Sommaire de la séquence 2

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1 Sommaire de la séquence 2 Séance e découvre deux propriétés dites «des milieux» Séance e découvre la troisième propriété dite «des milieux» Séance applique les propriétés «des milieux» Séance utilise les propriétés des milieux dans des situations concrètes Séance e découvre la propriété de Thalès Séance applique la propriété de Thalès Séance effectue des exercices de synthèse Séance effectue des exercices de synthèse - suite Séance effectue des exercices de synthèse - fin Objectifs ffectuer des démonstrations. onnaître et utiliser les trois propriétés des milieux. onnaître et utiliser la propriété de Thalès. e cours est la propriété du ned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. es contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. ned-2009 ned cadémie en ligne

2 séance 1 Séquence 2 Séance 1 e découvre deux propriétés dites «des milieux» vant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n 2. ffectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. je révise les acquis de la 5 e 1- Sur la figure ci-dessous : 2- Parmi les figures ci-dessous, lesquelles permettent de prouver que () est parallèle à ()? O 37 est le milieu de [] () est la médiatrice de [] () est la médiatrice de [] est un losange (d) 3- e ces deux tableaux, quel est celui qui correspond à un tableau de proportionnalité? 4- Sur la figure ci-dessous : = 3 5 = 3 5 = 3 cm et = 5 cm = 3 5 Nous allons maintenant commencer cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : «SÉQUN 2 : TRNGL : MLUX T PRLLÈLS». ais de même avec ton cahier d exercices. ffectue l exercice suivant sur ton livret. ned, Mathématiques 4e 35 ned cadémie en ligne

3 Séquence 2 séance 1 xercice 1 Manon, Hugo, Quentin et Noémie ont tracé chacun un triangle, puis ils ont placé les points et au milieu respectivement de [] et de []. MNON HUGO QUNTN NOM T GUR 1- Que remarques-tu concernant la droite ()? st-ce vrai pour chaque figure? 2- Que remarques-tu concernant les longueurs et? ela semble-t-il vrai pour chaque figure? 3- À ton tour, trace un triangle et la droite () comme ci-dessus. Qu observes-tu? 4- s-tu d accord avec Noémie qui affirme : «Puisque c est vrai sur toutes nos figures, cela signifie que c est vrai dans n importe quel triangle» ffectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Télécharge le logiciel Geocned sur le site du collège du cned et lance cette application. lle va te permettre de construire des figures géométriques «vivantes»! 36 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

4 séance 1 Séquence 2 xercice 2 1- Le but est de construire la figure ci-contre avec Geocned. a) onstruis trois points, et. ndication technique : pour construire un point, va dans «créer», puis dans «points» puis clique sur «quelconque». ntre comme nom pour le point. b) Trace le triangle. ndication technique : va dans «créer», puis dans «polygone», puis choisis «défini par ses sommets». ntre ensuite, puis, puis, puis enfin appuie sur la touche «ntrée» pour construire le triangle. c) onstruis le milieu de [], le milieu de []. ndication technique : pour construire le milieu de [], va dans «créer», puis dans «points» puis clique sur «milieu d un segment». ntre ensuite le nom du point, puis le segment «[]». d) Mesure les longueurs et. ndication technique : pour mesurer la longueur, va dans «afficher», puis «mesure», et clique sur «longueur». ntre ensuite par exemple comme nom de mesure, puis et pour les points. lique ensuite sur le volet «mesure». l se déplie et tu peux alors lire. ais calculer le quotient des longueurs et. ndication technique : pour faire calculer ce quotient, va dans «afficher», puis «mesure», et clique sur «quotient de longueurs». ntre ensuite par exemple «/» comme nom de mesure, puis,, et pour les points. 2- éplace successivement les points, puis, puis. a) omment semblent être () et ()? b) Que peux-tu dire de et de? ndication technique : Pour déplacer le point, clique sur le point, puis, en maintenant le bouton enfoncé, déplace la souris. ffectue l exercice ci-dessous directement dans ton livret. xercice 3 On a la figure ci-contre : On cherche à démontrer que () est parallèle à () et que = onstruis le point M, symétrique de par rapport à. 2- émontre que M est un parallélogramme en utilisant le plan de démonstration suivant : On sait que... Or,... On en déduit que émontre que () est parallèle à (M) : On sait que... Or,... On en déduit que... [] [] ned, Mathématiques 4e 37 ned cadémie en ligne

