Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

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1 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé et que B est compact. Montrer qu il existe un hyperplan fermé qui sépare strictement A et B. 2. Soit E un espace de Banach réel. On considère une famille finie de E : {x i, i = 1 n} et une forme linéaire sur E : x E telles que N(x ) n i=1 N(x i ). Montrer que x est combinaison linéaire des x i. 3. Soient E et F deux espaces de Banach et T L(E, F ). On suppose que B F (, r) T [B E (, 1)]. Montrer qu alors ε > B F (, r) T [B E (, 1 + ε)]. 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. (a) Montrer qu un espace normé séparable contient un sous-espace vectoriel dénombrable dense. (b) Montrer que les espaces c o et l p pour 1 p < sont séparables. (c) Montrer que l n est pas séparable. Pour cela on peut considérer la famille des boules ouvertes : {B(χ A, 1 2 ), A N}, où χ A désigne la fonction caractéristique de A. (d) Soit E un espace normé. On suppose que son dual E est séparable. Montrer que E est séparable. (Soit f n ) une suite dense dans E, considérer une suite (x n ) de E telle que x n = 1, f n (x n ) 1 2 f n et montrer que x n est totale dans E. Que peut-on dire de la réciproque?

2 2 5. Soit E un espace vectoriel réel, C une partie convexe de E et f une application de E dans R. (a) Soit D l épigraphe de f c est à dire D = { (x, t) C R f(x) t }. Montrer que f est convexe si et seulement si D est convexe. (b) On suppose que E est normé. Montrer que si f est continue D est fermé dans E R. (c) Soit ϕ une forme linéaire continue sur E R (muni de la norme (x, t) = x + t ). Montrer qu il existe a R et u E tels que (x, t) E R ϕ(x, t) = u(x) + at. (d) On suppose que f est convexe et continue. Soient x C et ε >. En appliquant la forme géométrique du théorème de Hahn-Banach à D et (x, f(x) ε), montrer que v E, b R tels que f(x) ε v(x) + b et y C v(y) + b f(y). En déduire que f est l enveloppe supérieure d une famille de fonctions affines continues de C dans R. 6. Soient E et F deux espaces de Banach, A et B deux opérateurs de domaines D(A) et D(B) tels que D(A) D(B) E, à valeurs dans F. (a) On suppose que A et B sont linéaires et fermés. Montrer qu il existe C > telle que x D(A) Bx C( x + Ax ). (b) Définition 1. On dit que B est A-compact si pour toute suite {x k } D(A) telle que : c >, x k + Ax k c implique que la suite {Bx k } admet une sous-suite convergente. On suppose que A est linéaire, fermé, B linéaire A-compact; montrer que i. Il existe C > telle que x D(A) Bx C( x + Ax ). ii. Il existe C > telle que x D(A) Ax C( x + (A + B)x ). iii. A + B est un opérateur fermé. iv. B est (A + B)-compact.

3 3 (c) Définition 2. On dit que B est fermable si (, y) G(B) y =. On suppose que A est linéaire, fermé, B linéaire, fermable et A-compact; montrer que ε > K ε telle que x D(A) Bx ε Ax + K ε x. 7. Soient X un espace de Banach réel, X son dual, T un opérateur de domaine D(T ) X à valeurs dans X non nécessairement linéaire. (a) Définition 1. On dit que T est hémicontinu si (u, v, w) X t T [u + tv](w) de [, 1] dans R est continue. On suppose que T est hémicontinu et qu il existe u o D(T ), z o X tels que : u D(T ) (T [u] z o )(u u o ). Montrer que T [u o ] = z o. (b) Définition 2. On dit que T est monotone si : (u, v) D(T ) (T [u] T [v])(u v). On suppose que T est monotone, hémicontinu et X est de dimension finie; montrer que i. T transforme les bornés de X en bornés de X. ii. T est continue. 8. Soient E = L 1 (, 1) l espace des classes de fonctions mesurables sur (,1) à valeurs réelles, intégrables pour la mesure de Lebesgue sur (,1). On définit A : E E par Ax(t) = t x(s) ds. (a) Déterminer le noyau de A. (b) Déterminer l adjoint A de A. Que peut-on dire de R(A )?

