence - pour n = 0, u n = et n + = : le résultat est vrai - supposons u n n + pour un certain entier n ; on obtient : (n + ) u n+1 + n + 1 = n + n le résultat est vrai pour tout n 0 b. alcul de la différence entre deu termes consécutifs : u n+1 u n = u n + 1 n + 1 u n = 1 (n + u n) c. On a vu u n n +, ce qui implique n + u n 0 et donc u n+1 u n 0 La suite (u n ) est par conséquent croissante.. a. La suite (vn ) est géométrique de raison car pour tout entier naturel n : v n+1 = u n+1 n 1 = u n = v n ( ) b. Sachant v 0 = u 0 =, on a d après le cours : v n = ( ) n On en déduit : u n = v n + n = + n c. Sachant 1 < < 1, il vient lim ( ) n = 0 puis lim u n = + 4. a. D une part : ( ) 0 + ( ) n(n + 1) D autre part : n = [ ( ) ] n+1 Donc S n = n + n ( ) n = 1 ( ) n+1 1 b. On divise tout par n : T n = 6 ( ) ] n+1 [1 n n En utilisant lim 1 n = lim 1 ( ) n+1 n = lim = 0, on obtient lim T n = 1 10 = 6 [ 1 ( ) ] n+1