5 Séquence 2 séance 1 4- émontre que = M puis déduis-en : = M : On sait que... Or,... On en déduit que éduis de ce qui précède que M est un parallélogramme : On sait que... Or,... On en déduit que onclus : Les deux conjectures de la première partie sont maintenant démontrées. ela signifie qu elles sont toujours vraies. Lis attentivement l encadré ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours. Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les couleurs. j e retiens PROPRÉTÉS S MLUX Propriété 1 : ans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. e sais que : 'en déduis que : ON milieu de [] milieu de [] () // () Propriété 2 : ans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. e sais que : 'en déduis que : ON milieu de [] milieu de [] = 2 38 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

6 séance 1 Séquence 2 Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le. je comprends la méthode Montrer que () et () sont parallèles [] [] 3 cm e vois, grâce aux codages, que l on connaît les milieux de deux côtés. Grâce à la propriété 1, je vais pouvoir en déduire que des droites sont parallèles. e rédige alors la démonstration de la façon suivante : e sais que : ans le triangle, est le milieu de [] et est le milieu de []. Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. en déduis que : () est parallèle à (). alculer la longueur. e vois, grâce aux codages, que l on connaît les milieux de deux côtés et la longueur. Grâce à la propriété 2, je vais pouvoir calculer la longueur. e rédige alors la démonstration de la façon suivante : e sais que : ans le triangle, est le milieu de [] ; est le milieu de [] et = 3 cm. Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. en déduis que : = 3 = soit = 1,5 cm. 2 2 ffectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices, en appliquant les méthodes ci-dessus. xercice 4 1- Trace un triangle quelconque. Place le milieu de [], le milieu de [] et le milieu K de []. Trace le quadrilatère K. Quelle question es-tu amené(e) à te poser? 2- Si tu possèdes un ordinateur, fais cette question. Si tu n en as pas, passe à la question 3. onstruis trois points, et. onstruis le milieu de [], le milieu de [] et K le milieu de []. Trace le quadrilatère K et colorie-le en rouge. ndication : Pour tracer K, va dans «réer», puis dans «polygone», puis dans «défini par ses sommets». ntre ensuite, puis, puis, puis K, puis appuie sur la touche «ntrée». éplace les points, et. Quelle semble être la nature de K? K ned, Mathématiques 4e 39 ned cadémie en ligne

7 Séquence 2 séance 2 3- Montre que () est parallèle à (). 4- Montre que (K) est parallèle à (). 5- Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère K? 6- Pouvais-tu déterminer la nature du quadrilatère K d une autre façon? xercice 5 1- Trace un rectangle tel que = 8 cm et = 3 cm. Place M le milieu de [] et N le milieu de []. 2- étermine MN. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 1. ffectue ensuite la série 2 de cette fiche. Séance 2 e découvre la troisième propriété dite «des milieux» ffectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. xercice 6 1- Si tu possèdes un ordinateur, passe directement à la question 2. Trace un triangle quelconque. Place le milieu de []. Trace ensuite la parallèle à () passant par. ette droite coupe () en. Mesure et. Que remarques-tu? 2- ffectue la construction proposée dans la question précédente à l aide de Geocned. ais afficher les longueurs et. éplace successivement les points, et. Que remarques-tu? Lis attentivement la propriété ci-dessous puis recopie-la sur ton cahier de cours. Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les couleurs. j e retiens Propriété 3 (admise) ans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. m es u re s = = e sais que : 'en déduis que : ON milieu de [] () // () milieu de [] 40 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

8 séance 2 Séquence 2 Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le. je comprends la méthode Montrer qu un point est le milieu d un segment : e sais d après l énoncé que : est le milieu de [] et () // (). Grâce à la propriété 3, je vais pouvoir déduire que est le milieu de []. e rédige alors la démonstration de la façon suivante : e sais que : ans le triangle, est le milieu de [] et () est parallèle à (). Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. en déduis que : est le milieu de []. ffectue l exercice suivant directement sur ton livret. xercice 7 Écris pour chacune des figures ci-dessous ce que tu peux démontrer à l aide des propriétés des milieux et précise quelle propriété il faut utiliser : () // () () M L 6 cm G K G = 3 cm G = 4 cm P N e peux démontrer que.. à l aide de la propriété e peux démontrer que.. à l aide de la propriété e peux démontrer que.. à l aide de la propriété e peux démontrer que.. à l aide de la propriété e peux démontrer que.. à l aide de la propriété e peux ensuite démontrer que.. à l aide de la propriété ffectue les exercices suivants sur ton cahier d exercices, en appliquant les méthodes vues précédemment. xercice 8 ide : Pense à coder la figure au fur et à mesure de l exercice. 1- onstruis un triangle tel que : = 7 cm = 5 cm = 4 cm Place le milieu de [], K le milieu de []. Place le point du segment [] tel que () est parallèle à (). ned, Mathématiques 4e 41 ned cadémie en ligne

