MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

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1 MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles α, β > telles que : αn () N 2 () βn () pour tout E. - Soient N et N 2 deu normes équivalentes sur E. Montrer qu on a les deu assertions qui suivent : a) Toute partie de E bornée pour N est bornée pour N 2 et inversement. b) Toute suite ( n ) qui converge vers pour la norme N converge vers pour la norme N 2 et inversement. Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. L objet de cet eercice est de montrer que ce n est pas toujours le cas en dimension infinie. On note E l espace vectoriel des fonctions réelles continues sur l intervalle [, ]. 2 - Montrer que E est de dimension infinie en y ehibant eplicitement une famille infinie (dénombrable par eemple) libre. On admet l inégalité ( ( φ()ψ() d φ() 2 2 d ψ() 2 2 d vraie pour tous éléments φ, ψ de E. (On pourrait l utiliser pour répondre au questions 3 et 4.) Pour toute fonction f E, on pose : ) ) f = ( f() d, f 2 = ) f() 2 2 d et f = sup f(). [,] 3 - Montrer que, 2 et sont des normes sur E. 4 - Montrer qu on a f f 2 f pour toute fonction f E. On considère la suite de fonctions (f n ) n de [, ] dans R définies par : f n () = { pour [/n, ] n( n) pour [, /n] 5 - Dans un repère orthonormé, dessiner les graphes respectifs de f, f 2, f 3 et f Montrer que, pour tout n N, f n E.

2 7 - Calculer f n, f n 2 et f n. 8 - Montrer que deu quelconques de ces normes ne sont pas équivalentes. Eercice 2 La fonction logarithme est définie habituellement comme la primitive qui s annule en de la fonction (la formule Primitive(n ) = n+ n+ n est pas valide pour n = ). Ou alors comme la réciproque de la fonction eponentielle. Mais pour introduire cette dernière, on fait admettre au élèves l eistence de l unique solution valant en de l équation différentielle y = y. Ces deu façons de procéder n amènent pas de manière naturelle le logarithme. Une bonne motivation devrait passer par la propriété essentielle : transformer la multiplication en l addition. Cet eercice a pour but de présenter une méthode élémentaire pour introduire le logarithme ne demandant d admettre aucun théorème aussi fort que celui de l eistence et l unicité des solutions des équations différentielles même les plus simples. Et en plus, elle motive et impose, sans autre choi, la formule ln() = dt t. Définition de la fonction logarithme Il s agit de trouver une bijection φ : R + R transformant la multiplication en l addition c est-à-dire, pour tous, y R +, on a la relation fondamentale : () φ(y) = φ() + φ(y). - Montrer que si une telle bijection eiste elle vérifie la condition φ() =. Tant qu à faire, eigeons un peu plus : que la fonction φ soit dérivable et à dérivée continue strictement positive. 2 - Avec l eistence de la bijection φ et des propriétés indiquées de sa dérivée qu on notera f, montrer que la bijection inverse ψ : R R + est dérivable et vérifie la relation : (2) ψ( + y) = ψ()ψ(y). 3 - Dans la relation (), on garde constant et on dérive par rapport à y. Quelle relation (qu on numérotera (3)) obtient-on au niveau de la fonction f? (Cette relation fait intervenir deu variables et y.) 4 - Montrer que la relation (3) détermine complètement la forme de la fonction f. Reste donc à trouver la fonction (ou les fonctions) φ à partir de sa dérivée f. 5 - Montrer que f : R + R est de la forme f() = κ où κ est une constante réelle strictement positive. 6 - Epliquer pourquoi la bijection φ vérifiant la relation () et la condition φ() = doit avoir comme forme générale : (4) φ κ () = 2 κdt t.

3 Nous avons donc une famille (paramétrée par κ R +) de fonctions répondant à la question. On appelle logarithme népérien la fonction ln : R + ln() R définie par : (5) ln() = φ () = dt t. Étude de la fonction ln Évidemment, ça sous-entend l étude complète comme en classe de Terminale : domaine de définition, continuité, dérivabilité, tableau de variation, les différentes limites etc. La fonction ln est définie sur R + ; elle y est continue, dérivable et a pour dérivée la fonction f : R + R +. Elle est donc indéfiniment dérivable et strictement croissante. 7 - Montrer que, pour tous, y R +, on a ln ( y ) = ln() ln(y). 8 - Montrer que ln() tend vers + lorsque + et vers lorsque Montrer qu il eiste un nombre e > tel que ln(e) =. Ce nombre s appelle base du logarithme népérien. - Montrer qu on a ln() pour tout > et en déduire l inégalité : ln() - Montrer que lim = Tracer le graphe de la fonction ln. Eercice 3 ln() 2. Une parcelle de terrain rectangulaire a pour longueur L = 5m et pour largeur l = 32m. On désire la clôturer en plaçant à égale distance les uns des autres un nombre minimum de piquets mais un dans chaque coin. La distance d entre deu piquets voisins doit être un entier de mètres. - Calculer la distance d. 2 - Calculer le nombre de piquets nécessaires. 3 - Même question pour des valeurs entières générales de L et l. Le contenu des eercices dans ce tete est délibérément plus léger en volume que les épreuves habituelles du CAPES. Les étudiants ont donc le temps de mener un raisonnement clair et soigner la rédaction, deu qualités essentielles d un enseignant. 3