4 4 Feuille d exercices n o 2 On se propose de montrer le résultat suivant : Les deux assertions sont équivalentes : i. x in (C([, 1])) ii. On peut trouver une fonction g à variation bornée définie du [,1] telle que f C([, 1]) x (f) = De plus x = V (g). 1 f(t) dg(t). 1. Montrer que (ii) (i) 2. Soit x dans (C([, 1])). Montrer qu on peut trouver z forme linéaire sur B([, 1]), l ensemble des fonctions bornées sur [,1], muni de la norme, telle que x = z et f B([, 1]) x (f) = z (f). 3. Soit s ], 1] et χ s la fonction caractéristique de [, s], (χ o = ). On définit g par s [, 1] g(s) = z (χ s ). Montrer que g est à variation bornée. 4. Soit = t o < t 1 < < t n = 1 une partition arbitraire de [,1], et f dans C([, 1]). On définit h par n h = f(t k 1 )[χ tk χ tk 1 ]. k=1 Montrer que h est dans B([, 1]) et calculer z (h). 5. Montrer, en utilisant la définition de l intégrale de Riemann-Stieljes que z (f) = Conclure. 1 f(t) dg(t).

5 5 Feuille d exercices n o 3 1. Soit f la fonction définie de [,1] dans R par : 1 si t, f(x) = t si t =. Montrer que f est fermée mais pas continue. 2. Supplémentaires topologiques (a) Soit E un espace de Banach, G et L deux sous espaces vectoriels fermés de E tels que E + G soit fermé. Montrer qu il existe une constante C >, telle que tout élément z de G + L admet une décomposition de la forme z = x + y avec x G, y L et x C z, y C z. (b) Sous les hypothèses de la question précédente, montrer qu il existe une constante C >, telle que x E dist (x, G L) C[dist (x, G) + dist (x, L)]. Définition 1. Soit G E un sous-espace vectoriel fermé du Banach E. L E est un supplémentaire topologique de G si : i. L est fermé. ii. G L = {} et G + L = E. (c) Montrer que tout sous-espace G de E de dimension finie admet un supplémentaire topologique. (d) Soit N un sous-espace de E de dimension finie. Soit G défini par : G = { x E f N < f, x >= }. i. Montrer que G est fermé et de codimension finie. ii. Soit (f 1,, f p ) une base de N. On définit la fonction Φ de E dans R p par : Φ(x) = (< f 1, x >,, < f p, x >). Montrer que Φ est surjective. En déduire l existence de (e 1,, e p ) dans E tels que i, j {1,, p} < f i, e j >= δ ij.

6 6 iii. Montrer que le sous-espace vectoriel L engendré par (e 1,, e p ) est un supplémentaire topologique de G. (e) Soit H un espace de Hilbert. Montrer que tout sous-espace vectoriel fermé de H admet un supplémentaire topologique. (f) Soit T un opérateur linéaire, continu et surjectif de E sur F (deux espaces de Banach). Définition 2. On dit que T admet un inverse à droite s il existe S linéaire et continu de F dans E tel que T S = Id F. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes : i. T admet un inverse à droite. ii. T 1 () = N(T ) admet un supplémentaire topologique dans E. 3. Fonctions convexes conjuguées Définition 3. Une fonction ϕ de E dans R est semi-continue inférieurement (sci) si λ R { x E ϕ(x) λ } est fermé. (a) Montrer que : ϕ est sci epi (ϕ) est fermé. (b) Montrer que : ϕ sci x E, ε >, V voisinage de x tel que : y V ϕ(y) ϕ(x) ε. En déduire que : ϕ sci et x n x lim inf n + ϕ(x n) ϕ(x). (c) Soit ϕ de E dans ], + ] telle que ϕ +. Définition 4. La fonction ϕ définie de E dans ], + ] par f E est la fonction conjuguée de ϕ. ϕ (f) = sup x E { < f, x > ϕ(x) }, Montrer que ϕ est convexe (même si ϕ ne l est pas ) et sci. On admettra que si ϕ + alors ϕ + et on définit de la même manière ϕ par i. Montrer que ϕ ϕ. x E ϕ (x) = sup f E { < f, x > ϕ (f) }.