9 Séquence 2 séance 3 2- Montre que (K) est parallèle à (). 3- Montre que est le milieu de [] 4- Montre que (K) est parallèle à (). 5- éduis des trois premières questions la nature des quadrilatères K et K. 6- alcule la longueur en cm. 7- alcule le périmètre p de en cm. xercice 9 1- onstruis un rectangle. La médiatrice du segment [] coupe [] en et [] en. Les droites () et () se coupent en K. 2- Montre que () est parallèle à (K). 3- Montre que est le milieu de [K]. S il te reste du temps, réponds à la question suivante : 4- Montre que est le milieu de [K]. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 2. ffectue ensuite la série 4 de cette fiche. Séance 3 applique les propriétés des milieux ffectue les exercices suivants sur ton cahier d exercices. xercice onstruis un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Trace un diamètre [] de ce cercle. est un point du cercle tel que : = 3 cm. est le symétrique de par rapport à. 2- Montre que (O) est parallèle à (). 3- alcule la longueur en cm. 4- éduis-en que le triangle est isocèle en. xercice onstruis un quadrilatère quelconque, puis place,, K, et L les milieux respectifs de [], [], [] et []. Quelle semble être la nature du quadrilatère KL? 42 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

10 séance 3 Séquence 2 2- Si tu ne possèdes pas d ordinateur, passe directement à la question 3. Ouvre le logiciel Geocned et construis la figure de la question 1. Tu représenteras en blanc le quadrilatère et en rouge le quadrilatère KL. ndication technique : ommence par créer quatre points,, et. Va dans «réer», puis dans «polygone», puis dans «défini par ses sommets». ntre ensuite, puis, puis, puis, puis appuie sur la touche «ntrée». L K L K réer ensuite les milieux de chacun des côtés du quadrilatère. éplace ensuite les sommets du quadrilatère (essaie les cas où le quadrilatère est croisé!), et observe le quadrilatère KL. Quelle semble être sa nature? 3- Manon et Quentin pensent que KL est un parallélogramme. Lindsay pense que c est un losange, et Noémie pense que c est un quadrilatère quelconque. a) ssaie de prouver quelle est la nature exacte de KL. Si, au bout de 5 minutes, tu es bloqué, passe à la question suivante. b) Manon aimerait prouver à Lindsay que KL est un parallélogramme. Pour cela, elle aimerait prouver que () // (LK). Le professeur suggère à Manon de commencer par prouver que : () // (). Saurais-tu aider Manon à prouver que : () // () et () // (LK)? c) Quentin se souvient d une propriété vue en 5e : «Si deux côtés opposés d un quadrilatère non croisé sont parallèles et ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme». l a déjà prouvé que : () // (LK). l aimerait donc prouver : = LK. Le professeur suggère à Quentin d essayer de prouver que les distances et LK sont égales à une même troisième. Saurais-tu aider Quentin? d) Quelle est la nature exacte du quadrilatère KL? 4- Lindsay dit qu elle a remarqué quelque chose d intéressant : d après elle, le périmètre de KL est égal à la somme des longueurs des diagonales de. Qu en penses-tu? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 3. ffectue ensuite la série 1 de cette fiche. ned, Mathématiques 4e 43 ned cadémie en ligne

11 Séquence 2 séance 4 Séance 4 utilise les propriétés des milieux dans des situations concrètes ffectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. onstruis une figure pour t aider à réfléchir, en notant bien les informations de l énoncé. xercice 12 Une bascule est une balançoire dont l un des siège s élève quand l autre s abaisse. La bascule est posée en son milieu, sur un support vertical mesurant 1 m de haut. 1- émontre que : () // () 2- Prouve que est le milieu de []. 3- À quelle hauteur maximale, en m, un enfant peut-il s élever? 1 m? le sol est horizontal ffectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. onstruis une figure pour t aider à réfléchir, en notant bien les informations de l énoncé. Nomme les points avec des lettres de ton choix. xercice 13 Le voilier ci-contre est composé d un mât mesurant 3,3 m de haut. La voile (supposée triangulaire) est maintenue par une bôme (horizontale) de 2,6 m et une barre horizontale, fixée à égale distance de la bôme et du haut du mât. Quelle est la longueur de la barre horizontale? barre horizontale 3,3 m bôme 0,3 m ffectue l activité suivante sur ton cahier d exercices. Tu pourras effectuer les tracés de ton choix directement sur ton livret. ommence par chercher tout seul pendant dix minutes. Lis ensuite la remarque de Manon. herche encore cinq minutes puis lis la remarque d Hugo. herche encore cinq minutes puis lis ensuite les remarques d li et de Noémie et essaie de résoudre cet exercice. 44 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

