CORRIGE DES EXERCICES DE LA SERIE TD N 03 (2018/2019) CINEMATIQUE D UN POINT MATERIEL

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1 CORRIGE DES EXERCICES DE LA SERIE TD N 3 (18/19) CINEMATIQUE D UN POINT MATERIEL EXERCICE 1 a- Nous aons x()= donc : -La isse serai () = dx =6 +1 -l accéléraion serai a()= d() =1+1 b- La posiion du corps, à l insan 1=s, ainsi que sa iesse e son accéléraion insananée La posiion x()= () 3 +5() +5=41m La iesse insananée ()=6() +1()=44m/s L accéléraion insananée a()=1()+1=34m/s -La posiion du corps, à l insan =3s, ainsi que sa iesse e son accéléraion insananée La posiion x(3)= (3) 3 +5(3) +5=14m La iesse insananée (3)=6(3) +1(3)=84m/s L accéléraion insananée a(3)=1(3)+1=46m/s c- On dédui la iesse e l accéléraion moyenne du corps enre 1 e La iesse moyenne L accéléraion moyenne moy = x = x( ) x( 1 ) moy = = 63m/s 1 3

2 a moy = = ( ) ( 1 ) a moy = 1 3 = 4m/s EXERCICE Les coordonnées d un poin mobile M dans le plan (oxy) s écrien x =, y = a- L équaion de la rajecoire s écri alors (Pour rouer l équaion de la rajecoire, il suffi de rouer la relaion qui lie x() e y(). Pour cela, on dédui le emps, d une équaion, de x() ou de y(), e on le remplace dans l aure équaion) Ici, on a écrire en foncion, de x =x donc y = x x L équaion de la rajecoire es y(x) = x x b- Les composanes de la iesse e de l accéléraion - La iesse : () = x ()i + y ()j x () = dx() = 1 y () = dy() = 1 La iesse s écri () = i + ( 1)j Le module de la iesse () = 1 + ( 1) = l accéléraion a() = a x ()i + a y ()j a x () = d x() = a y () = d y() = L accéléraion s écri a() = j Le module de l accéléraion a() = c- les accéléraions normales e angenielles

3 -L accéléraion angenielle a T = d () aec () = x + y = L accéléraion normale a T = d = Les accéléraions ane atson les composanes normales e angenielles de l accéléraion a (a = a T U T + a N U N ) Nous aons la forme d un riangle droi, en appliquan la relaion de Piagor a = a a T + a N a N Donca N = a a T a 4 N = 4 ( ) a N = Donc a N = 4 4+ = Le rayon de courbure a N = R = 3 R = EXERCICE 3 = = (4 4 + ) Les coordonnées d un poin mobile M dans le plan (oxy) s écrien x = a- y = 1 Où g es l accéléraion de la pesaneur g L équaion de la rajecoire s écri alors =x/ doncy = 1 x g L équaion de la rajecoire es 3 y(x) = 1 x g b- Les composanes de la iesse e de l accéléraion a T

4 - La iesse : () = x ()i + y ()j x () = dx() = y () = dy() = g La iesse s écri () = i + gj Le module de la iesse () = + (g) = + g -l accéléraion a() = a x ()i + a y ()j a x () = d x() = a y () = d y() = g L accéléraion s écri a() = gj Le module de l accéléraion a() = c- les accéléraions normales e angenielles -L accéléraion angenielle a T = d () aec () = x + y = + g a T = d + g g = + g -L accéléraion normale Les accéléraions ane atson les composanes normales e angenielles de l accéléraion a (a = a T U T + a N U N ) Nous aons la forme d un riangle droi, en appliquan la relaion de Piagor a = a a T + a N a N Donc a N = a a T a N = g g ( + g ) = g g4 + g a T

5 a N = g + g Donc a N = g = g +g Le rayon de courbure a N = R = g 3 R = = ( + g ) 3 g g EXERCICE 4 a-cherchons l équaion de la rajecoire d un corps don le mouemen es défini par Sachan qu à =, x= e y=1 x = 1 dx = +1 y = +1 dy = x = + 1 e y = x dx = dx = ( ) donc +1 dy = y dy = +1 ( ) 1 ( ) x = 1 ln ( + 1) ( ) y 1 = donc donc = ( y 1) En remplaçan par ( y 1) on a l équaion de la rajecoire de la forme x = 1 ln(y + 1) = 1 ln(y 1) donc a- Les composanes de l accéléraion a x = d d( x = + 1 ) = + 1 ( + 1) = 1 ( + 1) a y = d y = d() = 1

6 Donc a() = 1 ( +1) i + j Exercice 5 Un corps se déplace sur une droie aec une accéléraion elle que : a=-k Où k es une consane. Si à = ; =e x=x. Nous cherchons d abords la iesse en foncion du emps a = d = k d = k Donc Alors d 1 = k = k +1 (*) La iesse s écri () = k = k donc 1 = k + 1 Nous aons roué la iesse, cherchan ensuie la posiion en foncion du emps = dx = k +1 donc dx= k +1 x dx = k + 1 x x = 1 k ln(k + 1) x La posiion en foncion du emps es de la forme x() = x + 1 k ln(k + 1) La relaion enre la iesse e la posiion (*) k + 1 = donc x = x + 1 k ln ln = k(x x ) = ek(x x ) Alors = e k(x x) Exercice 6 Une paricule se déplace sur une rajecoire don l équaion de la rajecoire es y=x de elle sore qu à chaque insan x==cs. Si =, x, y =. a- Cherchons Les coordonnées x() e y() de la paricule. Nous aons suian (Ox) : x = = dx dx x =

7 x() = D aure par : y=x y() = Donc x() = y() = b- La iesse e l accéléraion de la paricule. La iesse x = dx = y = dy = () = i + j Le module de la iesse () = L accéléraion a x = d x = a y = d y = () = j Le module de l accéléraion a() = c- Les accéléraions normale e angenielle L accéléraion angenielle a T = d () = L accéléraion normale a N = a a T a N = a N =

8 Donc 3 a N = = Le rayon de courbure a N = R = 3 3 R = 3 3 Exercice 7 Les coordonnées x e y d un poin mobile M dans le plan (oxy) arien aec le emps selon les relaions suianes : x() = r cos (ω) y() = r sin (ω) Aec r e des consanes. r (cos (ω) + sin (ω)) x () = r cos (ω) y () = r sin (ω) x () + y () = Donc x + y = r a- Les composanes de la iesse e de l accéléraion - La iesse : () = x ()i + y ()j x () = dx() = r ω sin (ω) y () = dy() = r ω cos (ω) La iesse s écri () = r ω sin (ω)i + r ω cos (ω)j Le module de la iesse () = r ω sin (ω) + r ω cos (ω) = r ω -l accéléraion a() = a x ()i + a y ()j a x () = d x() = r ω cos (ω) a y () = d y () = r ω cos (ω) L accéléraion s écri a() = r ω cos (ω)i + r ω cos (ω)j Le module de l accéléraion a() = r ω 4 cos (ω) + r ω 4 sin (ω)=r ω Le mouemen es circulaire (x + y = r ) uniforme (la iesse es consane).

9 b- les accéléraions normales e angenielles -L accéléraion angenielle a T = d () aec () = x + y = r ω -L accéléraion normale a T = Les accéléraions ane atson les composanes normales e angenielles de l accéléraion a (a = a T U T + a N U N ) Nous aons la forme d un riangle droi, en appliquan la relaion de Piagor a = a a T + a N a N Donc a N = a a N = a = r ω Le rayon de courbure a N = R = r ω R = r ω = (r ω) = r ω r a T