7 7 ii. Supposons qu il existe x o E tel que ϕ (x o ) < ϕ(x o ). En séparant epi(ϕ) et le point (x o, ϕ (x o )), montrer qu on arrive à une contradiction. déduire que ϕ = ϕ. En (d) Théorème de Fenchel-Rockafellar : Soient ϕ et ψ deux fonctions convexes. On suppose qu il existe x o E tel que ϕ(x o ) < + et ψ(x o ) < + et que ϕ est continue en x o. On va montrer qu alors inf x E { ϕ(x)+ψ(x) } = sup f E { ϕ ( f) ψ (f) } = max f E { ϕ ( f) ψ (f) }. Pour cela on admettra le résultat suivant : si C E est convexe, alors l intérieur de C : int(c) est convexe. Si int(c) alors C = int(c). Soient a = inf x E i. Montrer que b a. { ϕ(x) + ψ(x) } et b= sup f E { ϕ ( f) ψ (f) }. ii. On suppose que a R. géométrique aux convexes En appliquant le théorème de Hahn-Banach A = int(c) et B = { (x, λ) E R λ a ψ(x) }, montrer que a = b et que le sup est atteint.

8 8 4. On se propose de montrer le résultat suivant : Les deux assertions sont équivalentes : i. x in (C([, 1])) ii. On peut trouver une fonction g à variation bornée définie du [,1] à valeurs complexes telle que f C([, 1]) x (f) = De plus x = V (g). 1 f(t) dg(t). (a) Montrer que (ii) (i) (b) Soit x dans (C([, 1])). Montrer qu on peut trouver z forme linéaire sur B([, 1]), l ensemble des fonctions bornées sur [,1], muni de la norme, telle que x = z et f B([, 1]) x (f) = z (f). (c) Soit s ], 1] et χ s la fonction caractéristique de [, s], (χ o = ). On définit g par s [, 1] g(s) = z (χ s ). Montrer que g est à variation bornée. (d) Soit = t o < t 1 < < t n = 1 une partition arbitraire de [,1], et f dans C([, 1]). On définit h par n h = f(t k 1 )[χ tk χ tk 1 ]. k=1 Montrer que h est dans B([, 1]) et calculer z (h). (e) Montrer, en utilisant la définition de l intégrale de Riemann-Stieljes que Conclure. z (f) = 1 f(t) dg(t).

9 9 Feuille d exercices n o 4 1. Théorème de Weierstrass : il existe une fonction continue de [,1] sur R qui n est différentiable en aucun point de [, 1 2 ]. Soit n un entier; on définit l ensemble M n de la façon suivante : M n = { x C([, 1]) t o [, 1 ] tel que 2 sup <h< 1 2 x(t o + h) x(t o ) h n }. (a) Montrer que M n est fermé (topologie de la norme uniforme). (b) Montrer qu on a démontré le théorème de Weierstrass dès qu on a montré que est non vide. C([, 1]) + n=1 M n, (c) Pour cela on va montrer que pour tout n, M n est un sous-ensemble maigre ou non-dense, c est à dire tel que M n ne contient aucun ouvert non vide de C([, 1]) : pourquoi? (d) Montrer que pour tout polynôme z de C([, 1]) et pour tout ε >, il existe une fonction y de C([, 1]) M n telle que (Voir indication 1.) sup z(t) y(t) ε. t 1 Conclure avec la densité de l ensemble des polynômes dans C([, 1]). 2. Un exemple d opérateur linéaire, discontinu et fermé. Soient X = Y = C([, 1]), munis de la norme infinie (convergence uniforme). Soit D le sous-espace vectoriel de X défini par : D = { x X x X } ( fonctions C 1 ). On définit T de la manière suivante : T : D(T ) X Y, et T (x) = x. (a) Montrer que T est linéaire et non continu (Voir indication 2.) (b) Montrer que T est fermé. (c) Comment conciliez-vous ce résultat avec le théorème du graphe fermé?