12 séance 4 Séquence 2 xercice 14 ack le Terrible, grand pirate du Pacifique, est à la recherche du trésor des Marquises. Ua Huka après ses calculs, ce trésor doit se trouver sur l île de Hiva Oa. Le pirate a tracé sur la carte ci-contre un triangle reliant les trois îles : Ua Pou : Ua Huka : Ua Pou 20 km Hiva Oa : Hiva Oa. Malheureusement, cette carte a été en partie détruite au cours d une longue bataille. ide ack à retrouver une estimation de la distance qui sépare l île de Ua Pou de celle d Hiva Oa. ttention : la carte est le seul document qui est à ta disposition. Tu n as donc pas le droit d effectuer de tracés en dehors de cette carte. La remarque de Manon : «e n ai pas le droit de tracer en dehors de la carte, mais je peux effectuer autant de tracés que je veux à l intérieur». La remarque d Hugo : «Sur la carte, il y a 3,6 cm entre et. après l échelle, cela correspond à une distance réelle de 72 km.» La remarque d li : «Si je trace la droite parallèle à la droite () passant par le milieu de [], j obtiens les données d une propriété que je connais. e dois sûrement pouvoir en déduire.» La remarque de Noémie : «Si je trace la droite parallèle à la droite () passant par le milieu de [], j obtiens les données d une propriété que je connais. e dois sûrement pouvoir en déduire.» Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 4. ffectue ensuite la série 3 de cette fiche. ned, Mathématiques 4e 45 ned cadémie en ligne

13 Séquence 2 séance 5 Séance 5 e découvre la propriété de Thalès ffectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. xercice 15 Parmi les quatre cas ci-contre, il y a un intrus! ans trois des quatre cas ci-contre, on peut passer du triangle de gauche à celui de droite d une certaine façon. Laquelle? Quels sont les trois cas concernés? Que peux-tu dire alors des deux triangles? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le soigneusement dans ton cahier de cours. j e retiens On multiplie par un même nombre les trois longueurs d un triangle. ela permet de tracer un nouveau triangle. Si on a multiplié par un nombre plus grand que 1, le nouveau triangle est un agrandissement du triangle de départ. Si on a multiplié par un nombre plus petit que 1, le nouveau triangle est une réduction du triangle de départ. xemples : Le triangle 2 est un agrandissement du Le triangle 2 est une réduction du triangle 1 triangle 1 (on a multiplié par 2 les dimensions). (on a multiplié par 3 les dimensions) ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

14 séance 5 Séquence 2 ffectue l exercice suivant à la fois dans ton livret et dans ton cahier d exercices. xercice 16 ans toutes les figures ci-dessous : le triangle est tel que : = 3 cm = 6 cm = 4,5 cm. on a : [) [) () // () l unité de longueur est le centimètre. 1- omplète le tableau du cas 1 sans faire aucune mesure (pense aux propriétés déjà vues dans la séquence). omplète ensuite le tableau suivant à l aide de mesures (sauf pour ). cas 1 cas 2 =... =... =... =... =... =... = 3 = 6 = 4,5 = 3 = 6 = 4,5 2- omplète les tableaux des cas 3 et 4 en faisant des mesures (sauf pour que tu peux calculer). Pour le cas 3, vérifie sur ta figure que la longueur proposée est la bonne. cas 3 cas 3 cas 4 cas 4 = 0,75 =... =... =... =... =... = 3 = 6 = 4,5 = 3 = 6 = 4,5 ned, Mathématiques 4e 47 ned cadémie en ligne

15 Séquence 2 séance 5 3- Que peux-tu dire des tableaux des cas 1, 2, 3 et 4? Que peux-tu en déduire concernant le triangle et le triangle pour les quatre cas? 4- Si tu possèdes un ordinateur, effectue cette question. Ouvre la figure appelée seq2_exercice16 à l aide de Geocned. On va essayer de voir si la remarque semble être toujours vraie pour tous les triangles et tels que : est un point de [) est un point de [) () // () éplace les points, et, ainsi que le point. m es u re s = 1.45 = 4.35 = 1.30 = 3.9 = 1 = 3 Remplis alors les quatre tableaux ci-dessous, chacun pour des positions différentes de,, et. Que peux-tu dire de ces tableaux? =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... =... Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le soigneusement dans ton cahier de cours. j e retiens PROPRÉTÉS THLÈS Propriété (admise) Si et sont deux triangles tels que : est un point de [) est un point de [) () est parallèle à () alors les longueurs des côtés correspondants de ces deux triangles sont proportionnelles. Remarque : 1 er cas : [] et [] le triangle est un agrandissement du triangle Les longueurs des côtés correspondants de ces deux triangles sont proportionnelles revient à dire que le tableau longueurs des côtés de longueurs des côtés de est un tableau de proportionnalité. 2 ème cas : [) mais [] [) mais [] le triangle est une réduction du triangle 48 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

