Ensembles. Fonctions. Cardinaux

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1 Université Lens Année MIAS 1 ère année feuille n 1 Ensembles. Fonctions. Cardinaux Exercice 1 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble : 1. A, B P(E) (A B = A B) A = B, 2. A, B, C P(E) (A B = A C et A B = A C) B = C. Exercice 2 Soit A, B deux ensembles, montrer (A B) = A B et (A B) = A B. Exercice 3 Soient E et F deux ensembles, f : E F. Démontrer que : A, B P(E) (A B) (f(a) f(b)), A, B P(E) f(a B) f(a) f(b), A, B P(E) f(a B) = f(a) f(b), A, B P(F ) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), A P(F ) f 1 (F \ A) = E \ f 1 (A). Exercice 4 A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : A B = (A B) et A B = (A B). Exercice 5 Démontrer les relations suivantes : A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). Exercice 6 Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : En déduire que : (F G F G = G) et (F G F G = E). (F G F G = F ) et (F G F G = ). Exercice 7 Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On désigne par A B l'ensemble (A B) \ (A B). Dans les questions ci-après il pourra être commode d'utiliser la notion de fonction caractéristique. 1. Démontrer que A B = (A \ B) (B \ A). 2. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (A B) C = A (B C). 3. Démontrer qu'il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E, A X = X A = A. 4. Démontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A de E et une seule telle que A A = A A = X. Exercice 8 Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E telles que A B = A C et A B = A C. Montrer que B = C. 1

2 Exercice 9 Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E. Montrer que (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A). Exercice 10 Est-il vrai que P(A B) = P(A) P(B)? Et P(A B) = P(A) P(B)? Exercice 11 Montrer que A B = A C A B = A C. Exercice 12 Soient A, B E. Résoudre les équations à l'inconnue X E 1. A X = B. 2. A X = B. Exercice 13 Soit E et F des ensembles. Si A E et B F montrer que A B E F. Exercice 14 Soient E, F, G trois ensembles. Montrer que (E G) (F G) = (E F ) G. Exercice 15 Soient E, F, G, H quatre ensembles. Comparer les ensembles (E F ) (G H) et (E G) (F H). Exercice 16 Soit E l'ensemble des fonctions de N dans 1, 2, 3}. Pour i = 1, 2, 3 on pose A i = f E/f(0) = i}. Montrer que les A i forment une partition de E. Exercice 17 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? N N 1. f : n n + 1 Z Z 2. g : n n + 1 R 3. 2 R 2 h : (x, y) (x + y, x y) R 1} R 4. k : x x+1 x 1 Exercice 18 On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A B, g : B C, h : C D. Montrer que : Montrer que : g f injective f injective, g f surjective g surjective. ( g f et h g sont bijectives ) ( f, g et h sont bijectives ). Exercice 19 Soit f : X Y. Montrer que 1. B Y f(f 1 (B)) = B f(x). 2. f est surjective ssi B Y f(f 1 (B)) = B. 3. f est injective ssi A X f 1 (f(a)) = A. 4. f est bijective ssi A X f( A) = f(a). 2

3 Exercice 20 Soit f : X Y. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : i. f est injective. ii. A, B X f(a B) = f(a) f(b). iii. A, B X A B = f(a) f(b) =. Exercice 21 Soient A f B g C h D. Montrer que si g f et h g sont bijectives alors f, g et h le sont également. Exercice 22 Soit X un ensemble. Si A X on note χ A la fonction caractéristique associée. Montrer que Φ : P(X) F(X, 0, 1}) A χ A est bijective. Exercice 23 Soit E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on dénit l'application f : (E) (E), X (A X) (B X c ). Discuter et résoudre l'équation f(x) =. En déduire une condition nécessaire pour que f soit bijective. On suppose maintenant B = A c. Exprimer f à l'aide de la diérence symétrique. Montrer que f est bijective, préciser f 1. f est-elle involutive (i.e. f 2 = id)? Quelle propriété en déduit-on? Exercice 24 Pour A, B deux ensembles de E on note A B = (A B) \ (A B). Pour E un ensemble ni, montrer : Card A B = Card A + Card B 2Card A B. Exercice 25 Soit E un ensemble à n éléments, et A E un sous-ensemble à p éléments. Quel est le nombre de parties de E qui contiennent un et un seul élément de A? Exercice 26 Soit A = a 1, a 2, a 3, a 4 } et B = b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 }. Écrire le produit cartésien A B. Quel est le nombre de parties de A B? Exercice 27 Soit E un ensemble à n éléments. Quel est le nombre d'éléments de E p? Quel est le nombre de parties de E p? Exercice 28 Soient A, A, B, B quatre ensembles tels que : Card (A) = Card (A ) = a et Card (B) = Card (B ) = b. 1. Déterminer le nombre de bijections de A B sur A B. 2. Supposons maintenant que A, B}, A, B } forment deux partitions de E, un ensemble. Déterminer le nombre de bijections f : E E telles que f(a) = A et f(b) = B. Exercice 29 Soient A et B deux sous ensembles nis d'un ensemble E. 1. Montrer que : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B). 2. Montrer par récurrence que si (F i ) 1 i n est une famille de sous-ensembles nis de E alors : Card ( n F i ) i=1 avec égalité si les F i sont deux à deux disjoints. 3 n i=1 Card (F i )