10 1 3. Exemple d espace qui n est pas un espace de Baire Soit E = C([, 1]) muni de la norme N (norme L 1 ) suivante : f E N(f) = 1 f(t) dt. (a) Montrer que la boule unité B de E (pour la norme infinie notée ici ) est fermée dans E (pour la norme N). (b) Montrer que les normes N et ne sont pas équivalentes. (c) Montrer que B est d intérieur vide pour N.(Voir indication 3.) (d) Montrer que E, muni de la norme N n est pas un espace de Baire. (e) E muni de la norme est-il un espace de Baire? Indications 1. Couper l intervalle en sous-intervalles de longueur petite et sur chaque sous-intervalle approcher la fonction z par une fonction en zig-zag, c est à dite affine par morceaux telle que la pente de chaque segment soit supérieure à n. Voir dessin. 2. Considérer la suite de fonctions définie par x n (t) = t n. 3. Supposer que l intérieur de B contient un point a. a est aussi dans B et utiliser la convexité pour montrer que est dans l intérieur de B. Montrer que cela implique que les normes N et sont équivalentes, d où une contradiction.

11 11 Feuille d exercices n o 5 Convergence faible 1. Soit E un espace vectoriel normé. On va démontrer que S = {x E x = 1 } n est jamais fermée pour la topologie faible σ(e, E ). Pour cela on montre que S σ(e,e ) = {x E x 1 }. Soit x o un élément de E vérifiant x o 1 et montrons que tout voisinage V (pour la topologie faible) de x o rencontre S. Pour cela, montrer que si V est un voisinage de x o (pour la topologie faible), V contient une droite passant par x o. De la même manière, montrer que U = {x E x < 1 }, n est jamais ouvert pour la topologie faible σ(e, E ). 2. Topologie faible et convexité. (a) Soit C E un convexe. Alors C est faiblement fermé pour la topologie faible σ(e, E ) si et seulement si il est fortement fermé. Indication : on montre que E C est ouvert, c est-à-dire que chacun de ses points est contenu dans un ouvert faible. Pour cela on sépare strictement C d un point quelconque x o de E C. (b) Soit ϕ : E ], + ] une fonction convexe sci (pour la topologie forte). Montrer que ϕ est sci pour la topologie faible σ(e, E ). Montrer que si x n x pour σ(e, E ) alors ϕ(x) lim inf ϕ(x n ). 3. Soient E et F deux espaces de Banach. On note E f et F f ces espaces munis de la topologie faible. Montrer que si T est un opérateur linéaire de E dans F les propositions suivantes sont équivalentes. (a) T est continu de E dans F. (b) T est continu de E f dans F f. (c) T est continu de E dans F f.

12 12 4. Montrer que les topologies forte et faible sur l 1 sont équivalentes. 5. Soit H un espace de Hilbert. Montrer que u n converge fortement vers u { u n converge faiblement vers u, et u n converge vers u. 6. L espace L 1 (R, dx) n est pas réflexif. Exhiber effectivement une suite de fonctions ϕ n de L 1 (R, dx) dont aucune sous-suite n est faiblement convergente. (Indication: On pourra prendre ϕ n égale à la fonction caractéristique de [n, n + 1]). Théorème d Ascoli - Topologie 1. Soient α un réel de ],1], C, M deux constantes positives et [a,b] un intervalle de R. On définit les sous-espaces suivants de C([a, b]) : E α C,M ([a, b]) = { f C([a, b]) f M, x, y [a, b] f(x) f(y) C x y α }, Lip α ([a, b]) = { f C([a, b]) C f, x, y [a, b] f(x) f(y) C f x y α }. (a) Montrer que EC,M α ([a, b]) est un compact de C([a, b]). (b) On munit Lip α ([a, b]) de la norme suivante : f Lip α = sup f(x) + x [a,b] sup x, y [a, b] x y f(x) f(y) x y α. Montrer que Lip α ([a, b]) muni de cette norme est un Banach. (c) Montrer que la boule unité de Lip α ([a, b]) est relativement compacte (et même compacte) dans C([a, b]). 2. Soient X topologique, Y métrique et (f n ) une suite équicontinue d applications de X dans Y. Montrer que l ensemble des points x de X pour lesquels (f n (x)) est une suite de Cauchy de Y, est fermé dans X. 3. Soient X et Y deux espaces topologiques, Y compact. Soit f une application de X Y dans un espace métrique Z. Montrer que f est continue si et seulement si elle vérifie les deux propriétés suivantes : (a) pour x X, la fonction f(x,.) : y f(x, y) est continue de Y dans Z; (b) lorsque y parcourt le compact Y, l ensemble des fonctions f(., y) de X dans Z est équicontinu.