16 séance 5 Séquence 2 ffectue les trois exercices ci-dessous dans ton cahier d exercices. xercice 17 À l aide de la figure ci-contre représentée à main levée, calcule RV. R V S 2,6 cm 2 cm U 6 cm T xercice 18 (SU) // (RV) S [TR) U [TV) l y a longtemps, à peu près en 600 avant.., un homme appelé Thalès de Milet a réussi à mesurer la hauteur d une pyramide (celle de Kheops), ce qui était très difficile. Pour cela, il a juste utilisé son ombre et sa tête! l est parti du principe simple qu à un certain moment de la journée, la longueur de son ombre était égale à sa taille. 134,3 m 1,7 m Lorsque le moment est arrivé, Thalès s est placé de façon que le haut de son ombre coïncide avec le haut de l ombre de la pyramide. l a ensuite mesuré sa distance à la pyramide, et sa distance au haut de son ombre. l a dit alors : «À cet instant précis, la hauteur de cette pyramide est égale à la longueur de son ombre, je sais donc que cette pyramide mesure environ 136 m!». Peux-tu expliquer le raisonnement de Thalès? xercice 19 Le tableau 2 a 3 b est un tableau de proportionnalité (b 0). Sais-tu prouver que : a b = 2 3? ide : À quoi est égal 2 3 b? ned, Mathématiques 4e 49 ned cadémie en ligne

17 Séquence 2 séance 5 Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le soigneusement dans ton cahier de cours. j e retiens b, d et f sont trois nombres différents de 0. Si le tableau a c e b d f est un tableau de proportionnalité, alors on a : a c = = b d e f. ffectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. xercice 20 émontre que si et sont deux triangles tels que : est un point de [) est un point de [) () est parallèle à () alors on a l égalité : = =. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le soigneusement dans ton cahier de cours. j e retiens Propriété de Thalès : Si et sont deux triangles tels que : est un point de [) est un point de [) () est parallèle à () alors on a l égalité : Remarque : est le sommet commun aux deux triangles et. On a aussi : = longueurs des côtés de longueurs des côtés de est également un tableau de proportionnalité. 1 er cas : [] et [] le triangle est un agrandissement du triangle 2 ème cas : [) mais [] [) mais [] le triangle est une réduction du triangle Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 5. ffectue ensuite la série 2 de cette fiche. 50 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

18 séance 6 Séquence 2 Séance 6 applique la propriété de Thalès Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le. je comprends la méthode alculer 2 cm Voici trois méthodes permettant de répondre à la question () // () posée : 5 cm 4 cm [] [] () // () Méthodes 1 et 2 : application de la propriété de Thalès e rédige de la façon suivante : ans le triangle : est un point de [) est un point de [) () est parallèle à (). applique la propriété de Thalès : = = 2 5 = = 4 2 = 5 4 nsuite, on peut conclure de deux façons : Méthode 1 : On a une égalité de fractions, donc les produits en croix sont égaux : 2 4 = 5 est le nombre qui multiplié par 5 donne 2 4 soit 8, donc : e commence par écrire les données qui permettent d appliquer la propriété de Thalès. annonce que j applique la propriété de Thalès écris les égalités de quotients. Pour cela, je repère sur la figure le petit triangle et le grand triangle dont les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles : ici et. écris toutes les longueurs connues sous forme numérique. isole le quotient qui contient la longueur que je veux calculer et un quotient de nombres. On a vu dans la séquence 1 que si deux quotients sont égaux, alors les produits en croix sont égaux. On applique ensuite la définition d une fraction. 8 = = 5 1, 6 soit = 1,6 cm. L avantage de cette méthode par rapport à la suivante est que l on peut toujours l appliquer. ned, Mathématiques 4e 51 ned cadémie en ligne

19 Séquence 2 séance 6 Méthode 2 : Le nombre qui divisé par 4 donne 2 5 est = = = 5 5 1, 6 soit = 1,6 cm. ans cette méthode, on revient au sens de la division. Par exemple, le nombre qui divisé par 2 donne 3 est ème Méthode est un point de [) est un point de [) () est parallèle à () après le cours, les longueurs des côtés correspondants des triangles et sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité entre la série,, et entre la série,, est 5 2 soit 2,5. La longueur est donc : 4 2, 5 soit 1,6 cm. ffectue l exercice suivant directement sur ton livret. xercice 21 Pour chacune des figures ci-dessous, complète le tableau et rédige ensuite soigneusement la démarche te permettant de calculer la longueur en cm du côté marqué d un «?», en utilisant la propriété de Thalès. 1-7 cm 2 cm 1 cm? () // () [] [] nom du côté du petit triangle nom du côté du grand triangle 'écris les données : 'applique la propriété = = de Thalès : e calcule : ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