4 CORRIGÉ Eercice - a) Soit B une partie bornée pour N. Alors il eiste η > tel que N () η pour tout B. Donc N 2 () βη pour tout B, c est-à-dire B est bornée pour N 2. De la même façon on montre que si B est bornée pour N 2, elle l est aussi pour N. - b) Soit ( n ) une suite convergeant vers pour la norme N. Comme on a l inégalité N 2 ( n ) βn ( n ), la suite N 2 ( n ) tend vers quand n +, c est-à-dire ( n ) tend vers pour N 2. De la même façon on montre que si ( n ) tend vers pour N 2, elle tend aussi vers pour N. 2 - Pour tout n N, la fonction f n () = n est un élément de E et la famille,,, n est libre. Donc la famille infinie {f n : n N} dans E est libre. Par suite l espace vectoriel E est de dimension infinie. 3 - Il est évident que si f = alors f =, f 2 = et f =. Maintenant si f est non identiquement nulle, il eiste [, ] tel que f( ) ; on a tout de suite f. Comme f est continue, il eiste ε > tel que f est strictement positive sur [ ε, + ε] ; par suite f > et f 2 >. Si λ R, on a de façon immédiate : λf = λ f, λf 2 = λ f 2 et λf = λ f. Reste à établir l inégalité du triangle. Soient f, g E. On a : f + g = f() + g() d ( f() + g() )d = f + f. De même : f + g = sup f() + g() [,] sup { f() + g() } [,] sup f() + sup g() [,] [,] f + g. Pour terminer, l inégalité f + g 2 f 2 + g 2 est immédiate si f + g =. Supposons 4

5 donc f + g. On a : f + g 2 2 = = f() + g() 2 d f() + g() f() + g() d f() f() + g() d + f 2 f + g 2 + g 2 f + g 2 f + g 2 { f 2 + g 2 }. g() f() + g() d Le passage de la troisième ligne à la quatrième utilise l inégalité qu on a admise qui s écrit φψ φ 2 ψ 2. On a donc f + g 2 2 f + g 2 { f 2 + g 2 }. En simplifiant par f +g 2 (supposé non nul), on obtient f +g 2 f 2 + g 2 qui est l inégalité cherchée. ( ) ( 4 - Soit f E. On a f 2 = f() 2 2 ) d f 2 2 d = f. D autre part, l inégalité φψ φ 2 ψ 2 appliquée à φ = f et ψ = donne immédiatement f f 2. On a donc f f 2 f. 5 - Graphes des fonctions f, f 2, f 3 et f 4 : 5 - Calculons les différentes normes en question de la fonction f n : f = 2 n ( n = ) 2 2 n, f n 2 = n( n) 2 d = 3 et f = n. 5

6 6 - La fonction f n est continue sur chacun des intervalles [, /n[ et ]/n, ]. Au point t = /n la limite à gauche vaut et la limite à droite vaut aussi. Par suite, elle est continue sur tout l intervalle [, ], donc c est un élément de E. 7 - La suite f n tend vers la fonction nulle pour la norme mais pas pour 2 puisque f n 2 = /3 et pas pour non plus puisque f n tend vers +. Donc n est équivalente ni à 2 ni à. De même, la suite f n est bornée pour 2 mais pas pour ; donc les normes 2 et ne sont pas équivalentes. Eercice 2 - On a φ() = φ( ) = φ() + φ() = 2φ(). D où l on déduit φ() =. 2 - Soient, y R. Comme φ : R + R est supposée bijective, il eiste, y R + tels que φ( ) = et φ(y ) = y. Mais φ( y ) = φ( ) + φ(y ) i.e. + y = φ( y ). On applique ψ au deu membres : ψ( + y) = y = ψ()ψ(y). 3 - On dérive les deu membres de la relation φ(y) = φ() + φ(y) par rapport à y et on obtient φ (y) = φ (y), relation qui s écrit : (3) f(y) = f(y). 4 - Si on connaît la valeur de f en, on la connaît partout puisque f() = f(). La forme de f est donc complètement déterminée par la relation (3). 5 - Si on note κ la valeur de f en, on a alors f() = κ pour tout réel strictement positif. 6 - La fonction φ qu on cherche est une primitive de f. Comme on doit avoir φ() =, c est la primitive de f qui s annule au point. C est donc forcément : (4) φ κ () = κ t dt. 7 - On a = ln() = ln ( ( ) = ln() + ln ( ). D où ln ( ) ( ) ) = ln(). Ceci nous donne ln = ln() + ln = ln() ln(y). y y 8 - Soit a > ; alors ln(a) >. Pour tout n N, on a ln(a n ) = n ln(a). Quand n tend vers +, a n tend vers + et n ln(a) ( tend ) vers +. Conclusion : lim ln() = +. On en déduit lim ln() = lim ln = Comme lim ln() = +, lim ln() = et ln continue, d après le théorème + + des valeurs intermédiaires, il eiste e R + tel que ln(e) =. - Pour, on a ; donc ln() = dt t dt =. Si <, >. D où ln() = dt t > dt =, c est-à-dire ln() <. Dans tous les cas on a ln() pour tout >. On en déduit ln() = 2ln( )

7 lim + - Comme on vient de le voir ln() 2 pour >. Donc ln() 2. Par suite ln() =. 2 - Graphe de la fonction ln. Eercice 3 - Faisons d abord un dessin : Le nombre d étant un entier de mètres, il doit diviser à la fois L = 5 et l = 32. Et comme on veut un nombre minimum de piquets, il doit être le plus grand possible, c est-à-dire le PGCD de 5 et 32. Un calcul immédiat donne d = Comme la clôture est une courbe fermée, il y a autant de segments que de piquets. C est donc le périmètre divisé par d, c est-à-dire N = 2(L + l) = 2(5 + 32)/6 = 94 piquets. 3 - De façon générale, d est le PGCD de L et l. Donc N = 2(L + l)/d. 7