13 13 Problème Dans tout ce problème E désigne l espace de Hilbert complexe l 2 ; le produit scalaire et la norme sont notés respectivement (..) et.. Soit c = (c n ) n une suite complexe, on note A c l application linéaire de E dans C IN qui, à tout élément x = (x n ) n de E, associe la suite dont le n-ième terme est m c m+n x m. Cette application est appelée opérateur de Hankel associé à la suite c. Lorsque l image A c (E) est contenue dans E, on dit que l opérateur A c est continu. 1. Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que A c soit bien défini. 2. Soit f une fonction mesurable et bornée sur R, périodique de période 2π. On note c n (f) = 1 2π 2π f(t)e int dt (n Z) le n-ième coeficient de Fourier de f, et c(f) = (c n (f)) n la suite des coefficients de Fourier de f d indice positif. (a) Etant donné un élément x = (x n ) n de E, on appelle X une fonction complexe mesurable et périodique sur R, de période 2π, de carré intégrable sur tout intervalle borné, dont le n-ième coeficient de Fourier est x n pour n et pour n <. Montrer l égalité, pour n, du n-ième élément de la suite A c(f) et du n-ième coefficient de Fourier de la fonction t f(t)x( t). A cet effet on étudiera d abord le cas où il n y a qu un nombre fini de coordonnées x n non nulles. (b) En déduire que l opérateur de Hankel A c(f) est continu, et qu on a A c(f) f, où A c(f) désigne la norme de A c(f) dans L(E, E). (c) On suppose que la fonction f est continue; montrer que l opérateur de Hankel A c(f) est compact ( considérer d abord le cas d un polynôme trigonométrique, puis utiliser le théorème de Stone-Weierstrass). 3. Si r est un réel de ],1[, on note T r l opérateur continu de E dans E qui à l élément x = (x n ) n de E, associe l élément (r n x n ) n. (a) Montrer que, pour tout x de E, T r x converge fortement vers x lorsque r tend vers 1.

14 14 (b) Soit (x (k) ) k une suite bornée d éléments de E convergeant faiblement vers un élément x, et soit (r k ) k une suite de nombres réels de ],1[, convergeant vers 1. Montrer que la suite de terme général T rk x (k) converge faiblement vers x. (c) Soit u un opérateur compact de E dans E; les notations étant les mêmes que celles de la question précédente, montrer que la suite de terme général u(x (k) u(t rk x (k) ) converge fortement vers. (d) En déduire que si u est un opérateur compact de E dans E, l opérateur ut r converge vers u dans L(E, E) lorsque r tend vers 1. (On pourra utiliser un raisonnement par l absurde). (e) Montrer que, si u est un opérateur compact de E dans E, les opérateurs ut r et T r ut r convergent vers u dans L(E, E) lorsque r tend vers On se propose d établir une réciproque du résultat de la question 1.c. On dira que l opérateur de Hankel A c est de rang fini si la suite c n a qu un nombre fini de termes non nuls. (a) Montrer que tout opérateur de Hankel compact A c est limite dans L(E, E) d opérateurs de Hankel de rang fini. A cet effet on établira la formule A Trc = T r A c T r, < r < 1, et on montrera que A Trc est limite dans L(E, F ) d opérateurs de Hankel de rang fini. (b) On admettra que, quel que soit l opérateur de Hankel de type fini A c, il existe une fonction continue g de période 2π vérifiant c(g) = c et A c = g. En déduire que tout opérateur de Hankel compact est de la forme A c(f), où f est une fonction continue de période 2π.