20 séance 6 Séquence 2 2- nom du côté du petit triangle nom du côté du grand triangle cm 3 cm 'écris les données : ? () // () [] [] 4 cm 'applique la propriété de Thalès : =... = e calcule : nom du côté du petit triangle nom du côté du grand triangle 'écris les données :... 2,5 cm......? 6,5 cm 7,5 cm () // () [] [] 'applique la propriété de Thalès : =... = e calcule : ffectue les trois exercices suivants sur ton cahier d exercices. xercice 22 est un triangle tel que : = 6 cm = 5 cm = 5,5 cm est un point du segment [] tel que = 2 cm. La parallèle à la droite () passant par coupe [] en. alcule, en cm, la longueur, puis la longueur. Tu donneras la valeur arrondie au dixième des résultats. ned, Mathématiques 4e 53 ned cadémie en ligne

21 Séquence 2 séance 7 xercice 23 MNP est un triangle tel que : MN = 5 cm NP = 6 cm PM = 4 cm R est un point de [PM] tel que PR = 1 cm. La parallèle à la droite (PN) passant par R coupe (MN) en S. alcule, en cm, les longueurs RS et SN. xercice 24 Manon, Noémie, Quentin et Hugo ont rédigé chacun une démonstration en rapport avec la figure ci-contre. Malheureusement, aucune de leur démonstration n est parfaitement rédigée. Trouve l erreur ou ce qu il manque dans chacune des copies puis corrige-les. opie de Manon : opie de Noémie : opie de Quentin : opie d Hugo : est un point de [) est un point de [G) () // (G) applique la propriété de Thalès : = G = G applique la propriété de Thalès : = = est un point de [) est un point de [) () // () applique la propriété de Thalès : Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 6. ffectue ensuite la série 1 de cette fiche. = = G [] [G] [] est un point de [) est un point de [) () // () applique la propriété de Thalès : = = Séance 7 effectue des exercices de synthèse ffectue les exercices suivants sur ton cahier d exercices. xercice 25 Sur la figure ci-contre, est un parallélogramme tel que : = 5 cm ; = 3 cm. 5 cm est un point de la demi-droite [) tel que : Les droites () et () se coupent en. = 4 cm.? 3 cm 4 cm alcule, en cm, la longueur. onne l arrondi au dixième du résultat. 54 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

22 séance 7 Séquence 2 Pour l exercice ci-dessous, traduis l énoncé par une figure géométrique, nomme les points et écris toutes les informations de l énoncé sur cette figure. xercice 26 Thomas veut louer un appartement dans un immeuble situé près de la mer. Une maison est malheureusement construite entre la plage et son immeuble. À quelle hauteur minimale doit se situer son appartement pour que Thomas puisse apercevoir un bout de la plage de chez lui? mer 5m plage maison immeuble 10 m 10 m 10 m xercice 27 On considère la figure ci-contre. 1- xplique pourquoi [] et [P] sont des médianes du triangle. 2- Prouve que (H) est parallèle à (P). 3- Prouve que G = 2 3 xercice 28 Tracer un triangle rectangle en tel que : = 9 cm et = 3 cm. Tracer le cercle de centre passant par. l coupe le segment [] en. Tracer la droite perpendiculaire à la droite () passant par le point. lle coupe le segment [] en. 1- onstruis la figure. 2- alcule, en cm, la longueur. xercice 29 est un losange de centre O tel que : = 5 cm et = 4 cm. est un point du segment [] tel que : = 1 cm. Tracer la droite parallèle à la droite () passant par. lle coupe la droite () en. Tracer la droite perpendiculaire à la droite () passant par. lle coupe la droite () en G. 1- onstruis la figure. 2- alcule, en cm, la longueur. 3- alcule, en cm, la longueur G. ffectue l exercice suivant s il te reste du temps et si tu possèdes un ordinateur. G P H [] ;,, P, H, sont alignés. ned, Mathématiques 4e 55 ned cadémie en ligne