4 Exercice 30 Montrer que Z est dénombrable en utilisant l'application : φ : N Z n 2n 1 si n > 0 ; n 2n sinon. Exercice (principe des bergers) Soient E, F deux ensembles avec F ensemble ni, et f une surjection de E sur F vériant : y F, Card (f 1 (y)) = p Montrer que E est alors un ensemble ni et Card (E) = pcard (F ). 2. (principe des tiroirs) Soient α 1, α 2,..., α p, p élements distincts d'un ensemble E, répartis entre une famille de n sous-ensembles de E. Si n au moins deux éléments parmi les α i.(on pourra raisonner par l'absurde) 4

5 Université Lens Année MIAS 1 ère année feuille n 1 Ensembles. Fonctions. Cardinaux Correction 1 Nous allons démontrer l'assertion 1. de deux manières diérentes. 1. Tout d'abord de façon directe". Nous supposons que A et B sont telles que A B = A B. Nous devons montrer que A = B. Pour cela étant donné x A montrons qu'il est aussi dans B. Comme x A alors x A B donc x A B (car A B = A B). Ainsi x B. Maintenant nous prenons x B et le même raisonnement implique x A. Donc tout élément de A est dans B et tout élément de B est dans A. Cela veut dire A = B. 2. Ensuite, comme demandé, nous le montrons par contraposition. Nous supposons que A B et non devons monter que A B A B. Si A B cela veut dire qu'il existe un élément x A \ B ou alors un élément x B \ A. Quitte à échanger A et B, nous supposons qu'il existe x A \ B. Alors x A B mais x / A B. Donc A B A B. Correction 2 x (A B) x / A B x / A et x / B x A et x B x A B. x (A B) x / A B x / A ou x / B x A ou x x A B. Correction 3 Montrons quelques assertions. f(a B) f(a) f(b). Si y f(a B), il existe x A B tel que y = f(x), or x A donc y = f(x) f(a) et de même x B donc y f(b). D'où y f(a) f(b). Tout élément de f(a B) est un élément de f(a) f(b) donc f(a B) f(a) f(b). Remarque : l'inclusion réciproque est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple. 1

6 f 1 (F \ A) = E \ f 1 (A). x f 1 (F \ A) f(x) F \ F \ A f(x) / A x / f 1 (A) car f 1 = x E / f(x) A} x E \ f 1 (A) Correction B \ A X B. 2. B X B A. 1. Supposons g f injective, et montrons que f est injective : soit a, a A avec f(a) = f(a ) donc g f(a) = g f(a ) or g f est injective donc a = a. Conclusion on a montré : a, a A f(a) = f(a ) a = a c'est la dénition de f injective. 2. Supposons g f surjective, et montrons que g est surjective : soit c C comme g f est surjective il existe a A tel que g f(a) = c ; posons b = f(a), alors g(b) = c, ce raisonnement est valide quelque soit c C donc g est surjective. 3. Un sens est simple ( ) si f et g sont bijectives alors g f l'est également. De même avec h g. Pour l'implication directe ( ) : si g f est bijective alors en particulier elle est surjective et donc d'après le deuxième point g est surjective. Si h g est bijective, elle est en particulier injective, donc g est injective (c'est le 1.). Par conséquent g est à la fois injective et surjective donc bijective. Pour nir f = g 1 (g f) est bijective comme composée d'applications bijectives, de même pour h. Correction 18 Correction 24 Tout d'abord si deux ensembles nis P et Q sont disjoints alors Card P Q = Card P + Card Q. L'idée est donc d'écrire A B comme union de deux ensembles disjoints. A B = (A B) \ (A B) = (A \ (A B)) (B \ (A B)). Ces deux ensembles A \ (A B) et B \ (A B) sont disjoints. En utilisant que pour R S nous avons Card S \ R = Card S Card R, nous obtenons : Card A B = Card A \ (A B) + Card B \ (A B) = Card A + Card B 2Card (A B). Correction 25 Fixons un élément de A ; dans E \ A (de cardinal n p), nous pouvons choisir Cn p k ensembles à k éléments (k = 0, 1,..., n). Le nombre d'ensembles dans le complémentaire de A est donc n p Cn p k = 2 n p. k=0 Pour le choix d'un élément de A nous avons p choix, donc le nombre total d'ensembles qui vérie la condition est : p2 n p. 2