15 15 Feuille d exercices n o 6 1. Soit H = L 2 (I) où I est un intervalle ouvert de R, muni de la mesure de Lebesgue; on peut définir formellement un opérateur A par A = i d, mais A n est pas défini dx sur tout H. On notera A 1 l opérateur de domaine Cc (I) des fonctions C à support compact sur I, et A 2 celui dont le domaine est H 1 (I). Trouver le spectre de chaque opérateur A i et dire si les opérateurs A i sont symétriques dans les cas suivants (a) I =], 1[ (b) I =], + [ (c) I =], + [ 2. Soit l opérateur A = d dx dans L2 ([, 1]) de domaine Quel est son spectre? D = { f H 1 ([, 1] f() = } ; 3. Soient V un espace de Hilbert sur R et T L(V ) un opérateur auto-adjoint, compact et défini positif. Le but de l exercice étant de démontrer l existence d une base hilbertienne de vecteurs propres de T, on s interdit ici d utiliser les résulats du cours. (a) i. Pour tout nombre réel θ, vérifier l identité T v 2 = 1 T (θv + 1θ 4 T v), θv + 1θ T v 1 T (θv 1θ 4 T v), θv 1θ T v, pour tout v V. ii. On pose Démontrer que iii. On pose τ = τ = sup u V u = 1 sup u V u = 1 T u, u. T u.

16 16 iv. Etablir l existence d un élément v V tel que v = 1 et τ = T v, v. En déduire qu alors T v = τ v. (b) i. Soit v 1 V un vecteur propre unitaire de T associé la valeur propre µ 1 = τ. Montrer que l espace vectoriel V 1 = {v V v, v 1 = } est stable par T, c est-à-dire T (V 1 ) V 1. ii. En déduire l existence d un vecteur propre v 2 de T tel que où on a posé v 2 V 1, T v 2 = µ 2 v 2, v 2 = 1, µ 2 = sup u V 1 u = 1 T u, u. iii. Plus généralement, obtenir par ce procédé l existence d une suite (µ m ) de valeurs propres et d une suite de vecteurs propres(v m ) telles que { µ m µ p pour tout m p (c) Démontrer que : lim µ m =. m + (d) i. Pour tout v V, on pose v m, v p = δ mp (symbole de Kronecker) pour m, p 1. r m (v) = v Démontrer que pour tout v V, que r m 2 = r m (v), v. m v, v p v p. p=1 lim r m(v) =. (On pourra observer m + ii. Pour tout v V, établir les propriétés suivantes m v, v p 2 v 2, pour tout m 1, p=1 v, v p 2 = v 2 p=1 et v, v p v p = v. (e) Montrer que par le procédé décrit en 2., on obtient en fait toutes les valeurs propres de T, c est-à-dire que si µ est une valeur propre quelconque de T, il existe un entier m 1 pour lequel on a µ = µ m et que de plus l ensemble est fini p=1 R µ = { m N µ m = µ }

17 17 4. (a) Déterminer explicitement les valeurs propres et les fonctions propres du problème u V, λ R, 1 u v dx = λ 1 lorsque V = H 1 o (, 1) et lorsque V = H 1 (, 1). uv dx, pour tout v V propres sont nécessairement de classe C dans [,1].) (Observer que les fonctions (b) En déduire qu une série de la forme n 1 a n sin nπx converge dans L 2 (, 1)(respectivement dans H 1 o (, 1) ) si et seulement si n 1 (c) Soit v Ho 1 (, 1) défini par a 2 n < + (resp. n 1 n 2 a 2 n < + ). v(x) = n 1 a n sin nπx. Justifier la dérivation terme à terme v(x) = π n 1 na n cos nπx.