23 Séquence 2 séance 8 xercice Trace un cercle de centre O et de rayon 3,6 cm. Place : un point tel que : O = 12 cm un point M sur un point sur [O] tel que : = 1 O. 3 M Trace la droite parallèle à (OM) et passant par. lle coupe [M] en N. N On veut savoir sur quelle ligne se déplace N lorsque M décrit? (c est-à-dire se «promène» sur ) Pour cela, télécharge le fichier séquence2_exercice 30 et ouvre-le avec Geocned. éplace le point M sur le cercle. 2- Peux-tu faire une conjecture à propos de la ligne sur laquelle se déplace le point N? O 3- Peux-tu démontrer quelle est la ligne sur laquelle se déplace le point N? Trace cette ligne sur ta figure. ide : essaie de prouver que N = 1,2 cm! Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 6. ffectue ensuite la série 2 de cette fiche. Séance 8 effectue des exercices de synthèse suite ffectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d exercices. xercice 31 est un triangle tel que : = 5 cm ; = 6 cm ; = 80 est un point du segment [] tel que : = 2 cm. est un point du segment [] tel que : = onstruis la figure. 2- alcule, en cm, la longueur. xercice 32 Le ski de vitesse est une épreuve où les concurrents descendent sur une piste, à grande vitesse et sans faire de virage. Le départ de la course a lieu à m d altitude et l arrivée à m d altitude. haque skieur parcourt une distance de m, en suivant une trajectoire qu on supposera ici rectiligne. Lorsque la zone d élan se termine, les skieurs ont déjà parcouru 450 m. À quelle altitude, en m, se trouvent-ils à ce moment-là? Tu donneras une valeur approchée du résultat au mètre près. arrivée altitude m départ : altitude m zone d'élan 56 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

24 séance 8 Séquence 2 xercice 33 Le bâton de acob est un ancien instrument de mesure. nventé au XVème siècle, il sert notamment à mesurer des longueurs inaccessibles, comme par exemple, la largeur d une rivière. l est constitué d une perche de 5 pieds de long sur laquelle une autre perche de 2 pieds de long est fixée, perpendiculaire en son milieu à la première. On considère dans cet exercice qu un pied correspond environ à 30 cm. rivière 1- ans cette question, on veut connaître la largeur de la rivière ci-contre. Pour cela, Louis et ses deux amis ean et Paul se placent des deux côtés de la rivière de façon à ce que Louis puisse voir ses deux amis en visant dans les directions définies par le bâton de acob (dessinées en pointillés sur le schéma ci-contre). Paul et ean sont alors à 12 m l un de l autre. Écris le raisonnement qu a ensuite fait Louis pour calculer la largeur de la rivière. On suppose que les rives de la rivière sont parallèles. ean 2- Pour répondre à cette question, commence par chercher seul pendant 10 min. Lis ensuite la remarque d li. herche encore 5 min puis lis la remarque de Quentin. herche à nouveau 5 min puis regarde la remarque de Manon. herche à nouveau 5 min puis lis la remarque d Hugo. ssaie ensuite de résoudre cet exercice. Louis se trouve maintenant devant un donjon.? ide Louis à trouver une astuce pour calculer la hauteur de ce donjon à l aide du bâton de acob. Le but de cet exercice n est pas de trouver précisément? la hauteur de la tour mais de trouver une méthode qui permettrait de la calculer, en manipulant astucieusement le bâton de acob. La remarque d li : «l suffit de viser le haut de la tour avec le bâton de acob.» La remarque de Quentin : «La perche de 2 pieds de long du bâton de acob doit rester bien verticale mais du coup, je ne vois plus le haut de la tour.» La remarque de Manon : «n montant sur un escabeau, on doit pouvoir viser le haut de la tour tout en gardant la perche de 2 pieds de long du bâton de acob bien verticale.» La remarque d Hugo : «Oui, mais si la tour est vraiment très haute, ton escabeau ne sera pas assez grand» xercice 34 onstruis un segment [] de longueur 4 cm. onstruis le cercle de centre et de rayon 3 cm. est le point du segment [] tel que : = 2,5 cm. La droite perpendiculaire à la droite () passant par coupe le cercle en deux points M et N. Trace la droite perpendiculaire à la droite () passant par. lle coupe (M) en et (N) en. 1- onstruis la figure. 2- alcule, en cm, la longueur. Louis Paul ned, Mathématiques 4e 57 ned cadémie en ligne

25 Séquence 2 séance 8 ffectue l exercice ci-dessous s il te reste du temps et si tu possèdes un ordinateur. Tu répondras sur ton livret et sur ton cahier d exercices. xercice À partir de la figure ci-contre, place P le milieu de [K], Q le milieu de [K], R le symétrique de Q par rapport à, et S le point d intersection de (RP) et []. 2- Lindsay fait la même construction que toi et dit : «ai l impression que est quatre fois plus grand que S». À l aide de mesures, essaie de voir si tu es d accord avec Lindsay. K 3- On voudrait savoir si cette remarque semble valable avec n importe quel triangle. Trace un triangle de ton choix dans le cadre suivant, fais à nouveau la construction, et compare et S. 4- Si tu possèdes un ordinateur, télécharge le fichier séquence2_exercice35 et ouvre-le avec Geocned. éplace les points,,, et K. Que remarques-tu? 5- Noémie aimerait savoir si on a toujours : = 4 S. lle n a pas beaucoup d idées a) Son professeur lui suggère de démontrer : (S) // (QP). Saurais-tu faire cette K démonstration? Q P b) Lindsay et li ont prouvé que : (S) // (QP). ls disent savoir à présent comparer S et QP. Saurais-tu le faire toi-aussi? S c) li dit que s il savait à présent comparer QP et, R il saurait comparer S et. Saurais-tu à présent terminer la démonstration? 58 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

26 séance 9 Séquence 2 ffectue l exercice ci-dessous s il te reste du temps xercice 36 Sur le schéma ci-contre, on a représenté une salle de spectacle vue de côté. 15 m lle fait 50 m de long sur 15 m de haut. 4 m La scène est composée 2 m estrade gradins d une estrade de 2 m de G haut et de 4 m de large. 6 m 50 m u bout de l estrade, on installe un haut-parleur dont les dimensions sont indiquées sur le schéma ci-contre. On supposera que la partie [] du haut-parleur est parfaitement verticale. Le son se diffuse à partir du haut-parleur de façon conique. utrement dit, sur notre schéma : la qualité du son est satisfaisante à l intérieur de la partie délimitée par les pointillés [] et [G]. 0,4 m À 6 m de l estrade, on élève des gradins pour les spectateurs. 1 m 1- À quelle hauteur maximale, en m, doit-on élever les gradins pour que les spectateurs du dernier rang reçoivent un son de bonne qualité? 2- haque gradin s élève de 20 cm à chaque rangée. ombien de rangées va-t-on pouvoir installer? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 6. ffectue ensuite la série 3 de cette fiche. Séance 9 effectue des exercices de synthèse fin ffectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. xercice 37 Le but de l exercice est de valider une méthode permettant de partager un segment [] de longueur quelconque en parts égales, sans avoir besoin d utiliser les graduations de la règle. On peut utiliser un compas, une règle non graduée et une équerre. 1- Partage d un segment en 5 parts égales ans cette question, on veut partager un segment [] en 5 parts égales, puis placer un point sur ce segment tel que : = 3 5. ned, Mathématiques 4e 59 ned cadémie en ligne

27 Séquence 2 séance 9 a) Trace un segment [] de longueur quelconque, puis trace une demi-droite [x) telle que (x) ne soit pas confondue avec (). b) Place des points,,, et G sur [x) tels que : = = = = G. c) Trace la droite (G), puis trace les droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) et (d 4 ) parallèles à (G) et passant respectivement par,, et. lles coupent le segment [] respectivement en,, et. d) Montre que le point vérifie : = Partage d un segment en 7 parts égales onstruis un autre segment []. Utilise une démarche semblable à celle utilisée dans la question précédente pour partager ce segment [] en 7 parts égales et placer un point Y tel que : Y = 5 7. ette fois, ne justifie pas ta construction. nfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. je m évalue 1- n tenant compte des renseignements notés sur la figure ci-contre, on peut démontrer que : () // () = = est un rectangle 3- ans quel(s) cas a-t-on : = 3? 9 1 = = n utilisant une propriété des milieux, je peux démontrer que : est le milieu de [] () // () () // () = 2 cm = =, cm 5 cm 60 ned, Mathématiques 4e ned cadémie en ligne

28 séance 9 Séquence 2 ans les quatre figures ci-dessous, () et () sont parallèles, [] et []. figure 1 figure 2 figure 3 figure , ,5 4- Quelle est la bonne écriture de la propriété de Thalès dans chacune des figures cidessus? = = = = = = = = 5- Pour quelle(s) figure(s) peut-on calculer la longueur? figure 1 figure 2 figure 3 figure 4 6- ans les figures pour lesquelles on peut calculer, quel résultat trouves-tu pour? = 4 = 3 = 9 = 6 est un parallélogramme.,, G et sont alignés,, et sont alignés,, H et sont alignés,, G et sont alignés,, et sont alignés,, H, sont alignés. On considère la figure ci-dessus : 7- Pour calculer la longueur H, on peut utiliser : la propriété 1 des milieux la propriété 2 des milieux la propriété 3 des milieux la propriété de Thalès 8- Pour calculer la longueur, on peut utiliser : la propriété 1 des milieux la propriété 2 des milieux la propriété 3 des milieux la propriété de Thalès 9- Pour montrer que les droites (G) et () sont parallèles, on peut utiliser : la propriété 1 des milieux la propriété 2 des milieux la propriété 3 des milieux la propriété de Thalès 10- Pour montrer que H est le milieu du segment [], on se place : dans le triangle dans le triangle dans le quadrilatère dans le triangle 1,5 cm 4,5 H 4 cm G ned, Mathématiques 4e 61 ned cadémie en ligne